= Δx 2. Escogiendo un sistema de referencia común para ambos móviles x A

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1 Ejemplos de solución a problemas de Cinemáica de la parícula Diseño en PDF MSc. Carlos Álvarez Marínez de Sanelices, Dpo. Física, Universidad de Camagüey. Acividad # C1. Un auo sube una loma a 40 km/h y la baja a 80 km/h. Cuál fue su velocidad media en el recorrido? V 1 = 40 km/h V = 80 km/h Vm -? Δx = Δx 1 + Δx = Δx 1 Δ = Δ 1 + Δ ; Δ 1 = Δx 1 /v 1 ; Δ = Δx /v v m = Δx/Δ = 53,3 km/h Acividad # C. Dos renes salen en el mismo insane de las ciudades A y B, separadas 300 km, con rapidez media consane de 60 y 90 km/h respecivamene, uno al encuenro del oro. a) A que disancia de la ciudad A se cruzan? b) Cuáno iempo ranscurre hasa ese momeno? d = 300 km V A = 60 km / h V B = 90 km/h x B -? -? Escogiendo un sisema de referencia común para ambos móviles x A = v A x B = d v B es el mismo, porque arrancan en el mismo insane. Cuando se crucen: x A = x B v A = d v B = d/(v A + v B ) = 300/150 = h x B = x A = v A = 60. = 10 km

2 Acividad # C3. En el momeno que se enciende la luz verde de un semáforo, un auo arranca con aceleración de 6 m/s. En el mismo insane, un camión que iba con rapidez consane de 30 m/s alcanza y rebasa al auomóvil. a) A qué disancia del semáforo alcanza el auo al camión? b) Cuál era la velocidad del auo en ese insane? c) Dibuje el gráfico de x vs. para ambos vehículos. a = 6 m/s v c = 30 m/s a a = 6 m/s x-? v A -? a) Camión: (MRU) x C = v c Auo: (MRUV) x A = ½ a (v o = 0) Como el iempo es el mismo para los dos, cuando el auo alcanza al camión en x o x A = x C ½ a = v c Despejando: = v C /a es el iempo que arda en alcanzarlo. Susiuyendo en x C se obiene la disancia: x C = x o = v C /a =. (30) / 6 = 300 m b) v = a = v C =. 30 = 60 m/s Acividad # C4. Una persona sube por una escalera auomáica inmóvil en 90 s. Cuando la persona esá inmóvil sobre la escalera y ésa se mueve, llega arriba en 60 s. Qué iempo arda la persona en subir cuando ella y la escalera esán en movimieno? 1 = 60 s = 90 s -?

3 (El movimieno es a lo largo de una reca) V E : velocidad del sisema móvil (escalera) respeco a ierra v: velocidad de la parícula (persona) respeco a ierra v : velocidad de la parícula (persona) respeco al s. móvil (escalera) v = x / 1 = x / 60 V E = x / = x / 90 Despejando y considerando que los vecores son colineales: v = v + V E = x.(1/60 + 1/90) = x / v = 36 s Acividad # C5. Un ren que avanza a velocidad v 01 comienza a frenar con aceleración a para no chocar con oro que avanza delane en el mismo senido con velocidad v 0 < v 01 y que se encuenra a una disancia d del primero. Demuesre que si d < (v 01 -v 0 ) /a habrá choque, y no lo habrá en caso de que d > (v 01 -v 0 ) /a. v 0 < v 01 disancia d x 1 = v o1 + ½ a x = d + v 0 Habrá choque si x 1 x en algún momeno: v o1 + ½ a d + v 0 + (/a)(v 01 v 0 ) d/a 0 Esa ecuación endrá solución real sólo si el discriminane B 4AC es mayor o igual que cero: (4/a )(v o1 v o ) 8d/a 0 lo que conduce a: d < (v 01 -v 0 ) /a (condición de choque) Si B 4AC < 0 se obiene una raíz imaginaria y no hay solución. No es posible que x 1 x y no hay choque. Al susiuir arriba se obiene d >(v 01 -v 0 ) /a (no hay choque)

4 Acividad # C6. La gráfica represena el movimieno de una parícula en una reca. a) Diga, para cada inervalo, si la velocidad y la aceleración son posiiva ( + ), negaiva ( - ) o cero. b) Describa el movimieno de la parícula. Movimieno recilíneo Analizando la definición de velocidad y aceleración para el movimieno en una dimensión; v = dx/d, a = dv/d v a OA + 0 AB + - BC 0 0 CD - - b) La parícula, a parir de un impulso inicial a la derecha, se mueve con velocidad consane, comienza a frenar en A, hasa que se deiene en el insane B y ahí se maniene hasa el insane C. En C recibe oro impulso, pero ahora en senido conrario, y a parir de ese momeno comienza a frenar hasa el insane D, donde se deiene nuevamene (dx/d = 0 en D). Acividad # C7 Se necesia diseñar un globo para invesigaciones amosféricas que pueda 3 alcanzar, pariendo del reposo, una alura de 1,0 10 m en 10 s en dirección verical hacia arriba. Calcula la aceleración del movimieno del globo. Dao: g=10 m/s s = 1, m V 0 = 0 A -?

5 Solución : Acividad # C8. Un globo asciende con rapidez de 1 m/s y deja caer un bulo cuando se encuenra a la alura de 80 m. Cuáno arda el bulo en llegar al suelo? (No se oma en cuena la resisencia del aire. Tome g = 10 m/s ). v o = 1 m/s = 80 m y = 0 g = 10 m/s -? Se conocen v o,, y, g. Se quiere conocer : y = + v o ½ g Susiuyendo v o = 1 m/s, = 80 m, y = 0, se obiene una ecuación de segundo grado: = 0 = 1. ± 4,18 Las dos soluciones de ésa ecuación son: 1 = 5,38 s; = -,98 s. La segunda no iene significado como solución del problema (iempo negaivo), por ano: = 5,4 s. Ejercicio: resolver el problema cuando el bulo se lanza hacia abajo con la misma rapidez. Acividad # C9. Desde un puene de 45 m de alura se deja caer una piedra. Ora piedra se arroja vericalmene hacia abajo 1 segundo después. Si ambas piedras llegan al suelo al mismo iempo, cuál fue la velocidad inicial de la segunda piedra? y 0 = 45 m v o1 = 0 = 0 cdo 1 = 1s

6 Como ambas piedras no se lanzan en el mismo insane, exisirá una diferencia de un segundo enre los iempos conados para ambos movimienos. Llamando 1 = 0 al insane en que se lanza la primera piedra, cuando 1 = 1s enonces = 0. Como la diferencia se maniene, es posible escribir = 1 1 Calculando lo que ardan en llegar al suelo: piedra 1: y 1 = 0, 1 = = = 45, v o1 = 0 0 = ½ g 1 piedra : = 1 1 = s 1 = ( /g) 1/ = 3 s. 0 = v o ½ g v o = ( / ) ½ g = (45/) (½ ) x 10 x = 1, 5 m/s Acividad # C10. Un cuerpo en caída libre a parir del reposo recorre la miad de su camino oal en el úlimo segundo de su caída. Calcular: a) iempo de vuelo y b) alura inicial. v o1 = 0 y = / = v 1, v -? y 0 -? a) Si recorre la miad en el úlimo segundo, la ora miad la recorrió en = v 1, donde v es el iempo oal. En ese inervalo recorre y = /. Como es a parir del reposo, / = ½ g( v 1) = g( v 1) Tenemos hasa el momeno una ecuación y dos incógnias ( v, ). Hace fala ora ecuación, que se obiene a parir de que cuando = v, y = 0: 0 = ½ g v = ½ g v Igualando esa ecuación con la anerior: g( v 1) = ½ g v v 4v + = 0

7 Las dos raíces son: 1 = 3.41 s; = 0.59 s. Esa ulima no iene senido, ya que el iempo de vuelo debe ser mayor de un minuo necesariamene. Luego v = 3.41 s b) = ½ g V = 0, (3,41) = 5,14 m Acividad # C11 Una peloa se lanzó vericalmene hacia arriba con una velocidad de 0 m/s. a parir de ese fenómeno se confeccionaron gráficos, uno de la velocidad de la peloa en función del iempo ro de la aceleración en función del iempo. a) Cuáles de los gráficos represenados en dicha figura corresponden al fenómeno del lanzamieno de la peloa? Jusifica en cada caso el por qué de u selección. b) Represena en cada uno de los ejes las magniudes correspondienes, así como, sus valores más significaivos. c) Deermine la posición de la peloa s después de lanzada. Comprueba a parir del grafico, la cereza de ese resulado. V 0 = 0 m/s = s

8 Solución del inciso (a) La gráfica que corresponde a la velocidad es la (e). Jusificación: Porque la velocidad disminuye uniformemene a medida que ranscurre el iempo, hasa que se anula y después inviere su senido, aumenando uniformemene su valor, con aceleración consane (pendiene), hasa que reorna al puno de parida. La grafica correspondiene a la aceleración es la (a). Jusificación: Porque la aceleración, durane odo el movimieno del cuerpo es consane y de senido conrario a la velocidad inicial del cuerpo. Solución del inciso (b) Cálculos y valores más significaivos para señalar en los gráficos. Ora variane para el cálculo del iempo de vuelo. Cuando ranscurre el iempo v la peloa se encuenra de nuevo en el puno s y =0, desde el que fue lanzada, enonces:

9 Solución del inciso c. Ora variane. v = v 0 y + a y y Δs v = 0. y despejando nos queda: y y

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