INTERPOLACIÓN NUMÉRICA Y APROXIMACIÓN NUMÉRICA.

Transcripción

1 2.3.-Interpolacion y aproximacion.nb 1 INTERPOLACIÓN NUMÉRICA Y APROXIMACIÓN NUMÉRICA. INTERPOLACIÓN NUMÉRICA El comando InterpolatingPolynomial. Este comando permite obtener el polinomio de interpolación tomando como argumento una lista con las coordenadas (abscisas y ordenadas) de los puntos por los que tiene que pasar exactamente el polinomio de interpolación. El resultado que se obtiene es una función que se puede evaluar en cualquier punto y representar gráficamente. Tiene la forma correspondiente al polinomio de interpolación de Newton con diferencias divididas. La forma básica de este comando es la siguiente: InterpolatingPolynomial[datos, var]. Ejemplo: Dada la siguiente tabla, x i 0 f i Se pide: 1º.- Obtener en primer lugar el polinomio de interpolación correspondiente, y representarlo junto con los datos. 2º.- Obtener un valor aproximado de f(1.5) mediante un polinomio de interpolación de 2º grado.representar este polinomio junto con los datos. 3º.- Idem. para obtener un valor aproximado de f(3.5) mediante un polinomio de interpolación de tercer grado. datos = 880, 5<, 81, 1<, 82, 9<, 83, 25<, 84, 55<<; TableForm@Transpose@datosD, TableHeadings 88"x i ", "f i "<, None<D x i 0 f i º.- datos = 880, 5<, 81, 1<, 82, 9<, 83, 25<, 84, 55<<; p@x_d = InterpolatingPolynomial@datos, xd 5 + H6 + H 1 + xl 2 L x

2 2.3.-Interpolacion y aproximacion.nb 151 puntos = ListPlot@datos, PlotStyle PointSize@0.02DD poli = Plot@p@xD, 8x, 0, 4<, PlotStyle RGBColor@1, 0, 0DD

3 2.3.-Interpolacion y aproximacion.nb 152 Show@puntos, polid 2º.- datos2 = 881, 1<, 82, 9<, 83, 25<<; p2@x_d = InterpolatingPolynomial@datos2, xd; p2@1.5d 4. poli2 = Plot@p2@xD, 8x, 0, 4<, PlotStyle RGBColor@1, 0, 0DD

4 2.3.-Interpolacion y aproximacion.nb 153 Show@puntos, poli2d 3º.- datos3 = 881, 1<, 82, 9<, 83, 25<, 84, 55<<; p3@x_d = InterpolatingPolynomial@datos3, xd; p3@3.5d poli3 = Plot@p3@xD, 8x, 0, 4<, PlotStyle RGBColor@1, 0, 0DD

5 2.3.-Interpolacion y aproximacion.nb 154 Show@puntos, poli3d à Ejercicios 1º.- Dada la siguiente tabla de puntos x i f i se pide: a) Obtener el polinomio de interpolación correspondiente a dicho conjunto de datos. b) Representar gráficamente dichos puntos y el polinomio de interpolación en un mismo gráfico. c) Añadir a la tabla el dato : f(0.47) = , y calcular el polinomio de grado 4º correspondiente. datos = 880.3, <, 80.37, <, 80.41, <, 80.52, <<; 1 2º.- Calcular el polinomio de interpolación que interpola a f(x) = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ en los puntos x 1+x 2 0 = -6, x 1 = -5,...x 11 = 5 y x 12 = 6. Representar este polinomio junto con la función en un mismo gráfico para comprobar el denominado "efecto Runge".Obtener en este caso el error absoluto al aproximar el valor de la función en x=5.5 mediante el polinomio de interpolación. Repetir calculando los polinomios de interpolación con 5 y 9 nodos igualmente espaciados en el intervalo [-6,6]. f@x_d = x 2 ;

6 2.3.-Interpolacion y aproximacion.nb 155 3º.- Encontrar un valor aproximado de y(23) usando los datos de la siguiente tabla: a) A partir de un polinomio de primer grado. b) A partir de un polinomio de segundo grado. c) A partir de un polinomio de tercer grado. datos = 88, <, 8, 0.342<, 8, 0.5<, 8, <, 8, <, 860, <<; 4º.- Si se denota por P 2 [x] al polinomio que interpola a f(x) = e x en los nodos : -1, -0.75, -0.5, y por R 2 HxL al error debido a la aproximación de y = e x mediante el polinomio de interpolación, obtener una cota máxima del error cometido sabiendo que : n R n HxL = Hx - x i L f n+1l HxL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ i=0 Hn+1L! Representar la función que da el error real en [-1,-0.5] y comprobar que su máximo valor en dicho intervalo es inferior a la cota máxima obtenida. Qué error se comete al aproximar la función en x=-0.3 mediante P 2 HxL? Representar la función error y la cota máxima en el intervalo [-2,0]. Qué se puede decir a la vista de la gráfica? datos = 88 1, Exp@ 1.D<, , Exp@ 0.75D<, 8 0.5, Exp@ 0.5D<<;

7 2.3.-Interpolacion y aproximacion.nb 156 APROXIMACIÓN NUMÉRICA. El comando Fit El comando Fit permite obtener la función de aproximación que mejor se ajusta, según el criterio de mínimos cuadrados, y en el caso lineal, a un conjunto de datos. Dicha función de aproximación se calcula como combinación lineal de un conjunto de funciones. Si dichas funciones son : { 1, x, x 2,.. }, el ajuste es de tipo polinómico, pero se pueden utilizar también otro tipo de funciones como exponenciales, trigonómétricas, etc.. La forma básica de este comando es la siguiente: Fit[datos, funciones, variables} Ejemplo : Calcular la recta y parábola que mejor se ajustan al siguiente conjunto de datos que vienen dados en la siguiente x i 5 tabla : f i Representar gráficamente el conjunto de puntos junto con cada una de las dos aproximaciones obtenidas. Calcular los errores cuadráticos medios cometidos en cada ajuste. 1º.- Cálculo de la recta y la parábola datos = 881, 2<, 82, 3<, 83, 5<, 84, 7<, 85, 11<, 86, 13<, 87, 17<, 88, 19<, 89, 23<, 8, 29<<; 2º.- Gráficas p1@x_d = Fit@datos, 81, x<, xd; p2@x_d = Fit@datos, 81, x, x^2<, xd;

8 2.3.-Interpolacion y aproximacion.nb 157 puntos = ListPlot@datos, PlotStyle > PointSize@0.02D, AxesOrigin 80, 0<D recta = Plot@p1@xD, 8x, 0, <, PlotStyle RGBColor@1, 0, 0DD

9 2.3.-Interpolacion y aproximacion.nb 158 Show@recta, puntosd parabola = Plot@p2@xD, 8x, 0, <, PlotStyle RGBColor@1, 0, 0DD

10 2.3.-Interpolacion y aproximacion.nb 159 Show@parabola, puntosd º.- Errores e1 = Hdatos@@i, 2DD p1@datos@@i, 1DDDL 2 i=1.097 è!!!!!!!!!!!!!! e1 ê e2 = Hdatos@@i, 2DD p2@datos@@i, 1DDDL 2 i= è!!!!!!!!!!!!!! e2 ê

11 2.3.-Interpolacion y aproximacion.nb 160 à Ejercicios 1º.- Hallar el polinomio que mejor se ajuste a los datos de la siguiente tabla utilizando la técnica de mínimos cuadrados: x i f i datos = 881, 4<, 82, 7<, 83, 9<, 84, <, 85, 9<, 86, 7<, 87, 4<<; 2º.- Ajustar los datos de la tabla siguiente mediante una parábola mediante la técnica de mínimos cuadrados. Determinar el error mínimo cuadrático. x i f i datos = , <, 80.25, 1.28<, 80., <, 80.75, <, 81.00, <<; 3º.- Dada la tabla : x i f i utilizar la técnica de mínimos cuadrados para obtener el mejor ajuste de estos valores. Realizar en primer lugar la representación gráfica de los puntos. A partir de la misma se observa que las funciones que mejor se pueden aproximar son: a) Una recta b) Una exponencial. Calcular los errores cuadráticos medios en ambos casos para decidir cuál es el mejor ajuste. datos = , 5.<, 81.25, 5.79<, 81., 6.53<, 81.75, 7.45<, 82.00, 8.46<<; 4º.- Cuando el crecimiento de una población está acotado por un valor constante L sigue una curva logística de la forma : L y(x) = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. Realizando el cambio de variable adecuado (L/y -1 = B e Ax ) encontrar la curva logística correspondiente 1+Be Ax a L = 800 millones, para los datos de la tabla : Año x i y i Estimar la población del año 00.

12 2.3.-Interpolacion y aproximacion.nb 161 datos = 88, 5.3<, 8 5, 23.2<, 80, 76.1<, 85, 152.3<<; 5º.- Realizar un ajuste de la forma f(x) = A cos(x) + B sen(x) para los datos de la siguiente tabla: x k y k Calcular el error cometido y representar gráficamente los puntos dados y la función de ajuste. tabla = , <, 8 1.5, <, 80.0, 0.83<, 81.5, <, 83.0, 0.51<<;