El valor del dinero en el tiempo, matemáticas financieras

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1 El valor del dinero en el tiempo, 1

2 Introducción Todos los días afrontamos problemas financieros, por ejemplo, al comprar un televisor tenemos varias opciones: pagar de contado, a un determinado precio; liquidarlo con la tarjeta de crédito aunque nos aumenten un porcentaje más en el precio, o bien podemos adquirirlo en abonos, pese que al final de plazo otorgado por el proveedor terminemos pagando el doble del precio de contado, pero, qué nos conviene más? Ante situaciones cotidianas como ésta, conocer y aplicar del concepto del valor del dinero en el tiempo nos ayuda a tomar mejores decisiones de carácter financiero para hacer rendir mejor nuestro dinero. Esta herramienta es sumamente valiosa en el mundo de los negocios aplicable también a nuestra vida personal. Conocer y aplicar el concepto de valor de dinero en el tiempo es una forma sencilla para que un recurso limitado, como es el dinero, lo puedas emplear mejor y con ellos fincar un futuro más productivo, tranquilo y seguro. Objetivos Distinguir entre los diferentes conceptos financieros que son necesarios para realizar operaciones que permitan una mejor toma de decisiones. Temario Los temas que serán vistos son los siguientes: 1. Capitalización 2. Valor presente y valor futuro 3. Anualidades ordinarias 4. Tasa de interés 2

3 Antecedentes Si vas a una mueblería y quieres adquirir un sillón para tu casa se seguro que te pregunte por la forma en que deseas liquidar el artículo, con el fin de definir el precio a pagar. De esta manera el vendedor te dará varias opciones. Si lo pagas de contado, el precio sería de $2, Si lo pagas en abonos, te pedirían un enganche de $200 además de 18 abonos de $150 cada uno. Al sumar las cantidades te darás cuenta que pagarías un total de $2,900. Después de analizar esta situación seguramente te preguntaras Por qué cuesta $900 más el sillón si decides pagarlo en abonos? Para dar respuesta a esta interrogante debes recurrir al concepto de valor del dinero en el tiempo, pero antes revisa estas otras dos posibilidades para que compres ese sillón que deseas. Supón que para aprovechar el precio de contado vas al banco y solicitas un préstamo personal por $2,000, el banco te da un plazo de 24 meses para pagarlo, pero además te informan que debes efectuar pagos mensuales de $125 con el fin de liquidar el adeudo. De esta manera la tercera opción que tienes es: 2. Si solicitas un préstamo al banco terminarás pagando $3,000 de los cuales $2,000 cubren el préstamo y $1,000 los intereses que te cobrará el banco por intereses. Por último, piensa que tienes los $2,000 invertidos en una cuenta de ahorros, si efectúas algunos cálculos te darás cuenta que al mantener esa cantidad durante tres años podrás acumular al final de los mismos $3, Si retiras de tu cuenta de ahorros los $2,000 para aprovechar la comprar de contado del sillón dejarás de ganar $1,100 de intereses. Con este ejemplo llegarás a la conclusión que si no tienes los $2,000 para comprar el sillón de contado tendrás que pagar más por su adquisición, ya sea 3

4 que lo liquides en abonos en la misma mueblería o que obtengas el financiamiento de un banco. Por otra parte, si tienes el dinero y lo retiras para comprar el sillón de contado dejarás de recibir $1,100 de intereses. La razón de ello es que el dinero tiene diferente valor en el tiempo debido a que tiene un costo. A este costo se le conoce comúnmente como tasa de interés y es precisamente esta tasa de interés la que hace que el dinero cambie su valor en el tiempo. En las opciones 1, 2 y 3 está implícita una tasa de interés la cual puede ser determinada. En el caso del crédito otorgado por la mueblería la tasa es del 4.67 % mensual, en el caso del préstamo bancario es del 3.53 % mensual y en la última situación, inversión en una cuenta de ahorros, es del 1.22 % mensual. Obviamente si pensaste que el mejor camino para adquirir el sillón es retirar los $2,000 de tu cuenta de ahorros por tener el costo de interés más bajo Estás en lo correcto! Pero, cómo se obtuvieron las tasas de interés?, Por qué es mejor la opción 3 si es la que mayor diferencia presenta con la compra de contado? Cómo influye el plazo en el valor del dinero? Las respuestas a estas y otras preguntas las encontrarás en este curso, ahora continúa con el estudio de los temas. 4

5 Tema 1. Capitalización Introducción Te has preguntado de qué manera puedes incrementar tu dinero invertido en una institución? El concepto de capitalización influye mucho al momento que deseas invertir tu dinero en una institución bancaria. En este primer tema, conocerás el significado de la capitalización así como las diferentes tasas de interés y número de periodos de capitalización que serán necesarios para que puedas determinar qué opción de inversión sea la más conveniente para tus ahorros personales. Objetivos particulares: Al terminar este tema serás capaz de: o Definir el concepto de capitalización. o Explicar el significado de tasa nominal de interés. o Efectuar cálculos simples de interés compuesto. o Determinar la tasa del período de capitalización. Contenidos: 1. Concepto de capitalización. 2. Tasa del período de capitalización. Subtema 1. Concepto de capitalización Seguramente has escuchado y empleado alguna vez el término capitalización, qué significa? 5

6 Capitalización es el periodo en el cual los intereses generados por una inversión o un préstamo se convierten en capital, para de esta forma incrementar el monto del mismo y producir a su vez, más intereses. El concepto de capitalización es fundamental en el estudio de las finanzas por ello es importante que lo comprendas muy bien desde este momento. Ejemplo: Piensa que en este momento estás realizando una inversión en un banco por $ 100, este dinero está trabajando a una tasa de interés del 10% anual. Los bancos otorgan diferentes plazos de inversión, al finalizar este plazo, tendrás tu mismo dinero más un adicional por concepto de intereses, pero Cuánto dinero tendrás al final de un año si decides invertirlo? Con un período de capitalización de: 1 al año: En un plazo de inversión de 1 año: Capital al inicio $ 100 = $ 100 Interés ($ 100 x 0.10) 10 Capital al final del año $ al año: En un plazo de inversión de 1 al año: Los intereses se pagan cada seis meses Capital al inicio $ 100 = $ 100 Interés ($ 100 x 0.05) 5 Capital a los 6 meses $ 115 = $ 105 Interés ($ 105 x 0.05) 5.25 Capital al final del año $

7 Interpretación del resultado: Cuando el período de capitalización es anual terminamos el año con $110; cuando la capitalización es semestral acumulamos al final del año $ Reflexiona qué opción te conviene más? Subtema 2. Tasa de período de capitalización En el subtema anterior conociste en qué consiste la capitalización, un factor de suma importancia para invertir tu dinero; sin embargo, no es lo único que debes tomar en cuenta, sino también la tasa de interés del período de capitalización que se obtiene a través de la siguiente fórmula: i = TN / m i = Tasa de interés del período de capitalización. TN = Tasa de interés nominal anual. m = Número de períodos de capitalización en un año. La tasa de interés del período de capitalización es fundamental para calcular los intereses que corresponden a tu inversión. De la ecuación que se acaba de exponer, te darás cuenta que depende de la tasa nominal anual, así como del número de veces que se capitalizan los intereses en un año. Ejemplo La tasa de los Certificados de la Tesorería mejor conocidos como CETES a 28 días se fijó en 4.95 % anual. 7

8 Tabla CETES También puedes enterarte que determinado banco paga el 4.6% anual en Certificados de Depósito. Son estas tasas a las que nos referimos como nominales y para el cálculo de los intereses son un punto de referencia. El número de períodos de capitalización en un año está determinado por la periodicidad con que se pagan o cobran los intereses en una operación financiera. De esta manera si un banco paga los intereses cada mes, la capitalización es mensual y el número de períodos de capitalización en un año es de 12 recuerdas la fórmula? (m = 12). Si los intereses los liquida cada trimestre, la capitalización es trimestral y el número de períodos de capitalización es de 4(m = 4). A continuación se presenta una tabla donde se muestra un ejemplo partiendo de la misma tasa nominal del 10% anual que se utilizó en el ejemplo con que inició este tema. 8

9 Capitalización TN m i Anual 10% % Semestral 10% 2 5.0% Trimestral 10% 4 2.5% Bimestral 10% % Mensual 10% % Quizá te preguntes, cuál es la utilidad de saber la tasa del período de capitalización? Cuando menos existen dos ventajas de calcular esta tasa: La primera es conocer la tasa a la cual está trabajando tu dinero. Por citar un caso, si la capitalización es bimestral, la tasa a la cual se determinan los intereses es la de % por bimestre, como lo podemos observar en la última columna de la tabla. La otra ventaja es operativa pues permite efectuar cálculos en forma más rápida y precisa. Al inicio de este tema viste un ejemplo donde se invierten $ 100 a una tasa nominal (TN) del 10% anual. Ahora se te presentan los resultados en forma diferente. En el primer caso el capital inicial se multiplica una vez por el binomio (1 +.10) debido a que existe una sola capitalización en el año. Capitalización anual = $100 X (1 +.10) = $110 En el segundo caso, se multiplica dos veces por el binomio (1 +.05) porque el número de capitalizaciones en el año es de dos. Esta es una ventaja de suma importancia. Capitalización semestral = $100 X (1 +.05) X (1 +.05) = $

10 Al invertir tu dinero presta siempre atención a la tasa y al periodo de capitalización, esto te ayudará a tomar la mejor decisión financiera. Conclusión del tema En este primer tema, reforzaste los siguientes conceptos: El concepto de capitalización. Las tasas de interés (periodos de capitalización y nominal anual) que afectan a la capitalización. Dichos elementos mencionados te permiten tomar mejores decisiones al momento de querer invertir tu dinero en una institución bancaria y a un determinado plazo fijo. Tema 2. Valor presente y valor futuro Introducción Puedes determinar si el valor de tu dinero será el mismo de aquí a un periodo de 2 años?, qué recursos puedes utilizar para realizar los cálculos en una manera más rápida y sobre todo; de una manera más segura? Con el uso eficiente de la calculadora financiera podrás realizar este tipo de operaciones que aseguren qué opción es la que más te conviene para una mejor toma de decisiones. En este segundo tema podrás familiarizarte con el uso de las principales funciones financieras sobre el uso diverso de tus cantidades invertidas. 10

11 Objetivos particulares: o Explicar cada uno de los términos que integran la fórmula del interés compuesto. o Calcular por medio de la fórmula y de una calculadora financiera: El valor futuro de una cantidad presente. El valor presente de una cantidad futura. o Interpretar el resultado de los problemas de interés compuesto. Contenidos: 1. Valor futuro de una cantidad presente. 2. Valor presente de una cantidad futura. 3. Interés simple. Subtema 1. Valor futuro de una cantidad presente En el tema 1 realizaste algunos cálculos simples, ahora se formalizarán los cálculos de los intereses por medio de la fórmula del interés compuesto. También conocerás la manera de utilizar una calculadora financiera con el fin de agilizar las operaciones más comunes en este tipo de cómputos. La fórmula clásica del interés compuesto muestra el valor futuro que se obtendría al invertir una cantidad en el presente, a una determinada tasa, por un periodo dado. Esta relación se establece por la siguiente fórmula: F = P (1 + i)n Donde: F: Valor futuro de una cantidad presente 11

12 P: Valor presente i: Tasa de interés del período de capitalización n: Número de períodos de capitalización Recomendación: Si revisas detenidamente la expresión te darás cuenta que todos sus componentes te son familiares pues los estudiaste en el tema 1. Si no los recuerdas revisa nuevamente estos conceptos. La fórmula del interés compuesto en la mayoría de las calculadoras financieras se muestra bajo el siguiente teclado: N: Significa el número de periodos de capitalización (En la formula lo identificas como n). I / YR: Es la tasa de interés del periodo de capitalización (En la fórmula lo identificas como i). PV: Es el valor presente del dinero (En la fórmula lo identificas como P). PMT: Se utilizará posteriormente cuando estudies las fórmulas de las anualidades ordinarias. FV: Es el valor futuro (En la fórmula lo identificas como F). Subtema 2. Valor presente de una cantidad futura Cuánto tengo que ahorrar para comprar dentro de dos años un auto? 12

13 Para hacer este cálculo usarás la misma fórmula anterior nada más que en función de P. Primero se presenta la fórmula original del interés compuesto con una diferencia: está ordenada al revés de cómo se presentó originalmente, es con el fin de dar el siguiente paso, despejar la P, que es la cantidad a determinar en el presente inciso (Nota: Despejar es una expresión utilizada en matemáticas para conocer el valor de una variable). El significado de las variables que componen la ecuación ya lo conoces. Si no te acuerdas, o tienes algunas dudas, regresa a la ecuación del interés compuesto y anota el significado de cada una de ellas. Revisemos en siguiente ejemplo: Cuánto tendrías que invertir hoy con el fin de obtener $150 dentro de dos años, si la inversión trabaja al 8 % anual capitalizable semestralmente? Revisemos la siguiente información: Pasos: 1. Observa esta fórmula: 13

14 2. Sustituye los datos en la fórmula: 3. Efectúa las operaciones P = $ Obtén el resultado P = Interpretación del resultado Para obtener $150 dentro de dos años, tendrías que invertir en este momento $ a una tasa de interés del 8% anual, capitalizable cada seis meses. Revisemos la siguiente reflexión del experto: El periodo de capitalización define tanto la tasa como el número de periodos que se tienen que sustituir en la fórmula. En el ejemplo la tasa (i) es del 4% semestral y el número de periodos (n) son cuatro semestres, debido a que el periodo de capitalización es semestral. Subtema 3. Interés simple Se conoce como interés simple a la situación en la cual la capitalización de los intereses no existe; es decir, los intereses nunca se convierten en capital. La única tasa que se utiliza en los cálculos es la tasa nominal. Por lo tanto, la tasa del periodo de capitalización no es necesaria. La fórmula para el cálculo del interés simple es: 14

15 Donde: F = P (1 + TN x t / 365) F: Valor futuro P: Valor presente TN: Tasa nominal T: Esta variable significa los días que dura una inversión y puede tomar cualquier valor; es decir T puede ser una cantidad menos o mayor a 365, los cuales son los días que tiene un año natural. Ejemplo: Ejemplo: Cuál es el valor futuro (F) de una inversión de $ 100 en este momento (P) si se invierte a interés simple a una tasa nominal (TN) del 15% anual durante un periodo de 80 días (t)? Se sustituye en la fórmula de interés simple los valores del problema. Pasos: 1. Observa esta fórmula F = P (1 + TN x t / 365) 2. Sustituye los datos en la fórmula F = $100 ( X 80 / 365) 3. Efectúa las operaciones F = $100 ( ) 4. Obtén el resultado F = $ Nota: Al término de los 80 días tendrías $103.29, resultado de los $100 que invertiste más $3.29 de intereses ganados. 15

16 Una forma de comprender mejor el concepto de interés simple es contrastándolo con el interés compuesto. Supón que inviertes $ 1000 a dos años a una tasa nominal del 20 % anual. En un caso lo inviertes a interés simple, en el otro a interés compuesto, donde la tasa se capitaliza anualmente. Si pensaste que bajo el interés compuesto vas a obtener una cantidad mayor, acertaste. La posibilidad que los intereses se conviertan en capital, condición del interés compuesto, hace que al final de un mismo periodo se acumule más dinero bajo interés compuesto, que si se invierte a interés simple. Sustituyendo en la fórmula de interés compuesto, tenemos el siguiente resultado: F = P (1 + i)n F = $ 1000 (1 +.20)2 F = $ 1000 (1.44) F = $ 1440 Efectuemos los cálculos utilizando la fórmula del interés simple. F = P (1 + TN x t/365) F = $ 1000 ( x 730/365) F = $ 1000 (1 +.40) F = $ 1400 En este último caso t es igual a 730. Esta cifra son los días que tienen 2 años naturales (365 x 2).Puedes observar que tu intuición te dio la razón, los $ 1000 invertidos a interés compuesto se transforman en $ Por otra parte, si los inviertes a interés simple terminas con $ 40 menos. Además, es conveniente que prestes atención al hecho de que en el ejemplo la tasa bajo interés compuesto se capitalizó una vez al año. Si se capitaliza en periodos más frecuentes, como lo es el mes, el trimestre o el semestre, la cantidad obtenida al final de dos años, es todavía mayor que los $ 1440 que obtuviste cuando la capitalización es anual. 16

17 A continuación se presenta la solución del problema si la capitalización de la tasa es en periodos más frecuentes de un año. Veamos con mayor detalle la siguiente información: Semestral F = P (1 + i)n F = $ 1000 (1 +.10)4 F = $ 1000 ( ) F = $ Trimestral F = P (1 + i)n F = $ 1000 (1 +.05)8 F = $ 1000 ( ) F = $ Mensual F = P (1 + i)n F = $ 1000 ( )24 F = $ 1000 ( ) F = $ A medida que la capitalización de la tasa es más frecuente, la diferencia con la cantidad obtenida bajo interés simple se incrementa. Cuando la capitalización es mensual la diferencia llega a ser de $ El interés simple casi no se utiliza en las finanzas, sean éstas personales o empresariales. En algunas situaciones contractuales, la ley exige que los intereses se determinen bajo las condiciones del interés simple. Sin embargo, toda la estructura teórica de las finanzas modernas está cimentada en el interés compuesto. 17

18 Reflexión del experto: Las fórmulas tienen la virtud de ordenar y simplificar cálculos, que de otra forma, serían imposibles o muy difíciles de llevar a cabo. En el siguiente tema estudiarás otras fórmulas que te permitirán resolver problemas más complejos que los vistos hasta ahora. Conclusión del tema En este segundo tema, revisaste la siguiente información: Valor futuro de una cantidad presente. Valor presente de una cantidad futura. Uso correcto de operaciones comunes en una calculadora financiera. Los elementos anteriormente descritos te permitirán realizar de manera más eficiente el cálculo del interés compuesto. Tema 3. Anualidades ordinarias. Introducción Alguna vez te has preguntado cómo serían tus pagos realizados en una inversión (deuda) a un plazo de varios años? Es importante que adquieras las nociones básicas sobre cómo proyectar tus inversiones haciendo uso de las anualidades donde una serie de flujos regulares puede variar de acuerdo a las diferentes variables de tipo financiero que intervienen en tus operaciones. En este tercer tema, revisaremos con detalle qué hacer en cada uno de los casos (valor presente y valor futuro) enfocados principalmente a las anualidades empleadas para una correcta toma de decisiones de tus diferentes inversiones a realizar. 18

19 Objetivos particulares Al finalizar este tema serás capaz de: o Explicar cada una de las variables que componen las fórmulas de las anualidades ordinarias. o Calcular por medio de la fórmula y de la calculadora financiera: El valor futuro de una anualidad ordinaria. El valor presente de una anualidad ordinaria. El monto de una anualidad ordinaria. o Interpretar el resultado de los problemas de interés compuesto. Contenidos 1. Anualidad ordinaria 2. Valor de la anualidad Subtema 1. Anualidad ordinaria. La anualidad ordinaria es una herramienta que permite hacer operaciones más rápidas y precisas, como recordarás hemos visto situaciones donde una cantidad presente la llevamos al futuro o una cantidad futura la traemos al presente. Sin embargo, muchos problemas en la vida real se presentan como una serie de flujos, en lugar de cantidades únicas. Piensa en los siguientes escenarios: La compra de un automóvil a crédito supone una serie de pagos durante periodos mensuales de dos a cinco años, dependiendo del plazo obtenido para liquidarlo. Lo mismo sucede con la adquisición de una casa o la compra en abonos de muebles para oficina y electrónicos. 19

20 A este tipo de escenarios se les conoce como anualidades. En este apartado estudiarás un caso particular de anualidades, se les conoce como anualidades ordinarias y se distinguen de otro tipo de anualidades por dos características: 1. Las anualidades ordinarias suponen flujos iguales. Esto es, si una empresa adquiere un automóvil y obtiene un plazo de 24 meses para liquidarlo, cada uno de los pagos debe ser igual (por ejemplo, $ 7,000). 2. Por otra parte, las anualidades ordinarias son flujos que se dan al final del mes. Si se renta una casa se puede pagar la renta al inicio o al final del mes. En el primer caso, se le conoce como un anticipado, en el segundo, como vencido. Por lo tanto, las anualidades ordinarias suponen flujos vencidos. Hay fórmulas que nos facilitan los cálculos cuando existen una serie de flujos en períodos regulares. Veamos a continuación el siguiente ejercicio: Supongamos que una empresa invierte de sus utilidades $ 5,000 por semestre en un fondo de inversión, al final de cada uno de los 10 siguientes semestres. Esto con el fin de renovar dentro de cinco años las tres computadoras con que cuenta la empresa. Sobre la línea de tiempo se muestran los 10 depósitos semestrales de $ 5,000 cada uno. Revisemos la siguiente proyección: Los datos están expresados en miles de pesos, al omitir los tres últimos ceros de cada uno de los montos de $ 5,000. La fórmula a utilizar es la siguiente: 20

21 Donde: F: Valor futuro de una anualidad A: Valor de la anualidad I: Tasa de interés del período de capitalización n: Número de períodos. En la fórmula anterior la F en lugar de significar el valor futuro de una sola cantidad, denota el valor futuro de una serie de cantidades. La A es el valor de la anualidad o flujo periódico. La i significa lo mismo que en la fórmula del interés compuesto. La n es el número de flujos que componen la anualidad. Revisemos a continuación el siguiente ejercicio: Cuál es el valor futuro de la anualidad de $5,000 por semestre durante 10 semestres, si la tasa de interés es del 12% anual, capitalizable semestralmente? A continuación te presentaremos la representación gráfica del problema (Proyección) y sustitución directa en la fórmula (Sustitución). Revisemos la siguiente representación gráfica del problema (proyección): 21

22 Nota: Recuerda que estamos trabajando con datos en miles de pesos, eliminamos las tres últimas cifras a la cantidad de $5,000 y de cualquier otra cifra que aparezca en los cálculos. La sustitución de la fórmula es la siguiente: Revisemos la siguiente interpretación del resultado: Si depositamos $5,000 por semestre durante los siguientes 10 semestres, invertidos al 12% anual capitalizable semestralmente, podremos retirar $65,904 al término de dicho plazo. De esta manera, la empresa contará dentro de cinco años con $65,904 para renovar el equipo. 22

23 Observa que los $65,904 pesos están compuestos por los $50,000 ahorrados más $15,904 de intereses. Revisemos la siguiente reflexión del experto: Conocer el concepto de anualidades ordinarias nos permite hacer proyecciones o inversiones de capital, trabajar de manera más inteligente el dinero. Establecimientos anteriormente que para considerar una anualidad como ordinaria, es necesario que se cumplan con dos características: 1. Los flujos deben ser iguales y 2. Los flujos deber ser vencidos (final del mes). Sin embargo existe un tercer factor que es necesario tomar en cuenta para la utilización de las fórmulas de una anualidad ordinaria: 3. El periodo de capitalización de la tasa nominal de interés debe ser igual al período en el cual se tienen los flujos. Si estudias los ejemplos anteriores te darás cuenta de este tercer elemento. Regresemos nuevamente al ejemplo estudiado indicado al inicio del tema de las anualidades: Ejemplo: Se trata de una empresa que invierte parte de sus utilidades, $5,000 por semestre, en un fondo de inversión al final de cada uno de los 10 siguientes semestres. En este caso cambiaremos el destino y el tiempo de disposición del dinero. 23

24 En lugar de renovar dentro de cinco años las tres computadoras, la empresa desea comprar en este momento un terreno en la periferia de la ciudad, para la construcción de unas bodegas y en lugar de efectuar 10 depósitos semestrales de $5,000 en un fondo de inversión, los utilizará para liquidar el terreno en cuestión. Cuánto sería lo máximo que habría que pagar por el terreno? Sobre la línea de tiempo se vuelven a mostrar los 10 flujos semestrales de $5,000 cada uno. Los datos están expresados en miles de pesos, al omitir los tres últimos ceros de cada uno de los montos de $5,000 Revisemos la solución por medio de la siguiente fórmula: Donde: F: Valor presente de una anualidad P: Valor de la anualidad I: Tasa de interés del período de capitalización n: Número de períodos. En el ejercicio anterior conociste todas las variables excepto la P que significa el valor presente de una serie de flujos futuros, a diferencia de la fórmula de interés compuesto donde la P denotaba el valor presente de una sola cantidad futura. 24

25 Cuál sería el valor presente de una anualidad de $ 5 por semestre durante 10 semestres, si la tasa de interés es del 12% anual, capitalizable semestralmente? Pasos: 1. Observa esta fórmula 2. Sustituye los datos en la fórmula 3. Efectúa las operaciones P = $5 (7.3601) 4. Obtén el resultado P = $36.80 Revisemos la siguiente información del ejercicio anterior: 25

26 Podemos concluir entonces que: El valor presente de una anualidad de $ 5 por semestre durante 10 semestres y con una tasa de interés del 12% anual, capitalizable semestralmente nos da como resultado: P= $36.80 Revisemos la siguiente información: Si se compra en este momento un terreno de 2000 metros cuadrados a $18.40 por metro cuadrado (2000 X $18.40 = $36,800) en la periferia de la ciudad, la empresa puede pagarlo mediante 10 pagos semestrales de $5000 cada uno, si la tasa de interés nominal negociada es del 12% anual capitalizable semestralmente. Subtema 2. Valor de la anualidad En ocasiones se conoce el valor presente o el valor futuro de una operación financiera y lo que se desea obtener es el valor de la anualidad. Esto es, el valor de A en las dos ecuaciones de anualidades ordinarias es la variable a determinar. En el ejemplo visto se presentó la siguiente representación gráfica: 26

27 Revisemos la siguiente información: Valor futuro de una anualidad ordinaria: En este caso vamos a darle otra connotación a los datos que aparecen en la gráfica. Estimas que sería conveniente juntar dentro de 5 años (10 semestres) $ 65,904 con el fin de darlo de enganche para la compra de un auto. En este momento estás empezando tu carrera profesional, la cual te llevará 10 semestres en terminar. Cuánto tendrías que depositar al final de cada uno de los siguientes 10 semestres en un fondo de inversión que te asegura una tasa nominal del 12% capitalizable semestralmente? La solución por medio de la fórmula es la siguiente: Pasos: 1. Observa esta fórmula 2. Sustituye los datos en la fórmula 27

28 3. Efectúa las operaciones P = $5 (7.3601) 4. Obtén el resultado P = $36.80 La diferencia entre este problema y el presentado en el subtema anualidades ordinarias es el valor de la variable a despejar. En el primer caso, la variable a conocer era el valor futuro (F) de la anualidad. En este ejemplo la variable que nos interesa despejar es el valor de la anualidad (A). Revisemos la siguiente reflexión del experto: Si depositas $5,000 al final de cada uno de los siguientes 10 semestres, puedes retirar al final de los mismos $65,509, siempre y cuando los depósitos hayan sido invertidos a una tasa nominal del 12 % anual, capitalizable semestralmente. Ahora aplicarás el valor presente de una anualidad ordinaria, para ello tomaremos los datos del ejemplo de la empresa que invierte sus utilidades y le daremos otra connotación. 28

29 Supongamos que depositas en este momento $ 36,800 invertidos a una tasa nominal del 12% anual, capitalizable semestralmente. Qué cantidad igual podremos retirar al final de cada uno de los siguientes 10 semestres, al término de los cuales el saldo será de cero pesos y cero centavos? A continuación realiza las operaciones por medio de la fórmula: Pasos: 1. Observa esta fórmula 2. Sustituye los datos en la fórmula 3. Efectúa las operaciones $36.8 = A (7.3601) A = / Obtén el resultado A = $5 29

30 La representación gráfica es la siguiente: Revisemos la siguiente reflexión del experto: Es importante que analices cuidadosamente los dos ejemplos en conjunto, para que identifiques las diferencias y las similitudes que existen en el procedimiento. Conclusión del tema En este tercer tema continuamos haciendo uso de la calculadora financiera y además realizamos operaciones relacionadas con las anualidades ordinarias las cuales mediante sencillas operaciones nos permiten determinar la serie de flujos que son utilizados en las anualidades. También se revisaron las operaciones que se pueden realizar en el valor presente o futuro de una operación financiera obteniendo así el valor de una anualidad. El resultado de los cálculos nos permite continuar en la búsqueda de una mejor toma de decisiones. 30

31 Tema 4. Tasa de interés Introducción Qué tipo de tasa de interés es la que más me conviene para realizar mi inversión?, Cómo puedo asegurarme si dicha tasa afecta mis finanzas futuras...? Seguramente te has hecho este tipo de preguntas similares al momento de querer realizar una inversión, En este cuarto tema revisaremos con mayor detalle los efectos que presentan las diferentes tasas de interés, así como las anualidades que influyen en el efecto de la capitalización y que permiten una mejor toma de decisiones. Objetivos particulares Al terminar este tema serás capaz de: o Calcular la tasa nominal de interés utilizando la formula y la calculadora financiera, es problemas que impliquen un único flujo o anualidades ordinarias. o Interpretar los resultados de los problemas que involucren el cálculo de la tasa de interés. Contenidos 1. Interés compuesto 2. Anualidades Subtema 1. Interés compuesto Hasta este momento has estudiado el cálculo del valor futuro y del valor presente, tanto de una sola cantidad (fórmula del interés compuesto), como de una serie de flujos iguales (fórmulas de anualidades ordinarias). 31

32 En ambos casos pudieras plantearte la situación, de que conociendo las demás variables en la fórmula, quisieras conocer la tasa de interés a que está trabajando un préstamo o inversión. En otras palabras, y empleando la terminología utilizada en las clases de álgebra, la incógnita que deseas conocer es la tasa de interés, eso es lo que conocerás ahora: A qué tasa de interés $100 se convierten en 130 si los dejas invertidos durante 4 años y la tasa se capitaliza anualmente? La solución al ejercicio la podemos revisar en la siguiente fórmula sustituida a continuación: Revisemos la siguiente interpretación del resultado: A una tasa del 6.78% anual, capitalizable anualmente, una inversión de $100 se convierte en $130 si se deja trabajando durante un periodo de 4 años. Revisemos la siguiente reflexión del experto: Es en este tipo de operaciones en que más utilidad se obtiene con el uso de una calculadora financiera. Si se utiliza la formula es necesario despejar la i, lo cual implica obtener la raíz de un numero (raíz cuarta en el caso del ejemplo). En cambio con la utilización de la calculadora financiera, únicamente se alimentan las variables conocidas y se oprime el botón de la tasa de interés para conocer el resultado. La ventaja será aún mayor cuando estudies las fórmulas de las anualidades. 32

33 Subtema 2. Anualidades Para reforzar la comprensión del cálculo de las anualidades revisado en subtemas anteriores, realiza el siguiente ejercicio: Ejercicio Un banco te ofrece la siguiente opción de inversión: depositar $ 1,000 mensuales al final de cada uno de los siguientes 18 meses, al término de los cuales te entregará un cheque por $ 21,000. Responde: Qué tasa nominal anual, capitalizable mensualmente, te está ofreciendo pagarte el banco por tus ahorros? Comentamos anteriormente, que en este tipo de cálculos, es cuando mejor se aprecia la ventaja de contar con una calculadora financiera, antes de utilizarla haz el esfuerzo por resolver el problema mediante la fórmula. Es importante que tomes en cuenta los siguientes puntos: Sustituye la fórmula del valor futuro de una anualidad, únicamente con el fin de conocer la ecuación que estamos resolviendo. Considera que una solución analítica implica matemáticas sumamente complejas, fuera del objetivo de este curso. Revisa que existen otros medios, como lo son el uso de logaritmos o el uso de tablas financieras; sin embargo, el uso de la calculadora financiera ha venido a sustituir a los laboriosos y obsoletos procedimientos indicados. Revisemos la siguiente interpretación del resultado: 33

34 Interpretación del resultado: Si depositas $1000 al final de cada mes durante un año y medio y el banco te paga una tasa de interés nominal del % anual, capitalizable mensualmente, podrás retirar $21,000 al final de dicho período. Revisemos la siguiente reflexión del experto: Es conveniente que recuerdes el tercer requisito para emplear las fórmulas de las anualidades ordinarias: El período de capitalización de la tasa debe coincidir con el período de los pagos. Por esta razón, en el ejemplo, si los depósitos son mensuales, la tasa nominal anual se capitaliza mensualmente. Conclusión del tema Hasta el final de este tema, hemos revisado los siguientes dos conceptos relevantes: Interés compuesto Anualidades Es importante que tengas presente que dichos valores influyen de manera positiva o negativa en las inversiones o préstamos que tu solicites. Esto es porque va a generar que tu cantidad inicial aumente con el paso del tiempo. 34

35 Recuerda que siempre es necesario revisar las diferentes tasas de interés que te proporcionen al realizar alguna de las operaciones más comunes que realices en una institución bancaria. Conclusión del curso En este curso, revisamos el principal significado del valor del dinero a través del tiempo. Es muy importante que conozcamos el impacto que tendrían nuestras inversiones si realizáramos una inversión negativa que afecte nuestros intereses personales y financieros los cuales fueron revisados con detalle en cada uno de los temas presentados. Conceptos como capitalización, valor presente y futuro, anualidades ordinarias y tasa de interés son elementos que debemos tener muy presente y que nos permitirán en gran medida tomar decisiones financieras acordes a nuestras necesidades como individuos y como profesionales en esta sociedad consumista y ávida de solicitud de diferentes tipos de crédito e inversiones bancarias. 35

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