Transformaciones 2D. Andrea Rueda. Introducción a la Computación Gráfica. Pontificia Universidad Javeriana Departamento de Ingeniería de Sistemas

Transcripción

1 Introducción a la Computación Gráfica Andrea Rueda Pontificia Universidad Javeriana Departamento de Ingeniería de Sistemas

2 Transformaciones Transformaciones geométricas o de modelado: Operaciones que se aplican a descripciones geométricas de objeto(s) para cambiar su posición, orientación y/o tamaño. Para qué? Construir una escena. Descripción jerárquica de objetos complejos. Descripción de movimiento de objetos durante una secuencia. Vistas desde diferentes ángulos.

3 Transformaciones geométricas básicas: Traslación. Rotación. Cambio de escala. Reflexión. Inclinación.

4 Para mayor eficiencia, las transformaciones pueden combinarse en una sola operación. Esto requiere la definición de coordenadas homogéneas: Expandir (x, y) a (xh, yh, h) (h x, h y, h): x= x h h y= y h h h: parámetro homogéneo (valor distinto de 0).

5 Traslación: Cambiar la posición actual a un nuevo punto en el espacio de coordenadas. Mover la posición original a lo largo de una trayectoria en línea recta hacia una nueva ubicación. Para un objeto, todas las posiciones de coordenadas se modifican en la misma proporción, así el objeto completo se muestra en la nueva ubicación.

6 Traslación: posición original. 35 y x

7 Traslación: movimiento traslación de (-15,5). 40 y x

8 Traslación: Se añaden distancias de traslación a las coordenadas originales. (x, y) (x ', y ' ) x '= x+t x y' = y+t y

9 Traslación: En notación matricial. (x, y) (x ', y ' ) P '= P +T P '= [ x' y ' ] P = [ x y] T = [ t x t y]

10 Traslación (matriz de traslación 2D): Notación matricial (coordenadas homogéneas). (x, y) (x ', y ' ) P '=T (t x, t y ) P [ x ' ] =[1 0 t x y' 0 1 t y ] ] [ x y

11 Traslación inversa: Negación de las distancias de traslación. (x, y) (x ', y ' ) P =T 1 (t x,t y ) P ' [ x 1] =[1 0 t x y 0 1 t y ] [ x' y ' 1 ]

12 Traslación: - Transformación rígida: no deforma los objetos al moverlos. - Traslación de círculos o elipses: trasladar el centro de coordenadas y redibujar la figura.

13 Ejercicio: Dado un objeto definido por los puntos (40,15), (10,35) y (50,55): 1. Construya una matriz que permita trasladar el objeto -5 unidades en x y 25 unidades en y. 2. Aplique la matriz de traslación sobre el objeto.

14 Rotación: Girar el objeto una cantidad específica dada por un ángulo especificado sobre un eje. Recolocar el objeto a lo largo de una trayectoria circular sobre el plano xy. Eje de rotación perpendicular al plano, dado por una coordenada llamada punto de rotación: Ángulos positivos sentido antihorario. Ángulos negativos sentido horario.

15 Rotación: posición original. y x

16 Rotación: rotación de 45 alrededor de (20,5). y x

17 Rotación: De un punto aplicando un ángulo sobre el origen de coordenadas. (x, y) (x ', y ' ) x '= x cosθ y sin θ y' = xsin θ+ y cosθ

18 Rotación: En notación matricial. (x, y) (x ', y ' ) P '= R P P '= [ x' ] R=[ cosθ sin θ] P = [ x y] y ' sin θ cosθ

19 Rotación: De un punto aplicando un ángulo sobre un pivote arbitrario. (x, y) (x ', y ' ) x '= x r +( x x r )cosθ ( y y r )sin θ y' = y r +(x x r )sin θ+( y y r )cosθ

20 Rotación (matriz de rotación 2D): Notación matricial (coordenadas homogéneas). (x, y) (x ', y ' ) P '= R(θ) P [ x ' ] [ cosθ sin θ 0 = sin θ cosθ 0 1 y' 0 0 1] [ x y 1 ]

21 Rotación inversa: Ángulo de rotación negativo. [ x y (x, y) (x ', y ' ) P =R 1 (θ) P ' 1] [ cos θ sin θ 0 = sin θ cosθ 0 1] [ x' y' ]

22 Rotación: - Transformación rígida: no deforma los objetos al rotarlos. - Para líneas y polígonos, se rotan los vértices que lo definen y luego se redibuja el polígono. - Para elipses, se rotan los semiejes.

23 Ejercicio: Dado un objeto definido por los puntos (40,15), (10,35) y (50,55): 1. Construya una matriz que permita rotar el objeto 60. (sin 60 = raiz(3)/2, cos 60 = 1/2). 2. Aplique la matriz de rotación sobre el objeto.

24 Escala: Altera el tamaño del objeto. Se multiplican las posiciones del objeto por factores de escala en cada eje de coordenadas. Valores inferiores a 1 reducen el tamaño. Valores superiores a 1 aumentan el tamaño. Mismos valores en cada eje escala uniforme.

25 Escala: posición original. 35 y x

26 Escala: escala usando factores (2/3, 6/5). 42 y x

27 Escala: Factores de escala diferenciales, uno en la dirección x, otro en la dirección y. (x, y) (x ', y ' ) x '= x s x y' = y s y

28 Escala: En notación matricial. (x, y) (x ', y ' ) P '= S P P '= [ x' y ' ] S =[ s x 0 0 s y] P = [ x y]

29 Escala: Localización controlada, cambiando la escala con respecto a un punto fijo (centroide). (x, y) (x ', y ' ) x ' =x s x + x f (1 s x ) y' = y s y + y f (1 s y )

30 Escala (matriz de cambio de escala 2D): Notación matricial (coordenadas homogéneas). (x, y) (x ', y ' ) P '= S (s x, s y ) P [ x ' ] =[sx y ' s y ] [ x y 1 ]

31 Escala inversa: Factores de escala recíprocos. (x, y) (x ', y ' ) P =S 1 (s x, s y ) P ' [ x y 1] =[1/ s 0 0 x 0 1/ s 0 y [ x' ] 1] y ' 0 0 1

32 Escala: - Para líneas y polígonos, se aplica la escala a cada vértice y se redibuja la línea o polígono. - Para círculos, se escala el radio y se redibuja. - Para elipses, se escalan los semiejes y se redibuja.

33 Ejercicio: Dado un objeto definido por los puntos (40,15), (10,35) y (50,55): 1. Construya una matriz que permita escalar el objeto 1/3 en x y 6/5 en y. 2. Aplique la matriz de escala sobre el objeto.

34 Composición o concatenación de transformaciones: Matriz de transformación compuesta: producto de las transformaciones individuales. P '= M 2 M 1 P P '= M P

35 Traslaciones compuestas: P '=T (t 2x,t 2y ) {T (t 1x, t 1y ) P } P '={T (t 2x,t 2y ) T (t 1x,t 1y )} P P '=T (t 1 x +t 2 x, t 1 y +t 2 y ) P Rotaciones compuestas: P '= R(θ 2 ) {R (θ 1 ) P } P '={R(θ 2 ) R (θ 1 )} P P '= R(θ 1 +θ 2 ) P

36 Cambios de escala compuestos: P '= S (s 2x, s 2y ) {S (s 1x,s 1y ) P } P '={S (s 2x,s 2y ) S (s 1x,s 1y )} P P '=S(s 1 x s 2 x, s 1 y s 2 y ) P

37 Rotación general sobre cualquier punto de pivote:

38 Rotación general sobre cualquier punto de pivote: traslación del objeto y el punto de pivote de forma que éste quede sobre el origen de coordenadas. rotación del objeto sobre el origen. traslación inversa del objeto y el punto de pivote de forma que éste regrese a su posición original. P '={T ( x r, y r ) R(θ) T 1 (x r, y r )} P P '= R( x r, y r,θ) P

39 Cambio de escala general con respecto a cualquier punto fijo:

40 Cambio de escala general con respecto a cualquier punto fijo: traslación del objeto y el punto fijo de forma que éste quede sobre el origen de coordenadas. cambio de escala del objeto con respecto al origen. traslación inversa del objeto y el punto fijo de forma que éste regrese a su posición original. P ' ={T ( x f, y f ) S (s x, s y ) T 1 ( x f, y f )} P P ' =S ( x f, y f, s x, s y ) P

41 Propiedades de la concatenación de transformaciones: Asociatividad: M 3 M 2 M 1 =( M 3 M 2 ) M 1 = M 3 ( M 2 M 1 ) Conmutatividad: M 1 M 2 M 2 M 1 El orden de las transformaciones es importante!

42 Ejercicio: Dadas las matrices de traslación, rotación y escala construídas anteriormente, genere la transformación combinada. En qué orden se deben combinar las matrices para que se aplique primero la traslación, luego la rotación y finalmente la escala?

43 [ x Transformación 2D general: Cualquier combinación de traslaciones, rotaciones y escalas. P ' =T (t x,t y ) R( x c, y c,θ) S (x c, y c, s x,s y ) P ' ] =[sx cosθ s y sin θ x c(1 s x cosθ)+ yc s ysin θ+ t x y ' s x sin θ s y cos θ y c (1 s y cos θ) x c s x sin θ+ t y ] [ x y 1 ]

44 Transformación 2D general: Cualquier combinación de traslaciones, rotaciones y escalas. [ x ' ] =[ rsxx rsxy trs x y ' rs rs trs yx yy y ] [ x y 1 ] x ' =x rs xx + y rs xy + trs x y ' =x rs yx + y rs yy + trs y

45 Transformación 2D rígida: Combinación de traslaciones y rotaciones. [ x P ' =T (t x,t y ) R( x c, y c,θ) P ' ] =[cosθ sin θ x r(1 cosθ)+ y r sin θ+ t x y ' sin θ cos θ y r (1 cosθ) x r sin θ+ t y ] ] [ x y

46 Transformación 2D rígida: Combinación de traslaciones y rotaciones. [ x ' ] =[ r r xx xy trx y ' r r tr yx yy y ] [ x y 1 ] x ' =x r xx + y r xy + tr x y ' =x r yx + y r yy + tr y

47 Reflexión: Producir la imagen de un objeto en un espejo. Escoger un eje de reflexión, y rotar el objeto 180 sobre dicho eje.

48 Reflexión sobre eje x (y=0): (x, y) (x ', y ' ) y x '= x y' = y [ x' y ' P '=F x P ] [ = ] 0 0 1] [ x y x

49 Reflexión sobre eje y (x=0): (x, y) (x ', y ' ) y x '= x y' = y P '=F y P [ x' ] [ = y ' 0 0 1] [ x y 1 ] x

50 Reflexión relativa al origen de coordenadas: (x, y) (x ', y ' ) y x '= x y' = y [ x' y ' P '=F xy P ] [ = ] [ x y 1 ] x

51 Reflexión relativa a un punto (xrf,yrf): (x, y) (x ', y ' ) y x '= x+ x rf y' = y+ y rf P '=F p P xrf,yrf [ x' ] =[ 1 0 xrf y ' 0 1 y rf ] ] [ x y x

52 Reflexión sobre la línea diagonal x=y: (x, y) (x ', y ' ) y x '= y y' = x P '=F d P [ x' ] [ = y ' 1] 0 0 1] [ x y x

53 Reflexión sobre la línea diagonal x=y: Equivalente a concatenar rotaciones y reflexiones: rotación de 45 en sentido horario. reflexión sobre el eje x. rotación de 45 en sentido antihorario.

54 Reflexión sobre cualquier línea y=mx+b: Combinación de traslaciones, rotaciones y reflexiones: traslación de la línea y el objeto para que la línea pase por el origen rotación de la línea y el objeto hacia algún eje de coordenadas para que la línea quede sobre el eje reflexión del objeto sobre dicho eje rotación inversa del objeto traslación inversa del objeto

55 Ejercicio: Dado un objeto definido por los puntos (40,15), (10,35) y (50,55): 1. Construya una matriz que permita reflejar el objeto con respecto al origen de coordenadas. 2. Aplique la matriz de reflexión sobre el objeto.

56 Inclinación: Desplazamiento de cada punto de forma proporcional a la distancia a una línea paralela a la dirección de distorsión. Modifica o distorsiona una figura, convirtiendo cuadrados en paralelogramos y círculos en elipses.

57 Inclinación en dirección x: (x, y) (x ', y ' ) y x ' =x+ sh x y y ' = y P '=H x P [ x' ] =[1 shx 0 [ x y ' ] y ] y x x

58 Inclinación en dirección y: (x, y) (x ', y ' ) y x ' =x y'= y+sh y x P '=H y P x y [ x' y ' 1 ] =[ ] sh y ] [ x y x

59 Ejercicio: Dado un objeto definido por los puntos (40,15), (10,35) y (50,55): 1. Construya una matriz que permita inclinar el objeto 3 unidades en dirección x. 2. Aplique la matriz de inclinación sobre el objeto.

60 Ejercicio - Descargar el código de aplicación de transformadas compuestas: sophia.javeriana.edu.co/~rueda-andrea/intrco Gr/docs/transfCompuestas.cpp - Analizar su funcionamiento, y modificarlo para probar todas las posibles combinaciones del orden de las transformaciones

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62 Referencias D. Hearn, M.P. Baker. Gráficos por computadora con OpenGL, 3a edición. Pearson Prentice Hall, J.D. Foley, A. van Dam, S.K. Feiner, J.F. Hughes. Computer graphics: principles and practice, 2 nd edition in C. Addison-Wesley, 1996.