AYUDA MEMORIA PARA EL ESTUDIO DE MATEMÁTICAS II - SISTEMAS

Transcripción

1 AYUDA MEMORIA PARA EL ESTUDIO DE MATEMÁTICAS II - SISTEMAS Potencias de la unidad imaginaria i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i i 4 = 1 Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada. i 22 = (i 4 5 i 2 = 1 Números complejos en forma binómica; la forma binómica de un número complejo es Z = a + bi. Suma de números complejos: Se suman partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí. (a + bi + (c + di = (a + c + (b + d i. Resta de números complejos: Se restan partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí. (a + bi (c + di = (a c + (b d i (a + bi (c + di = (a c + (b d i Multiplicación de números complejos: El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva. (a + bi (c + d i = (ac bd + (a d + bc i 1 JJN

2 División de números complejos: Para dividir números complejos en forma binómica se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador Representación gráfica de números complejos Los números complejos se representan en los ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa: 1 Por el punto (a,b, que se llama su afijo, Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje imaginario, Y. 2 JJN

3 Números complejos en forma Polar: z = r (α Módulo r : El valor absoluto del vector (hipotenusa. Argumento α: El ángulo. 3 JJN

4 Dos números complejos son iguales si tienen el mismo módulo y el mismo argumento. Números complejos conjugados Dos números complejos son conjugados si tienen el mismo módulo y opuestos sus argumentos. Números complejos opuestos Dos números complejos son opuestos si tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en π radianes. Números complejos inversos El inverso de un número complejo no nulo, tiene por módulo el inverso del módulo y por argumento su opuesto. 4 JJN

5 Números complejos en forma trigonométrica. A partir de la forma polar es muy fácil pasar a una nueva forma denominada trigonométrica. a + bi = r α = r (cos α + i sen α = r cis α Multiplicación de números polares: 5 JJN

6 Division de números polares: Potencia de un número polar: Radicación de un número polar: 6 JJN

7 7 JJN

8 8 JJN

9 DERIVADAS INMEDIATAS Función Derivada y = c = 0 y = x = 1 y = x n = n x n-1 y = u n = n u n-1 y = u v = +v y = = v 0 y = u ± v± w = Y=u v = DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Función Derivada y = ln x = y = ln u = y = log a x = = log a e log a x = y = log a u = = log a e log a u = y = e x = y = e u = e u y = a x = a x ln a y = a u = a u ln a 9 JJN

10 DERIVADAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Función Derivada y = sen = cos y = cos = sen y = tag = y = cotg = y = sec = sec tag y = csc = y = versin versin = 1 cos = sen y = arc sen y = arc cos y = arc tag y = arc cotg = = = = y = arc sec y = arc csc y = arc versin = = = Regla de la cadena. 10 JJN

11 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (2X FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ( Ángulo Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante -x -sen x cos x -tg x -ctg x sec x -csc x ÁLGEBRA (EXPONENTES/RADICALES ( 11 JJN

12 Funciones Exponenciales y logarítmicas Funciones Exponenciales: La función, en la que b > 0, b 1 y el exponente x es cualquier número real se llama función exponencial con base b. Propiedades de los exponentes: Regla de la igualdad: = si y solo si x = y El número de Euler e = ( = ( = Funciones Logarítmicas: Si la función, en la que b > 0, b 1 y el exponente x es cualquier número real se llama función exponencial con base b, entonces la inversa de esta función se llama función logarítmica de base b y se denota como, por lo que: si y solo si En otras palabras: el logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. Propiedades de los logaritmos: ( Para cambio de base Teorema de Rolle: 12 JJN

13 Si una función es: Continua en [a, b] Derivable en (a, b Y si f(a = f(b Entonces, existe algún punto c (a, b en el que f'(c = 0. La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas. Teorema del valor medio o de Lagrange: Si una función es: Continua en [a, b] Derivable en (a, b Entonces, existe algún punto c (a, b tal que: La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante. El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, en el que f(a = f(b. 13 JJN

14 Funciones creciente, decreciente y constante. Una función y = f(x es creciente si y aumenta algebraicamente cuando x aumenta. Una función y = f(x es decreciente si y disminuye algebraicamente cuando x aumenta. Una función y = f(x es constante si y no cambia algebraicamente cuando x aumenta. Por lo que: una función es creciente cuando su pendiente es positiva (+, es decir la primera derivada es mayor que cero, es decreciente cuando su pendiente es negativa (-, es decir la primera derivada es menor que cero y es constante cuando su pendiente es igual a cero, es decir su primera derivada es igual a cero. 14 JJN

15 Máximos y mínimos Máximos y mínimos absolutos o globales. Una función tiene su máximo global o absoluto en el punto x = x 0, si la ordenada en ese punto es mayor o igual a las ordenadas de cualquier otro punto del dominio de la función. Una función tiene su mínimo global o absoluto en el punto x = x 0, si la ordenada en ese punto es menor o igual a las ordenadas de cualquier otro punto del dominio de la función Máximos y mínimos locales o relativos. Una función f tiene un máximo relativo en el punto X 0, si f(x 0 es mayor o igual que los puntos próximos al punto. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto X 0, si f(x 0 es menor o igual que los puntos próximos al punto. 1. Primer método para calcular máximos y mínimos de una función, principio de la primera derivada. Regla guía de aplicaciones: Primer paso. Hallar la primera derivada de la función Segundo paso. Igualar la primera derivada a cero y se hallan las raíces reales de la ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable. Tercer paso. Se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la primera derivada para un valor un poco menor que el valor crítico y después para un valor un poco mayor que él. Si el signo de la derivada es primeramente positivo y después negativo la función tiene un máximo para ese valor crítico de la variable, en caso contrario, si el signo de la derivada es primeramente negativo y después positivo la función tiene un tiene un mínimo para ese valor crítico de la variable. 15 JJN

16 Si el signo no cambia, la función no tiene ni un máximo ni un mínimo para el valor crítico considerado. Curvatura: concavidad y convexidad. Diremos que una función es cóncava o presenta su concavidad hacia abajo, cuando a dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Análogamente diremos que una función es convexa o presenta su concavidad hacia arriba, cuando a dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda por encima de la curva. Se saca la segunda derivada f (x y se compara con cero 2. Segundo método para calcular máximos y mínimos de una función, principio de la segunda derivada. Regla guía de aplicaciones: Primer paso. Hallar la primera derivada de la función Segundo paso. Igualar a cero la primera derivada y resolver la ecuación; las raíces reales son los valores críticos de la variable. Tercer paso. Hallar la segundad derivada de la función Cuarto paso. Sustituir en la segunda derivada, en lugar de la variable, uno por uno, cada uno de los valores críticos obtenidos. Si el resultado es negativo, la función tiene un máximo para ese valor crítico; si el resultado es positivo, la función tiene un mínimo para ese valor crítico. Cuando f (x = 0; o bien no existe máximo ni mínimo para ese valor crítico, o este procedimiento no es aplicable para esta función. Puntos de inflexión Los puntos en los que la curvatura de una función pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman puntos de inflexión. Si f (x 0 = 0, entonces X 0 es un punto de inflexión Se saca la tercera derivada f (x 0 y se compara con cero 16 JJN

17 17 JJN