Consideremos los siguientes experimentos aleatorios

Transcripción

1 69 Veremos e lo que sigue uevas variables aleatorias discretas. Estas variables y sus distribucioes se utiliza como modelos e muchas alicacioes estadísticas. Distribució Biomial Cosideremos los siguietes eerimetos aleatorios ε : Ua moeda es arrojada 4 veces. ε 2 : Ua caja cotiee bolita roja y 9 bolitas egras. Se realiza 5 etraccioes co reosició. ε 3 : U lote cotiee artículos que cumle (E) co las esecificacioes y otros que o las cumle (F). Los eerimetos ε, ε 2, ε 3 so eerimetos biomiales Defiició U eerimeto se deomia Biomial si satisface las codicioes siguietes. El eerimeto costa de ruebas o reeticioes, se fija ates de realizar el eerimeto. 2. Las ruebas so idéticas y e cada rueba uede ocurrir uo de los dos sucesos osibles, que deomiamos Éito (E) y Fracaso (F). 3. Las ruebas so ideedietes, es decir que el resultado de ua rueba o ifluye sobre el de las otras. 4. La robabilidad de Éito (P(E)) se matiee costate e todas las ruebas. Cada rueba se deomia esayo de Beroulli.

2 70 Ejemlos ε, Éito es el suceso sale cara. ε 2, Éito es el suceso se etrae ua bolita roja Cosideremos el siguiete eerimeto ε 4 : Ua caja cotiee bolita roja y 9 bolitas egras. Se realiza 5 etraccioes si reosició, Éito es el suceso se obtiee ua bolita roja Es ε 4 u eerimeto Biomial? Sea B el suceso salió roja e la rimera etracció y B 2 el suceso salió roja e la seguda etracció P ( B2 B ) 0 P( B2 ) o se verifica la tercera codició de eerimeto biomial tamoco se verifica la seguda ya que las ruebas o so idéticas (la comosició de la ura varía) la cuarta codició sí se satisface. Variable aleatoria biomial Defiició: Sea X catidad de éitos e u eerimeto Biomial que costa de ruebas co robabilidad de éito. Decimos que X es ua variable aleatoria co distribució Biomial de arámetros y. Notació: X ~ Bi (,). 0

3 7 Ejemlo: Seguimos co el eerimeto ε 2 X catidad de bolitas rojas etraídas 5 bolitas co reosició 5 0. X ~ Bi (5, 0.), R X P ( X ) X ( ) P ( roja) R N N N N N R N N N 5 5! N N R N N roja 5 sucesos elemetales!4! N N N R N N N N N R P( roja ) P ( R N N N N) + P ( N R N N N) + P ( N N R N N) + P ( N N N R N) + P ( N N N N R ) 5 P ( R N N N N) 5 (0.) (0.9) 4 Luego P ( X ) 5!!4! (0.) (0.9) 5-

4 72 X 2 R R N N N N R R N N N N R N R R N R N N N R N R N N N N R R R N N R N N R N N R R N N N R N N R R N 5 5! 2 2!3! 0 5 P (X 2) 2 (0.) (0.9) P (X ) (0.) (0.9) 5- : 0,, 2, 3, 4, 5 Cuál es el esacio muestral asociado a ε 2? Es de equirobabilidad? E geeral: Si X ~ Bi (,) i) X () ( ) ( - ) - : 0,,..., Verifiquemos que ( ) X ( ) X ( ). ( + ( ) ). Hemos usado la fórmula del Biomio de Newto: ( a + b) 0 ii) E ( X ) a b iii) Var ( X ) (- ).

5 73 Ejemlo: Se fabrica diariamete N uidades de u roducto. Se etrae ua muestra de 0 uidades si reosició. Llamamos éito ( E ) al suceso la uidad es buea Es u eerimeto biomial?... Si / N < 0.05, si se etrae meos del 5% de la oblació, se uede usar la aroimació biomial auque el muestreo se realice si reosició Suogamos que de las so bueas P ( 4 a buea ) P ( 4 a buea / saliero a, 2 a, 3 a malas) P ( 4 a buea / saliero a, 2 a, 3 a bueas) Falla u oco la codició de ideedecia. Ejemlo: X ~ Bi (0, 0.) Tablas P( X ) F X () Fució de Distribució Acumulada

6 74 X (0) P ( X 0) X () P ( X ) - P ( X 0) X (2) P ( X 2) - P ( X ) X ~ Bi (0, 0.5) X (0) 0.00 X (0) X () 0.00 X (9) X (2) X (8) La v.a. X se distribuye e forma simétrica alrededor de...

7 75 Ejemlo. U lote cotiee torillos, se elige 0 torillos al azar co reosició y se observa que 5 so defectuosos. a) Suoiedo que el lote tiee 50% de torillos defectuosos. Calcule la robabilidad de que 5 o más torillos sea defectuosos. X catidad de torillos defectuosos etre los 0 elegidos X ~ Bi (0, 0.5) P ( X 5 ) - P ( X 4) b) ídem a) suoiedo que el lote tiee 20% de torillos defectuosos X ~ Bi (0, 0.2) P ( X 5 ) - P ( X 4) c) ídem a) suoiedo que el lote tiee 0% de torillos defectuosos X ~ Bi (0, 0.) P ( X 5 ) - P ( X 4)

8 76 Distribució Hiergeométrica Hemos visto que la distribució biomial es u modelo robabilístico aroimado ara el caso de u muestreo si reemlazo. La distribució hiergeométrica es el modelo robabilístico eacto ara u muestreo si reemlazo de ua oblació fiita dicotómica (E-F) Se elige al azar, de la oblació, ua muestra de tamaño si reemlazo. X catidad de éitos e la muestra X ~ H ( M, N, ) () X N M N M : (ma{0, (M N)}, L,mi{, N}) Si e la muestra hay 0 éitos sigifica que so fracasos, ero el total de fracasos e la oblació es M-N. Luego si el tamaño de la muestra > M-N, habrá como míimo - (M-N) > 0 éitos y o odrá ser cero. Para que e la muestra haya éitos, N.

9 77 Ejemlo: Seguimos co el eerimeto ε 4 5 etraccioes si reosició X catidad de bolitas rojas de la muestra R X { 0, } (0) 04 X X () Eseraza y variaza de la distribució hiergeométrica E (X) N M - N N Var (X) ( ) ( ) M M - M M Comaració co la distribució biomial Se etrae co reosició elemetos de ua oblació de tamaño M, co N éitos, P (éito) M N E (X) N igual que la distr. hiergeométrica M N N Var (X) ( ) mayor que la distr. hiergeométrica M M

10 78 Proceso de Poisso Sea X t catidad de ulsos radioactivos recibidos or u cotador Geiger e u itervalo de logitud t. Vamos a realizar las siguietes suosicioes sobre la forma e que uede ocurrir los ulsos: ) Para cualquier itervalo de logitud equeña, t la robabilidad de recibir eactamete ulso es roorcioal a la logitud del itervalo, a meos de u o( t) térmio o( t) tal que lim 0 es decir: h 0 t P(ocurra ulso e t) θ t + o( t) 2) La robabilidad de recibir más de ulso e u itervalo logitud equeña t es rácticamete cero: P(recibir más de u ulso e t) o( t) 3) El úmero de ulsos recibidos e u itervalo de logitud t es ideediete del úmero de ulsos recibidos ateriormete a ese itervalo de tiemo. Cómo se iterreta la catidad θ? θ valor eserado o valor medio de ulsos e la uidad de tiemo: itesidad

11 79 Teorema: Si se cumle las suosicioes, 2 y 3 etoces P(X t ) X t (θ t) e ()! θt : 0,, L Se dice que X t sigue u Proceso de Poisso. Si os iteresa u itervalo de logitud t fija, decimos que X t tiee distribució Poisso de arámetro θ t X t ~ P (θ t) Teemos ua distribució de robabilidades válida, e efecto si llamamos θ t, i) ( ) 0. X X e ( ) : 0,, 2,...! ii) ( ) X 0 0 e! e 0! e e, El modelo de Poisso suele ser adecuado e los casos e que iteresa estudiar: - el úmero de imerfeccioes que reseta u rollo de tela que se roduce e forma cotiua - el úmero de glóbulos rojos que se observa e u orta objetos - úmero de artículas emitidas or ua fuete radioactiva - úmero de automóviles que asa or ua esquia

12 80 - úmero de llamadas telefóicas recibidas or ua cetral Ejemlo. E u roceso electrolítico cotiuo de alicació de estaño, se descubre e romedio 0.2 imerfeccioes or miuto Cuál es la robabilidad de descubrir a) ua imerfecció e 3 miutos? X 3 úmero de imerfeccioes e 3 miutos t 3 miutos, θ 0.2 imerfeccioes / miuto θ t 0.6 im X 3 ~ P (0.6) Nuevamete odemos hallar la fució de distribució acumulada: Luego P (X 3 ) P ( X 3 ) - P (X 3 0 ) b) al meos dos imerfeccioes e 5 miutos?

13 8 Forma de la distribució Poisso Fució de robabilidad utual, ara la distribució de Poisso ara distitos valores de. lambda0.0 Distribucio Poisso lambda () () lambda () lambda 2 lambda 3 lambda 5 () () () lambda 0 lambda 5 lambda 20 () () () La distribució se simetriza alrededor de a medida que este arámetro crece.

14 82 Aroimació de la distribució Biomial or la distr. Poisso Proosició: Sea X ~ Bi(,) y sea Y ~ P ( ), suogamos que 0, de maera que (fijo), etoces : y {} 0 N N () () o Y X Dem: ( ) X!!! ) ( ) (! ) )...( ( +.!... + Observemos que:... + e Etoces, ) (! ) ( e Y X, como queríamos demostrar. Ejemlo. Se tira 2 dados equilibrados 00 veces y se registra X o de veces que sale el doble seis

15 83 X ~ Bi (00, /36) / / grade equeño aroimo la biomial or P ( 2.78) Prob. eacta (Biomial) Prob. Poisso Cuádo odemos utilizar la aroimació? REGLAS PRÁCTICAS - 20 admisible ecelete ecelete Proosició: X ~ P ( ) etoces E ( X ) Var ( X )