Determinantes. números reales. El tío Petros y la conjetura de Goldbach. Apóstolos DoxiADis

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Determinantes. números reales. El tío Petros y la conjetura de Goldbach. Apóstolos DoxiADis"

Transcripción

1 Solucionrio Determinntes números reles LITERATURA Y MATEMÁTICAS El tío Petros y l conjetur de Goldch En nuestr primer noche juntos, mientrs cenámos en el comedor de l universidd pr conocernos mejor, le dije con nturlidd [ mi compñero de hitción]: Puesto que eres un genio de ls mtemátics, Smmy, estoy seguro de que podrás pror con fcilidd que todo número pr myor que es l sum de dos primos. Se echó reír. Si pudier pror eso, tío, no estrí quí cenndo contigo; y serí ctedrático, quizás incluso tendrí l medll Fields, el Noel de ls mtemátics. Antes de que terminr de hlr, en un instnte de revelción, diviné l horrile verdd. Smmy l confirmó con sus siguientes plrs: L firmción que cs de hcer es l conjetur de Goldch, uno de los prolems irresueltos más difíciles de todos los cmpos de ls mtemátics! Mis recciones psron por ls fses denominds (si no recuerdo ml lo que prendí en Psicologí Elementl en l universidd) «ls cutro etps del duelo»: negción, ir, depresión y ceptción. De ells, l primer fue l que duró menos. No no es posile! [ ] Qué quieres decir con que no es posile? preguntó. Lo es! L conjetur de Goldch, que sí se llm l hipótesis, pues nunc h sido demostrd, es que todos los números pres son l sum de dos primos. Lo firmó por primer vez un mtemático llmdo Goldch en un crt dirigid Euler. Aunque se h demostrdo que es verdd incluso en números primos ltísimos, ndie h conseguido formulr un prue generl. [ ] Mi nuevo compñero de curto, totlmente estupefcto nte el hecho de que un hipótesis de teorí de números pudier provocr semejnte rreto de psión mediterráne, me rogó que le contr qué me ps; pero yo no est en condiciones de dr explicciones.. Apóstolos DoxiADis 80

2 Solucionrio El tío Petros y l conjetur de Goldch Apóstolos Doxidis Petros Ppchristos viví en un cs ls fuers de Atens, retirdo del mundo, sin mujer ni hijos, ocupdo sólo en cuidr el jrdín y jugr l jedrez. Hí sido un mtemático notle, unque pr sus dos hermnos menores, que mntenín con su esfuerzo l empres heredd del pdre, er el «fisco de l fmili». En cmio, uno de sus sorinos, el nrrdor de l histori contenid en est novel, lo dmir por su psd reputción. Cundo có el penúltimo curso del chillerto, un dí le preguntó si tmién él podrí llegr ser un uen mtemático. El tío Petros le contestó: No quiero verte hciendo unos estudios que te conducirán l frcso y l desdich. En consecuenci, te pido que me hgs l firme promes de que no te convertirás en mtemático menos que descurs que tienes un tlento extrordinrio. Acepts? El joven cept el desfío que consiste en resolver lo lrgo del verno sin consultr los liros el siguiente prolem: demostrr que todo entero pr myor que es igul l sum de dos primos. Después de llenr durnte los meses estivles cientos de curtills que cron en l ppeler, el joven no logró demostrr es sencill conjetur. Admitió su incpcidd y, cumpliendo su promes, se mtriculó en l licencitur de Económics, en un de ls mejores universiddes nortemericns. En su tercer ño, le tocó comprtir hitción con Smmy Epstein, un muchcho fmoso entre los estudintes del primer ciclo porque er un prodigio de ls mtemátics. Su primer encuentro con él es el que se descrie en el texto extrído de l novel. Cundo el joven descure l «rom» que le h gstdo su tío, decide vengrse y és es l trm de l segund prte de est mrvillos novel, en l que se nrr muy ien l luch de un person por construir mtemátics: sus tnteos, sus desánimos, sus éxitos y sus frcsos. Hll los números primos que cumplen l conjetur de Goldch pr los números pres y 8 y form un mtriz de orden con ellos. continución, clcul el vlor de l expresión - pr es mtriz, pr su trspuest y pr l que result de sumrle l primer column l segund. Qué oservs? Por qué crees que ocurre esto? Respuest iert. Por ejemplo: L mtriz que formn estos números primos es: A 3 7 Así: 7 3 L mtriz trspuest es: A t 3 7 Entonces: 7 3 L mtriz que result de sumrle l primer column l segund es: A Así: 8 8

3 Determinntes ANTES DE COMENZAR RECUERDA 00 comprue si existen cominciones lineles entre ls fils de ests mtrices A B Pr comprorlo estudimos si: F kf + kf3 Considermos los elementos de ls columns y 3 y que los de l segund son todos nulos, y por tnto, verificn culquier cominción. 5k + 3k k k k k Entonces: F F F3 existe un cominción linel entre ls fils de est mtriz. Pr comprorlo estudimos si: F kf + kf3 + k3f Tommos los elementos de ls tres primers columns: 3k k k3 3k k k3 kk 0 k + k 0 k + k k + k3 0 k k3 k+ k Si k k k 3 0 F F F 3 Est cominción linel entre ls fils tmién se verific con los elementos de l últim column, por tnto, existe un cominción entre ls fils de est mtriz clcul l mtriz invers de l mtriz A - -0, y comprue que se cumple que A A - I y que A - A I A AA A A

4 Solucionrio ACTIVIDADES 00 clcul el vlor de los determinntes de ests mtrices. A - -7 A 7 3 A A clcul x pr que estos determinntes vlgn cero x x - x x x x ± x 3x x 6 0 3x x 8 0 x Hll el determinnte de l mtriz trspuest de ests mtrices. A A t A A t A A Si c d -, clcul: c d c d c) c d c d c d c d c d c) c d c d c d 83

5 Determinntes 005 clcul el determinnte de A y, prtir de él, hll B A A B B ( 98) Si c d -, clcul: c - -d - -d c c) d c d c) c d d c d c c d d 007 Si c d e f g h i 3, clcul + -c c d e+ d-f f g h+ g-i i. + c c d e+ df f g h+ gi i + c d e+ d f g h+ g i c d e f 3 g h i 008 Hll estos determinntes. - - c) c) clcul estos determinntes. d + d e + e c f c+ f c c d + d e + e c f c+ f 0 c c 8

6 Solucionrio 00 comprue que ls dos mtrices cumplen que A B A B. - A - 3 B AB AB A 3 0 A B B 36 0 Determin el menor complementrio de. A - -7 α α A Hll los elementos cuyo djunto es negtivo. A A A, A 3 y A A, A, A 3, A 3 y A resuelve estos determinntes, plicndo l definición y desrrollndo por lgun de sus columns c) - -7 Utilizndo l definición: A 5 Desrrollndo por l primer column: A ( )( ) Utilizndo l definición: A Desrrollndo por l segund column: A 5( ) + ( )( ) c) Utilizndo l definición: A 7 3 Desrrollndo por l primer column: A + 7 ( )

7 Determinntes 0 resuelve estos determinntes ( 3) resuelve los siguientes determinntes de orden ( 3) clcul x pr que se cumpl que el resultdo de este determinnte se x x x x x x + 3 x 6 x + 0 x 3 0 x x + 3 x 6 x + 86

8 SOLUCIONARIO 07 Hll todos los menores de est mtriz: 0 3 A Menores de orden : 0,, -3, -, -3, -3,, 0, -, 0, 3, -, -, -, 0 y - Menores de orden : , , , , , -3 -, , , , , , , , , , , , , -0-0, , , - 3 6, , , , -3-0, , -3-0, , , , , , , y Menores de orden 3: , , , , , , , , , , , , , , 87

9 Determinntes y Menor de orden : clcul el rngo de ests mtrices. A B El rngo de l mtriz es. 6 0 El rngo de l mtriz es clcul el rngo de ests mtrices El rngo de l mtriz es El rngo de l mtriz es clcul x pr que el rngo de ests mtrices se x x x 0 Pr que el rngo de l mtriz se 3, el otro menor de orden 3 tiene que ser distinto de cero. 6x 36 0 x 6 88

10 Solucionrio El rngo de l mtriz es 3 pr culquier vlor de x. 3 0 Determin l mtriz de los djuntos de ls siguientes mtrices. A B c) C 0 0 Adj( A ) Adj( B ) 6 3 c) Adj( C ) comprue que se cumple que A dj (A) t A I, siendo I l mtriz identidd de orden 3 y A A clcul l mtriz invers de ests mtrices A B A Adj A t ( ) A B 6 Adj B t 8 ( ) B

11 Determinntes 0 clcul x pr que ests mtrices tengn invers. Determin l invers cundo exist A 3 x + - B x x 0 A 3 x + x + 8 L mtriz A tiene invers si A 0 x B x x + t A A A Adj( ) x + 8 x x + x x + x + 8 x + x + si x x + x + x + x x + + x + 8 x + x x 5 5 x x L mtriz B tiene invers si B 0 x x x t B B x + x + B Adj( ) x 5 x 3x 5 x x 5x + 5 5x + 5 5x x x + si x 5x + 5 5x + 5 5x + 5 x 3x + 5 5x + 5 5x x clcul los siguientes determinntes c) - -3 e) d) x x x f) c) 3 3 e) d) x x x 0 f)

12 Solucionrio 06 clcul,, c, d pr que se cumpln ls igulddes. - c 3c- 6-3 c) 3 c e) e e d) d - d 7 f) 3 8 sen f cos f cos f -sen f c) d) e) c 3c c c c + 3 c c d d 7 d 3 8 d e e 6e 0 e 8 e 6 sen f cos f f) sen f cos f No tie cos f sen f 0 ne solución. 07 otén el vlor de los siguientes determinntes c) e) x- x x d) c f) - c - c -c d) c c e) x x x x c) f) c c c c 3c 9

13 Determinntes 08 Hll los vlores reles de,, c y d pr que se cumpln ls igulddes c) - c- c+ -0 c d) d d d d 0 d c c+ 0 c) c c + 3c No tiene solución. 3 d) d d d 0 3 d d 8 d d 0 d 09 clcul el vlor del determinnte de l mtriz A + B, siendo: A 0 B (Nvrr. Septiemre 005. Grupo. Opción B) A+ B A + B clcul el vlor del determinnte de l mtriz A B, siendo: A B (Nvrr. Septiemre 00. Grupo. Opción B) 3 AB 6 3 AB

14 Solucionrio 03 Qué relción deen gurdr m y n pr que el determinnte m - n se nulo? m n 3 3 0n5 5m 0 n 9+ 3m Sen ls mtrices: A B C comprue si se verificn ls siguientes igulddes. Si lgun se verific, decide si se trt de lgun propiedd generl de los determinntes. A A c) C - B C - B A+ B A + B d) AB A B A A L iguldd no se cumple. A+ B A + B L iguldd no se cumple. c) C B 00 C B ( ) 3 L iguldd no se cumple. 9 7 d) AB A B ( ) 5 L iguldd se cumple porque es un de ls propieddes de los determinntes. 033 oserv que si A 3 y B 3 0 9, se cumple que A+ B A + B. Es siempre cierto pr culesquier dos mtrices cudrds de l mism dimensión? En cso firmtivo, justifíclo y, en cso negtivo, fcilit un contrejemplo. 6 A+ B A + B L iguldd se cumple en este cso pero no siempre, el prtdo del ejercicio nterior es un contrejemplo. 93

15 Determinntes clcul el vlor del determinnte comprue que si relizmos ls siguientes operciones, su vlor no vrí. F + F 3 C - 3C 3 c) F 3 - F + F d) C - 3C + C c) d) clcul cd uno de estos determinntes pr compror que: c c c c c c ( ( c 3) c 036 Si M es un mtriz cudrd y M 6, qué puedes decir del determinnte de M 3? Y del determinnte de M? M M M M M 6 6 Si n es el orden de l mtriz cudrd M entonces: M n M n 6 n Qué propieddes de los determinntes se hn empledo en cd un de ls igulddes siguientes? + 3 c+ d 3c c+ d c d c c d c)

16 Solucionrio d) Propiedd 3 Propiedd 5 Propiedd Propiedd 5 (F 0F ) c) Propiedd 5 (F 0F ; F 0F 3 ) d) Propiedd 9 Propiedd Demuestr, sin clculr el vlor de los determinntes, que el primero es múltiplo de 6 y el segundo de Siendo que -3-5, determin sin desrrollrlos el vlor -0 - de los siguientes determinntes: c) d) c) d)

17 Determinntes 00 Siendo c d 8, determin sin desrrollr: 3 c 3d -3 c-3d d c) d c d) c d + c + d 3 c 3d c d c) 3 c 3d d 8 c d d c c d 8 d) c d + c + d c d 8 c d 0 conocido que c (Cnris. Junio 007. Opción A. Cuestión 3), clcul el vlor del siguiente determinnte: 5-5 5c c c c c c 0 Siendo que d e f g h i determinntes. 6, determin sin desrrollr el vlor de los siguientes c d/3 e/3 f /3 c) g h i c+ 3 /5 e f + 3d d/5 h i+ 3g g/5 c + d + e c+ f + d+ g + e+ h c+ f + i c d e f g h i c d e f g h i c d e f g h i 3 6 c c + d + e c+ f d e f + d + g + e+ h c+ f + i + d + g + e+ h c+ f + i c d e f 6 g h i 96

18 Solucionrio c) c+ 3 e f + 3d h i+ 3g 5 d 5 g 5 c+ 3 5 c+ 3 d e f + 3d e f + 3d d 5 5 h i+ 3g g 5 g h i+ 3g 5 c c e d f d e f h g i g h i 5 c e f d h i g 03 Justific sin desrrollr que los siguientes determinntes son nulos c) d) El determinnte es nulo porque: C 3 C El determinnte es nulo porque: F 3 F + F c) El determinnte es nulo porque: C3 C+ C 3 3 d) El determinnte es nulo porque: 3 0 F3 3F F Demuestr sin desrrollr que los siguientes determinntes son nulos. c x + y y + z z + x + d + e c+ f z x y d- e- f -c c c + d + e c+ f d e f d e f c d e f c c d e f d e f c c d e f 0 c x+ y y+ z z+ x z x y x+ y y+ z z+ x x+ y x z y z z x y z z x z y 0 0 x+ y ( x z)( y z) z

19 Determinntes 05 plicndo propieddes de los determinntes, comprue que: c c ( -( c-( c- 0 0 c c c c c c ( ( c + c+ ( ( c (c 06 Trt de convertir el siguiente determinnte en el determinnte de un mtriz tringulr, y sí demostrr l iguldd: ( ( 3 c 07 Si l mtriz A d e f g h i de ls siguientes mtrices: tiene determinnte n, verigu el vlor del determinnte 6d e f B 3g h i 9 6 3c d+ f e f + e C + c c+ g+ i h i + h (Cntri. Junio 000. Bloque. Opción A) B 6d e f 9 6 3c 3g h i 3g h i 9 6 3c 6d e f c 6 3 d e f 36n g h i 9 6 3c 6d e f 3g h i 3 c 3 3d e f 3g h i 98

20 Solucionrio 3 08 Se A l mtriz A Se B l mtriz que result l relizr en A ls siguientes trnsformciones: primero se multiplic A por sí mism; después, se cmin de lugr l fil segund y l tercer, y finlmente, se multiplicn todos los elementos de l segund column por -. clculr el determinnte de l mtriz B, usndo pr ello ls propieddes de los determinntes. (Pís Vsco. Junio 007. Bloque A. Cuestión A) B B Se A un mtriz cudrd de orden 3. Si semos que el determinnte de l mtriz A es A 8. cuánto vle el determinnte de A? Escrie l propiedd de los determinntes que hys usdo pr otener este vlor. clcul pr qué vlores de x se cumple que A 8, siendo A x l mtriz A x +. x - x (Extremdur. Septiemre 007. Opción A. Ejercicio 3) A 3 A 8 A Si en un mtriz cudrd multiplicmos por un mismo número todos los elementos de un mism fil (o column, su determinnte qued multiplicdo por ese número. x A x + x x + x x x 0 A 8 A x x + x x 0 x 99

21 Determinntes 050 Hll el vlor de los siguientes determinntes, desrrollndo por l fil o column que más te interese ( + 6) Ddo el determinnte - 0 -, clcúllo: usndo l regl de Srrus. Desrrollndo por los elementos de l primer column ( ) 9+ ( 39) otén el vlor del determinnte - 3 : 6-5 Medinte l regl de Srrus. Hciendo ceros en l tercer fil y desrrollndo por ell

22 Solucionrio 053 clcul el vlor del determinnte de l mtriz: A (Nvrr. Septiemre 006. Grupo. Opción B) verigu, sin relizr ningun operción, el vlor que dee tener pr que se nule F F + F F Hll el vlor de que hce que l mtriz: A - -0 no se regulr (Nvrr. Junio 006. Grupo. Opción B) Un mtriz A no es regulr si A comprue que x + x + ( x + ) 3. x + x + x + x + x x x + 0 x x + 0 ( x + ) x + 0

23 Determinntes - x comprue que l ecución: 0 tiene solo tres soluciones x x sin necesidd de clculr el determinnte. cuáles son? x 3 x x 3 x x x 9 6 x x 9x 6 x 3 x x 8x 7x 6 x x 3 x x x 9x 6 x 8x 7x 6 x ( x )( 3+ x)( x) + x 3 x + x x + x+ x + 3x 9 x + x+6 Ls tres soluciones son: x, x 3, x. 058 Desrroll el determinnte y comprue que es nulo Se l mtriz A. clculr el vlor de su determinnte en función de. (Asturis. Septiemre 00. Bloque ) ( + ) otener, en función de, y c, el determinnte de l mtriz: A c (L Rioj. Septiemre 007. Propuest A. Ejercicio ) 0

24 Solucionrio c 0 + c 0 c 0 c 0 0 c En este ejercicio los números x, y, z y u son todos distintos de cero. Justificr, sin efectur su desrrollo, que el siguiente determinnte vle 0. (Cnris. Junio 003. Opción A. Cuestión 3) yz xz xy u u u P( x) x y z yz xz xy u u u x y z yz xz xy u u x x y z yz xz xy u 0 xyz yz xz xy yz xz xy x x y z yz xz xy u xy xy y x z 06 verigur según el vlor de el número de ríces reles que tiene l ecución. x x x x (Cntri. Septiemre 000. Bloque. Opción B) 0 x x x x x x x 0 0 x 0 x 0 x 0 0 x x x x x ( x + 3( x Si 0 x 0 L ecución tiene un únic solución rel (x 0). Si > 0 L ecución tiene dos soluciones reles ( x ± ) Si < 0 L ecución tiene dos soluciones reles ( x ± 3 ) 03

25 Determinntes 063 Se consider l función: f( x) x x x Siendo que f(0) -3 y f() f(-), determinr y. (Cntri. Junio 000. Bloque. Opción B) Si f ( 0) Así: f( x) 3 x x x f () ( f ( ) ( ) + ( Se A un mtriz cudrd de orden verificndo que A A. clculr rzondmente los posiles vlores del determinnte de A. (Cstill y León. Junio 00. Prue A. Cuestión ) A A A A A A A A 0 A 0 A 0 A 065 Estudi el rngo de ests mtrices c) e) d) f)

26 Solucionrio El rngo delmtriz es El rngo delmtrizes. c) El rngo delmtriz es. 0 d) El rngo delmtrizes3. 3 e) El rngo delmtriz es. f) El rngo delmtriz es clculr el rngo de l mtriz (Cstill y León. Junio 008. Prue B. Cuestión ) El rngo delmtriz es. 067 los rngos de ests mtrices son, 3 y. verigu, sin relizr operciones, cuál corresponde cd un c) c) 05

27 Determinntes 068 comprue que l mtriz tiene rngo. ñde dos fils que no sen nuls ni igules ls nteriores de modo que el rngo sig siendo El rngo delmtriz es. 6 3 Respuestiert. Por ejemplo: Dd l mtriz -6-9, ñde un column de modo que el rngo se Demuéstrlo. 6 Respuestiert. Por ejemplo: El rngo delmtriz es comprue que l siguiente mtriz es de rngo Encuentr dos columns linelmente independientes, y expres ls otrs dos como cominción linel de ls primers El rngo delmtriz es. 3 Respuest iert. Por ejemplo: Ls columns C y C 3 son linelmente independientes. C 3C C C + C 3 07 Pr qué vlor de m el rngo de est mtriz es? m Pr que el rngo de l mtriz se, el menor de orden 3 tiene que ser igul 0. 6 m 6 0 7m m m+ 6 0 m Si El rngo delmtriz es. 6 06

28 Solucionrio 07 otener el vlor de pr que el rngo de l mtriz A se igul A (L Rioj. Junio 003. Propuest A. Ejercicio ) Pr que el rngo de l mtriz se, los menores de orden 3 tienen que ser igules El rngo delmtriz es clcul el rngo de cd mtriz en función de cd uno de los prámetros. c) d) c d d Rngo ( A) Si 3 El menor de orden 3 es distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si 3 El menor de orden 3 es nulo. El rngo de l mtriz es. 07

29 Determinntes Rngo ( A) Si R, El menor de orden 3 es distinto de cero. El rngo 3 de l mtriz es 3. Si o es. 3 El menor de orden 3 es nulo. El rngo de l mtriz c) 6 0 Rngo ( A) c 0 63c 3 Si c El menor de orden 3 es distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si c El menor de orden 3 es nulo. El rngo de l mtriz es. d) d d 6 9d 36d ( d ) d 6 3d d 0 d Si d Hy menores de orden 3 distintos de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si d Todos los menores de orden y 3 son nulos. El rngo de l mtriz es. 07 Estudi el rngo de ls mtrices según los vlores de los prámetros Rngo ( A) Pr culquier vlor de l menos uno de los menores de orden 3 es distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. 08

30 Solucionrio 0 0 Rngo ( A) ( ( + ) 0 0 Pr culquier vlor de l menos uno de los menores de orden 3 es distinto de cero. El rngo de l mtriz es Estudi el rngo de l mtriz pr los distintos vlores del prámetro Rngo ( A) Rngo ( A) Si 0 El menor de orden es distinto de cero. El rngo de l mtriz es. Si 0 El menor de orden es nulo. El rngo de l mtriz es 3. c 076 Si el rngo de d e f es, cuál será el rngo de l mtriz c d- e- f -c? -d -e c-f c c d e f c d e f d e c f d e c f c d e f c El rngo de l mtriz es menor que 3. Como el rngo de c d e f es, ls dos primers fils de l mtriz cudrd son linelmente independientes, por tnto, est mtriz tiene rngo. 0 09

31 Determinntes 077 Si l mtriz A c d tiene rngo y l mtriz B x y z w tiene rngo, explicr qué vlores puede tener el rngo de ls mtrices: c d C x y z w c D x z d y w c E x z 0 0 d y 0 0 w 0 (Cntri. Septiemre 000. Bloque. Opción A Por ser l mtriz A de rngo, ls dos primers fils de ls mtrices C, D y E son linelmente dependientes y l menos uno de los vlores de l mtriz A es distinto de cero. Al tener l mtriz B rngo, ls dos últims fils de ls mtrices C, D y E son linelmente independientes, por tnto, ls tres mtrices tienen l menos rngo. Si en l mtriz C elegimos un menor de orden 3 que conteng ls dos últims fils será de l form: n x y z w n x y 0 z w Siendo n uno de los elementos de l mtriz A. Como ls dos primers fils son linelmente dependientes el menor de orden es nulo, por tnto, el rngo de l mtriz C es 3. Si elegimos en l mtriz D un menor de orden 3 que conteng ls dos últims fils serán de l form: x z y w c d 0 0 y x y 0 0 z w 0 Como ls dos primers fils son linelmente dependientes, el menor de orden es nulo, por tnto, el rngo de l mtriz D es. Si elegimos en l mtriz E un menor de orden 3 que conteng ls dos últims fils será de l form: 0 c d 0 x z 0 0 y w x y x o x 0 y d z w z z 0 w Por tnto, dependiendo de si los vlores de o d son nulos o no, los menores de orden 3 serán distintos de cero o no. Luego, l mtriz E puede tener rngo 3. Como ls dos primers fils son linelmente dependientes, el menor de orden es nulo, por tnto, el rngo de l mtriz E puede ser o 3. y w 078 Encuentr los vlores de m y n que hcen que ests mtrices tengn: m 0 n m 0 n A m m B m m 0 m 0 m n rngo (A) y rngo (B) 3 rngo (A) rngo (B) c) rngo (A) rngo (B) 3 0

32 Solucionrio m 0 n m m 0 m 0 n m ( n ) m m ( n ) m n No podemos encontrr vlores de m y n que verifiquen ls dos condiciones, por tnto, el rngo de A no puede ser si el de B es 3. m 0 Si m 0 y n 0 Rngo ( A) m m n Los menores de orden 3 son nulos y los rngos de ls mtrices son. c) Si m 0 y n Los menores de orden 3 son distintos de cero y los rngos de ls mtrices son Hll el rngo de l mtriz M en función de los vlores del prámetro x. x-6 x - M x x - x - x 6 x x x x 3 x 0 x + 8 x ( x ) ( x 6) Si x R { 6, } El menor de orden 3 es distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si x 8 0 El menor de orden 3 es nulo y hy un menor de orden distinto de cero. El rngo de l mtriz es. 6 Si x El menor de orden 3 es nulo y hy un menor de orden distinto de cero. El rngo de l mtriz es. 080 clcul el rngo de l mtriz A según los vlores del prámetro k. -k - A - -k - - k - (Bleres. Septiemre 003. Opción A. Cuestión ) k k k + k + ( k )( k + ) k k + 5k ( k)( k) k

33 Determinntes Si k Hy un menor de orden 3 distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si k 3 0 Los menores de orden 3 son nulos y l menos hy un menor de orden distinto de cero. El rngo de l mtriz es. 08 Estudi el rngo de l siguiente mtriz pr los distintos vlores de sus prámetros ( + ) + ( + + ) ( + ) 0 ( + + ) 0 0 Si R { 0, }, pr culquier vlor de, hy un menor de orden 3 distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si 0 y 0 El segundo menor de orden 3 es distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si 0 y El rngo de l mtriz es. 0 Si 0 El rngo es myor o igul que : el rngo 0 es si 0 y es 3 si 0. λ 0 08 clcul el rngo de l mtriz A - λ - en función del prámetro λ R. - (Cstill-L Mnch. Junio 007. Bloque 3. Pregunt A) λ 0 λ λ λ λ( λ ) Si λ R 0, El menor de orden 3 es distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. 0 Si λ 0 0 El rngo de l mtriz es. 0 Si λ 3 0 El rngo de l mtriz es.

34 Solucionrio 083 Estudir el rngo de l mtriz que sigue, medinte trnsformciones de fils y columns, indicndo en cd cso ls trnsformciones relizds. A (Pís Vsco. Junio 000. Bloque E. Cuestión E) Si restmos l primer column ls dos últims: 0 0 Si summos ls dos últims fils l primer: Si 0 El rngo de l mtriz es Si El rngo de l mtriz es Si El rngo delmtriz es. 0 3 Si y Ls tres fils son linelmente independientes. El rngo de l mtriz es Si A : Prue que pr culquier vlor de y, rngo (A). Determin un pr de vlores reles pr los cules se rngo (A) 3 y otro pr de vlores de y de form que rngo (A). (Cntri. Junio 00. Bloque. Opción A) Si Rngo (A) + + ( 0 + ) 0 Como mos menores no pueden ser nulos pr culquier vlor de y Rngo (A) 3 3

35 Determinntes Respuest iert. Por ejemplo: Pr que Rngo (A) < el determinnte tiene que vler cero: ( + ) ( + ) ( + ) 0 Como , pr que el Rngo (A) 3 st con tomr 0 0 un vlor de que se distinto de cero: si y el rngo de l mtriz es 3. Pr que Rngo (A) st con que + ( + ) 0, por ejemplo, pr y l mtriz tiene rngo Sen ls mtrices A - ; B Vemos que ms tienen rngo máximo, o se,. Determin los vlores de c tles que l mtriz A + cb y no teng rngo. cuál es el rngo que tienen ls respectivs mtrices sum? (Argón. Septiemre 003. Opción B. Cuestión ) c A+ cb c c c + c ( c) c c c ( + c)( c) Si c 6 o c El menor de orden es nulo y l mtriz A + cb no tiene rngo. Como 0 El rngo de ls mtrices A + 6B y A B es. 086 Si A es un mtriz y R, cuándo se cumple que rngo (A) rngo (A)? Estudie, en función de los vlores de, el rngo de l mtriz: (Murci. Junio 00. Bloque. Cuestión ) Si A es l mtriz nul, su rngo es 0 y el rngo de l mtriz A tmién es 0 pr culquier vlor de. Si 0 El número de fils o columns linelmente independientes de A y de A coincide. Los rngos de ms mtrices son igules. Si 0 L mtriz A tiene rngo 0 y solo coincide con el rngo de A si est mtriz es nul.

36 Solucionrio Si Hy un menor de orden 3 distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si 0 El rngo de l mtriz es. 087 Tom un mtriz cudrd de orden y clcul su mtriz djunt. compr sus determinntes. Hz lo mismo con un mtriz cudrd de orden 3. Estlece un hipótesis generl y trt de demostrrl. Respuest iert. Por ejemplo: Se A un mtriz cudrd de orden. 3 Adj( A ) 3 A 7 Adj( A) 7 0 Se A un mtriz cudrd de orden Adj( A ) A 0 Si A es un mtriz cudrd de orden n: A t A A Adj( ) A A Adj ( A) t t Como Adj( A) Adj ( A) tenemos que: n A A A n A Adj( ) A Adj ( ) n Adj ( A) n Como A Adj( A) Adj ( A) A n A A A 088 Hll l mtriz invers de ests mtrices: A B - -3 C D A 0 A 5 3 B 0 B 7 3 5

37 Determinntes 3 c) C 0 0 C d) D 0 0 D Pr qué vlores del prámetro l mtriz no tiene invers? clcul l mtriz invers cundo. 0 M 0 + M L mtriz no tiene invers si su determinnte es nulo, es decir, si 0 o. 0 Si M 0 M M Se l mtriz A. Encuentr su invers, si existe, cundo. (Asturis. Septiemre 00. Bloque ) A 5 Si A 5 A 5 3 -λ 09 Pr cd número rel λ, M( λ ) es l mtriz M( λ) -. Se pide: λ λ - otener el determinnte de l mtriz M( λ ), y justificr que pr culquier número rel λ existe l mtriz M( λ ) - invers de M( λ ). clculr l mtriz M(0) -. c) Si A M(8), B M() y C M(3), clculr el determinnte de l mtriz producto A B - C -. (C. Vlencin. Junio 00. Ejercicio B. Prolem ) 6

38 Solucionrio M( λ) λ λ + L ecución λ λ + 0 no tiene solución, por tnto, el determinnte de l mtriz es distinto de cero y siempre existe l mtriz invers M( 0) M( 0) M c) A M( 8) A 50 B M( ) B 0 C M( 3) C 5 A B C A B C A 50 B C A, B y C son tres mtrices cudrds tles que A 5, B y C. Decide rzondmente el vlor de los siguientes determinntes. A t c) A B - e) ( B C) - B - d) A B - f) C - B t t A A 5 B B c) AB A B A 5 5 B d) A B A B A B 5 5 e) ( BC ) BC B C 8 f) C B t C B t C B comprue que l mtriz A cumple que A 3 -A - I y clcul l mtriz invers de A. Si A es culquier mtriz de n fils y n columns tl que A 3 -A - I y se se que det (A) m, clcul el vlor del determinnte de A + I en función de m. (I represent l mtriz unidd.) (Cntri. Junio 00. Bloque. Opción B) 7

39 Determinntes 0 A AA A 0 A A A I A AI A A I A( A I) I A A I A A+ I A A m 09 clcul ls mtrices X, Y, Z y T que cumplen ls ecuciones X 30 0 c) Z Y 6 d) T X Y c) Z d) T

40 9 Solucionrio 095 Determin ls mtrices X, Y, Z en ls ecuciones X Y c) Z d) T X Y c) Z d) T

41 Determinntes Siendo A y B - - 7, encuentr dos mtrices C y D tles que: C A B D B A Qué relción hy entre C y D? 3 C BA D AB CD BA AB BIB BB I C y D son inverss. 097 Se considern ls mtrices cudrds reles de orden, P 3 y Q clculr: l mtriz P -. l mtriz rel cudrd X de orden, tl que P - X P Q. c) l mtriz cudrd (P Q P - ). (C. Vlencin. Septiemre 003. Ejercicio B. Prolem ) P P 3 0 P XP Q X PQP c) ( PQP ) X

42 Solucionrio 098 Se k un número nturl y sen ls mtrices: clculr A k. A B - - Hllr l mtriz X que verific l ecución: A k X BC (Mdrid. Junio 00. Opción A. Ejercicio ) A AA A A A Entonces: A k k k C ( ) k k k k A X BC X A BC 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 k k Determin l mtriz X que verific l ecución AX X - B siendo: A y B (Andlucí. Junio 00. Opción B. Ejercicio 3) AX X B AX X B A X B X A ( I) ( I) ( B) A I ( ) A I X

43 Determinntes Dds ls mtrices A , B - y C : Hll l invers de A - BC. resuelve l ecución mtricil AX - BCX A. (Cstill-L Mnch. Septiemre 00. Bloque. Pregunt B) 3 A BC A BC A BC ( ) AX BCX A ( A BC) X A X ( A BC ) A responde rzondmente: Si A tiene invers, cuál es el rngo de A -? Es cierto que siempre rngo (A) rngo (A t )? c) Es siempre cierto que, si A y B son mtrices de l mism dimensión, rngo (A + B) rngo (A) + rngo (B)? d) Y que rngo (A ) rngo (A)? Si A tiene invers, verific que: A 0 A 0 Rngo ( A ) Rngo ( A) A Sí, y que el rngo corresponde l número de fils o columns linelmente independientes y est relción no cmi l trsponerls. c) No. Por ejemplo, si A y B son dos mtrices de orden con rngo, l mtriz sum A + B tmién es un mtriz de orden que no puede tener rngo +. d) No. Por ejemplo: si A A de modo 0 0 que el rngo de A es y el de A es 0. Solo es cierto cundo A es un mtriz regulr.

44 Solucionrio 0 clcul l mtriz invers de 0 A 0 0 Escrie en form mtricil el siguiente sistem y resuélvelo usndo l mtriz A - hlld en el prtdo nterior: x + y y + z - x + z 3 (Andlucí. Junio 007. Opción B. Ejercicio 3) A 0 A 0 x x 0 y 0 0 y z 3 0 z Sen F, F, F 3 ls fils primer, segund y tercer, respectivmente, de un mtriz cudrd M de orden 3, con det (M) -. clcul el vlor del determinnte de l mtriz que tiene por fils F - F, F, F + F 3. Dd l mtriz C, hll dos mtrices X e Y que verificn: siendo C t l mtriz trspuest de C. (Glici. Junio 007. Bloque. Opción ) Si escriimos: det ( M) det ( F, F, F ) Entonces: 3 - X + Y C - X - Y C t det ( F F, F, F + F3) det ( F F, F, F + F3 ) det ( F, F, F + F3) det ( F, F, F3 ) ( ) 3

45 Determinntes Si summos ls ecuciones tenemos: 3 3 X C + C t + X 3 3 X + Y C Y C X Y ( C X ) C X 3 0 Y ( C X) Sen F, F, F 3 y F ls fils de un mtriz cudrd P de orden, cuyo determinnte vle 3. clcul rzondmente el vlor del determinnte de l invers de P, el vlor del determinnte de l mtriz α P, donde α denot un número rel no nulo, y el vlor del determinnte de l mtriz cuys fils son F - F, F 3, 7F y F. (Glici. Junio 00. Bloque. Pregunt ) P 3 P αp α P 3α P 3 det ( F F, F3, 7F, F) 7det ( F F, F3, F, F) 7det ( F F, F, F3, F ) 7det ( F, F, F3, F ) det ( F, F, F 3, F ) 3 PREPARA TU SELECTIVIDAD Se P( x) x x. 3 3 x x Hll dos ríces de este polinomio de grdo cutro. (L Rioj. Junio 007. Propuest A. Ejercicio ) x x x x x x 3 33x 0 x x 3 3x 0 0 x 3 x 0 0 x 33x x ( x ) 33x x x 0 x 3 33x 0 x 3 ( x )( x 3) + ( x ) x( x 3) ( x 3)( 33x ) ( x )( x 3) + ( x )( x 3) x( x3) ( 3 3x ) ( x )( x 3) ( x 3) + ( x 3x x ) ( x)( x 3)( x + x 9) por tnto, x y x 3 son dos ríces del polinomio.

46 Solucionrio utiliz ls propieddes de los determinntes pr desrrollr el siguiente: x x + 3x + x x + 3 3x + x x + 5 3x + 6 Enunci ls propieddes que hs utilizdo. (Cstill-L Mnch. Junio 003. Bloque. Pregunt B) x x + 3x + x x + 3 3x + x x + 5 3x + 6 x + 3x + x x + 3 3x + x + 5 3x + 6 x + 3x + x En primer lugr, utilizmos l siguiente propiedd: si todos los elementos de un column de l mtriz están multiplicdos por un mismo número, su determinnte qued multiplicdo por ese número. A continución, ls dos últims fils le restmos l primer fil de l mtriz por l propiedd que dice que el determinnte no vrí si un fil le summos un cominción linel de ls demás. Por último, el determinnte es nulo porque tiene dos fils igules. 3 Teniendo en cuent que sin desrrollrlo: c p q r x y z 7, clculr el vlor del siguiente determinnte 3 3 3c + p + q c + r - x + - y + - z + c (Argón. Septiemre 006. Opción B. Cuestión ) 3 3 3c + p + q c+ r x + y + z + c c 3 + p + q c+ r x + y + z + c c 3 p q r x + y + z + c c 3 p q r x y z c 3 p q r 3 7 x y z -k Hllr los vlores de k pr que l mtriz k -3 : -k -k 0 - -k -k -k - no teng invers. Teng rngo 3. (Cnris. Septiemre 006. Opción B. Cuestión 3) 5

47 Determinntes k 5 6 k 5 6 k k k 0 0 k 5 7 k k k 0 k k k k 5 7 3k k k k 5 7 k + k k 3 3k k3 0 3k k3 k k 3 k 0 3k[( k3)( k ) + ( k 3)] 3k ( k 3) Si k 0 o si k 3 El determinnte es nulo. L mtriz no tiene invers. Si k 0 o si k 3 El menor de orden es igul cero. Compromos si hy un menor de orden 3 no nulo. Si k 0: El rngo delmtriz es Si k 3: El rngo delmtriz es Dd l mtriz M : Determinr el rngo de M según los vlores del prámetro. Determinr pr qué vlores de existe mtriz invers de M. Clculr dich mtriz invers pr. (Mdrid. Junio 006. Opción B. Ejercicio 3) 3 ( ) Si R { 0,, } El menor de orden 3 es distinto de cero. El rngo de l mtriz es 3. Si 0 0 Elrngo de l mtriz es. 0 Si 0 Elrngo de l mtriz es. Si 0 Elrngo de l mtriz es. 6

48 Solucionrio Dds ls mtrices A y T se pide: Pror que l mtriz T tiene invers, T -, y clculr dich invers T -. Dd l ecución con mtriz incógnit B, A T - BT, clculr el determinnte de B. c) otener los elementos de l mtriz B considerd en el prtdo. (C. Vlencin. Junio 006. Ejercicio B. Prolem ) T 0 T 0 0 A T BT B TAT B T A T T A A T c) B TAT

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes

Más detalles

ACTIVIDADES INICIALES

ACTIVIDADES INICIALES Determinntes ACTIVIDADES INICIALES I. Enumer ls inversiones que precen en ls siguientes permutciones y clcul su pridd, comprándols con l permutción principl 34. ) 34 b) 34 c) 43 d) 34 e)43 f) 34 ) 3,4,

Más detalles

Tema 3. DETERMINANTES

Tema 3. DETERMINANTES Tem. DETERMINNTES Definición de determinnte El determinnte de un mtriz cudrd es un número. Pr l mtriz, su determinnte se denot por det() o por. Pr un mtriz de orden,, se define: Ejemplo: Pr un mtriz de

Más detalles

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.

MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. DP. - AS - 59 7 Mteátics ISSN: 988-79X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun?

Más detalles

MATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A

MATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A MTRICES. Determinr l mtriz trnspuest de cd un de ls siguientes;,, C 8. Efectú l siguiente operción con mtrices y clcul. Sen 8, y C determinr: ) t C ) (-C) t t c) -C( t -) d) - t -(C). Dds ls siguientes

Más detalles

3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p

3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes Mtrices deterinntes. Ejercicios de Selectividd. º.- Junio 99. i) Define rngo de un triz. ii) Un triz de tres fils tres coluns tiene rngo

Más detalles

TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1

TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz

Más detalles

X obtener las relaciones que deben

X obtener las relaciones que deben odelo. Ejercicio. Clificción áxi puntos ) ( punto) Dd l triz y l triz t z y x X otener ls relciones que deen cuplir x, y, z, t pr que l triz X verifique X X. ) (, puntos) Dr un ejeplo de l triz X distint

Más detalles

DETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas:

DETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas: ÁLGEBR Educgui.com DETERMINNTES Determinnte es l expresión numéric de un mtriz. Según el orden de l mtriz el determinnte se resuelve de distints forms: DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN Pr poder solucionr un

Más detalles

MATRICES DE NÚMEROS REALES

MATRICES DE NÚMEROS REALES MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m

Más detalles

DETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K

DETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K DETERMINANTES A cd mtriz ncudrd A ( ij ) se le sign un esclr prticulr denomindo determinnte de A, denotdo por det (A), A o n n n n nn K Un tbl ordend n n de esclres situd entre dos línes verticles, llmd

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES

MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión

Más detalles

Determinantes y la Regla de Cramer

Determinantes y la Regla de Cramer Determinntes y l Regl de Crmer Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos

Más detalles

= a 11 a 22 a 12 a 21. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13

= a 11 a 22 a 12 a 21. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 Mtemátics Determntes Resumen DETERMINANTES (Resumen) Defición El determnte de un mtriz cudrd n x n es un número. Se otiene sumndo todos los posiles productos que se pueden formr tomndo n elementos de l

Más detalles

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

Matrices. números reales. Los jardines cifrados. Carlo Frabetti

Matrices. números reales. Los jardines cifrados. Carlo Frabetti Solucionrio Mtrices números reles LITERATURA Y MATEMÁTICAS Los jrdines cifrdos De l pred del fondo prtí un lrgo psillo débilmente ilumindo; lo recorrí y, l finl, me encontré nte un puert con pertur de

Más detalles

a ij= b ij ; para i = 1,2,...m y j = 1,2,..., n

a ij= b ij ; para i = 1,2,...m y j = 1,2,..., n Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) Mtrices Un mtriz de m n con elementos en C es un rreglo de l form M m KKK KKK m KKK n n mn donde,,..., mn Є y m, n Є Z. L mtriz es de orden

Más detalles

TEMA 1 Matrices MATRICES A... es una matriz de dos filas y tres columnas. El elemento a 2,3 = -3

TEMA 1 Matrices MATRICES A... es una matriz de dos filas y tres columnas. El elemento a 2,3 = -3 . DEFINICIÓN. http://mtemticsconsole.wikispces.com/ TE trices TRICES Un mtriz de m fils n columns es un serie ordend de m n números ij, i=,,...m; j=,,...n, dispuestos en fils columns, tl como se indic

Más detalles

3.- Matrices y determinantes.

3.- Matrices y determinantes. 3.- Mtrices y determinntes. 3.. Definición de mtriz, notción y orden. Se define un mtriz de orden m x n, un reunión de m x n elementos colocdos en m fils y n columns. Cd elemento que form l mtriz se denot

Más detalles

BLOQUE 1: ÁLGEBRA. Tema 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales

BLOQUE 1: ÁLGEBRA. Tema 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales MTEMÁTICS º Bch BLOQUE : ÁLGEBR José Rmón Pdrón Tem : Sistems de Ecuciones Lineles MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles TEOREM DE ROUCHÉ José Rmón Pdrón Supongmos el sistem siguiente: z z

Más detalles

TEMA 3 DETERMINANTES Matemáticas II 2º Bachillerato 1

TEMA 3 DETERMINANTES Matemáticas II 2º Bachillerato 1 TEMA DETERMINANTES Mtemátics II 2º Bchillerto 1 TEMA DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz cudrd de orden dos es un número que se obtiene del siguiente modo:

Más detalles

Unidad 1: Números reales.

Unidad 1: Números reales. Unidd 1: Números reles. 1 Unidd 1: Números reles. 1.- Números rcionles e irrcionles Números rcionles: Son quellos que se pueden escriir como un frcción. 1. Números enteros 2. Números decimles exctos y

Más detalles

EJERCICIOS UNIDADES 5 y 6: MATRICES Y DETERMINANTES

EJERCICIOS UNIDADES 5 y 6: MATRICES Y DETERMINANTES IES Pdre Poved (Gudix) Memáics II EJERCICIOS UNIDADES 5 y 6: MATRICES Y DETERMINANTES (4-M;Jun-B-) (5 punos) Consider ls mrices A = y B = Deermin, si exise, l mriz X que verific AX + B = A + m (4-M-B-)

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES MATRICES Y DETERMINANTES ) Resolver el siguiente sistem de ecuciones lineles t t z emplendo el método de Guss utilizndo trnsformciones elementles de fils En qué csos es comptible? b) Relcionr ls mtrices

Más detalles

Determinantes de una matriz y matrices inversas

Determinantes de una matriz y matrices inversas Determinntes de un mtriz y mtrices inverss Determinnte de un mtriz Está definido solmente pr mtrices cudrds. El determinnte de un mtriz cudrd es un número rel. Definición: Si = [ ij ] es un mtriz de dimensión

Más detalles

De preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero.

De preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN O MÁS PREGUNTA Clculr los determinntes siguientes ) ) c) RESOLUCIÓN Pr resolver el determinnte de un mtriz cudrd de orden o más es recomendle plicr el método de Reducción

Más detalles

Matemática DETERMINANTES. Introducción:

Matemática DETERMINANTES. Introducción: Mtemátic Introducción: DETERMINANTES Clculndo el determinnte de un mtriz se puede determinr l cntidd de soluciones que tiene un sistem de ecuciones lineles de igul número de ecuciones que de incógnits.

Más detalles

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES de Abril de MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Clse ) Deprtmento de Mtemátic Aplicd Fcultd de Ingenierí Universidd Centrl de Venezuel Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3 UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID EJERCICIOS PUS MTEMÁTICS II (DESDE EL CURSO 78 L ) ÁLGEBR: TEMS (Los ejercicios de selectividd resueltos los podéis encontrr en l págin web clsesdepooco) http://wwwclsesdepooco/docuents/es_serch

Más detalles

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN http://www.cepmrm.es ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN Tnto en mtemátics, como en físic, en economí, en químic,... es corriente el

Más detalles

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo

Más detalles

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener

Más detalles

INVERSA DE UNA MATRIZ

INVERSA DE UNA MATRIZ NVES E UN TZ l igul que pr hllr determinntes, restringiremos nuestro estudio mtrices cudrds utiliremos l mtri identidd de orden n ( n ). Podemos demostrr que si es culquier mtri cudrd de orden n, entonces

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES MATRICES Y DETERMINANTES. Introducción Ls mtrices y los determinntes son herrmients del álgebr que fcilitn el ordenmiento de dtos, sí como su mnejo. Los conceptos de mtriz y todos los relciondos fueron

Más detalles

CURSO DE NIVELACIÓN 2012 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I

CURSO DE NIVELACIÓN 2012 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I CURSO DE NIVELACIÓN 0 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I 0 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I. Con relción l potencición, se firm que es un operción: ) Conmuttiv. ) Distriutiv respecto l sum. 3) Distriutiv

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

DESIGUALDADES < d < En el campo de los números reales tenemos una. Un momento de reflexión muestra que una

DESIGUALDADES < d < En el campo de los números reales tenemos una. Un momento de reflexión muestra que una DESIGUALDADES 7 60 < d < 7 70 En el cmpo de los números reles tenemos un propiedd de orden que se costumbr designr con el símbolo (

Más detalles

Los Números Racionales

Los Números Racionales Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =

Más detalles

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que

Más detalles

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal.

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal. Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 2014/15 PRÁCTICA Nº 12 APICACIONES INEAES: Núcleo e Imgen de un plicción linel. Con est práctic se pretende revisr l definición de plicción

Más detalles

DETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1.

DETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1. DETERINNTES DETERINNTE DE UN TRIZ CUDRD socido cd mtri cudrd h un número llmdo determinnte de, denotdo como det. Los determinntes nos proporcionn un método pr el cálculo de l mtri invers (en cso de eistir)

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

Matrices M - 1 MATRICES. Definición.- Una tabla de mxn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas de la forma ...

Matrices M - 1 MATRICES. Definición.- Una tabla de mxn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas de la forma ... Mtrices M - - Mtrices Se K un cuerpo MATRICES Definición- Un tl de n eleentos de K dispuestos en fils n coluns de l for recie el nore de tri de diensión n n n n En un tri el eleento ij ocup el lugr deterindo

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS Miguel Angel Rodríguez Pozuet Doctor Ingeniero Industril OBSERVACIONES SOBRE LA NOMENCLATURA En este teto, siguiendo l nomencltur hitul

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

PROGRESIONES ARITMETICAS

PROGRESIONES ARITMETICAS PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES.

MATRICES Y DETERMINANTES. punes de. Cbñó MTRICES Y DETERMINNTES. CONTENIDOS: Definición y erminologí básic. Operciones con mrices: sum y produco. Produco de un mriz por un esclr. Mriz opues. Mriz invers. Epresión mricil de un sisem

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES Mtrices Tem MATRICES Y DETERMINANTES. DEFINICIÓN Y DESCRIPCIÓN DE MATRICES Un mtriz es un ordención rectngulr de elementos dispuestos en fils y columns encerrdos entre préntesis, por ejemplo A 3 4 Ls mtrices

Más detalles

Además de las operaciones tradicionales, es posible expresar otras operaciones binarias. Tabla 1.1. Operación AND.

Además de las operaciones tradicionales, es posible expresar otras operaciones binarias. Tabla 1.1. Operación AND. Grupos y Cmpos Definición de operción inri Operciones como l sum, rest, multiplicción o división de números son considerds operciones inris, y que socin un pr de números con un resultdo. En generl, un

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.

Más detalles

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática 12345678901234567890 M te m átic Tutoril MT-m3 Mtemátic 2006 Tutoril Nivel Medio Función cudrátic Mtemátic 2006 Tutoril Función Cudrátic Mrco Teórico 1. Función cudrátic: Está representd por: y = x 2 +

Más detalles

El conjunto de los números reales se forma mediante la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales.

El conjunto de los números reales se forma mediante la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales. El conjunto de los números reles (R) El conjunto de los números reles se form medinte l unión del conjunto de los números rcionles y el conjunto de los números irrcionles. Propieddes del conjunto R R =

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

ALGEBRA. 1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relación (A-B) 2 = A 2-2AB+B 2?

ALGEBRA. 1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relación (A-B) 2 = A 2-2AB+B 2? ejeriiosemenes.om. Si A B son mtries udrds de orden n, se umple l relión (AB) A ABB?. Siendo que d e f. Hllr el vlor de: g h i ( e) i h g d g i d f ) (d e) f i e h ) h e ) h/ / e/ e i h i f i f. Enuni

Más detalles

1. Cuales son los números naturales?

1. Cuales son los números naturales? Guí de mtemátics. Héctor. de bril de 015 1. Cules son los números nturles? Los números nturles son usdos pr contr (por ejemplo, hy cinco moneds en l mes ) o pr imponer un orden (por ejemplo,. Es t es l

Más detalles

el blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Ecuaciones. pág. 1

el blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Ecuaciones. pág. 1 el de mte de id: Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores

Más detalles

Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS 3º ESO VERANO 2015

Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS 3º ESO VERANO 2015 Colegio Diocesno Sgrdo Corzón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS º ESO VERANO º. Amplific ls siguientes frcciones pr que tods tengn denomindor b c d º. Cuál de ls siguientes frcciones es un frcción mplificd

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS Aplicciones de Trigonometrí de Triángulos Rectángulos Un triángulo tiene seis

Más detalles

ÁlgebrayGeometría. 5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3).

ÁlgebrayGeometría. 5. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (3, 0), ( 1, 0) y (0, 3). ÁlgebryGeometrí 1. ) Ddos tres puntos A, B y C en el plno demuestr que l circunferenci de diámetro AC ps por B siysólosielánguloâbc es recto. b) Ddos dos puntos A y B del plno y un rect r, determin, cundo

Más detalles

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016 Exmen de Admisión l Mtrí 8 de Enero de 1 Nombre: Instruccion: En cd rectivo seleccione l rput correct encerrndo en un círculo l letr corrpondiente. Puede hcer cálculos en ls hojs que se le proporcionron.

Más detalles

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g).

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g). 64 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Actividd 3 Resuelven inecuciones y sistems de inecuciones con un incógnit; expresn ls soluciones en form gráfic y en notción de desigulddes; nlizn ls

Más detalles

TEMA 1. NÚMEROS REALES

TEMA 1. NÚMEROS REALES TEMA. NÚMEROS REALES. El número que indic los dís del ño es un número muy curioso. Es el único número que es sum de los cudrdos de tres números nturles consecutivos y que demás es sum de los cudrdos de

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos

Más detalles

Fórmulas de cuadratura.

Fórmulas de cuadratura. PROYECTO DE ANALISIS MATEMATICO I : Integrción numéric. Ojetivos: Aprender los métodos más sencillos de integrción númeric y plicrlos en diversos prolems. Fórmuls de cudrtur. Se (x un unción continu deinid

Más detalles

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 4 n 4 n es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de un sucesión

Más detalles

Optimización de funciones

Optimización de funciones Tem 5 Optimizción de funciones 5.1. Extremos de funciones de vris vribles Definición 5.1.1. Sen f : D R n R, x 0 D y el problem de optimizción: mximizr / minimizr f(x 1, x,, x n ), (x 1, x,, x n ) D en

Más detalles

Unidad 10. Sistemas de ecuaciones lineales

Unidad 10. Sistemas de ecuaciones lineales Tem. istems de Ecuciones Unidd. istems de ecuciones lineles. Definiciones, tipos de sistems distints forms de epresrls.. Definición, sistems equivlentes.. Clses de sistems de ecuciones... Epresión de sistems

Más detalles

( ) 4. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús. MATEMÁTICAS I / 1º Bachillerato C y T LOGARTIMOS. log. log. log. 1 log log 3.

( ) 4. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús. MATEMÁTICAS I / 1º Bachillerato C y T LOGARTIMOS. log. log. log. 1 log log 3. Colegio Diocesno Sgrdo Corzón de Jesús MATEMÁTICAS I / º Bchillerto C y T LOGARTIMOS Logritmos El ritmo de un número, m, positivo, en bse, positiv y distint de uno, es el eponente l que hy que elevr l

Más detalles

71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 5. APLICACIONES (EN UNA BASE ORTONORMAL) 6. EJERCICIOS Y PROBLEMAS Vectores

Más detalles

Vectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero

Vectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero Vectores en el espcio º Bchillerto An Mª Zptero El conjunto R Es un conjunto de terns ordends de números reles R { ( x, y, z ) / x R, y R, z R } Primer componente Segund componente Tercer componente Iguldd

Más detalles

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Septiembre de 2015 Conjuntos Numéricos ) Los Números

Más detalles

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente: FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De

Más detalles

UNGS - Elementos de Matemática Práctica 7 Matriz insumo producto

UNGS - Elementos de Matemática Práctica 7 Matriz insumo producto UNGS - Elementos de Mtemátic Práctic 7 Mtriz insumo producto El economist W. Leontief es el utor del modelo o l tbl de insumo producto. Est tbl refle l interrelción entre distintos sectores de l economí

Más detalles

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.- Definición.- Se denomin ritmo en bse de un número, l eponente que es preciso elevr pr que resulte. debe ser un número positivo y distinto de l unidd. Pr epresr que y es el ritmo

Más detalles

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 + + + + 4 4 n n + es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de

Más detalles

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO)

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO) TIPOS DE ECUACIONES.- REPASO DE ECUACIONES ( ESO) Eisten diversos tipos de ecuciones, entre ells estudiremos: Polinómics: En ells, l incógnit prece solmente en epresiones polinómics. El grdo de un ecución

Más detalles

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos números nturles y es el número más grnde que divide tnto como. se denot mcd,. Lists: (tl vez, el más intuitivo, pero el menos eficiente) Encontrr mcd

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

DETERMINANTES. det : M nxn

DETERMINANTES. det : M nxn DETERMINNTES L utilidd de los determinntes como representción de reliddes, h sido de grn importnci en ls ciencis sociles, trvés de los modelos mtemáticos, especilmente los formuldos en términos mtriciles.

Más detalles

Antonio López García Angeles Juárez Martín Juan Fernández Maese

Antonio López García Angeles Juárez Martín Juan Fernández Maese EJERCICIOS DE ALGEBRA MATEMÁTICAS APLICADAS CC. SS. II Antonio López Grcí Angeles Juárez Mrtín Jun Fernández Mese Índice Temático CAPÍTULO : MATRICES..... MATRIZ...... GRAFOS Y MATRICES... 8.. OPERACIONES

Más detalles

AUTÓMATAS DE PILA. Dpto. de Informática (ATC, CCIA y LSI). Univiersidad de Valladolid.

AUTÓMATAS DE PILA. Dpto. de Informática (ATC, CCIA y LSI). Univiersidad de Valladolid. Dpto. de Informátic (ATC, CCIA y SI). Univiersidd de Vlldolid. TEORÍA DE AUTÓMATAS Y ENGUAJES FORMAES II Ingenierí Técnic en Informátic de Sistems. Curso 20-2 AUTÓMATAS DE PIA. Dd l siguiente grmátic independiente

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles

6. Variable aleatoria continua

6. Variable aleatoria continua 6. Vrile letori continu Un diálogo entre C3PO y Hn Solo, en El Imperio Contrtc, cundo el Hlcón Milenrio se dispone entrr en un cmpo de steroides: - C3PO: Señor, l proilidd de sorevivir l pso por el cmpo

Más detalles

el blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1

el blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1 el log de mte de id: Mtemátics I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores de l incógnit (o

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

MATRICES 2º BACHILLER

MATRICES 2º BACHILLER Colegio Vizcy Mtemátics II UNIDAD DIDÁCTICA MATRICES º BACHILLER Colegio Vizcy Mtemátics II OBJETIVOS DIDÁCTICOS. Reconocer informciones que se puedn representr medinte mtrices.. Operr con mtrices.. Reconocer

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

x 2 + ( x + 1 ) 2 + ( x + 2 ) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x 360 = 0

x 2 + ( x + 1 ) 2 + ( x + 2 ) 2 = 365 x 2 + x 2 + 2 x + 1 + x 2 + 4x + 4 = 365 3 x 2 + 6x 360 = 0 Ecuciones cudrátics con un incógnit Sen, 1 y los tres números nturles consecutivos uscdos. El prolem nos indic que ( 1 ) ( ) 365 Un número con misterio! El número 365 tiene l crcterístic de ser l sum de

Más detalles

Vectores en el espacio. Producto escalar

Vectores en el espacio. Producto escalar Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr Vectores en el espcio Producto esclr Espcios vectoriles Definición de espcio vectoril Un conjunto E es un espcio vectoril si en él se definen dos operciones,

Más detalles

DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR

DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Se llmn ecuciones igulddes en ls que precen número y letrs (incógnits) relciondos medinte operciones mtemátics. Por ejemplo: - y = + Son ecuciones con un incógnit cundo prece un

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

AX = B. X es la matriz columna de las variables:

AX = B. X es la matriz columna de las variables: ÁLGEBR MTRICIL PRO. MRIEL SRMIENTO SESIÓN 9: METODO DE ELIMINCIÓN GUSSIN En est sesión, resolvemos sistems de ecuciones lineles de orden x y x. Pr ello escribimos el sistem en término de mtrices, por ejemplo:

Más detalles

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES Digrms en Bloques Un sistem de control puede constr de ciert cntidd de componentes. Pr mostrr ls funciones que reliz cd componente se costumr usr representciones esquemátics denominds Digrm en Bloques.

Más detalles

accés a la universitat dels majors de 25 anys MATEMÀTIQUES UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS

accés a la universitat dels majors de 25 anys MATEMÀTIQUES UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS Unitt d ccés ccés l universitt dels mjors de 25 ns Unidd de cceso cceso l universidd de los mores de 25 ños UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS ÍNDICE 1. Introducción 2. Potencis funciones eponenciles 3. Función

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

Números Reales. Los números naturales son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se representa por.

Números Reales. Los números naturales son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se representa por. Se distinguen distints clses de números: Números Reles Los números nturles son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se represent por. El primer elemento es el 1 y no tiene último elemento Todo número

Más detalles