Universidad Politécnica de Cartagena. Universidad Politécnica de Cartagena
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- Asunción Revuelta Rodríguez
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1 Escuela Técnica Superior e Ingeniería e Telecomunicación CAMOS ELECTOMAGNÉTICOS ráctica 3. La Teoría e Imágenes..-rofesores: ero Vera Castejón Alejanro Álvare Melcón Fernano Quesaa ereira 1
2 1. Introucción En esta práctica vamos a estuiar la técnica e imágenes para simplificar el cálculo el potencial y el campo eléctrico proucio por cargas puntuales ue se encuentran en presencia e planos conuctores perfectos. Dese el punto e vista e MATLAB, practicaremos el uso e funciones. Construiremos funciones, y las llamaremos ese el programa principal con los argumentos aecuaos para realiar los cálculos e forma cómoa. El alumno eberá leer y comprener toos los conceptos teóricos e la práctica antes e entrar en el laboratorio. También eberá realiar y entregar toos los esarrollos teóricos peios. Finalmente en el laboratorio eberá realiar los programas con ayua e MATLAB ue se irán inicano en este manual. También entregará toos los esarrollos teóricos y las respuestas a toas las preguntas ue se planteen en este manual. 2. Teoría e Imágenes Sabemos ue el potencial proucio en un eterminao punto por una carga puntual en espacio libre viene ao por la siguiente epresión: = 4 = 4 ' (1) one es la istancia entre el punto e observación y la carga tal y como se muestra en la Fig. 1. ' + y Fig. 1: otencial en un punto proucio por una carga puntual. Tomano como base este potencial, poemos resolver problemas más complejos, como por ejemplo el caso e una carga puntual en presencia e un plano e masa infinito, tal y como se muestra en la Fig. 2. Sabemos el teorema e unicia, ue la solución a las ecuaciones e Mawell en una región aa no varía, si no moificamos la geometría en esa región, y si aemás se mantienen inalteraas las componentes tangenciales e los campos en la superficie ue elimita icha región. En nuestro caso estamos interesaos en la región e la erecha el plano e masa. La superficie ue elimita icha región es la superficie el infinito y la superficie el plano e masa. Sabemos ue el potencial en la superficie el infinito es cero, y aemás el potencial en la superficie el plano e masa también es cero. En consecuencia poemos sustituir la geometría anterior por otra, siempre ue no se moifiue la geometría en icha región, y 2
3 =10 nc =10 m + Fig. 2: Carga puntual en presencia e un plano e masa. aemás se conserven las coniciones e contorno. Es fácil arse cuenta entonces ue el problema anterior es euivalente al problema mostrao en la Fig ' 1 ' 1 + Fig. 3: roblema euivalente one ha esaparecio el plano e masa. El potencial total en el punto en este problema es la suma e los potenciales proucios por caa una e las cargas, por tanto: = = ' 4 2 ' (2) y según la figura los vectores toman la siguiente forma: 1 '= e 2 '= e = e e (3) Este potencial también es cero en la superficie el infinito, aemás, si calculamos el potencial en la superficie one está el conuctor, obtenemos: 3
4 =0 = 4 4 =0 (4) puesto ue en este caso: 1 = 2 =, tal y como muestra la Fig = 1 = - + Fig. 4: Situación para el cálculo el potencial en la superficie el conuctor. Como las coniciones e contorno se han mantenio en la superficie ue elimita nuestra región, la solución el problema euivalente y el problema original ebe ser la misma por el teorema e unicia. Ejercicio 1. Calcular la epresión eplícita para el potencial eléctrico ao en la ecuación (2). Con ayua e MATLAB construir un programa ue represente las líneas euipotenciales y las líneas e campo eléctrico en el plano (,). Grabar el programa con el nombre: ract3ejer1.m. Nota: para visualiar estas superficies euipotenciales tomar como mallao (meshgri) valores comprenios entre 40 y 40; ué valores corresponen realmente a una solución física?. 3. Carga untual en resencia e una Esfera Metálica La misma filosofía puee emplearse en el cálculo el potencial proucio por una carga puntual ue se encuentre en presencia e una esfera metálica conectaa a tierra. La geometría se inica en la Fig. 5. ' a + Q=10 nc a=5 m =10 m Fig. 5: Carga puntual en presencia e una esfera metálica. Sabemos ue el potencial en la esfera metálica puesta a tierra es cero. Vamos a tratar e situar una carga imagen entro e la esfera, e moo ue el potencial total en la superficie e la esfera 4
5 siga sieno cero, para no alterar las coniciones e contorno, y asegurar e esta forma ue la solución el problema euivalente sea igual a la el problema original. El problema euivalente se muestra en la Fig. 6. i 2 1 a - i 2 ' 1 ' + Fig. 6: roblema euivalente con una carga imagen ue reemplaa la esfera. En este caso no conocemos ni el valor e la carga imagen ( i, ) ni su posición eacta ( i ). Estos os parámetros eberán ser calculaos para ue efectivamente el potencial el problema euivalente en la superficie e la esfera siga sieno cero. Como antes, el potencial en cualuier punto ahora será la suma el potencial e la carga original mas el potencial e la carga imagen, es ecir: i = = ' i 4 2 ' (5) De la figura poemos escribir la epresión eplícita e caa uno e los vectores: = e y e y 1 '= e 2 '= i e e (6) or otro lao ueremos ue el potencial total en la ecuación (5) sea cero en la superficie e la esfera. Es ecir, el lugar geométrico escrito por la siguiente ecuación ebe ser una esfera centraa en el origen: 4 1 ' = i 4 2 ' (7) Ejercicio 2. Hallar la posición e la carga imagen i y su valor i, para ue el potencial total sea cero en la superficie e una esfera centraa en el origen y e raio a (ecuación (7)). Ejercicio 3. Con los valores obtenios, escribir un programa en MATLAB ue calcule las líneas euipotenciales y las líneas e campo eléctrico e la estructura, en el plano (,). Grabar el programa con el nombre: ract3ejer3.m. 4. Carga en resencial e os lanos Conuctores Vamos a utiliar el mismo proceimiento cuano nos encontremos con una carga en presencia e os planos e masa infinitos tal y como muestra la Fig. 7. 5
6 ' ' + a Carga puntual en presencia e os planos e masa. Fig. 7: Ahora eberemos situar una carga imagen e forma ue el potencial total en los os planos e masa sea cero, con el fin e conservar las coniciones e contorno el problema original. Si colocamos una carga imagen para ue el potencial sea cero en el primer plano e masa, nos amos cuenta ue el potencial no es cero en el seguno. ara anular el potencial en el seguno plano e masa, eberemos situar os imágenes mas, pero entonces el potencial ya no es cero en el primer plano e masa, con lo ue eberemos situar otras os cargas imágenes para volver a anular el potencial en icho plano e masa, y así sucesivamente. Como poemos observar, en este caso necesitamos infinitas cargas imágenes para lograr anular simultáneamente el potencial en los os planos e masa. La situación se muestra en la Fig ' +' a a a a a a Fig. 8: Serie infinita e imágenes. El potencial total en un punto ao será la suma e los potenciales proucios por las infinitas cargas. ara formular fácilmente esta serie infinita es conveniente utiliar el potencial proucio por la carga original:, ' = 4 = 4 ' (8) De la figura obtenemos fácilmente: = e '=' e e (9) or tanto el potencial proucio por la carga original puee escribirse e la siguiente forma: 6
7 ,, ' = 4 2 ' 2 (10) Usano este potencial, ahora poemos escribir el potencial proucio por la carga original y por la primera carga imagen. A este potencial le llamaremos el potencial proucio por el conjunto e imágenes básico (BIS). BIS,, ' =,, ',, ' (11) A este potencial habrá ue sumarle el potencial proucio por las siguientes os imágenes, ue como vemos en la Fig. 8 se obtiene esplaano el conjunto e las os primeras cargas una istancia (2a). El potencial proucio por las siguientes os imágenes se obtiene esplaano las os primeras cargas una istancia ( 2a), y así hay ue continuar hasta formar la serie infinita e imágenes. El potencial total puee entonces escribirse como una serie infinita e esta manera: T = BIS,, ' 2am m= (12) one caa ve esplaamos las cargas originales una cantia (+2ma) y ( 2ma). Aemás hemos usao la siguiente etensión e la ecuación (11): BIS,, ' 2ma =,, ' 2ma,, ' 2ma (13) En algún caso también puee ser útil epresar la ecuación (12) e la siguiente forma: T = BIS,, ' m=1 [,, ' 2am,, ' 2am BIS BIS ] (14) Done el mismo moo ue antes efinimos: BIS,, ' 2ma =,, ' 2ma,, ' 2ma (15) Ejercicio 4. Escribir un programa en MATLAB ue calcule y represente gráficamente el potencial eléctrico creao por una carga puntual ( = 10 nc) situaa a una istancia (tomar el valor '=20 m) el centro e coorenaas (en situación e espacio libre). En este ejercicio se consierará ue el punto e observación ese el cual se está miieno el potencial (punto ) tiene un valor constante sobre el eje X (tomar el valor =5 m), y calcularemos el potencial en función e la coorenaa el punto (tomar un rango e valores e 100 m a 100 m). Grabar el programa con el nombre: ract3ejer4.m. Ejercicio 5. Escribir un programa en MATLAB ue calcule el potencial eléctrico creao por una carga puntual situao a una istancia, estano icha carga enfrentaa a un plano conuctor infinito situao sobre el plano (,y). epresentar el potencial en función e la coorenaa usano los mismos atos empleaos en el ejercicio anterior, y comentar los cambios ue se visualian respecto al ejercicio anterior. De la gráfica representaa, en ué rango e valores e la solución es realmente vália?. Grabar el programa con el nombre: ract3ejer5.m. Ejercicio 6. Escribir un programa en MATLAB ue calcule el potencial eléctrico creao por una carga puntual situao a una istancia, estano icha carga enfrentaa a os planos conuctores infinitos situaos: uno sobre el plano (,y), y el otro paralelo y istanciao el anterior a=60 m (ver Fig. 7). epresentar el potencial en función e la coorenaa usano 7
8 los atos e los os ejercicios anteriores con un número e imágenes (m = 10). epita el cálculo tomano (=0.1 m). Qué iferencias observa en el potencial calculao?, a ué son ebias?. Grabar el programa con el nombre: ract3ejer6.m. Nota: En este ejercicio puee ser necesario usar una estructura tipo "for" para poer hacer el sumatorio e las imágenes establecias según la ecuación (14). Ejercicio 7. Escribir un programa en MATLAB ue visualice la convergencia proucia sobre el potencial eléctrico creao por una carga encerraa entre os planos conuctores paralelos e infinitos, en función el número e imágenes incluias en el cálculo (es ecir el valor ao al parámetro m ). ara hacer los cálculos usar los mismos atos ue en los apartaos anteriores tomano (=0.1 m, =25 m) para el punto e observación. Tomar como rango e valores para el parámetro m ese 0 hasta 40. Cuantas imágenes necesita para tener una convergencia buena?. Grabar el programa con el nombre: ract3ejer7.m. 5. Aplicación e la Teoría e Imágenes al cálculo el campo eléctrico Si tomamos el caso e una carga puntual tal y como la representaa en la Fig. 9, X e α ' + α (-') Z Fig. 9: Geometría para el cálculo el campo eléctrico proucio por una carga puntual. tenremos como campo eléctrico un vector ue se porá calcular según la siguiente epresión: E= 4 2 e (16) Vemos en el triángulo rectángulo ue se forma en la Fig. 9 ue eiste la siguiente relación: 2 = 2 ' 2 (17) y el vector unitario e puee escomponerse en sus os componentes cartesianas e la siguiente manera: e =cos e sin e (18) En función e las anteriores epresiones poremos relacionar las imensiones el triángulo usano raones trigonométricas: 8
9 Con lo ue obtenemos finalmente: '= cos cos = ' (19) (20) De igual manera tenemos la relación con el seno: = sin sin = (21) Ahora ya poemos hallar las os componentes el campo eléctrico. La componente según el eje Z será: cos E = 4 = La componente según el eje ueará: ' (22) E = sin 4 = (23) Con estos resultaos poemos calcular el campo eléctrico proucio por un Conjunto e Cargas Básico (BIS): E BIS =E,, ' E,, ' E BIS =E,, ' E,, ' (24) Basánonos en los resultaos obtenios poremos hallar el campo eléctrico total en el caso e ue sumáramos el efecto creao por infinitas cargas imágenes, tanto para la componente como para la componente, aunue en la práctica nos limitaremos a una cantia limitaa e imágenes (marcaas por el parámetro N). Usano los resultaos obtenios para el potencial poemos igualmente escribir: N E TOT = m= N N E TOT = m= N E BIS,, ' 2am E BIS,, ' 2am (25) Ejercicio 8. epresentar usano una función creaa en MATLAB, la componente el campo eléctrico proucio por una carga encerraa entre os planos conuctores paralelos entre sí, en función e la istancia con respecto al eje Z al ue se encuentre el punto (parámetro ). Utiliar los mismos valores ue en los ejercicios anteriores. Qué sucee con la componente el campo eléctrico en las parees el plano infinito?. Grabar el programa con el nombre: ract3ejer8.m. Ejercicio 9. epresentar usano una función creaa en MATLAB, la componente el campo eléctrico proucio por la misma carga el ejercicio anterior. Usar los mismos 9
10 valores ue en los ejercicios anteriores. Qué sucee con la componente el campo eléctrico en las parees el plano infinito?. Grabar el programa con el nombre: ract3ejer9.m. Ejercicio 10. Calcular numéricamente la variación ue tiene la componente el campo eléctrico según la irección normal al plano conuctor (fijarse ue la irección normal al plano conuctor coincie con la irección ). articulariar el cálculo para la posición =0 con el fin e ver el comportamiento e icha componente en las proimiaes e un plano conuctor. E TOT n = E TOT =0 (26) ara hacer esto ebéis utiliar la efinición numérica e la erivación con respecto e una variable, ue como ya sabéis viene aa por la siguiente epresión: TOT E = E TOT,0, ' E TOT,0,, ' =0 (27) sieno los incrementos e ( ) lo suficientemente peueños para hacer aceptable la aproimación numérica e la erivaa. En nuestro caso para conseguir una buena visualiación tomaremos 15 valores para icho incremento: = [0.001, 0.002, 0.005, 0.007, 0.01, 0.012, 0.015, 0.017, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05, 0.07, 0.08, 0.1, 1, 10] epresentar el valor e la erivaa en función el incremento tomao ( ), usano una escala logarítmica para los ejes horiontal y vertical, y tomano el rango e valores etallao arriba para. Que sucee con la componente normal el campo eléctrico en las proimiaes e un conuctor perfecto?. Grabar el programa con el nombre: ract3ejer10.m. 10
11 Asignatura Campos Electromagnéticos, Curso 2º, Ingeniero e Telecomunicación HOJA DE ENTEGA DE ESULTADOS. ráctica 3. Grupo: Nombre: Ejercicio1. Carga en frente e plano e masa. Dibujar el potencial y el campo eléctrico. Qué ona correspone a la solución física? ( ract3ejer1.m). Ejercicio2. Carga frente a esfera metálica. Dibujar potencial y campo eléctrico. Qué ona correspone a la solución física? ( ract3ejer3.m). Ejercicio3. Carga frente a os planos e masa: 3.1.Dibujar el potencial en coniciones e espacio libre (ract3ejer4.m). Φ T Dibujar el potencial en presencia e un plano e masa. Qué ona correspone a la solución física? (ract3ejer5.m). Φ T Dibujar el potencial en presencia e os planos e masa. Diferencias entre los os 11
12 Asignatura Campos Electromagnéticos, Curso 2º, Ingeniero e Telecomunicación cálculos? (ract3ejer6.m). Φ T, =5 m Φ T, =0.1 m Dibujar la convergencia en función el número e imágenes incluias en el cálculo. Cuantas imágenes necesita para obtener buena convergencia? (ract3ejer7.m) Φ T 40 m Ejercicio4. Campo eléctrico: 4.1.Dibujar la componente Z el campo eléctrico. Qué sucee con esta componente en las placas metálicas? (ract3ejer8.m). Ε Dibujar la componente X el campo eléctrico. Qué sucee con esta componente en las placas metálicas? (ract3ejer9.m). 12
13 Asignatura Campos Electromagnéticos, Curso 2º, Ingeniero e Telecomunicación Ε Dibujar la erivaa e E en uno e los planos e masa. Cuanto vale la erivaa e esta componente en una placa metálica? (ract3ejer10.m). δe
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