Aplicaciones del Cálculo diferencial e integral

Transcripción

1 Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl Integrción numéric con Mxim Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl

2 Por qué necesitmos l integrción numéric? Se f (x) un función continu definid en el intervlo [, b]. Nuestro objetivo será encontrr fórmuls proximds pr clculr l integrl f (x) dx. En cso de conocer l primitiv F (x) es evidente que podemos encontrr el vlor excto de l integrl utilizndo el Teorem fundmentl del cálculo integrl: f (x) dx = F (b) F (). Sin embrgo no siempre esto es posible. Por ejemplo, pr l función f (x) = e x2 no existe ningun primitiv que podmos escribir utilizndo funciones elementles. Cómo proceder? Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl

3 Fórmul de los rectángulos Aproximmos el áre f (x) dx bjo l curv f por un rectángulo de bse b y ltur f ( ) +b 2 y f(x) y f(x) x x ( ) + b (b )2 f (x) dx = (b )f + f (ξ), ξ [, b], 2 } 24 {{} R(ξ) donde pr el cálulo el error R(ξ), sumimos que f tiene primer y segund derivds continus en [, b] Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl

4 Fórmul de los rectángulos Así, dividimos el intervlo [, b] en n puntos [, b] = [, x 1 ] [x 1, x 2 ] [x n 2, x n 1 ] [x n 1, b], donde Entonces x k = + b n k, n = 0, 1, 2,..., n, x 0 =, x n = b. f (x) dx = x1 xk+1 f (x) dx+ + f (x) dx+ + f (x) dx x k x n 1 f (x) dx = b n n 1 ( xk + x k+1 f 2 k=0 ) + R(ξ), (b )2 R(ξ) M 24n 2, M = máx f (x). x [,b] Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl

5 Ejemplo: 1 0 x 2 dx f (x) dx b n n 1 ( ) xk + x k+1 f 2 k=0 Vemos como podemos implementr lo nterior con Mxim CAS. Definimos el intervlo [, b], el número de puntos en que vmos dividir en intervlo y definimos l prtición que usremos: :0; b:1; x[0]:; Nu:20; x[n]:=x[0]+n*(b-)/nu; Definimos l función y escribimos el código define(f(x),x^2); rec:sum(f((x[k]+x[k+1])/2),k,0,nu-1)*((b-)/nu); flot(%); Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl

6 Fórmul de los trpecios. Otr proximción de f (x) dx consiste en proximr el áre bjo l curv y = f (x) por un trpecio de bse b y f(x) y f(x) x x ( ) f () + f (b) (b )2 f (x) dx = (b ) f (ξ) 2 } 12{{} R(ξ) donde R(ξ) es el error. Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl

7 Fórmul de los trpecios. Tomndo l prtición [, b] = [, x 1 ] [x 1, x 2 ] [x n 2, x n 1 ] [x n 1, b], donde x k = + b n k, k = 0, 1, 2,..., n, x 0 =, x n = b. x1 xk+1 f (x) dx = f (x) dx+ + f (x) dx+ + f (x) dx x k x n 1 ( ) b f (x) dx = b n 1 f () + f (b) + 2 f (x k ) + R(ξ) 2n k=1 (b )2 R(ξ) M 12n 2, M = máx f (x). x [,b] Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl

8 Ejemplo: 1 0 x 2 dx f (x) dx b 2n ( ) n 1 f () + f (b) + 2 f (x k ) k=1 Implementción con Mxim: Volvemos definir l prtición: kill(ll)$ :0;b:1;x[0]:;Nu:20; x[n]:=x[0]+n*(b-)/nu; y definimos l función y l sum numéric define(f(x),x^2); tr: (f()+f(b)+ 2*sum(f(x[k]),k,1,Nu-1))*((b-)/(2*Nu))$ flot(%); Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl

9 Fórmul de Simpson (método de Newton-Cotes) Ide: proximr l integrl f (x) dx de l siguiente form ( ) + b f (x) dx = A f () + B f + C f (b) + R(ξ), 2 donde A, B, C se eligen de form que l fórmul nterior se exct (R(ξ) = 0) si f (x) = 1, f (x) = x y f (x) = x 2. y f(x) y f(x) x x Lo nterior equivlente proximr el áre debjo de f por un prábol. Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl

10 Fórmul de Simpson Escojmos [, b] = [, x 1 ] [x 1, x 2 ] [x 2n 2, x 2n 1 ] [x 2n 1, b], x k = + b 2n k, k = 0, 1, 2,..., 2n, x 0 =, x 2n = b y pliquemos el método de Simpson cd uno de los sumndos f (x) dx = b 6n ( x2 x2k+2 f (x) dx+ + f (x) dx+ + f (x) dx x 2k x 2n 2 f () + f (b) + 4 ) n n 1 f (x 2k 1 ) + 2 f (x 2k ) + R(ξ), k=1 k=1 (b )5 R(ξ) M 2880n 4, M = máx x [,b] f (4) (x). Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl

11 Ejemplo: 1 0 x 2 dx f (x) dx b 6n ( f () + f (b) + 4 ) n n 1 f (x 2k 1 ) + 2 f (x 2k ) k=1 k=1 Implementción con Mxim: Volvemos definir l prtición: kill(ll)$ :0;b:1;x[0]:;Nu:10; x[n]:=x[0]+n*(b-)/(2*nu); y definimos l función y l sum numéric define(f(x),x^2); simp: (f()+f(b)+ 4*sum(f(x[2*k-1]),k,1,Nu) +2*sum(f(x[2*k]),k,1,Nu-1))*((b-)/(6*Nu))$ flot(%); Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl

12 El pquete Qudpck Mxim tiene incorpordo un potente pquete de integrción numéric: el Qudpck. El comndo más sencillo pr clculr l integrl de un función en un intervlo cotdo es qud_qg. Su sintxis es qud_qg (f(x), x,, b, key, [epsrel, epsbs, limit]) donde f (x) es l función integrr, x es l vrible, y b los extremos del intervlo. El vlor key es un número del 1 l 6 (es el orden de l regl de integrción de Guss-Kronrod). epsrel que es el error reltivo de l proximción (por defecto es 10 8, epsbs es el error bsoluto de l proximción (el vlor por defecto es 0) y limit es el número máximo de subintervlos utilizr (el vlor por defecto es 200). Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl

13 El pquete Qudpck L función qud_qg devuelve un list de cutro elementos: [int,err bs, n o ev, cod] int = l proximción l integrl, err bs = el error bsoluto estimdo de l proximción, n o ev = el número de evluciones del integrndo, cod = código de error. Es deseble que l slid del último rgumento (el código de error) se 0 (no hy errores). Como ejemplo clculemos l integrl 1 0 x 2 dx. qud_qg (x^(2), x, 0, 1, 3, epsrel=1d-10); Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl

14 Ejercicios: Usndo los métodos nteriores clcul ls siguientes integrles: sen x 1, x 0 I = f (x) dx f (x) = x 0 1, x = 0 I = 1 0 e x2 dx, 1 0 x 1 2 (1 x) 3 2 dx. Us tmbién un polinomio de Tylor en cero pr proximrls. Utiliz l integrción simbólic de Mxim. Compr los resultdos. Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl

15 Ejercicios: Clculr los vlores proximdos de ls siguintes integrles usndo sums de Riemnn: x 2 dx, 1 1 e x2 dx, log x = x 1 dt t Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl

16 Ejercicios: Clculr los vlores proximdos de ls siguintes integrles usndo sums de Riemnn: x 2 dx, 1 1 e x2 dx, log x = x 1 dt t Identific ls sums siguientes con integrles (usndo sums de Riemnn) y clcúlls. ĺım n n k=1 1 n + k =? ĺım n n k=1 3n n 2 + k 2 =? Rento Álvrez-Nodrse Universidd de Sevill Aplicciones del Cálculo diferencil e integrl