CONTEO. 1. Principios básicos

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1 CONTEO BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE. Pricipios básicos El Pricipio de Adició Si se puede realizar ua acció A de formas distitas, y se puede realizar ua acció B de m formas distitas, y A y B so excluyetes, etoces el úmero de formas de realizar la acció A o B es +m. Ejemplo.. Supogamos que ua persoa va a salir a pasear y puede ir al cie dode hay películas e cartel o al teatro dode hay 4 obras posibles. Etoces, tedrá u total de +4 7 formas distitas de elegir el paseo. El Pricipio de Multiplicació Si ua acció A puede realizarse de formas distitas, y ua acció B de m formas distitas, y A y B so idepedietes, etoces se puede realizar la acció A y B de m formas distitas. Ejemplo.. Supogamos que la persoa del ejemplo aterior tiee suficiete tiempo y diero para ir primero al cie y luego al teatro. Etoces tedrá 4 formas distitas de hacer el paseo.. Seleccioes ordeadas co repetició U aplicació imediata del pricipio de multiplicació es que dado os permite calcular la catidad de seleccioes ordeadas co repetició. Este problema es equivalete a calcular la catidad de aplicacioes etre dos cojutos fiitos. Ejemplo.. Sea X [[,]] el itervalo iicial de orde, o sea X {,,,} Vamos a cosiderar las aplicacioes f : X X

2 BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE Por ejemplo, si X [[,]] {,,} se tiee las siguietes aplicacioes de X e X. Para o escribir demasiado vamos a adoptar ua otació muy coveiete. Sea f : X X etoces f está completamete determiada por la tera (ordeada) f()f()f() Etoces, utilizamos esta tera para desigar a f. Así por ejemplo al escribir la tera estamos represetado a la aplicació f() f() f() Observemos que f puede ser vista como la aplicació que elige tres úmeros etre,,, repetidos o o. Etoces, e muy breve espacio seremos capaces de escribir todas las aplicacioes de [[,]] e [[,]]. Estas so: Por lo tato, hay 7 aplicacioes de [[,]] e [[,]]. E base a lo aterior, sería iteresate saber si a priori podríamos haber aticipado la existecia de exactamete aplicacioes. Veamos que sí.

3 CONTEO Si se quiere defiir ua aplicació de {,,} e {,,} habrá que ver qué valores puede tomar, qué valores puede tomar y qué valores puede tomar. Es claro que a le podemos dar valores posibles. Se tiee posibilidades. Pasemos al. Por cada elecció de teemos eleccioes del. O sea e total se tiee eleccioes posibles del y el. Por cada ua de estas teemos más posibilidades para el, e defiitiva podemos darle valores a l,, e formas posibles. U diagrama arbolado ayuda a pesar.

4 4 BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE Cada rama del árbol represeta ua aplicació de [[,]] e [[,]]. Vamos a ser más geerales calculado el úmero total de aplicacioes de [[,]] e [[,m]], dode y m so úmeros aturales arbitrarios.

5 CONTEO 5 Por ejemplo hay m m aplicacioes de [[,]] e [[,m]], m aplicacioes de [[,]] e [[,m]] simplemete porque como e el ejemplo aterior, por cada elecció para se tiee m imágees posibles e el. Tambié hay m aplicacioes de [[,]] e [[,m]]. E geeral demostraremos que Proposició.. Dados m, N, hay hay m aplicacioes de [[,]] e [[,m]]. Demostració. Para verificar esta afirmació, procedemos iductivamete e. Si el resultado es cierto, segú acabamos de señalar. Supogamos que exista m aplicacioes de [[,]] e [[,m]]. Para calcular el úmero de aplicacioes de [[, + ]] e [[,m]] observemos que por cada aplicació de[[,]] e [[,m]] se obtiee m aplicacioes de [[, + ]] e [[,m]] simplemete dado los m valores posibles a +. O sea, cada aplicació de [[,]] e [[,m]] se extiede a ua aplicació de [[,+]] e [[,m]]. Pero recíprocamete, es claro que cada aplicació de [[, + ]] e [[,m]] es ua extesió de ua aplicació de [[,]] e [[,m]]. Por lo tato, hay m veces el úmero de aplicacioes de [[, ]] e [[, m]] aplicacioes de [[, + ]] e [[, m]]. Este úmero es m m m +. Pero esto dice que es válido el paso iductivo; por lo tato cualquiera sea N hay m aplicacioes de [[,]] e [[,m]]. Siedo m arbitrario la afirmació dice que cualesquiera sea m y hay m aplicacioes de [[,]] e [[,m]]. Ejemplo.. Cuátos úmeros de cuatro dígitos puede formarse co los dígitos,,, 4, 5, 6? Se trata de formar todas las aplicacioes de [[,4]] e [[,6]]. Hay 6 4 úmeros posibles. Ejemplo.. Cuátos úmeros de 5 dígitos y capicúas puede formarse co los úmeros dígitos,,, 4, 5, 6, 7, 8? U úmero capicúa de cico dígitos es de la forma xyzyx Se reduce a ver cuátos úmeros de tres dígitos puede formarse co aquéllos dígitos. Exactamete 8. (Nota, el úmero es cosiderado capicúa, de los bueos.)

6 6 BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE. Seleccioes ordeadas si repetició Sea N. Defiimos factorial de al úmero real deotado por! tal que! (+)!!(+) Defiimos tambié 0! Por ejemplo!!, 6 4!! Ahora estudiaremos aplicacioes iyectivas de [[,]] e [[,m]]. Se trata de cotar las aplicacioes f : [[,]] [[,m]] tales que f(x) f(y) implica x y o equivaletemete x y e [[,]] implica f(x) f(y) e [[,m]]. Por ejemplo, e el caso de las aplicacioes de [[,]] e [[,]] observamos que las aplicacioes iyectivas so exactamete,,,,,, (so las teras dode los tres úmeros so distitos). O sea hay 6 aplicacioes iyectivas de [[,]] e [[,]]. Notemos que 6! Esta forma de escribir os da la razó de que haya 6 aplicacioes iyectivas de [[,]] e [[,]]. E efecto, ya dijimos que para defiir ua aplicació de [[,]] e [[,]] debemos dar valores a, y. A le podemos dar los valores, ó, es decir teemos eleccioes. Si embargo, al preteder dar valores a, si queremos que la aplicació sea iyectiva, debemos excluir el valor dado a, o sea que para teemos solo eleccioes.

7 Aálogamete para hay solo ua posibilidad. CONTEO 7 E u diagrama arbolado la costrucció de las aplicacioes iyectivas es El úmero total es etoces 6. Aálogamete, se puede ver que el úmero total de aplicacioes iyectivas de [[, ]] e [[,4]] se ve que es 4 Se puede demostrar que si m <, o hay igua aplicació de iyectiva de [[,m]] e [[,m]] (lo cual se ve muy bie ituitivamete: si hay más persoas que asietos, alguie se quedará parado!). Este hecho es llamado el pricipio de las casillas e la literatura. Proposició.. Si m etoces existe () m (m ) (m ( )) ( factores) aplicacioes iyectivas de [[,m]] e [[,]]. Demostració. Probaremos el euciado por iducció e. Si es claro que hay exactamete m aplicacioes de {} e [[,m]] ( yedo a los m valores posibles). Supogamos que toda vez que m hay m (m ) (m ( )) aplicacioes iyectivas de [[,]] e [[,m]]. Sea + m. Etoces las aplicacioes (todas) de [[,+]] e [[,m]] se obtiee por extesió de aplicacioes de [[,]] e [[,m]].

8 8 BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE Ahora, si f es ua aplicació iyectiva de [[,]] e [[,m]] al querer defiir f(+) y obteer así ua aplicació iyectiva de [[,+]] e [[,m]] debemos otar que f(+) puede tomar m valores (o sea excluyedo los valores tomados por,,,). Por lo tato se sigue que hay (m )-veces el úmero de aplicacioes iyectivas de [[,]] e [[,m]], de aplicacioes iyectivas de [[,+]] e [[,m]]. O sea hay (m ) (m (m ) (m ( )) m (m ) (m ( )) (m ) m (m ) (m ( )) (m ((+) )) aplicacioes iyectivas de [[, + ]] e [[, m]]. Se sigue de esto la validez del paso iductivo, por lo tato queda probada uestra afirmació. Observació.. El resultado aterior e particular os dice que existe m (m ) (m (m )) m (m ) m! aplicacioes de [[,m]] e [[,m]] y esta podría ser ua motivació atural del factorial. Ua aplicació f es biyectiva cuado es iyectiva y además todo elemeto del cojuto de llegada es f de u elemeto del cojuto de partida. Las aplicacioes iyectivas de[[, m]] e[[, m]] so ecesariamete biyectivas y se deomia permutacioes de grado m. pues Hay pues m! permutacioes de grado m. Volviedo al resultado de la Proposició., por ejemplo hay aplicacioes iyectivas de [[,]] e [[,7]], aplicacioes iyectivas de [[,5]] e [[,7]] y 7! aplicacioes de [[, 7]] e [[, 7]]. Notemos que si m etoces m (m ) (m ( )) m! (m )! m! m (m ) (m ( )) (m ) (m (+)) (m (m ))

9 Ejercicio.. Simplificar las expresioes siguietes ( N) CONTEO 9 a)! ( )! c) (+)! ( )! e) ( )! (+)! si si d) b) (+)!!! ( )!! si Ejemplo.. Si e u colectivo hay 0 asietos vacíos. E cuátas formas puede setarse 7 persoas? Se trata de cotar las aplicacioes iyectivas d e [[,7]] e [[,0]]. Este úmero es (7 factores). Ejemplo.. Cuátas permutacioes puede formarse co las letras de silvia. Afirmamos que hay 6!!. Si escribo e lugar de silvia, s i l v i a todas las letras so distitas, luego hay 6! permutacioes, pero cada par de permutacioes del tipo i i i i coicide, por lo tato tego que dividir por el úmero total de permutacioes. Tomemos la palabra ramaatha el úmero total de permutacioes es 0! 4!!. E efecto, escribiedo el ombre aterior así r a m a a t h a 4 el úmero total de permutacioes es 0!. Pero permutado las a i y las i si mover las otras letras obteemos la misma permutació de ramaatha. es Como hay 4! permutacioes de las letras a, a, a, a 4, y! de, el úmero buscado 0! 4!!.

10 0 BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE Dejamos a cargo del lector probar que el úmero total de permutacioes de las letras de arrivederci es!!!! 4. Seleccioes si repetició Cosideremos u cojuto X fiito de elemetos. Por esto etedemos que es posible establecer ua biyecció etre X y el itervalo atural [[l,]]. Nos propoemos averiguar cuátos subcojutos de elemetos hay e X. Ejemplo 4.. Por ejemplo, sea X {,,,4,5} y os iteresa los subcojutos de tres elemetos. Cuátos habrá? Ua forma de idividualizar u subcojuto de tres elemetos e X, cosiste e defiir ua aplicació iyectiva de [[,]] e [[,5]]. Habría, a priori, 5 4 subcojutos pues ese es el úmero de aplicacioes iyectivas de [[,]] e [[,5]]. Pero u exame más deteido os dice qué distitas aplicacioes puede determiar el mismo subcojuto. E efecto, por ejemplo, cualesquiera de las aplicacioes determia el subcojuto {,,}. Es decir las permutacioes de {,,} determia el mismo subcojuto. Y así co cualquier otro subcojuto de tres elemetos. Por lo tato, el úmero total de subcojutos de elemetos debe ser 5 4! 5!! (5 )! E el caso geeral de subcojutos de elemetos de u cojuto de m elemetos ( m) sucede la misma cosa. Cada subcojuto de elemetos está determiado por ua aplicació iyectiva y todas las permutacioes de su image e X.

11 CONTEO Por lo tato el úmero total de subcojuto de elemetos de X es m (m )...(m ( ))! Defiició 4.. Sea, m N, m. Defiimos ( ) m m! (m )!! m (m )!! y por razoes que se verá más adelate se deomia el coeficiete biomial o úmero combiatorio asociado al par, m co m. Defiimos tambié Teorema 4.. Sea m, ( ) m 0 ( ) m+ ( ) 0 0 ( ) m + Demostració. La dejamos como ejercicio para el lector. ( ) m Corolario 4.. Si,m N {0}, m etoces ( m ) N. Demostració. Haremos iducció e m. Si m los posibles úmeros combiatorios so ( ) ( ) N. 0 Ahora supogamos que el resultado sea cierto para m N. Es decir, ( m k) N cualquiera sea k tal que 0 k m, k N {0}. Etoces por el teorema aterior ( ) m+ ( ) m + ( ) m Como ( ( m ) y m ) perteece a N por la hipótesis iductiva, su suma es tambié u úmero atural, o sea ( ) m+ N cualquiera sea, co < m + y como además ( m+ m+) N, se cocluye que ( ) m+ N cualquiera sea, 0 m+. Por lo tato, es válido el paso iductivo y así uestra afirmació queda probada.

12 BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE El teorema precedete permite calcular los coeficietes biomiales iductivamete. Escribamos e forma de triágulo ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E virtud del teorema e cuestió cada térmio iterior es suma de los dos térmios imediatos superiores. Los elemetos e los lados vale por lo tato se puede calcular cualquiera de ellos (Lector: calcule el valor de la suma e cada fila del triágulo.) El triágulo es simétrico respecto de su altura. Esto es cosecuecia de la propiedad ( ) ( ) m m m de verificació imediata. Nota 4.. El hecho precedete se iterpreta así e térmios de subcojutos. ( m ) da el úmero de subcojutos de elemetos de u cojuto de m elemetos. Puesto que co cada subcojuto de elemetos hay uívocamete asociado u subcojuto de m elemetos -su complemeto e X- es claro que ( ) ( m m m ).

13 CONTEO Ejemplo 4.. Veamos qué sigificació tiee las aplicacioes de X e u cojuto de dos elemetos, que por coveiecia, será el formado por 0 y. Si f : X 0, es ua tal aplicació etoces a f le asociamos el subcojuto siguiete de X f X f {x/x X y f(x) } Recíprocamete si H es u subcojuto de X, sea g H : X {0,} defiida por g H (x) si x H, g H (x) 0 si x H. Etoces f g X f X g dode f,g : X {0,}, H L g H g L dode H X y L X. De esta maera hay ua correspodecia biyectiva etre subcojutos de X y aplicacioes de X e {0,}. Pero sabemos calcular el úmero de aplicacioes de X e {0,}. Es el mismo que de [[,]] e [[,]], o sea. Se sigue que si X es u cojuto fiito de elemetos, X posee distitos subcojutos. Por ejemplo, si X {,,} los subcojutos de X so exactamete,{},{},{},{,},{,},{,},{,,,} 5. El teorema del biomio E álgebra elemetal apredemos las formulas (a+b) a +ab+b, (a+b) a +a b+ab +b, y a veces os pide desarrollar la formula para (a + b) 4 y potecias mayores de a + b. El resultado geeral que da ua formula para (a + b) es coocido como el teorema del biomio. Teorema 5.. Sea u etero positivo. El coeficiete del termio a r b r e el desarrollo de (a+b) es el úmero biomial ( r). Explícitamete, teemos ( ) ( ) ( ) ( ) (a+b) a + a b+ a b + + b. 0

14 4 BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE Demostració. (Primera) Cosiderar que ocurre cuado multiplicamos factores (a+b)(a+b) (a+b). U térmio e el producto se obtiee seleccioado o bie a o bie b de cada factor. El úmero de térmios a r b r es solo el úmero de formas de seleccioar r b s (y cosecuetemete r a s), y por defiició éste es el úmero biomial ( r). Observació 5.. Ates de hacer ua seguda demostració del teorema del biomio veamos el siguiete resultado que os resultará útil: seaa k,a k+,...,a m,a m ua sucesió de úmeros reales (k m) y sea r N 0. Etoces m a i ik m k+r ir a i+k r. La sumatoria de la derecha es la de la izquierda co u cambio de variable e el ídice. La demostració de este hecho se puede hacer por iducció sobre m (caso base m k) o simplemete escribiedo ambas sumatorias co la otació de putos suspesivos y verificado que ambas so iguales a a k +a k+ + +a m +a m. Demostració. (Seguda) Se hace por iducció e. Si, el resultado es trivial. Supogamos que el resultado es cierto para, es decir ( ) (a+b) a i b i. i i0

15 CONTEO 5 Luego (a+b) (a+b)(a+b) ( ) (a+b){ a i b i } i i0 ( ) ( a i b i + i i i0 i0 ( ) a i b i + i i0 i ( ) ( a + { + i i i a + i0 i ( i ) a i b i+ ( ) a i b i i ) }a i b i +b por hip. iductiva ( ) a i b i +b por Teorema.4. i ) a i b i. Los coeficietes e el desarrollo puede por lo tato ser calculados co el método recursivo usado para los úmeros biomiales (triágulo de Pascal) o usado la formula. Por ejemplo, ( ) 6 (a+b) 6 a ( ) 6 + a b ( ) 6 a 5 b+ ( ) ( 6 6 ab ( ) 6 a 4 b + ) b 6 ( ) 6 a b a 6 +6a 5 b+5a 4 b +0a b +5a b 4 +6ab 5 +b 6. Por supuesto, podemos obteer otras formulas útiles si reemplazamos a y b por otras expresioes. Alguos ejemplos típicos so: (+x) 4 +4x+6x +4x +x 4 ; ( x) 7 7x+x 5x +5x 4 x 5 +7x 6 x 7 ; (x+y) 5 x 5 +0x 4 y +40x y +80x y +80xy 4 +y 5 ; (x +y) 4 x 8 +4x y +6x 4 y +4x y +y 4.

16 6 BASADO EN EL LIBRO NOTAS DE ÁLGEBRA DE ENZO GENTILE La expresió a + b es coocida como u expresió biómica porque tiee dos térmios. Como los úmeros ( r) aparece como los coeficietes e el desarrollo de (a+b), geeralmete se los llama coeficietes biomiales. De todos modos esta claro por la prueba del Teorema 5. que estos úmeros aparece e este cotexto porque represeta el úmero de formas de hacer ciertas seleccioes. Por esta razó cotiuaremos usado el ombre de úmeros biomiales, que se aproxima más al cocepto que simboliza. Además de ser extremadamete útil e maipulacioes algebraicas, el teorema del biomio puede usarse para deducir idetidades e que esté ivolucrados los úmeros biomiales. Ejemplo 5.. Probar que ( ) + 0 ( ) + Demostració. Usamos la igualdad ( ) + + ( ) (+x) (+x) (+x). ( ). De acuerdo co el teorema del biomio el miembro izquierdo es el producto de dos factores, ambos iguales a + ( ) x+ + ( ) x r + +x. r Cuado los dos factores se multiplica, u termio e x se obtiee tomado u termio del primer factor y u termio del segudo factor. Por lo tato los coeficietes de x e el producto so ( 0 )( ) + ( )( ) + ( )( ) + + ( )( 0 Como ( ( r) r), vemos que éste es el lado izquierdo de la igualdad requerida. Pero el lado derecho es ( ) que es tambié el coeficiete de x e el desarrollo de (+x), y etoces obteemos la igualdad que buscábamos. 5.. Ejercicios.. Desarrollar las fórmulas de (+x) 8 y ( x) 8.. Calcular los coeficietes de (i) x 5 e (+x) ; (ii) a b 8 e (a+b) 0 ; ).

17 (iii) a 6 b 6 e (a +b ) 5 ; (iv) x e (+4x) 6. CONTEO 7. Usar la idetidad (+x) m (+x) (+x) m+ para probar que ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) m+ m m m + + r 0 r r r 0 dode m, y r so eteros positivos y, m r, y r.