Teoría de autómatas para investigadores en XML

Transcripción

1 en XML Rafael C. Carrasco Jiménez Departamento de Lenguajes y Sistemas Informáticos Universidad de Alicante Febrero de enero de 2007

2 finitos de cadenas Un DFA (deterministic finite-state automaton) es una representación (grafo) de un procedimiento computable que requiere memoria finita.

3 finitos de cadenas Un DFA (deterministic finite-state automaton) es una representación (grafo) de un procedimiento computable que requiere memoria finita. Ejemplo: determinar la paridad de una cadena binaria. Contraejemplo: determinar si la entrada es paĺındroma.

4 Expresiones regulares Las expresiones regulares definen lenguajes usando símbolos, paréntesis y operadores de concatenación, elección y repetición. Comentarios de C: A [*] B [/] C [^*/] Comment {B}{A}{B}*({A}*{C}{B}*)*{A}*{A}{B}

5 Expresiones regulares La validación de cadenas con respecto a expresiones regulares puede hacerse mediante DFA.

6 Autómata de de una expresión regular Para cada expresión regular r, se construye el marcado E r sustituyendo los símbolos por posiciones. Por ejemplo r = BAB (A CB )A AB E r = 123 (4 56 ) Cada posición será un estado del autómata de. Para construir las transiciones se usan 4 funciones: empty, first, last, follow.

7 Autómata de de una expresión regular empty(e) es cierto si la subexpresión contiene la cadena vacía: empty(n) = FALSE empty(f G) = empty(f ) empty(g) empty(f, G) = empty(f ) empty(g) empty(f ) = TRUE empty(f +) = empty(f ) empty(f?) = TRUE

8 Autómata de de una expresión regular first(e) es el conjunto de símbolos por los que puede empezar una cadena de E: first(n) = {n} first(f G) = ) first(g) first(f { first(f, G) = first(f ) first(g) if empty(f ) first(f ) otherwise first(f ) = first(f ) first(f +) = first(f ) first(f?) = first(f )

9 Autómata de de una expresión regular last(e) es el conjunto de símbolos por los que puede terminar una cadena de E: last(n) = {n} last(f G) = last(f { ) last(g) last(f, G) = last(f ) last(g) last(g) last(f ) = last(f ) last(f +) = last(f ) last(f?) = last(f ) if empty(g) otherwise

10 Autómata de de una expresión regular follow(e) es el conjunto de pares de símbolos que pueden aparecer consecutivos en E: follow(n) = follow(f G) = follow(f ) follow(g) follow(f, G) = follow(f ) follow(g) last(f ) first(g) follow(f ) = follow(f ) last(f ) first(f ) follow(f +) = follow(f ) last(f ) first(f ) follow(f?) = follow(f )

11 Autómata de de una expresión regular El autómata de es (N, Σ, δ, 0, F ), con: Q = {0, 1,..., N} δ(0, a) = {n first(e r ) : Φ r (n) = a} δ(n, a) = {m Q : (n, m) follow(e r ) Φ r (m) = a} { {0} last(e r ) if empty(e r ) F = last(e r ) otherwise siendo N el número de símbolos de r y Φ el homomorfismo que genera r a partir de E r.

12 Autómata de de una expresión regular Construye el autómata de BAB (A CB )A AB

13 Autómata de de una expresión regular Si el autómata de es determinista, r es 1-inambigua y, por tanto, válida en el estándar SGML. Aunque todo autómata finito tienen un equivalente determinista, no todas las lenguajes regulares admiten una expresión regular con autómata de determinista.

14 Medidas probabiĺısticas En un autómata probabiĺıstico, cada transición (y cada estado de aceptación) tiene una probabilidad asociada. Algunas distancias Cuadrática: x (p Ax) p B (x)) 2. Kullback-Leibler: x p A(x) log p A(x) p B (x). La distancia cuadrática es más suave, pero menos sensible a los valores pequeños.

15 Medidas probabiĺısticas La probabilidad de coemisión C(A, B) = x p A(x)p B (x) permite calcular la distancia cuadrática: d 2 (A, B) = C(A, A) + C(B, B) 2C(A, B)

16 Medidas probabiĺısticas C(A, A ) = a i Q j Q c ij p(i, a)p(j, a) Los coeficientes c ij son el número esperado de pasos por i y j. c ij = (i == 0)(j == 0) + c kl p(k, a)p(l, a) a k:δ(k,a)=i l:δ(l,a)=j Demostración en: Carrasco 1997.

17 Árboles Dado un alfabeto Σ = {σ 1,..., σ Σ }: Todos los símbolos de Σ son de T Σ. Dado σ Σ y m > 0 t 1,..., t m, σ(t 1 t m ) es un árbol de T Σ.

18 Lenguajes de A cualquier subconjunto de se le llama lenguaje. En particular, el lenguaje sub(t) de sub de t es { {σ} if t = σ Σ sub(t) = {t} m k=1 sub(t k) if t = σ(t 1... t m ) T Σ Σ XHTML es un lenguaje de sobre el alfabeto: {html, head, body, p, a, ul, ol, li, th, tr, td...}

19 Un autómata finito de es A = (Q, Σ,, F ), Q = {q 1,..., q Q } es un conjuntoestados; Σ = {σ 1,..., σ Σ } es el alfabeto; F Q es un subconjunto de estados de aceptación, m=0 Σ Qm+1 es un conjunto finito de transiciones.

20 Los de pueden ser indeterministas :- deterministas ascendentes :-) deterministas descendente :-( Debemos valorar capacidad expresiva y complejidad de análisis.

21 Evaluador de expresiones lógicas: = {(F, 0), (T, 1), (, 1 +, 1), (, (0 1) 0(0 1), 0) (, 0 +, 0), (, (0 1) 1(0 1), 1)} T F T F F F T F

22 Evaluador de XPath /a[a]/b//a (indeterminista). ={ (a,q,/a), (b,q,/b), (a, Q,//a), (b,q //aq,/b//a), (a,q /aq /b//aq,/a[a]/b//a),... } a a b a b /a[a]/b//a /a /b//a //a /b

23 ascendentes de Cada transición (σ, i 1,..., i m, q) de tiene argumento (σ, i 1,..., i m ) y salida q. El autómata es determinista si no hay más de una salida por cada argumento: { q if q Q such that (σ, i 1,..., i m, q) δ m (σ, i 1,..., i m ) = if no such q exists es el estado de absorción

24 ascendentes de El resultado de A en t es A(t): { δ 0 (σ) A(t) = δ m (σ, A(t 1 ),..., A(t m )) if t = σ Σ if t = σ(t 1 t m ) T Σ Σ

25 ascendentes de Si δ 0 (a) = q 1, δ 0 (b) = q 2, δ 2 (a, q 1, q 2 ) = q 2 y δ 1 (a, q 2 ) = q 1, a a b a q 2 q 1 q 2 q 2 a b q 1 q 2

26 ascendentes de El lenguaje L A (q) aceptado por q Q es L A (q) = {t T Σ : A(t) = q} y el lenguaje L(A) aceptado por A es L(A) = L A (q). q F

27 Minimización de ascendentes de Eliminación de estados inaccesibles: L A (q) =. I Q Mientras existen q I, m 0, σ Σ y (i 1,..., i m ) (Q I ) m tales que δ m (σ, i 1,..., i m ) = q, elimínese q de I.

28 Minimización de ascendentes de Dos estados i y j son equivalentes si 1 i F y j F o viceversa. 2 Existen m > 0, k m y (σ, r 1,..., r m ) Σ Q m tales que δ m (σ, r 1,..., r k 1, i, r k+1..., r m ) δ m (σ, r 1,..., r k 1, j, r k+1.

29 Minimización de ascendentes de Sea P τ la partición de Q en la iteración τ y E τ [i] la clase de P τ que contiene a i. i τ j si existe m > 0, k m y (σ, r 1,..., r m ) Σ Q m tales que E τ [δ m (σ, r 1,..., r k 1, i, r k+1..., r m )] E τ [δ m (σ, r 1,..., r k 1, j, r k+

30 Minimización de ascendentes de Algorithm minimizedta Input: a DTA A = (Q, Σ,, F ) with no inaccessible states. Output: a minimal DTA A mín = (Q mín, Σ, mín, F mín ). Method: 1 Create the initial partition P 0 = (F, Q F ) and make τ 0. 2 While there exist i, j Q such that E τ [i] = E τ [j] and i τ j Build the subset N = {k E τ [i] : k τ i}. Create P τ+1 from P τ by splitting class E τ [i] into N and E τ [i] N. Make τ τ Output (Q mín, Σ, mín, F mín ) with Q mín = {E τ [i] : i Q}; F mín = {E τ [i] : i F }; δ mín m (σ, E τ [i 1 ],..., E τ [i m ]) = E τ [δ m (σ, i 1,..., i m )] for all m 0, σ Σ, and (i 1,..., i m ) Q m.

31 Gramáticas regulares de Son equivalentes a los de. G = (N, T, S, P): Σ es un alfabeto de símbolos terminales; N es un conjunto finito de variables; S es el símbolo inicial; P es un conjunto de reglas del tipo X ar, con X N, a T y r una expresión regular sobre N (content model).