Tarea 1 - Vectorial

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1 Tarea - Vectorial 040. Part : Hacer parametrización de la curva de intersección del cilindro x + y = 6 y el plano x + z = 5. Encontrar las coordenadas de los puntos de la curva donde la curvatura toma su valor maximo. Hallar el valor maximo de la curvatura de la curva. Solución:???????????????????????.. f(x, y) Gráfico Curvas de nivel f(x, y) = x + y + f(x, y) = sin x + y f(x, y) = (3y x )e x y f(x, y) = y 3 3x y f(x, y) = x y e x y f(x, y) = ye x y A B C D E F

2 G H I J K L Solución:???????????????????????.3. Probar que si una curva parametrizada r = r(t) pertenece a la esfera x + y + z =, entonces el vector tangente d r es ortogonal al vector posición r(t) para cualquier valor de dt parámetro t. Solución:???????????????????????.4. Para cada una de las ecuaciones paramétricas: () r(t) = (cos(t), sin(t)), t ( π/, π); () r(t) = (t, t 3 ), t (, ); (3) r(t) = (t, t), t (0, ); (4) r(t) = ( sin(t), cos(t)), t (0, π); (5) r(t) = (t, t), t (, ); (6) r(t) = (e t cos(t), e t sin(t)), t [0, 0]; identificar la curva correspondiente:

3 3 A B C D E F y el gráfico de su curvatura:

4 4 I II III IV V VI Solución., D, V;, C, I; 3, B, VI; 4, F, III; 5, A, IV; 6, E, II..5. Un ingeniero está diseñado el pedazo de una via de ferrocarril que pasa por un terreno en forma de polígono con vértices (, 0), (, 0), (, ), (, ), (, 0), (, ), (, ) (ver la figura abajo).

5 La via debe comenzar en el punto (, 0) y terminar en el punto (, 0), y de acuerdo del pliego de condiciones la curvatura en cada punto de la via debe ser menor o igual que k 0 =. El ingeniero piensa a deseñar la via en la forma de parábola y = ax + bx + c, pero puede encontrar los coeficientes a, b, c para se cumplen todas las condiciones necesarias? Solución. La condición que la via pase por los puntos (, 0) y (, 0) nos da el sistema de ecuaciones 0 = 4a b + c, 0 = 4a + b + c entonces la parte de la parábola tiene ecuación y = a(x 4), x. Cómo la parábola está dentro el polígono, entonces / a /3. Tomemos la parametrización de la parábola x = t, y = a(t 4), t. La curvatura de la curva es k(t) = x y x y (x ) + (y ) 3 = a (4a t + ) Entonces el valor máximo de la curvatura de la parábola es igual k max = a y para a = / obtenemos que k max =. Por lo tanto se puede tomar la parábola y = x /. 5 Respuesta. Sí, la parábola y = x /..6. La forma de uno de los dos cables principales de un puente colgante esta dado por la curva y = ex +e x para x variando en el intervalo x (con unidades medidas en kilómetros). () Qué longitud total tiene el cable? () El fabricante del cable nos informa que hubo un problema en la fundición y que el cable es muy débil a aproximadamente.0 Km de longitud. Encuentre las coordenadas (x, y) del punto débil del cable para poder reforzarlo. Solución: (a) La longitud del cable esta dada por la integral + (y (x)) dx. Calculamos ( ) e + (y (x)) x e x = + = + ex + e x = 4 luego = ex + e x (y (x)) dx = ( e x + e x = ) e x + e x dx = sinh() sinh( ) = e e =.3504Km

6 6 Asi que el cable mide aproximadamente.3504km. (b) Queremos encontrar en que punto x = L la longitud del cable es igual a un kilómetro. Asi que tenemos que despejar L de la ecuación Por el punto anterior sabemos que = L + (y (x)) dx L + (y (x)) dx = sinh(l) sinh( ) luego concluimos que sinh(l) = + sinh( ) asi que L = sinh ( + sinh( )) = Asi que, reemplazando x = en la ecuacion del cable para encontrar la coordenada y concluimos que el punto de fragilidad se encuentra aproximadamente en la posición (x, y) = ( 0.743,.053)..7. Considere la curva dada en coordenadas polares por r = cos(θ), 0 θ π. () Dibujar la curva. Ayuda: Dibujar el gráfico de la función r(θ) y usar la relación x = r cos θ, y = r sin θ. () Hallar la longitud de la curva. Solución: (a) Dibujamos las curvas parametricas θ = θ, r(θ) = cos(θ). (Usando SAGE (http://www.sagemath.org/), que es gratis, es muy fácil: f=(lambdat:t,lambdat:-cos(t)) parametric.plot(f,(0,*pi)) Para el dibujo en las coordenadas x, y dibujamos la curva paramétrica x(θ) = ( cos(θ)) cos(θ), y(θ) = ( cos(θ)) sin(θ) y la gráfica resultante es

7 (b) La curva parametrizada cuya longitud queremos calcular es, para θ en [0, π]. Luego su longitud se calcula como π 0 x(θ) = ( cos(θ)) cos(θ) y(θ) = ( cos(θ)) sin(θ) x (θ) + y (θ) dθ = π = π 0 0 sin (θ) + ( cos(θ)) dθ = cos(θ)dθ = Ahora, las identidades de angulos dobles convierten cuadrados de senos y cosenos de θ en funciones lineales de senos y cosenos de θ y viceversa. cos(θ) = sin (θ/) luego la integral de arriba es igual a π ) [ dθ = 4 cos 0 4 sin ( θ ( )] [ π 4 cos ( )] 0 = 8.8. Encontrar los puntos en el gráfico de la función z = f(x, y) = x + xy donde el plano tangente al gráfico es paralelo al plano x + y + z = 0. El plano tangente al gráfico de la función f(x, y) = x + xy en el punto (a, b, f(a, b)) es z f(a, b) = f f (a, b)(x a) + (a, b)(y b) x y

8 8 entonces el vector normal al plano tangente es ( ) f f N = (a, b), (a, b), x y Los planos son paralelos si y sólo si (a + b, a, ) = λ(,, ) por lo tanto a =, b =, λ = y el punto es (,, 0). = (a + b, a, ). Respuesta. El punto (,, 0)..9. Hallar la recta tangente a la curva de intersección de los gráficos de las funciones z = x + y y z = 3x y en el punto (,, ). La recta tangente a la curva de intersección de dos superficies en un punto es la recta de intersección de los planos tangentes a las superficies en este punto. El plano tangente al gráfico de una función f(x, y) tal que f(, ) = en el punto (,, ) es z = f f (, )(x ) + (, )(y ) x y Entonces, si f(x, y) = x + y, tenemos que f(, ) =, y el plano tangente es z = (x ) + (y ) x + y z =, y si g(x, y) = 3x y, entonces g(, ) = y el plano tangente es z = 6(x ) (y ) 6x y z =. Por lo tanto la recta tangente es dado por el sistema: x + y z =, 6x y z =. Ahora bien, encontremos la ecuación paramétrica de esta recta. Los vectores normales de los planos son N = (,, ), N = (6,, ), entonces el vector director de la recta tangente es, v = N N i j k = 6 = 4 i 4 j 6 k. Por lo tanto una ecuación paramétrica de la recta tangente es x(t) = + t, y(t) = + t, z(t) = + 4t. Respuesta. x(t) = + t, y(t) = + t, z(t) = + 4t.

9 9.0. Existe una función f(x, y) diferenciable tal que: () f x = x 3, f y = y () f x = 4xy y, f y = x x (3) f x = 3x, f y = y (4) f x = 4xy, f y = x + x Solución:???????????????????. Part : Es cierto que la recta que pasa por los puntos (0, 0, ) y (, 0, 3) es tangente a la gráfica de la función f(x, y) = + x x y? Justifique su respuesta. (Hint: Note que el punto (0, 0, ) está en la gráfica de f.) Solución: La recta que pasa por los puntos (0, 0, ) y (, 0, 3) está justo encima del eje x. Como el punto (0, 0, ) está en la gráfica de f, dicha recta es tangente a la gráfica de f si y sólo si su pendiente vertical es igual a la derivada direccional de f en la dirección (, 0). La pendiente vertical de la recta es m = 3 =. El gradiente de f es f(x, y) = ( x, y), 0 por lo que la derivada direccional de f en la dirección (, 0) es f(0, 0) (, 0) = (, 0) (, 0) =. Esto prueba que la recta sí es tangente a la gráfica de f... Encuentre el máximo crecimiento de la función f(x, y) = tan(xy) en el punto (0, ), y la dirección en la que este ocurre. Solución: El máximo crecimiento de la función f(x, y) se da en dirección de su gradiente f(x, y) = ( f x, f y ) = (sec (xy) y, sec (xy) x), que en el punto (0, ) es f(0, ) = (, 0). f(0, ) (, 0) = (, 0) (, 0) =. En esta dirección, el crecimiento es igual a.3. () Supongamos que f(x, y) es una función diferenciable, y sea g(u, v) = f(u v, v 4u). Hallar g u (, ) y g v (, ) si f x (0, 0) = 4, f y (0, 0) = 8. () Probar que la función f(x, y) = g(x y) + h(x + y) es una solución de la ecuación diferencial parcial f f = 0 para funciones g(t) y h(t) cualesquiera. x y Solución: a) Tenemos que entonces g u (u, v) = f x (u v, v 4u) + f y (u v, v 4u) ( 4), g v (u, v) = f x (u v, v 4u) ( ) + f y (u v, v 4u) (v), b) Por la regla de cadena, f dg (x, y) = x dt t=x y dg (x, y) = f y g u (, ) = f x (0, 0) + f y (0, 0) ( 4) = 4, dt t=x y g v (u, v) = f x (0, 0) ( ) + f y (0, 0) 4 = 8. x y dh (x y) + dt dh (x y) + t=x+y dt t=x+y (x + y) = x g (x y) + h (x + y), (x + y) = y g (x y) + h (x + y),

10 0 luego, en la misma manera, tenemos que f x (x, y) = g (x y) + h (x + y), por lo tanto f x (x, y) = f y (x, y). Respuesta. g u (, ) = 4, g v (, ) = 8. f y (x, y) = g (x y) + h (x + y),.4. Verifique que la ecuación yz = ln(x+z) define implícitamente una función diferenciable z = f(x, y) alrededor del punto (x, y, z) = (0, 0, ), y encuentre las derivadas parciales f f y. Solución: La ecuación es equivalente a yz ln(x + z) = 0. Definamos entonces F (x, y, z) = yz ln(x+z). Nótese que F (0, 0, ) = 0. Además, la derivada parcial es igual a y, y z x+z evaluando en (0, 0, ) tenemos (0, 0, ) = 0 =. El teorema de la función inplícita z 0+ asegura entonces que la ecuación yz ln(x + z) = 0 define implícitamente una función diferenciable z = f(x, y) alrededor del punto (x, y, z) = (0, 0, ). Sus derivadas parciales son z x = x z z y = y z = x+z y x+z = z y x+z = = y(x + z), z(x + z) y(x + z)..5. Para qué valores del número a es cierto que la ecuación y ay + x = 0 define implícitamente una función diferenciable y = f(x) alrededor del punto (x, y) = (0, a)? Solución: Definamos F (x, y) = y ay + x. Nótese que F (0, a) = 0. La derivada parcial es y a, y evaluando en (0, a) tenemos (0, a) = a. Si a 0, el teorema de la función y y implícita asegura entonces que la ecuación y ay + x = 0 define implícitamente una función diferenciable y = f(x) alrededor del punto (x, y) = (0, a). Si a = 0 la ecuación es y x = 0, que de su gráfica es claro que no define una función diferenciable y = f(x) alrededor de (0, 0). Por lo tanto, la respuesta es: para todo número a Considere la curva dada implicitamente por x 3 3x y 3xy y 3 + x 4xy + y + 4x + 4y = 0 () Haga un dibujo de la curva para 3 x 3 y 3 y 3 (usando un computador). () Verifique que el punto de coordenadas (, ) pertenece a la curva y utilice el Teorema de la funcion implicita para demostrar que los puntos de la curva cerca de (, ) son el gráfico de una función diferenciable y = f(x). (3) Calcule f(), f (), f () (4) Usando los números que calculó en la parte (c) dibuje, en un solo plano cartesiano, las gráficas de la curva y de los polinomios y = f() + f ()(x ) y = f() + f ()(x ) + f () (x ) usando colores diferentes. x y

11 Solución: (a) La gráfica de la figura en el rango (note que (, ) corresponde al punto rojo) pedido es, (b) Definimos la función F (x, y) como, F (x, y) = x 3 3x y 3xy y 3 + x 4xy + y + 4x + 4y Note que esta es una función diferenciable en R porque es un polinomio. F (, ) = = 0 así que (, ) es un punto en la curva. Además y = 3x 6xy 3y 4x + 4y + 4 luego (, ) = = 8 0 así que por el teorema de la función y implícita concluimos que los puntos de la curva cerca de (, ) son el gráfico de una función diferenciable y = f(x). (c) Haciendo y = f(x) sabemos que la función f(x) satisface la igualdad F (x, f(x)) = 0 para todo x en algun intervalo cerca a x =. De ahi concluimos, mediante regla de la cadena luego f () = 8 8 f (x) = x y (x, f(x)) (x, f(x)) = y tambien, derivando una segunda vez que f (x) = F xx F xy f (x) (F xy F yy f (x))f (x) F y luego f () =. (d) En color naranja dibujamos el polinomio y = + ( )(x ) y en color verde la parábola

12 y = + ( )(x ) + (x ) En general las aproximaciones de taylor de la función f(x) nos dan buenas aproximaciones de la curva C cerca del punto (, ) y es fácil calcular esos coeficientes usando el teorema de la función implícita. Asi que podemos pensar en el teorema de la función implícita como un método para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones funcionales..7. La altura de una montaña se describe por la función z = 4x 3y. () Dibujar la curva de nivel de la altura que pasa por el punto (, ). () A qué tasa cambia la altura de la montaña en la dirección del vector v = i j en el punto Q(, )? (3) Una bola pesada está bajando por la montaña siguiendo el camino de mas rapido descenso y pasa por el punto P (,, 4). Encontrar una ecuación de la recta l tangente a la trayectoria de la bola a lo largo de la montaña en el punto P. Solución:????????????????????????.8. Sea f(x, y) = Hallar f(0, 0), f x (0, ), f y (, 0), f xy (0, 0). sin(x) y dt t 4

13 Solución:???????????????????.9. Encuentre la ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de intersección del paraboloide z = 4 x y con el elipsoide 4x + y + z = 9 en el punto P (,, )..0. Responda Falso o Verdadero y justifique su respuesta. El vector v = i j es tangente a la superficie definida por xy + yz + xz = 3 en el punto (,,). Solución:????????????????????? 3

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