Determinantes. números reales. El tío Petros y la conjetura de Goldbach. Apóstolos DoxiADis

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1 Solucionrio Determinntes números reles LITERATURA Y MATEMÁTICAS El tío Petros y l conjetur de Goldch En nuestr primer noche juntos, mientrs cenámos en el comedor de l universidd pr conocernos mejor, le dije con nturlidd [ mi compñero de hitción]: Puesto que eres un genio de ls mtemátics, Smmy, estoy seguro de que podrás pror con fcilidd que todo número pr myor que es l sum de dos primos. Se echó reír. Si pudier pror eso, tío, no estrí quí cenndo contigo; y serí ctedrático, quizás incluso tendrí l medll Fields, el Noel de ls mtemátics. Antes de que terminr de hlr, en un instnte de revelción, diviné l horrile verdd. Smmy l confirmó con sus siguientes plrs: L firmción que cs de hcer es l conjetur de Goldch, uno de los prolems irresueltos más difíciles de todos los cmpos de ls mtemátics! Mis recciones psron por ls fses denominds (si no recuerdo ml lo que prendí en Psicologí Elementl en l universidd) «ls cutro etps del duelo»: negción, ir, depresión y ceptción. De ells, l primer fue l que duró menos. No no es posile! [ ] Qué quieres decir con que no es posile? preguntó. Lo es! L conjetur de Goldch, que sí se llm l hipótesis, pues nunc h sido demostrd, es que todos los números pres son l sum de dos primos. Lo firmó por primer vez un mtemático llmdo Goldch en un crt dirigid Euler. Aunque se h demostrdo que es verdd incluso en números primos ltísimos, ndie h conseguido formulr un prue generl. [ ] Mi nuevo compñero de curto, totlmente estupefcto nte el hecho de que un hipótesis de teorí de números pudier provocr semejnte rreto de psión mediterráne, me rogó que le contr qué me ps; pero yo no est en condiciones de dr explicciones.. Apóstolos DoxiADis 80

2 Solucionrio El tío Petros y l conjetur de Goldch Apóstolos Doxidis Petros Ppchristos viví en un cs ls fuers de Atens, retirdo del mundo, sin mujer ni hijos, ocupdo sólo en cuidr el jrdín y jugr l jedrez. Hí sido un mtemático notle, unque pr sus dos hermnos menores, que mntenín con su esfuerzo l empres heredd del pdre, er el «fisco de l fmili». En cmio, uno de sus sorinos, el nrrdor de l histori contenid en est novel, lo dmir por su psd reputción. Cundo có el penúltimo curso del chillerto, un dí le preguntó si tmién él podrí llegr ser un uen mtemático. El tío Petros le contestó: No quiero verte hciendo unos estudios que te conducirán l frcso y l desdich. En consecuenci, te pido que me hgs l firme promes de que no te convertirás en mtemático menos que descurs que tienes un tlento extrordinrio. Acepts? El joven cept el desfío que consiste en resolver lo lrgo del verno sin consultr los liros el siguiente prolem: demostrr que todo entero pr myor que es igul l sum de dos primos. Después de llenr durnte los meses estivles cientos de curtills que cron en l ppeler, el joven no logró demostrr es sencill conjetur. Admitió su incpcidd y, cumpliendo su promes, se mtriculó en l licencitur de Económics, en un de ls mejores universiddes nortemericns. En su tercer ño, le tocó comprtir hitción con Smmy Epstein, un muchcho fmoso entre los estudintes del primer ciclo porque er un prodigio de ls mtemátics. Su primer encuentro con él es el que se descrie en el texto extrído de l novel. Cundo el joven descure l «rom» que le h gstdo su tío, decide vengrse y és es l trm de l segund prte de est mrvillos novel, en l que se nrr muy ien l luch de un person por construir mtemátics: sus tnteos, sus desánimos, sus éxitos y sus frcsos. Hll los números primos que cumplen l conjetur de Goldch pr los números pres y 8 y form un mtriz de orden con ellos. continución, clcul el vlor de l expresión - pr es mtriz, pr su trspuest y pr l que result de sumrle l primer column l segund. Qué oservs? Por qué crees que ocurre esto? Respuest iert. Por ejemplo: L mtriz que formn estos números primos es: A 3 7 Así: 7 3 L mtriz trspuest es: A t 3 7 Entonces: 7 3 L mtriz que result de sumrle l primer column l segund es: A Así: 8 8

3 Determinntes ANTES DE COMENZAR RECUERDA 00 comprue si existen cominciones lineles entre ls fils de ests mtrices A B Pr comprorlo estudimos si: F kf + kf3 Considermos los elementos de ls columns y 3 y que los de l segund son todos nulos, y por tnto, verificn culquier cominción. 5k + 3k k k k k Entonces: F F F3 existe un cominción linel entre ls fils de est mtriz. Pr comprorlo estudimos si: F kf + kf3 + k3f Tommos los elementos de ls tres primers columns: 3k k k3 3k k k3 kk 0 k + k 0 k + k k + k3 0 k k3 k+ k Si k k k 3 0 F F F 3 Est cominción linel entre ls fils tmién se verific con los elementos de l últim column, por tnto, existe un cominción entre ls fils de est mtriz clcul l mtriz invers de l mtriz A - -0, y comprue que se cumple que A A - I y que A - A I A AA A A

4 Solucionrio ACTIVIDADES 00 clcul el vlor de los determinntes de ests mtrices. A - -7 A 7 3 A A clcul x pr que estos determinntes vlgn cero x x - x x x x ± x 3x x 6 0 3x x 8 0 x Hll el determinnte de l mtriz trspuest de ests mtrices. A A t A A t A A Si c d -, clcul: c d c d c) c d c d c d c d c d c) c d c d c d 83

5 Determinntes 005 clcul el determinnte de A y, prtir de él, hll B A A B B ( 98) Si c d -, clcul: c - -d - -d c c) d c d c) c d d c d c c d d 007 Si c d e f g h i 3, clcul + -c c d e+ d-f f g h+ g-i i. + c c d e+ df f g h+ gi i + c d e+ d f g h+ g i c d e f 3 g h i 008 Hll estos determinntes. - - c) c) clcul estos determinntes. d + d e + e c f c+ f c c d + d e + e c f c+ f 0 c c 8

6 Solucionrio 00 comprue que ls dos mtrices cumplen que A B A B. - A - 3 B AB AB A 3 0 A B B 36 0 Determin el menor complementrio de. A - -7 α α A Hll los elementos cuyo djunto es negtivo. A A A, A 3 y A A, A, A 3, A 3 y A resuelve estos determinntes, plicndo l definición y desrrollndo por lgun de sus columns c) - -7 Utilizndo l definición: A 5 Desrrollndo por l primer column: A ( )( ) Utilizndo l definición: A Desrrollndo por l segund column: A 5( ) + ( )( ) c) Utilizndo l definición: A 7 3 Desrrollndo por l primer column: A + 7 ( )

7 Determinntes 0 resuelve estos determinntes ( 3) resuelve los siguientes determinntes de orden ( 3) clcul x pr que se cumpl que el resultdo de este determinnte se x x x x x x + 3 x 6 x + 0 x 3 0 x x + 3 x 6 x + 86

8 SOLUCIONARIO 07 Hll todos los menores de est mtriz: 0 3 A Menores de orden : 0,, -3, -, -3, -3,, 0, -, 0, 3, -, -, -, 0 y - Menores de orden : , , , , , -3 -, , , , , , , , , , , , , -0-0, , , - 3 6, , , , -3-0, , -3-0, , , , , , , y Menores de orden 3: , , , , , , , , , , , , , , 87

9 Determinntes y Menor de orden : clcul el rngo de ests mtrices. A B El rngo de l mtriz es. 6 0 El rngo de l mtriz es clcul el rngo de ests mtrices El rngo de l mtriz es El rngo de l mtriz es clcul x pr que el rngo de ests mtrices se x x x 0 Pr que el rngo de l mtriz se 3, el otro menor de orden 3 tiene que ser distinto de cero. 6x 36 0 x 6 88

10 Solucionrio El rngo de l mtriz es 3 pr culquier vlor de x. 3 0 Determin l mtriz de los djuntos de ls siguientes mtrices. A B c) C 0 0 Adj( A ) Adj( B ) 6 3 c) Adj( C ) comprue que se cumple que A dj (A) t A I, siendo I l mtriz identidd de orden 3 y A A clcul l mtriz invers de ests mtrices A B A Adj A t ( ) A B 6 Adj B t 8 ( ) B

11 Determinntes 0 clcul x pr que ests mtrices tengn invers. Determin l invers cundo exist A 3 x + - B x x 0 A 3 x + x + 8 L mtriz A tiene invers si A 0 x B x x + t A A A Adj( ) x + 8 x x + x x + x + 8 x + x + si x x + x + x + x x + + x + 8 x + x x 5 5 x x L mtriz B tiene invers si B 0 x x x t B B x + x + B Adj( ) x 5 x 3x 5 x x 5x + 5 5x + 5 5x x x + si x 5x + 5 5x + 5 5x + 5 x 3x + 5 5x + 5 5x x clcul los siguientes determinntes c) - -3 e) d) x x x f) c) 3 3 e) d) x x x 0 f)

12 Solucionrio 06 clcul,, c, d pr que se cumpln ls igulddes. - c 3c- 6-3 c) 3 c e) e e d) d - d 7 f) 3 8 sen f cos f cos f -sen f c) d) e) c 3c c c c + 3 c c d d 7 d 3 8 d e e 6e 0 e 8 e 6 sen f cos f f) sen f cos f No tie cos f sen f 0 ne solución. 07 otén el vlor de los siguientes determinntes c) e) x- x x d) c f) - c - c -c d) c c e) x x x x c) f) c c c c 3c 9

13 Determinntes 08 Hll los vlores reles de,, c y d pr que se cumpln ls igulddes c) - c- c+ -0 c d) d d d d 0 d c c+ 0 c) c c + 3c No tiene solución. 3 d) d d d 0 3 d d 8 d d 0 d 09 clcul el vlor del determinnte de l mtriz A + B, siendo: A 0 B (Nvrr. Septiemre 005. Grupo. Opción B) A+ B A + B clcul el vlor del determinnte de l mtriz A B, siendo: A B (Nvrr. Septiemre 00. Grupo. Opción B) 3 AB 6 3 AB

14 Solucionrio 03 Qué relción deen gurdr m y n pr que el determinnte m - n se nulo? m n 3 3 0n5 5m 0 n 9+ 3m Sen ls mtrices: A B C comprue si se verificn ls siguientes igulddes. Si lgun se verific, decide si se trt de lgun propiedd generl de los determinntes. A A c) C - B C - B A+ B A + B d) AB A B A A L iguldd no se cumple. A+ B A + B L iguldd no se cumple. c) C B 00 C B ( ) 3 L iguldd no se cumple. 9 7 d) AB A B ( ) 5 L iguldd se cumple porque es un de ls propieddes de los determinntes. 033 oserv que si A 3 y B 3 0 9, se cumple que A+ B A + B. Es siempre cierto pr culesquier dos mtrices cudrds de l mism dimensión? En cso firmtivo, justifíclo y, en cso negtivo, fcilit un contrejemplo. 6 A+ B A + B L iguldd se cumple en este cso pero no siempre, el prtdo del ejercicio nterior es un contrejemplo. 93

15 Determinntes clcul el vlor del determinnte comprue que si relizmos ls siguientes operciones, su vlor no vrí. F + F 3 C - 3C 3 c) F 3 - F + F d) C - 3C + C c) d) clcul cd uno de estos determinntes pr compror que: c c c c c c ( ( c 3) c 036 Si M es un mtriz cudrd y M 6, qué puedes decir del determinnte de M 3? Y del determinnte de M? M M M M M 6 6 Si n es el orden de l mtriz cudrd M entonces: M n M n 6 n Qué propieddes de los determinntes se hn empledo en cd un de ls igulddes siguientes? + 3 c+ d 3c c+ d c d c c d c)

16 Solucionrio d) Propiedd 3 Propiedd 5 Propiedd Propiedd 5 (F 0F ) c) Propiedd 5 (F 0F ; F 0F 3 ) d) Propiedd 9 Propiedd Demuestr, sin clculr el vlor de los determinntes, que el primero es múltiplo de 6 y el segundo de Siendo que -3-5, determin sin desrrollrlos el vlor -0 - de los siguientes determinntes: c) d) c) d)

17 Determinntes 00 Siendo c d 8, determin sin desrrollr: 3 c 3d -3 c-3d d c) d c d) c d + c + d 3 c 3d c d c) 3 c 3d d 8 c d d c c d 8 d) c d + c + d c d 8 c d 0 conocido que c (Cnris. Junio 007. Opción A. Cuestión 3), clcul el vlor del siguiente determinnte: 5-5 5c c c c c c 0 Siendo que d e f g h i determinntes. 6, determin sin desrrollr el vlor de los siguientes c d/3 e/3 f /3 c) g h i c+ 3 /5 e f + 3d d/5 h i+ 3g g/5 c + d + e c+ f + d+ g + e+ h c+ f + i c d e f g h i c d e f g h i c d e f g h i 3 6 c c + d + e c+ f d e f + d + g + e+ h c+ f + i + d + g + e+ h c+ f + i c d e f 6 g h i 96

18 Solucionrio c) c+ 3 e f + 3d h i+ 3g 5 d 5 g 5 c+ 3 5 c+ 3 d e f + 3d e f + 3d d 5 5 h i+ 3g g 5 g h i+ 3g 5 c c e d f d e f h g i g h i 5 c e f d h i g 03 Justific sin desrrollr que los siguientes determinntes son nulos c) d) El determinnte es nulo porque: C 3 C El determinnte es nulo porque: F 3 F + F c) El determinnte es nulo porque: C3 C+ C 3 3 d) El determinnte es nulo porque: 3 0 F3 3F F Demuestr sin desrrollr que los siguientes determinntes son nulos. c x + y y + z z + x + d + e c+ f z x y d- e- f -c c c + d + e c+ f d e f d e f c d e f c c d e f d e f c c d e f 0 c x+ y y+ z z+ x z x y x+ y y+ z z+ x x+ y x z y z z x y z z x z y 0 0 x+ y ( x z)( y z) z

19 Determinntes 05 plicndo propieddes de los determinntes, comprue que: c c ( -( c-( c- 0 0 c c c c c c ( ( c + c+ ( ( c (c 06 Trt de convertir el siguiente determinnte en el determinnte de un mtriz tringulr, y sí demostrr l iguldd: ( ( 3 c 07 Si l mtriz A d e f g h i de ls siguientes mtrices: tiene determinnte n, verigu el vlor del determinnte 6d e f B 3g h i 9 6 3c d+ f e f + e C + c c+ g+ i h i + h (Cntri. Junio 000. Bloque. Opción A) B 6d e f 9 6 3c 3g h i 3g h i 9 6 3c 6d e f c 6 3 d e f 36n g h i 9 6 3c 6d e f 3g h i 3 c 3 3d e f 3g h i 98

20 Solucionrio 3 08 Se A l mtriz A Se B l mtriz que result l relizr en A ls siguientes trnsformciones: primero se multiplic A por sí mism; después, se cmin de lugr l fil segund y l tercer, y finlmente, se multiplicn todos los elementos de l segund column por -. clculr el determinnte de l mtriz B, usndo pr ello ls propieddes de los determinntes. (Pís Vsco. Junio 007. Bloque A. Cuestión A) B B Se A un mtriz cudrd de orden 3. Si semos que el determinnte de l mtriz A es A 8. cuánto vle el determinnte de A? Escrie l propiedd de los determinntes que hys usdo pr otener este vlor. clcul pr qué vlores de x se cumple que A 8, siendo A x l mtriz A x +. x - x (Extremdur. Septiemre 007. Opción A. Ejercicio 3) A 3 A 8 A Si en un mtriz cudrd multiplicmos por un mismo número todos los elementos de un mism fil (o column, su determinnte qued multiplicdo por ese número. x A x + x x + x x x 0 A 8 A x x + x x 0 x 99

21 Determinntes 050 Hll el vlor de los siguientes determinntes, desrrollndo por l fil o column que más te interese ( + 6) Ddo el determinnte - 0 -, clcúllo: usndo l regl de Srrus. Desrrollndo por los elementos de l primer column ( ) 9+ ( 39) otén el vlor del determinnte - 3 : 6-5 Medinte l regl de Srrus. Hciendo ceros en l tercer fil y desrrollndo por ell

22 Solucionrio 053 clcul el vlor del determinnte de l mtriz: A (Nvrr. Septiemre 006. Grupo. Opción B) verigu, sin relizr ningun operción, el vlor que dee tener pr que se nule F F + F F Hll el vlor de que hce que l mtriz: A - -0 no se regulr (Nvrr. Junio 006. Grupo. Opción B) Un mtriz A no es regulr si A comprue que x + x + ( x + ) 3. x + x + x + x + x x x + 0 x x + 0 ( x + ) x + 0

23 Determinntes - x comprue que l ecución: 0 tiene solo tres soluciones x x sin necesidd de clculr el determinnte. cuáles son? x 3 x x 3 x x x 9 6 x x 9x 6 x 3 x x 8x 7x 6 x x 3 x x x 9x 6 x 8x 7x 6 x ( x )( 3+ x)( x) + x 3 x + x x + x+ x + 3x 9 x + x+6 Ls tres soluciones son: x, x 3, x. 058 Desrroll el determinnte y comprue que es nulo Se l mtriz A. clculr el vlor de su determinnte en función de. (Asturis. Septiemre 00. Bloque ) ( + ) otener, en función de, y c, el determinnte de l mtriz: A c (L Rioj. Septiemre 007. Propuest A. Ejercicio ) 0

24 Solucionrio c 0 + c 0 c 0 c 0 0 c En este ejercicio los números x, y, z y u son todos distintos de cero. Justificr, sin efectur su desrrollo, que el siguiente determinnte vle 0. (Cnris. Junio 003. Opción A. Cuestión 3) yz xz xy u u u P( x) x y z yz xz xy u u u x y z yz xz xy u u x x y z yz xz xy u 0 xyz yz xz xy yz xz xy x x y z yz xz xy u xy xy y x z 06 verigur según el vlor de el número de ríces reles que tiene l ecución. x x x x (Cntri. Septiemre 000. Bloque. Opción B) 0 x x x x x x x 0 0 x 0 x 0 x 0 0 x x x x x ( x + 3( x Si 0 x 0 L ecución tiene un únic solución rel (x 0). Si > 0 L ecución tiene dos soluciones reles ( x ± ) Si < 0 L ecución tiene dos soluciones reles ( x ± 3 ) 03

25 Determinntes 063 Se consider l función: f( x) x x x Siendo que f(0) -3 y f() f(-), determinr y. (Cntri. Junio 000. Bloque. Opción B) Si f ( 0) Así: f( x) 3 x x x f () ( f ( ) ( ) + ( Se A un mtriz cudrd de orden verificndo que A A. clculr rzondmente los posiles vlores del determinnte de A. (Cstill y León. Junio 00. Prue A. Cuestión ) A A A A A A A A 0 A 0 A 0 A 065 Estudi el rngo de ests mtrices c) e) d) f)

26 Solucionrio El rngo delmtriz es El rngo delmtrizes. c) El rngo delmtriz es. 0 d) El rngo delmtrizes3. 3 e) El rngo delmtriz es. f) El rngo delmtriz es clculr el rngo de l mtriz (Cstill y León. Junio 008. Prue B. Cuestión ) El rngo delmtriz es. 067 los rngos de ests mtrices son, 3 y. verigu, sin relizr operciones, cuál corresponde cd un c) c) 05

27 Determinntes 068 comprue que l mtriz tiene rngo. ñde dos fils que no sen nuls ni igules ls nteriores de modo que el rngo sig siendo El rngo delmtriz es. 6 3 Respuestiert. Por ejemplo: Dd l mtriz -6-9, ñde un column de modo que el rngo se Demuéstrlo. 6 Respuestiert. Por ejemplo: El rngo delmtriz es comprue que l siguiente mtriz es de rngo Encuentr dos columns linelmente independientes, y expres ls otrs dos como cominción linel de ls primers El rngo delmtriz es. 3 Respuest iert. Por ejemplo: Ls columns C y C 3 son linelmente independientes. C 3C C C + C 3 07 Pr qué vlor de m el rngo de est mtriz es? m Pr que el rngo de l mtriz se, el menor de orden 3 tiene que ser igul 0. 6 m 6 0 7m m m+ 6 0 m Si El rngo delmtriz es. 6 06

28 Solucionrio 07 otener el vlor de pr que el rngo de l mtriz A se igul A (L Rioj. Junio 003. Propuest A. Ejercicio ) Pr que el rngo de l mtriz se, los menores de orden 3 tienen que ser igules El rngo delmtriz es clcul el rngo de cd mtriz en función de cd uno de los prámetros. c) d) c d d Rngo ( A) Si 3 El menor de orden 3 es distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si 3 El menor de orden 3 es nulo. El rngo de l mtriz es. 07

29 Determinntes Rngo ( A) Si R, El menor de orden 3 es distinto de cero. El rngo 3 de l mtriz es 3. Si o es. 3 El menor de orden 3 es nulo. El rngo de l mtriz c) 6 0 Rngo ( A) c 0 63c 3 Si c El menor de orden 3 es distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si c El menor de orden 3 es nulo. El rngo de l mtriz es. d) d d 6 9d 36d ( d ) d 6 3d d 0 d Si d Hy menores de orden 3 distintos de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si d Todos los menores de orden y 3 son nulos. El rngo de l mtriz es. 07 Estudi el rngo de ls mtrices según los vlores de los prámetros Rngo ( A) Pr culquier vlor de l menos uno de los menores de orden 3 es distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. 08

30 Solucionrio 0 0 Rngo ( A) ( ( + ) 0 0 Pr culquier vlor de l menos uno de los menores de orden 3 es distinto de cero. El rngo de l mtriz es Estudi el rngo de l mtriz pr los distintos vlores del prámetro Rngo ( A) Rngo ( A) Si 0 El menor de orden es distinto de cero. El rngo de l mtriz es. Si 0 El menor de orden es nulo. El rngo de l mtriz es 3. c 076 Si el rngo de d e f es, cuál será el rngo de l mtriz c d- e- f -c? -d -e c-f c c d e f c d e f d e c f d e c f c d e f c El rngo de l mtriz es menor que 3. Como el rngo de c d e f es, ls dos primers fils de l mtriz cudrd son linelmente independientes, por tnto, est mtriz tiene rngo. 0 09

31 Determinntes 077 Si l mtriz A c d tiene rngo y l mtriz B x y z w tiene rngo, explicr qué vlores puede tener el rngo de ls mtrices: c d C x y z w c D x z d y w c E x z 0 0 d y 0 0 w 0 (Cntri. Septiemre 000. Bloque. Opción A Por ser l mtriz A de rngo, ls dos primers fils de ls mtrices C, D y E son linelmente dependientes y l menos uno de los vlores de l mtriz A es distinto de cero. Al tener l mtriz B rngo, ls dos últims fils de ls mtrices C, D y E son linelmente independientes, por tnto, ls tres mtrices tienen l menos rngo. Si en l mtriz C elegimos un menor de orden 3 que conteng ls dos últims fils será de l form: n x y z w n x y 0 z w Siendo n uno de los elementos de l mtriz A. Como ls dos primers fils son linelmente dependientes el menor de orden es nulo, por tnto, el rngo de l mtriz C es 3. Si elegimos en l mtriz D un menor de orden 3 que conteng ls dos últims fils serán de l form: x z y w c d 0 0 y x y 0 0 z w 0 Como ls dos primers fils son linelmente dependientes, el menor de orden es nulo, por tnto, el rngo de l mtriz D es. Si elegimos en l mtriz E un menor de orden 3 que conteng ls dos últims fils será de l form: 0 c d 0 x z 0 0 y w x y x o x 0 y d z w z z 0 w Por tnto, dependiendo de si los vlores de o d son nulos o no, los menores de orden 3 serán distintos de cero o no. Luego, l mtriz E puede tener rngo 3. Como ls dos primers fils son linelmente dependientes, el menor de orden es nulo, por tnto, el rngo de l mtriz E puede ser o 3. y w 078 Encuentr los vlores de m y n que hcen que ests mtrices tengn: m 0 n m 0 n A m m B m m 0 m 0 m n rngo (A) y rngo (B) 3 rngo (A) rngo (B) c) rngo (A) rngo (B) 3 0

32 Solucionrio m 0 n m m 0 m 0 n m ( n ) m m ( n ) m n No podemos encontrr vlores de m y n que verifiquen ls dos condiciones, por tnto, el rngo de A no puede ser si el de B es 3. m 0 Si m 0 y n 0 Rngo ( A) m m n Los menores de orden 3 son nulos y los rngos de ls mtrices son. c) Si m 0 y n Los menores de orden 3 son distintos de cero y los rngos de ls mtrices son Hll el rngo de l mtriz M en función de los vlores del prámetro x. x-6 x - M x x - x - x 6 x x x x 3 x 0 x + 8 x ( x ) ( x 6) Si x R { 6, } El menor de orden 3 es distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si x 8 0 El menor de orden 3 es nulo y hy un menor de orden distinto de cero. El rngo de l mtriz es. 6 Si x El menor de orden 3 es nulo y hy un menor de orden distinto de cero. El rngo de l mtriz es. 080 clcul el rngo de l mtriz A según los vlores del prámetro k. -k - A - -k - - k - (Bleres. Septiemre 003. Opción A. Cuestión ) k k k + k + ( k )( k + ) k k + 5k ( k)( k) k

33 Determinntes Si k Hy un menor de orden 3 distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si k 3 0 Los menores de orden 3 son nulos y l menos hy un menor de orden distinto de cero. El rngo de l mtriz es. 08 Estudi el rngo de l siguiente mtriz pr los distintos vlores de sus prámetros ( + ) + ( + + ) ( + ) 0 ( + + ) 0 0 Si R { 0, }, pr culquier vlor de, hy un menor de orden 3 distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si 0 y 0 El segundo menor de orden 3 es distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si 0 y El rngo de l mtriz es. 0 Si 0 El rngo es myor o igul que : el rngo 0 es si 0 y es 3 si 0. λ 0 08 clcul el rngo de l mtriz A - λ - en función del prámetro λ R. - (Cstill-L Mnch. Junio 007. Bloque 3. Pregunt A) λ 0 λ λ λ λ( λ ) Si λ R 0, El menor de orden 3 es distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. 0 Si λ 0 0 El rngo de l mtriz es. 0 Si λ 3 0 El rngo de l mtriz es.

34 Solucionrio 083 Estudir el rngo de l mtriz que sigue, medinte trnsformciones de fils y columns, indicndo en cd cso ls trnsformciones relizds. A (Pís Vsco. Junio 000. Bloque E. Cuestión E) Si restmos l primer column ls dos últims: 0 0 Si summos ls dos últims fils l primer: Si 0 El rngo de l mtriz es Si El rngo de l mtriz es Si El rngo delmtriz es. 0 3 Si y Ls tres fils son linelmente independientes. El rngo de l mtriz es Si A : Prue que pr culquier vlor de y, rngo (A). Determin un pr de vlores reles pr los cules se rngo (A) 3 y otro pr de vlores de y de form que rngo (A). (Cntri. Junio 00. Bloque. Opción A) Si Rngo (A) + + ( 0 + ) 0 Como mos menores no pueden ser nulos pr culquier vlor de y Rngo (A) 3 3

35 Determinntes Respuest iert. Por ejemplo: Pr que Rngo (A) < el determinnte tiene que vler cero: ( + ) ( + ) ( + ) 0 Como , pr que el Rngo (A) 3 st con tomr 0 0 un vlor de que se distinto de cero: si y el rngo de l mtriz es 3. Pr que Rngo (A) st con que + ( + ) 0, por ejemplo, pr y l mtriz tiene rngo Sen ls mtrices A - ; B Vemos que ms tienen rngo máximo, o se,. Determin los vlores de c tles que l mtriz A + cb y no teng rngo. cuál es el rngo que tienen ls respectivs mtrices sum? (Argón. Septiemre 003. Opción B. Cuestión ) c A+ cb c c c + c ( c) c c c ( + c)( c) Si c 6 o c El menor de orden es nulo y l mtriz A + cb no tiene rngo. Como 0 El rngo de ls mtrices A + 6B y A B es. 086 Si A es un mtriz y R, cuándo se cumple que rngo (A) rngo (A)? Estudie, en función de los vlores de, el rngo de l mtriz: (Murci. Junio 00. Bloque. Cuestión ) Si A es l mtriz nul, su rngo es 0 y el rngo de l mtriz A tmién es 0 pr culquier vlor de. Si 0 El número de fils o columns linelmente independientes de A y de A coincide. Los rngos de ms mtrices son igules. Si 0 L mtriz A tiene rngo 0 y solo coincide con el rngo de A si est mtriz es nul.

36 Solucionrio Si Hy un menor de orden 3 distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si 0 El rngo de l mtriz es. 087 Tom un mtriz cudrd de orden y clcul su mtriz djunt. compr sus determinntes. Hz lo mismo con un mtriz cudrd de orden 3. Estlece un hipótesis generl y trt de demostrrl. Respuest iert. Por ejemplo: Se A un mtriz cudrd de orden. 3 Adj( A ) 3 A 7 Adj( A) 7 0 Se A un mtriz cudrd de orden Adj( A ) A 0 Si A es un mtriz cudrd de orden n: A t A A Adj( ) A A Adj ( A) t t Como Adj( A) Adj ( A) tenemos que: n A A A n A Adj( ) A Adj ( ) n Adj ( A) n Como A Adj( A) Adj ( A) A n A A A 088 Hll l mtriz invers de ests mtrices: A B - -3 C D A 0 A 5 3 B 0 B 7 3 5

37 Determinntes 3 c) C 0 0 C d) D 0 0 D Pr qué vlores del prámetro l mtriz no tiene invers? clcul l mtriz invers cundo. 0 M 0 + M L mtriz no tiene invers si su determinnte es nulo, es decir, si 0 o. 0 Si M 0 M M Se l mtriz A. Encuentr su invers, si existe, cundo. (Asturis. Septiemre 00. Bloque ) A 5 Si A 5 A 5 3 -λ 09 Pr cd número rel λ, M( λ ) es l mtriz M( λ) -. Se pide: λ λ - otener el determinnte de l mtriz M( λ ), y justificr que pr culquier número rel λ existe l mtriz M( λ ) - invers de M( λ ). clculr l mtriz M(0) -. c) Si A M(8), B M() y C M(3), clculr el determinnte de l mtriz producto A B - C -. (C. Vlencin. Junio 00. Ejercicio B. Prolem ) 6

38 Solucionrio M( λ) λ λ + L ecución λ λ + 0 no tiene solución, por tnto, el determinnte de l mtriz es distinto de cero y siempre existe l mtriz invers M( 0) M( 0) M c) A M( 8) A 50 B M( ) B 0 C M( 3) C 5 A B C A B C A 50 B C A, B y C son tres mtrices cudrds tles que A 5, B y C. Decide rzondmente el vlor de los siguientes determinntes. A t c) A B - e) ( B C) - B - d) A B - f) C - B t t A A 5 B B c) AB A B A 5 5 B d) A B A B A B 5 5 e) ( BC ) BC B C 8 f) C B t C B t C B comprue que l mtriz A cumple que A 3 -A - I y clcul l mtriz invers de A. Si A es culquier mtriz de n fils y n columns tl que A 3 -A - I y se se que det (A) m, clcul el vlor del determinnte de A + I en función de m. (I represent l mtriz unidd.) (Cntri. Junio 00. Bloque. Opción B) 7

39 Determinntes 0 A AA A 0 A A A I A AI A A I A( A I) I A A I A A+ I A A m 09 clcul ls mtrices X, Y, Z y T que cumplen ls ecuciones X 30 0 c) Z Y 6 d) T X Y c) Z d) T

40 9 Solucionrio 095 Determin ls mtrices X, Y, Z en ls ecuciones X Y c) Z d) T X Y c) Z d) T

41 Determinntes Siendo A y B - - 7, encuentr dos mtrices C y D tles que: C A B D B A Qué relción hy entre C y D? 3 C BA D AB CD BA AB BIB BB I C y D son inverss. 097 Se considern ls mtrices cudrds reles de orden, P 3 y Q clculr: l mtriz P -. l mtriz rel cudrd X de orden, tl que P - X P Q. c) l mtriz cudrd (P Q P - ). (C. Vlencin. Septiemre 003. Ejercicio B. Prolem ) P P 3 0 P XP Q X PQP c) ( PQP ) X

42 Solucionrio 098 Se k un número nturl y sen ls mtrices: clculr A k. A B - - Hllr l mtriz X que verific l ecución: A k X BC (Mdrid. Junio 00. Opción A. Ejercicio ) A AA A A A Entonces: A k k k C ( ) k k k k A X BC X A BC 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 k k Determin l mtriz X que verific l ecución AX X - B siendo: A y B (Andlucí. Junio 00. Opción B. Ejercicio 3) AX X B AX X B A X B X A ( I) ( I) ( B) A I ( ) A I X

43 Determinntes Dds ls mtrices A , B - y C : Hll l invers de A - BC. resuelve l ecución mtricil AX - BCX A. (Cstill-L Mnch. Septiemre 00. Bloque. Pregunt B) 3 A BC A BC A BC ( ) AX BCX A ( A BC) X A X ( A BC ) A responde rzondmente: Si A tiene invers, cuál es el rngo de A -? Es cierto que siempre rngo (A) rngo (A t )? c) Es siempre cierto que, si A y B son mtrices de l mism dimensión, rngo (A + B) rngo (A) + rngo (B)? d) Y que rngo (A ) rngo (A)? Si A tiene invers, verific que: A 0 A 0 Rngo ( A ) Rngo ( A) A Sí, y que el rngo corresponde l número de fils o columns linelmente independientes y est relción no cmi l trsponerls. c) No. Por ejemplo, si A y B son dos mtrices de orden con rngo, l mtriz sum A + B tmién es un mtriz de orden que no puede tener rngo +. d) No. Por ejemplo: si A A de modo 0 0 que el rngo de A es y el de A es 0. Solo es cierto cundo A es un mtriz regulr.

44 Solucionrio 0 clcul l mtriz invers de 0 A 0 0 Escrie en form mtricil el siguiente sistem y resuélvelo usndo l mtriz A - hlld en el prtdo nterior: x + y y + z - x + z 3 (Andlucí. Junio 007. Opción B. Ejercicio 3) A 0 A 0 x x 0 y 0 0 y z 3 0 z Sen F, F, F 3 ls fils primer, segund y tercer, respectivmente, de un mtriz cudrd M de orden 3, con det (M) -. clcul el vlor del determinnte de l mtriz que tiene por fils F - F, F, F + F 3. Dd l mtriz C, hll dos mtrices X e Y que verificn: siendo C t l mtriz trspuest de C. (Glici. Junio 007. Bloque. Opción ) Si escriimos: det ( M) det ( F, F, F ) Entonces: 3 - X + Y C - X - Y C t det ( F F, F, F + F3) det ( F F, F, F + F3 ) det ( F, F, F + F3) det ( F, F, F3 ) ( ) 3

45 Determinntes Si summos ls ecuciones tenemos: 3 3 X C + C t + X 3 3 X + Y C Y C X Y ( C X ) C X 3 0 Y ( C X) Sen F, F, F 3 y F ls fils de un mtriz cudrd P de orden, cuyo determinnte vle 3. clcul rzondmente el vlor del determinnte de l invers de P, el vlor del determinnte de l mtriz α P, donde α denot un número rel no nulo, y el vlor del determinnte de l mtriz cuys fils son F - F, F 3, 7F y F. (Glici. Junio 00. Bloque. Pregunt ) P 3 P αp α P 3α P 3 det ( F F, F3, 7F, F) 7det ( F F, F3, F, F) 7det ( F F, F, F3, F ) 7det ( F, F, F3, F ) det ( F, F, F 3, F ) 3 PREPARA TU SELECTIVIDAD Se P( x) x x. 3 3 x x Hll dos ríces de este polinomio de grdo cutro. (L Rioj. Junio 007. Propuest A. Ejercicio ) x x x x x x 3 33x 0 x x 3 3x 0 0 x 3 x 0 0 x 33x x ( x ) 33x x x 0 x 3 33x 0 x 3 ( x )( x 3) + ( x ) x( x 3) ( x 3)( 33x ) ( x )( x 3) + ( x )( x 3) x( x3) ( 3 3x ) ( x )( x 3) ( x 3) + ( x 3x x ) ( x)( x 3)( x + x 9) por tnto, x y x 3 son dos ríces del polinomio.

46 Solucionrio utiliz ls propieddes de los determinntes pr desrrollr el siguiente: x x + 3x + x x + 3 3x + x x + 5 3x + 6 Enunci ls propieddes que hs utilizdo. (Cstill-L Mnch. Junio 003. Bloque. Pregunt B) x x + 3x + x x + 3 3x + x x + 5 3x + 6 x + 3x + x x + 3 3x + x + 5 3x + 6 x + 3x + x En primer lugr, utilizmos l siguiente propiedd: si todos los elementos de un column de l mtriz están multiplicdos por un mismo número, su determinnte qued multiplicdo por ese número. A continución, ls dos últims fils le restmos l primer fil de l mtriz por l propiedd que dice que el determinnte no vrí si un fil le summos un cominción linel de ls demás. Por último, el determinnte es nulo porque tiene dos fils igules. 3 Teniendo en cuent que sin desrrollrlo: c p q r x y z 7, clculr el vlor del siguiente determinnte 3 3 3c + p + q c + r - x + - y + - z + c (Argón. Septiemre 006. Opción B. Cuestión ) 3 3 3c + p + q c+ r x + y + z + c c 3 + p + q c+ r x + y + z + c c 3 p q r x + y + z + c c 3 p q r x y z c 3 p q r 3 7 x y z -k Hllr los vlores de k pr que l mtriz k -3 : -k -k 0 - -k -k -k - no teng invers. Teng rngo 3. (Cnris. Septiemre 006. Opción B. Cuestión 3) 5

47 Determinntes k 5 6 k 5 6 k k k 0 0 k 5 7 k k k 0 k k k k 5 7 3k k k k 5 7 k + k k 3 3k k3 0 3k k3 k k 3 k 0 3k[( k3)( k ) + ( k 3)] 3k ( k 3) Si k 0 o si k 3 El determinnte es nulo. L mtriz no tiene invers. Si k 0 o si k 3 El menor de orden es igul cero. Compromos si hy un menor de orden 3 no nulo. Si k 0: El rngo delmtriz es Si k 3: El rngo delmtriz es Dd l mtriz M : Determinr el rngo de M según los vlores del prámetro. Determinr pr qué vlores de existe mtriz invers de M. Clculr dich mtriz invers pr. (Mdrid. Junio 006. Opción B. Ejercicio 3) 3 ( ) Si R { 0,, } El menor de orden 3 es distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si 0 0 Elrngo de l mtriz es. 0 Si 0 Elrngo de l mtriz es. Si 0 Elrngo de l mtriz es. 6

48 Solucionrio Dds ls mtrices A y T se pide: Pror que l mtriz T tiene invers, T -, y clculr dich invers T -. Dd l ecución con mtriz incógnit B, A T - BT, clculr el determinnte de B. c) otener los elementos de l mtriz B considerd en el prtdo. (C. Vlencin. Junio 006. Ejercicio B. Prolem ) T 0 T 0 0 A T BT B TAT B T A T T A A T c) B TAT

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