Serie 10 ESTABILIDAD

Transcripción

1 Serie 0 ESTABILIDAD

2 Condición de estabilidad U u Gu U R r Gc Gv Gp C G V G P + c C H G( G (. G (. G (. H ( C V P + G( 0 G( G φ 80

3 Localización de las raíces Plano s E S T A B L E I N E S T A B L E

4 CRITERIOS DE ESTABILIDAD Routh Hurwitz Bode Nyquist Lugar de las raíces

5 Criterio de Routh-Hurwitz Se llama polinomio característico al denominador de la función de transferencia G( de lazo cerrado. Se llama ecuación característica al polinomio característico 0. El polinomio debe tener los términos ordenados en potencias decrecientes de s. Es condición necesaria pero no suficiente para que el sistema sea estable que el polinomio sea completo y que todos los coeficientes sean positivos. a i 0

6 Arreglo de Routh Los coeficientes del polinomio deben ordenarse en filas y columnas, según el siguiente arreglo:

7 Criterio de Routh-Hurwitz Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, entonces existe al menos una raíz imaginaria o con parte real positiva. El criterio de Routh-Hurwitz establece que el número de raíces con parte real positiva (semiplano derecho es igual al número de cambios de signo en la primera columna de la tabla. Condición necesaria y suficiente de estabilidad de Routh: Un sistema será estable si y sólo si todos los elementos de la primera columna del Arreglo de Routh son positivos. Limitación: El criterio de Routh no puede aplicarse en sistemas que presentan retardos puros.

8 Criterio de Bode Se construye el diagrama de Bode de G(.H( ω crítica -80 Un sistema es estable si RM < para φ 80 (ω ω crítica. Si RM para φ 80, el sistema es críticamente estable y se considera inestable.

9 Margen de ganancia y Margen de fase MG para φ -80 RM MG recomendado.7 MF φ ( 80 para RM MF recomendado 30

10 Diagrama de Nyquist Se construye a partir del diagrama de Bode. G( G (. G (. G (. H ( C V NG( NG( DG( + NG( G ( + G( + 0 DG( DG( DG( P G( ω j Re( ω + j.im( ωj φ( ω arctg( Im Re Im φ G( ωj Re

11 Diagrama de Nyquist.- Con el diagrama de Bode de G(, construir el diagrama de Nyquist de G(. 2.- Construir la imagen especular (que no tiene sentido físico, respecto del eje real, para obtener el circuito cerrado desde ω- hasta ω+. G( m. Ti. s + i i T > 0 El diagrama partirá desde sobre el eje real, recorrerá m cuadrantes en sentido horario y terminará en el origen. G( m. Ti. s + Ti n s i > 0 El circuito desdeω- hasta ω+ no queda cerrado. A los efectos de aplicar el criterio, el circuito debe cerrarse con una circunferencia de radio infinito, desdeω-0 hasta ω+0, en el sentido horario, de nπ grados, donde n es el exponente de s.

12 Diagrama de Nyquist ( G s T > T. s + i 0 ω+ ω- ω-0 ω0 G(. e Ls ω0

13 Diagrama de Nyquist G(.( T 2 s.( T 2. s +. s + T <T 2 T T 2 T >T 2 G( Ls. e ( T. s + Im ω+ Re Im ω-0 G ( ω+ s Re ω0 ω0 ω+

14 Criterio de estabilidad de Nyquist + G( + NG( DG( NG( + DG( DG( Z Ceros Número de raíces con parte real positiva de + G(. P Polos Número de raíces con parte real positiva de DG(. N Número de veces que el punto (-,0 queda encerrado al recorrer el diagrama de Nyquist en sentido antihorario, desdeω- hasta ω+. Si el punto (-,0 quedara encerrado al recorrer el diagrama de Nyquist en sentido horario, N debe considerarse negativo. Conociendo P (a partir de las funciones de transferencia y obteniendo N del diagrama de Nyquist, puede hallarse Z. Z P N Condición que debe cumplirse para que un sistema sea estable: Z0 PN

15 Ejemplo G( ( T s +.( T 2s + P 0 N 0 Z 0 G(

16 Ejemplo 2 P 0 N 0 Z 0 P 0 N -2 Z -2 G( s.( T s +.( T2s +

17 Método del lugar de las raíces G( G (. G (. G (. H ( C V P NG( NG( G ( DG( DG( Se trata de representar gráficamente la variación del valor de las raíces de +G( con la variación de C en un plano Im vs. Re. Se aplican una serie de reglas para poder construir la curva de raíces sin necesidad de resolver la ecuación. Sean z i los ceros (raíces de NG( 0 Sean p i los polos (raíces de DG( 0 Las reglas aplican si se cumplen las siguientes condiciones: El grado del polinomio del denominador (n debe ser mayor que el del numerador (m. El sistema debe tener realimentación negativa. Como notación gráfica, se usan x para marcar los polos y o para marcar los ceros.

18 Método del lugar de las raíces ( (. 0 s DG s NG ( ( n i i m j j T s s T ( (. n i i m j j p s z s n i i m j j T T 0 ( (. donde Complejo ( (. n i i m j j p s z s 3,... 2,, 0,.(2. ( ± ± ± + r r p z s m j n i i j π φ Criterio de magnitud Criterio de ángulo

19 Reglas para usar el método Regla : El número de ramas o lugares es igual al número de polos (n. Regla 2: Las ramas comienzan en los polos y terminan en los ceros. Las terminaciones de las n-m ramas de las curvas ocurrirán en ceros en el infinito. En el caso de polo múltiple, emergerán del mismo tantas ramas como multiplicidad tenga. En el caso de cero múltiple, terminarán en el mismo tantas ramas como sea su multiplicidad. Regla 3: El eje real es parte de la curva de raíces cuando la suma del número de ceros y polos a la derecha de un punto sobre el eje real es impar. Esta regla es sólo válida para polos y ceros sobre el eje real (los ceros y polos complejos cancelan sus efecto. Por otra parte, cada polo o cero múltiple debe ser contado tantas veces como sea su multiplicidad. Regla 4: Existirán n-m ramas que aproximarán (a medida que tienda a infinito en forma asintótica a n-m líneas rectas que nacen en el centro de gravedad de polos y ceros. El centro de gravedad está dado por: n m pi z i j γ n m j

20 Reglas para usar el método Regla 5: El punto en el cual emergen las ramas de la curva de raíces del eje real está dado por la siguiente ecuación: m j s z j i s pi Las ramas salen o entran al eje real con ángulos de +/- 90. Regla 6: Las asíntotas definidas en la regla 4 forman ángulos con el eje real: π (2k + Ψ n m y por lo tanto estarán espaciadas 80 /(n-m unas de otras. n k, 2, 3,..., (n - m - Se pueden hacer más reglas para la construcción de curvas de raíces, pero las enunciadas son las de mayor y más común utilidad.

21 G( C (0.5s +.(0.2s + + G( NG( + DG( G(. m j n i ( s z j ( s p i Ejemplo Aplicación de reglas: Número de ramas 2. Las ramas terminan en. 0 ( s + 2.( s + 5 Z P NG( DG( ceros C (0.5. s +.(0.2. s + 0 polos 2 ("x"en el diagrama en los puntos (-5,0 y (-2,0 m ( Tj j C C. n T. T 2 ( T i 0. C i Centro de gravedad γ Angulo de asíntotas Ψ n m p z i i j n m (2. k +. π 2 j ( k hasta n - m - Ψ. π 2 y Ψ 2 3. π 2

22 Ejemplo Las raíces se mueven por el eje real hasta el centro de gravedad y luego por la asíntota hasta. El sistema nunca será inestable, pues las raíces se mueven siempre sobre el semiplano izquierdo del gráfico (para cualquier valor de. Aumentando, habrá un valor para el cual las raíces serán iguales. Si sigue aumentando, comenzarán a aparecer pares de raíces complejas Im conjugadas y el sistema tendrá oscilaciones, pero seguirá siendo estable. Para tendiendo a infinito, las raíces serán imaginarias puras y el sistema presentará oscilaciones de amplitud constante. x x γ -5-2 Re

23 Ejemplo 2 G( ( s +.( s + 2.( s + 3 NG( DG( ( s +.( s + 2.( s NG( + DG( s + 6s + s P Z polos 3 (-, - 2, -3 ceros 0 Aplicación de reglas: Número de ramas 3. Las ramas terminan en. n pi z j i j 3 2 Centro de gravedad γ 2 n m 3 (2. k +. π π Angulo de asíntotas Ψ ( Ψ, Ψ 2 π, Ψ 3 3 El punto en el cual emergen las raíces es: m 3 5π 3 m j s z j i s pi n 0 + s + s s + 3 s.42

24 s 3 + 6s 2 + s s 3 s 2 s s 0 6 b c +6.6 ( + 6 b 0 máx s ( s ± j máx 0 Ejemplo 2 La curva de raíces corta al eje imaginario. En los puntos de cruce, las raíces son imaginarias puras. A medida que aumenta, el sistema se hace más oscilatorio. Existe un valor de para el cual el sistema se hace inestable. Esa máxima se calcula con el arreglo de Routh, igualando a cero el primer elemento de la fila s. Con los elementos de la fila s 2 y usando máxima, se obtienen los valores de las raíces imaginarias puras. Asíntota Im - x -3 γ x x Re Asíntota Asíntota

25 AJUSTE DE CONTROLADORES Los ajustes son los valores óptimos de los parámetros del controlador, obtenidos en función del modo de control y del método aplicado. Teóricamente, son óptimos los valores de C, T I y T D que hacen mínima alguna de las siguientes expresiones: IE 0 e( t dt IAE 0 e( t dt ITAE Dadas las dificultades crecientes encontradas con los métodos anteriores, aparecieron algunos métodos empíricos de ajuste controladores: Método de lazo abierto (curva de reacción, Cohen - Coon Método de lazo cerrado (oscilaciones sostenidas Ziegler - Nichol Método de las oscilaciones amortiguadas Método de los ajustes progresivos Producto de la ganancia última por la frecuencia crítica Control de modelo interno 0 e( t tdt ISE 0 e 2 ( t tdt Para aplicar estos criterios, es necesario que el error se anule a tiempo infinito (TVF. Los ajustes dependen de la forma de la perturbación y del punto de ingreso de la misma. Los ajustes obtenidos por distintos métodos pueden ser diferentes. Los ajustes hallados muchas veces no son los mejores en planta.

26 MÉTODO DE LAZO CERRADO Conocido como método de las oscilaciones sostenidas o método de Ziegler y Nichols. Con el controlador solamente proporcional (T I y T D 0, se introduce un cambio escalón en el valor deseado y se va cambiando el valor de C hasta obtener una respuesta oscilatoria de amplitud constante. En esa condición, se determinan la ganancia límite ( L y el período último (T U. Luego, se calculan los parámetros del controlador, según el tipo de control. Ziegler y Nichols propusieron los ajustes en base al criterio de relación de decaimiento /4. La relación de decaimiento es el cociente entre dos picos sucesivos de la onda de respuesta del sistema. El método tiene algunas desventajas. Requiere perturbar el sistema que está funcionando. No puede aplicarse cuando el diagrama de Bode presenta cruces para -80 en más de una frecuencia. 2π T U C T I T ω D C P 0.5 L P+I 0.45 L T U.2 P+I+D 0.6 L T U 2 T U 8

27 MÉTODO DE LAZO ABIERTO Conocido como método de la curva de reacción O método de Cohen y Coon..- Abrir el lazo (colocar el controlador en modo manual 2.- Introducir un escalón en U de magnitud M Ls 3.- Registrar la respuesta, asimilándola a primer orden con retardo puro ( G( e 4.- Obtener los parámetros L, T y de la curva Ts Calcular ajustes El cálculo de los ajustes está basado en la minimización de la integral del error absoluto. Ziegler y Nichols propusieron ajustes que Cohen y Coon modificaron. Esas modificaciones se vuelven importantes cuando L no es desestimable frente a T. U

28 PARÁMETROS Y AJUSTES Se traza una tangente a la curva que pase por el punto de inflexión. De la intersección con el eje de abscisas se obtiene L. De la intersección con el eje de máximo valor de respuesta se obtiene T. La ganancia será el cociente entre la amplitud (V y el escalón de entrada (M. c(t M G( Ts e + Ls 0.632V V VL a T b L T a 0 L T T+L t V M

29 PARÁMETROS Y AJUSTES Ziegler y Nichols a 0.9 a 3 L Cohen y Coon.2 a 2 L 0.5 L C T I T D P T L ( + b 3 P+I T L 9 ( 0 + b b L ( b P+I+D T L 4 ( 3 + b 4 32 L ( b 8b 4 L + 2b