ALGEBRA LINEAL - Práctica N 2 - Segundo cuatrimestre de 2017 Matrices y coordenadas
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- Trinidad Cano Medina
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1 Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 1 ALGEBRA LINEAL - Práctica N 2 - Segundo cuatrimestre de 2017 Matrices y coordenadas Ejercicio 1 Sean m n y r N i) Probar que si A K m n satisface que Ax = 0 x K n entonces A = 0 Deducir que si A B K m n satisfacen que Ax = Bx x K n entonces A = B ii) Probar que si A K m n B K n r con B = (b ij ) y para 1 j r B j = b 1j b nj es la columna j-ésima de B entonces AB = ( AB 1 AB r ) (es decir AB j es la columna j-ésima de AB) Ejercicio 2 i) Sean A B y C K n n (n 2) Mostrar la falsedad de las siguientes afirmaciones: a) AB = 0 A = 0 ó B = 0 b) AB = AC y A 0 B = C c) AB = 0 BA = 0 d) A j = 0 A = 0 e) A 2 = A A = 0 ó A = I n ii) Dar condiciones necesarias y suficientes sobre A y B K n n para que a) (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 b) A 2 B 2 = (A B)(A + B) iii) Mostrar que si A y B K n n no necesariamente vale (AB) 2 = A 2 B 2 Ejercicio 3 Sean A A K n n ; B B K n m ;( C C ) K m n y D ( D K m m A B A Sean M M K (n+m) (n+m) definidas por M = y M C D B = ) C D ( AA Probar que MM = + BC AB + BD ) CA + DC CB + DD Ejercicio 4 i) Probar que los siguientes conjuntos son subespacios de K n n y calcular su dimensión a) S 1 = {A K n n / A = A t } (matrices simétricas) b) S 2 = {A K n n / A = A t } (matrices antisimétricas) c) S 3 = {A K n n / A ij = 0 si i > j} (matrices triangulares superiores) d) S 4 = {A K n n / A ij = 0 si i j} (matrices diagonales) e) S 5 = {A K n n / A ij = 0 si i j y A 11 = A 22 = = A nn } (matrices escalares) f) S 6 = {A K n n / tr(a) = 0} ii) Probar que:
2 Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 2 a) S 1 S 2 = K n n si 2 0 en K b) S 5 S 6 = K n n si K = Q R ó C Ejercicio 5 Sea A K n n Probar que el conjunto T = {B K n n / AB = 0} es un subespacio de K n n Si S K n es el subespacio de soluciones del sistema homogéneo cuya matriz asociada es A probar que dim T = n dim S Ejercicio 6 Sean A y B K n n Probar que: i) Si A y B son triangulares superiores AB es triangular superior ii) Si A y B son diagonales AB es diagonal iii) Si A es estrictamente triangular superior (es decir A ij = 0 si i j) A n = 0 Ejercicio 7 i) Caracterizar el conjunto {A K n n / AB = BA B K n n } ii) Sea A K n n Probar que el conjunto S de todas las matrices que conmutan con A es un subespacio de K n n Probar que I n S y que A j S j N iii) Sea A K n n con n 2 Probar que el conjunto {I n A A 2 A 3 A n2 1 } es linealmente dependiente Ejercicio 8 Sean A A K m n ; B K n r ; D D K n n ; α K Probar: i) (A + A ) t = A t + (A ) t ii) (αa) t = αa t iii) (AB) t = B t A t iv) tr(d + D ) = tr(d) + tr(d ) v) tr(αd) = αtr(d) vi) tr(dd ) = tr(d D) Ejercicio 9 i) Sea A K m n Probar que AA t y A t A son matrices simétricas Dar un ejemplo donde m = n y AA t A t A ii) Si K = R probar que A = 0 AA t = 0 tr(aa t ) = 0 iii) El producto de dos matrices simétricas es una matriz simétrica? ( ) a b Ejercicio 10 Sea A K 2 2 con A = y sea = ad bc Probar que si 0 c d A GL(2 K) y A 1 = 1 ( ) d b c a Ejercicio 11 Sea A GL(n K) y B C K n m Probar que: i) AB = AC B = C ii) AB = 0 B = 0 Ejercicio 12 Decidir si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa i) A B GL(n K) A + B GL(n K)
3 Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 3 ii) A GL(n K) A t GL(n K) iii) tr(a) = 0 A / GL(n K) iv) A nilpotente (es decir j N / A j = 0) A / GL(n K) Ejercicio 13 Sea A K m n y sea b K m Sea H = {x K n / Ax = b} Probar: i) Si C GL(m K) entonces H = {x K n / (CA)x = Cb} ii) Si m = n y A GL(n K) entonces H tiene un solo elemento Cuál es? (Notar que esto significa que si A es inversible cualquier sistema lineal cuya matriz asociada sea A tiene solución única) Ejercicio 14 i) Para cada i j (1 i j n) sea E ij K n n la matriz: { (E ij 1 si i = k y j = l ) kl = 0 si no Las matrices E ij se llaman matrices canónicas de K n n a) Si a K {0} y 1 i n se define M i (a) K n n como M i (a) = E 11 + E ae ii + E (i+1)(i+1) + + E nn = I n + (a 1)E ii Escribir todas las posibles M i (a) para n = (a K) b) Sean 1 i j n con i j Se define la matriz P ij K n n como la matriz que se obtiene permutando la fila i con la fila j de la matriz identidad Comprobar que P ij = I n E ii E jj + E ij + E ji Escribir todas las posibles P ij para n = c) Sean 1 i j n con i j y a K Se define la matriz T ij (a) K n n como T ij (a) = I n + ae ij Escribir todas las posibles T ij (a) para n = (a K) Las matrices M i (a) P ij y T ij (a) se llaman matrices elementales de K n n ii) Probar que: a) M i (a) GL(n K) con (M i (a)) 1 = M i (a 1 ) b) P ij GL(n K) con (P ij ) 1 = P ij c) T ij GL(n K) con (T ij (a)) 1 = T ij ( a) iii) Sea A K n m A = (a ij ) y sea F i (1 i n) la i-ésima fila de A es decir F i = (a i1 a im ) y A = Probar que:
4 Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 4 a) E ij A = F 1 b) M i (a)a = c) P ij A = F 1 con F k F n d) T ij (a)a = = (0 0) si k i y F i = F j con F k = F k si k i y F i = af i con F k = F k si k i j ; F i = F j y F j = F i F n con F k = F k si k i y F i = F i + af j Notar como conclusión que triangular por filas una matriz es multiplicar a izquierda por varias matrices elementales Cómo se pueden obtener las matrices elementales a partir de la matriz identidad? Ejercicio 15 i) Sea A = T 12 (1) R 2 2 Calcular A 20 y 20A ii) Calcular (P ij ) 15 y (P ij ) 16 iii) Sea B = M 3 (2) R 4 4 Calcular B 20 y 20B Ejercicio 16 Determinar si las siguientes matrices son inversibles y en caso afirmativo exhibir sus inversas Escribir las que sean inversibles como producto de matrices elementales cos θ sen θ 0 i) A = ii) A = sen θ cos θ 0 iii) A = a iv) A = v) A = 0 a a nn Ejercicio 17 Sea A K n n y sea b K n i) Probar que el sistema Ax = b tiene solución única A GL(n K) ii) Probar que A GL(n K) las filas de A son linealmente independientes las columnas de A son linealmente independientes Ejercicio 18 Sea A K n n Probar que B K n n / BA = I n que B K n n / AB = I n A GL(n K) A GL(n K) Deducir
5 Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 5 Ejercicio 19 Encontrar las coordenadas de v V respecto de la base B en los siguientes casos: i) V = R 3 ; v = (1 1 2) y B = {(1 2 1) (2 1 3) (1 3 2)} ii) V = R 3 [X] ; v = 2X 2 X 3 y B = {3 1 + X X X 3 + X 2 } ( ) {( ) ( ) iii) V = R 2 2 a11 a ; v = y B = a 21 a Ejercicio 20 Calcular C(B B ) en los siguientes casos: ( i) V = R 3 B = {(1 1 0) (0 1 1) (1 0 1)} B = {( 1 1 1) (2 0 1) (1 1 3)} ii) V = R 2 [X] B = {3 1 + X X 2 } B = {1 X + 3 X 2 + X} iii) V = R 4 B = {v 1 v 2 v 3 v 4 } B = {v 3 v 1 v 4 v 2 } iv) V = R 2 2 B = {E 11 E 12 E 21 E 22 } B = {( ) ) ( )} ( ) ( ) ( )} Ejercicio 21 Dado v V y las bases B y B hallar las coordenadas de v respecto de B y utilizando la matriz de cambio de base las coordenadas de v respecto de B i) v = ( 1 5 6) y B B como en el Ejercicio 20 i) ii) v = 3 + X 2 y B B como en el Ejercicio 20 ii) ( ) a11 a iii) v = 12 y B B a 21 a como en el Ejercicio 20 iv) Ejercicio 22 Dadas la matriz M = y la base B = {v 1 v 2 v 3 } de K 3 hallar: i) una base B 1 de K 3 tal que M = C(B 1 B) ii) una base B 2 de K 3 tal que M = C(B B 2 )
Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.
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