Sistemas de Ecuaciones Lineales - Métodos Directos -
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- José Francisco Montoya Peralta
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1 Sistemas de Ecuaciones Lineales - Métodos Directos -
2 Contenido Solución de Sistemas de Ecuaciones Sistema de Ecuaciones Método de la Matriz Inversa Método de Cramer Método de Gauss-Jordan Método de Montante FR para resolver Sistemas de Ec. Lineales por Métodos Directos
3 Solución de Sistemas de Ecuaciones Los métodos utilizados para la solución de sistemas de ecuaciones son los siguientes: Métodos Directos: Método de la Matrix Inversa Método de Cramer Método de Gauss-Jordan Método de Montante Métodos Iterativos: Jacobi Gauss-Seidel
4 Sistema de Ecuaciones Representación de un sistema de ecuaciones por matrices:
5 Método de la Matriz Inversa Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones por el método de la matriz inversa:
6 Método de la Matriz Inversa Solución: Del ejemplo:
7 Método de Cramer Sean dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, la solución utilizando el método de Cramer es:
8 Método de Cramer Sean tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, la solución utilizando el método de Cramer es: El método de Cramer se puede generalizar para un sistema lineal de n x n
9 Método de Cramer Ejemplo:
10 Método de Gauss-Jordan Matriz ampliada (aumentada) Para representar un sistema lineal puede usarse una matriz de nn (nn + 11) construyendo primero
11 Método de Gauss-Jordan y luego combinando estas matrices para formar la matriz aumentada:
12 Método de Gauss-Jordan Para una matriz de orden nn el método consta de nn etapas de cálculo. La kk-esima etapa de cálculo consta de dos tipos de operaciones de renglón: 1. Normalizar el renglón kk con respecto al elemento aa kkkk multiplicar el renglón kk por 11 AA kk = EE kk 11 aa kkkk AA kk 11 aa kkkk
13 Método de Gauss-Jordan 2) Hacer ceros la columna kk, exceptuando al elemento aa kkkk AA kk = EE iiii aa iiii AA kk 1 para toda ii kk Nota. En la kk-esima etapa de cálculo, antes de normalizar, se buscará hacia abajo (ii > kk) un elemento aa iiii que sea mayor que todos los de esa columna y que también sea mayor al aa kkkk (en valor absoluto). Si dicho elemento existe en un renglón ii, entonces se intercambian los renglones ii y kk. Si el último aa kkkk = 00, entonces la matriz es igual a cero y no tiene solución. Éste tipo de sistema de ecuaciones se conoce como inconsistente. En los casos en los que el sistema tiene solución, se conoce como sistema de ecuaciones consistente.
14 Método de Gauss-Jordan Ejemplo: Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones por el método de Gauss-Jordan
15 Método de Gauss-Jordan Solución:
16 Método de Montante Es un método cerrado que consta de nn etapas de cálculo y cada etapa de cálculo consta de 4 operaciones. La kk-esima etapa de cálculo consta de: a) El renglón kk no se modifica: b) Igualar los elementos de la diagonal principal al elemento aa kk kkkk, pero con la siguiente restricción: Nota. El método fue descubierto en 1973 por René Mario Pardo Montante, graduado de la facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (UANL).
17 Método de Montante c) Hacer ceros los elementos de la columna kk, excepto el aa kkkk d) Los elementos restantes se evalúan con la siguiente fórmula recursiva:
18 Método de Montante Ejemplo Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones por el método Montante
19 Método de Montante
20 FR para resolver Sistemas de Ec. Lineales por Métodos Directos Método de la Matriz Inversa 1) Obtener la Matriz inversa de la matriz de coeficientes. Utilizar la FR de Matriz Inversa. 2) Multiplicar la matriz inversa por la matriz de las constantes para obtener los valores de la matriz de variables. Usar la FR de la multiplicación de matrices. XX = AA 1 BB
21 FR para resolver Sistemas de Ec. Lineales por Métodos Directos Método de Cramer 1) Obtener el determinante de la matriz de coeficientes AA. Utilizar la FR para obtener determinantes. 2) Sustituir la columna 1 por los valores de las constantes y obtener su determinante AA 1. 3) Obtener el valor de la primer variable. 4) Sustituir la columna 2 por los valores de las constantes y obtener su determinantes AA 2. 5) Obtener el valor de la segunda variable Repetir el procedimiento para el resto de las variables.
22 FR para resolver Sistemas de Ec. Lineales por Métodos Directos Método de Gauss-Jordan Haciendo uso de operaciones de renglón, las FR's de cada etapa kk (kk = 11, nn) son: Note que el rango de j puede ser (kk, nn + 11) en lugar del rango (11, nn + 11) porque aa kk kkkk = 00 cuando jj < kk. Este cambio de rangos ahorra tiempo en el cálculo por no recalcular los elementos que se hicieron cero en las etapas anteriores.
23 FR para resolver Sistemas de Ec. Lineales por Métodos Directos Método de Montante Observar las FR de la sección donde se explica el procedimiento de este método.
24 Sistemas de Ecuaciones Lineales - Métodos Directos -
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