MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II 2007

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1 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II 007 OPCIÓN A Ejercicio 1: Sean las matrices A = B = a) Calcule BB t AA t b) Halle la matriz X que verifica (AA t ) X = B Solución: Apartado a) t t AA BB Apartado b) B X AA t Por tanto: Sustituendo en la primera ecuación: 0 1 En consecuencia, concluimos que: 1 0 X

2 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] - Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura 1. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio : El beneficio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la función f ( ) si si a) Represente la función f. b) Calcule el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas. c) Para qué gastos en publicidad se producen beneficios nulos?

3 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ] Año 007 d) Calcule el gasto en publicidad que produce máimo beneficio. Cuál es ese beneficio máimo? Solución: Apartado a) El dominio de definición es el intervalo0, 10. La función f ( ) es continua en todo el intervalo [0, 6) puesto que es una función polinómica. lineal. La función f ( ) 1 es continua en todo el intervalo (6, 10] a que es una función Veamos si es una función continua en el punto = 6: 0 1. f (6) f ( )? lim6 Estudiemos los límites laterales. lim a. f ( ) lim 6 6 b. f ( ) lim 1 0 lim 6 6 Luego la función es continua en el punto = 6, por tanto, la función es continua en todo su dominio. Corte con los ejes: Si = 0 = Si = Así,. 1 6 Zonas de crecimiento decrecimiento: Para calcular las zonas de crecimiento decrecimiento tenemos que utilizar la función derivada. La función f ( ) es derivable en todo punto del intervalo [0, 6) su función derivada es f ( )

4 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] La función f ( ) 1 es derivable en todo punto del intervalo (6, 10] su función derivada es f ( ). Veamos si es una función derivable en el punto = 6. 6 h 406 h f (6 h) f (6) 60 0 f (6) lim lim h0 h h0 h 36 1h h 40 40h h h 40 40h 60 lim lim h0 h h0 h h 60h 40h h 0h lim lim 0 h0 h h0 h 6 h 1 0 f (6 h) f (6) 30 h 30 f 6) lim h h h ( lim lim h0 h0 h 0 Luego la función no es derivable en = 6. f ( ) si si Zonas de crecimiento decrecimiento: Estudiemos para que valor se anula la función derivada: f ( ) En = 4, la función tiene un máimo puesto que pasa de creciente a decreciente además f ( ) MÁXIMO. es el punto donde se alcanza el máimo. Para = , 0 La representación gráfica, una vez hecho todos los cálculos anteriores es la siguiente: 4

5 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ] Año 007 Figura. Apartado b) Para = la función es siempre positiva luego, a partir de 000 en gastos de publicidad, la empresa nunca tendrá pérdidas. Apartado c) Para = = 6 beneficios son nulos. = 0. Entonces para en gastos de publicidad los Apartado d) Para = 4 tenemos un máimo, es decir, para gastos de publicidad de 4000 se produce un beneficio máimo de 0000.

6 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] - Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura 3. 6

7 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ] Año 007 Figura 4. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio 3: Parte I Se lanza una moneda tres veces se consideran los sucesos: A: Obtener al menos dos veces cara B: Obtener cara en el segundo lanzamiento. a) Describa el espacio muestral asociado al eperimento. b) Los sucesos A B, son independientes?, son incompatibles? Parte II En una población, una variable aleatoria sigue una le Normal con desviación típica 8. Se ha elegido, al azar, una muestra de tamaño 100 su media ha sido 67. a) Calcule el intervalo de confianza, al 93%, para la media poblacional. 7

8 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] b) Cuántos datos, como mínimo, son necesarios para estimar, con un nivel de confianza del 99%, la media de la población con un error no superior a? Solución Parte I: Apartado a) Apartado b) Espacio muestral asociado al eperimento: CCC, CCX, CXC, XCC, XXC, XCX, CXX, XXX Calculemos las probabilidades de los dos sucesos A B el producto de ambas: P P A B P APB 1 4 Calculemos ahora la probabilidad de la unión de los dos sucesos: P P A B PA PB PA B A B , 8 8 CCC CCX, XCC PA B 0 PA B En consecuencia, los sucesos A B no son independientes puesto que A B PAPB no son incompatibles a que su intersección es no vacía. 8 8

9 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ] Año Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Solución Parte II: Apartado a) Sustituendo: Le de probabilidad: N,8 Nivel de confianza: 93%. Es decir z z z El intervalo de confianza para la media poblacional tiene la siguiente epresión: z, z n n

10 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] 8 z, z , , n n Apartado b) 6.1, El tamaño de la muestra seleccionada se calcula mediante la siguiente epresión: z n error Los datos de los que disponemos son lo siguientes: Error máimo:. Nivel de confianza: 99%. Es decir z. 7 Le de probabilidad: N,8 De esta forma: z n error (.7) En consecuencia, el tamaño de la muestra debe ser de 106 individuos. - Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura 6. 10

11 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ] Año 007 Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: OPCIÓN B Ejercicio 1: Una fábrica produce bombillas de bajo consumo que vende a 1 euro cada una, focos halógenos que vende a 1. euros. La capacidad máima de fabricación es de 1000 unidades, entre bombillas focos, si bien no se pueden fabricar más de 800 bombillas ni más de 600 focos. Se sabe que la fábrica vende todo lo que produce. Determine cuántas bombillas cuántos focos debe producir para obtener los máimos ingresos posibles cuáles serían éstos. Solución: Apartado a) Notaremos mediante a la bombillas por a los focos. Con esta notación construimos: Maimizar 1. Sujeto a: Representemos ahora la región de soluciones factibles luego determinaremos los puntos vértices del polígono de soluciones posibles para determinar cual de ellos maimiza la función objetivo. 11

12 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 7. + = 1000 (0,600) X=800 = 600 (800,00) (400, 600) (800,0) Los puntos de corte son (0, 600), (800, 0), (400, 600) (800, 00). Veamos los valores que toma la función objetivo: f (, ) 1. f (0,600) 1.(600) 900 f (800,0) 800 f (400,600) (600) 1300 f (800,00) (00) 1100 Es decir, la función objetivo alcanza su máimo en el punto (400, 600). Esto significa que deben fabricarse 400 bombillas 600 focos halógenos para obtener un beneficio máimo de 1300 euros. 1

13 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ] Año Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura 8. Figura 9. 13

14 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio : 3 a) La función f ( ) a b tiene un etremo relativo en = un punto de infleión en = 3. Calcule los coeficientes a b determine si el citado etremo es un máimo o un mínimo relativo. b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función de abscisa = 3. g ( ) en el punto Solución: Apartado a) La función f () tiene un etremo relativo en el punto =. Entonces f ( ) 0. Como f ( ) 3 a b f () 1 4a b 0. La función también tiene un punto de infleión en = 3. Entonces f ( 3) 0. Como f ( ) 6 a f (3) 18 a 0. Obtenemos el sistema: 1 4a b 0 18 a 0 a 9; b 4 3 Por tanto f ( ) 9 4. Estudiemos si la función tiene un máimo o un mínimo relativo: f () 6() ( 9) En el punto =, la función tiene un máimo. Apartado b) Calculemos la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g en = 3: Hallaremos la pendiente de la recta tangente a la curva, calculando el valor que toma la primera derivada en = 3. 14

15 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ] Año 007 g(3) 3 g ( ) m La epresión de la recta que pasa por el punto 0, 0 tiene pendiente m es la siguiente: m 0 0 es: Para = 3, g 3 = 3. Entonces la recta que pasa por el punto (3, 3) tiene pendiente m = -, Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura 10. Figura 11. 1

16 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 1. Figura 13. Figura

17 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ] Año 007 Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio 3: Parte I En un tribunal se han eaminado 140 alumnos de un Instituto A 10 de otro Instituto B. Aprobaron el 80% de los alumnos del A el 7% del B. a) Determine el tanto por ciento de alumnos aprobados por ese tribunal. b) Un alumno, elegido al azar, no ha aprobado, cuál es la probabilidad de que pertenezca al Instituto B? Parte II Para estimar la proporción de estudiantes de una Universidad que está a favor de un aumento del importe de las becas, se entrevistó, aleatoriamente, a 00 estudiantes, de los cuales 46 respondieron afirmativamente. Calcule el intervalo de confianza, al 98%, en el cual se hallará la proporción de la población universitaria que está a favor de la cuantía de las becas. Solución Parte I: Apartado a) 80 (140) El 80% de los 140 alumnos del Instituto A es igual a: (10) El 7 % de los 10 alumnos del Instituto B es igual a: Número total de alumnos eaminados: = 90. Total de alumnos aprobados: = 0. 0 Porcentaje de alumnos que aprobó el tribunal: (100) 7.86%. 90 Apartado b) Presentamos dos formas para su solución: 17

18 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] A B Totales Aprobado Suspenso Totales P B Suspenso 4 70 También se puede resolver mediante el Teorema de Baes: Por otro lado: P P P B Suspenso Suspenso BP B 4 PSuspenso Aprobado A Aprobado PAP PB P Aprobado B P Suspenso PAprobado Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura 1. 18

19 [RESOLUCIÓN DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD ] Año 007 Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Solución Parte II: Tenemos que construir un intervalo de confianza para una proporción poblacional. Dicho intervalo es el siguiente: pˆ z pq ˆ ˆ, pˆ z n 46 La proporción p ˆ 0.93 qˆ pq ˆ ˆ n Debemos calcular un intervalo de confianza al 98%. Entonces: Calculemos ahora el valor de la desviación típica: Así z z z pq ˆ ˆ n poblacional: Uniendo los resultados anteriores, construimos el intervalo de confianza para la proporción , , , 0.97 La probabilidad de obtener un cinco se estima que está entre el 90.3% el 9.7% con un nivel de confianza del 98%. 19

20 PRUEBAS PAU [EDUCANDO CON WIRIS] - Ahora lo resolveremos con Wiris: Figura 16. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: 0