Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto:
|
|
- Alberto Ruiz Rojas
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 1 LA DERIVADA EN EL TRAZADO DE CURVAS Significados de los signos de la Primera y Segunda derivada. Plantearemos a través del estudio del signo de la primera derivada, las condiciones que debe cumplir una función para que sea constante, creciente o decreciente. Veremos que si el gráfico de una función sube o baja depende directamente del signo de la primera derivada. Teorema Sea f una función continua en a, b y derivable en ( a, b ). Entonces: i) Si para todo, f es Creciente en a, b ii) Si para todo, f es Decreciente en a, b Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto: Una función Una función es creciente en un punto a, si su derivada es positiva es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa. f ( a) lím h0 f ( a h) h f ( a) 0 Tiene la siguiente interpretación geométrica: si la función f ( x ) es creciente en el intervalo a, b, la recta tangente a la curva, forma con el eje X un ángulo agudo f ( a) lím h0 f ( a h) h f ( a) 0 Si la función f ( x ) es decreciente en el intervalo a, b, la recta tangente a la curva forma con el eje X un ángulo obtuso Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente Se procede de la siguiente forma: Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante o Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos.
2 2 Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes. Determinar los intervalos de monotonía de la función: f ( x ) = x 3 3x + 1, x R Solución: Se debe realizar un estudio del signo de la primera derivada, lo que realizaremos con ayuda de una cuadro apropiado. f ( x ) = 3x 2 3x = 3 ( x 2 1 ) = 3 ( x + 1 )( x 1 ) Por lo tanto, f es Creciente en ( -, -1 y 1, + ) f es Estrictamente Decreciente en -1, 1 (ver gráfico de f ( x ) en la figura) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 3 f ( x) x 2 6x 9x 2 Hallamos la derivada 2 f ( x) 3x 12 x 9 La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante: 3x 2 12x x 4x x Dividimos el dominio R por los puntos y y obtenemos los intervalos (,1), ( 1,3) y ( 3, ) Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = 0, f ( 0) 9, es decir, positiva Para x = 2, f ( 2) 3, es decir, negativa Para x = 4, f ( 4) 9, positiva La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla:
3 3 Intervalos (-, 1) (1, 3) (3, + ) Signo de la derivada Función Máximos y mínimos. Son los puntos en que la función cambia de monotonía. Definición Diremos que una función f tiene un: Máximo Local ( o Relativo ) en x o si existe un intervalo abierto ( a, b ) que contiene a para todo x en Mínimo Local ( o Relativo ) en x o si existe un intervalo abierto ( a, b ) que contiene a para todo x en. Máximo Global ( o Absoluto ) en x o si f ( x o ) f ( x ) para todo x en Dom f Mínimo Global ( o Absoluto ) en x o si f ( x o ) f ( x ) para todo x en Dom f. Consideremos el gráfico de la siguiente función: y = x 3 + 3x 2 9x 10. tal que tal que Podemos observar que f tiene un: Máximo Local en x o = -3, Mínimo Local en x o = 2 Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto c ( a, b) en
4 4 El mínimo o máximo de una función en un intervalo se llaman valores extremos o extremos de la función. Dónde ocurren los valores extremos? Los puntos claves en la teoría de máximos y mínimos son los llamados puntos críticos. Punto Crítico Sea f continua en a, b, se dice que es punto crítico si o si no existe. : Para f (x ) = x 3 3x + 1, x R del ejemplo 1) son puntos críticos los valores de y 3 2 Para f ( x) x 6x 9x 2 del ejemplo 2) son puntos críticos los valores de y CRITERIOS Para la determinación de máximos y mínimos podemos utilizar los siguientes criterios: Criterio de la primera derivada: Se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Existe máximo relativo en los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente. Existe mínimo relativo en los puntos en que pasa de decreciente a creciente. Criterio de la segunda derivada: Calculamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante. Hallamos la segunda derivada. Las raíces de la ecuación obtenida se sustituyen en la segunda derivada. Si el resultado obtenido es positivo existe mínimo y si es negativo máximo. 2 3 Halla los máximos y mínimos de la función f ( x) 3x x Solución: Hallamos la primera derivada y resolvemos la ecuación f ( x) 0 :
5 5 f ( x) 3 3x 0 x 2 1 x 1 2ª derivada: f ( x) 6x Valores de la segunda derivada en los puntos obtenidos: f ( 1) 6( 1) 6 0 mínimo para x = - 1 f ( 1) máximo para x = 1 Concavidad y convexidad. Otra característica cualitativa importante del gráfico de una función es su concavidad, la cual está vinculada estrechamente al signo de la segunda derivada. Definición Una curva es Cóncava hacia arriba o convexa si toda la curva está situada encima de la recta tangente en cualquier punto dado de la curva. ( figura ) Una curva es Cóncava hacia abajo si toda la curva está situada por debajo de la recta tangente en cualquier punto dado de la curva ( figura ) A continuación enunciaremos los criterios que permiten determinar la concavidad del gráfico de una función
6 6 Criterios para analizar concavidad Suponga que f ( x ) existe en un intervalo( a, b ). Entonces: Si f ( x ) > 0 es Cóncava hacia arriba en ( a, b ) Si f ( x ) 0 en ( a, b ), f es Cóncava hacia abajo en ( a, b ). Puntos de inflexión son aquellos en los que la función cambia de convexa a cóncava o de cóncava a convexa. Solución. Estudiar la concavidad del gráfico de la función f ( x ) = x 4 + 2x 3-36x x + 12 De acuerdo al criterio debemos estudiar el signo de la segunda derivada. f ( x ) = 4x 3 +6x 2 72x + 24 f ( x ) = 12x x 72 = 12 ( x 2 + x 6 ) = 12 ( x +3 )( x- 2 ) Por lo tanto el gráfico de la función dada es : Cóncava hacia arriba en (-00, -3 ) y en ( 2, +00 ) Cóncava hacia abajo en ( -3, 2 ) Notemos que f (-3 ) = 0 y f ( 2 ) = 0, además en x = -3 y x = 2 se produce un cambio de concavidad, por lo tanto, ( -3, f ( -3 ) ) y (2, f ( 2 ) ) son puntos de inflexión del gráfico de la función f ( x ).
APLICACIONES DE LA DERIVADA. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente
APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente
Más detallesentonces las derivadas laterales existen y son iguales. y vale lo mismo. Si existen las derivadas laterales y son iguales, entonces existe f (a)
DERIVADAS. TEMA 2. BLOQUE 1 1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se llama derivada de la función y = f ( en el punto de abscisa x = a al límite f ( f ( a f ( a = lím x a x a Si existe f (a entonces
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA
Matemáticas º Bachillerato APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA CRECIMIENTO DECRECIMIENTO, CONCAVIDAD CONVEXIDAD Sea y = f() una función continua cuya gráfica es la de la figura. DEFINICIÓN
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADA Crecimiento y decrecimiento. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto: Una función f() es creciente en un punto
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Más detallesUna función f, definida en un intervalo dterminado, es creciente en este intervalo, si para todo x
Apuntes de Matemáticas II. CBP_ ITSA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN En una función se puede analizar su crecimiento o decrecimiento al mirar la variación que experimentan
Más detallesEcuación de la recta tangente
Ecuación de la recta tangente Pendiente de la recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. Recta tangente a una curva en un punto
Más detallesAplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente
Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. La recta tangente a una curva en un punto
Más detallesApuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones
Apuntes Tema 5 Estudio de funciones 5.1 Dominio Hay que determinar para qué intervalos de números reales, o puntos aislados, la función existe o está definida. Para ello tenemos que prestar atención a
Más detallesCONCAVIDAD. Supongamos que tenemos la siguiente información, referente a una curva derivable: Cómo la graficaríamos?
CAPÍTULO 14 CONCAVIDAD Supongamos que tenemos la siguiente información, referente a una curva derivable: Intervalo Signo de f F (-00,3) + Creciente (3,8) - Decreciente (8, + ) + Creciente Cómo la graficaríamos?
Más detallesExpliquemos con exactitud qué queremos decir con valores máximos y mínimos.
Introducción: Ahora que conocemos las reglas de derivación nos encontramos en mejor posición para continuar con las aplicaciones de la derivada. Veremos cómo afectan las derivadas la forma de la gráfica
Más detallesel blog de mate de aida CS II: Representación de funciones y optimización.
Pág.1 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. En la figura se observa la recta tangente a una función creciente. La recta tangente es siempre creciente también para cualquier punto, por lo que su pendiente será positiva
Más detallesMATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS
MATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS Extremos relativos La función f tiene un máximo relativo en el valor c si hay un intervalo (r, s), que contiene a c, en el cual f(c) f(x) para toda x entre r y s. Si además,
Más detallesTEMA 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
TEMA 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Monotonía: Crecimiento y decrecemento Sea f:d R R una función Definiciones: Diremos que f es creciente en x = a si existe un entorno de a para el que se cumple: f(a)
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesDerivada de una función en un punto. Función derivada. Diferencial de una función en un punto. dy = f (x) dx. Derivada de la función inversa
Derivada de una función en un punto Las tres expresiones son equivalentes. En definitiva, la derivada de una función en un punto se obtiene como el límite del cociente incremental: el incremento del valor
Más detallesSESIÓN 14 DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCION, DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Y LA CONCAVIDAD DE UNA CURVA APLICANDO EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
SESIÓN 14 DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCION, DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Y LA CONCAVIDAD DE UNA CURVA APLICANDO EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA I. CONTENIDOS: 1. Derivadas sucesivas de una función 2. Concavidad
Más detallesMATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS
MATE 3013 DERIVADAS Y GRAFICAS Extremos relativos La función f tiene un máximo relativo en el valor c si hay un intervalo (r, s), que contiene a c, en el cual f(c) f(x) para toda x entre r y s. Si además,
Más detallesREPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x
1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IBJ05 1. Se considera la función f ( ). Se pide: a) Encontrar los intervalos donde esta función es creciente y donde es decreciente. ( puntos) b) Calcular las asíntotas.
Más detallesProblemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso de 1ºBachillerato - Hoja 02 - Todos resueltos
página /9 Problemas Tema Solución a problemas de Repaso de ºBachillerato - Hoja 02 - Todos resueltos Hoja 2. Problema. Sea f x )=a x 3 +b x 2 +c x+d un polinomio que cumple f )=0, f ' 0)=2, y tiene dos
Más detallesBLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Crecimiento y decrecimiento. Extremos absolutos y relativos. Concavidad y convexidad. Asíntotas.
Más detallesCálculo Diferencial en una variable
Tema 2 Cálculo Diferencial en una variable 2.1. Derivadas La derivada nos proporciona una manera de calcular la tasa de cambio de una función Calculamos la velocidad media como la razón entre la distancia
Más detallesColegio Universitario Boston
Función Lineal. Si f función polinomial de la forma o, donde y son constantes reales se considera una función lineal, en esta nos la pendiente o sea la inclinación que tendrá la gráfica de la función,
Más detallesa) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3.
6 Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() en Aplicando la definición de derivada, calcula f () en las funciones que se
Más detalles2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones
Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto
Más detallesDerivadas 1 1. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.
Derivadas. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.. Función derivable en un punto, derivada de una función en
Más detalles4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Análisis de funciones de una variable 49 4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE En esta sección realizaremos algunos ejercicios sobre el estudio de funciones de una variable: En la parte final hay ejercicios
Más detalles= y. [Estudio y representación de funciones] Matemáticas 1º y 2º BACHILLERATO. Pasos a seguir para estudiar una función:
Pasos a seguir para estudiar una función: 1. Dominio de la función. 2. Puntos de corte. 3. Simetrías. 4. Asíntotas. 5. Crecimiento y decrecimiento. 6. Máximos y mínimos. 7. Concavidad y Convexidad. 8.
Más detallesColegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)
Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de
Más detallesProblemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 01 - Problemas 8, 9
Asignatura: Matemáticas II ºBachillerato página 1/8 Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 01 - Problemas 8, 9 Hoja 1. Problema 9 Resuelto por José Antonio Álvarez
Más detalles«La derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto»
TEMA 10 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO f (a): Consideremos una función f(x) y un punto P de su gráfica (ver figura), de abscisa x=a. Supongamos que damos a la variable independiente x un pequeño incremento
Más detallesAutor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
Ejercicio: 4. 4. El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) < . - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4. El intervalo
Más detallesUnidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.
Unidad V Aplicaciones de la derivada 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I APLICACIONES DE LA DERIVADA. 1. Derivabilidad y monotonía. creciente para x en cierto intervalo f es < 0
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. Derivabilidad y monotonía Tenemos también el resultado: f (x) > 0 creciente para x en cierto intervalo f es Lo cual es claro, pues: Si la
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL. Máximos y Mínimos. Equipo 2
CÁLCULO DIFERENCIAL Equipo 2 Máximos y Mínimos Estos son los ejercicios que deberá el equipo explicar dentro de la clase, este equipo tendrá un máximo de 5 integrantes, y deberá valerse de materiales o
Más detallesNo es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano.
FUNCIONES GRAFICAS No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. INTÉRVALOS Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números
Más detallesProblemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10
página 1/20 Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10 Hoja 2. Problema 2 Resuelto por Carmen Jiménez Cejudo (diciembre 2014)
Más detallesESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Sea f : (0, + ) definida como f () = Ln a) Probar que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determinar los intervalos de crecimiento
Más detallesRepresentaciones gráficas
1 MAJ99 Representaciones gráficas 1. Se considera la función 3 f ( ) 1 60 3 (a) Hállense sus máimos y mínimos. (b) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (c) Represéntese gráficamente.
Más detallesDERIVADAS. es: = + = es: = +
DERIVADAS. La derivada de la función f ( ) es: A) f ( ) f ( ) + B) f ( ) D) f ( ) ( ) f ( ). La derivada de la función f ( ) e es: A) f ( ) e f ( ) e B) f ( ) ( ) e D) f ( ) + e ( ) f e + e e e e ( ).
Más detallesTEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.1. DOMINIO, CORTES CON LOS
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un
Más detalles12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo
Más detallesTEMA 5. FUNCIONES DERIVABLES. TEOREMA DE TAYLOR
TEMA 5. FUNCIONES DERIVABLES. TEOREMA DE TAYLOR 5.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 5.1.1 Definición de derivada Definición: Sea I in intervalo abierto, f : I y a I. Diremos que f es derivable en a si existe y
Más detallesSoluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 006 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos
Más detallesProgramación NO Lineal (PNL) Optimización sin restricciones
Programación NO Lineal (PNL) Optimización sin restricciones Ejemplos de los problemas que se aplica la programación NO Lineal: Problema de transporte con descuentos por cantidad : El precio unitario de
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 común Sea f : R R la función definida como f(x) = e x.(x ). [1 punto]
Más detallesTema 7: Aplicaciones de la derivada, Representación de Funciones
Tema 7: Aplicaciones de la derivada, Representación de Funciones 0.- Introducción 1.- Crecimiento y Decrecimiento de una función. Monotonía..- Máimos y mínimos de una función.1.- Etremos relativos...-
Más detallesFUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN 1.- Derivada de una función en un punto. El estudio de la derivada de una función en un punto surge con el problema geométrico
Más detallesINICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES TASA DE VARIACIÓN MEDIA Supongamos que tenemos una función. Consideramos la recta que corta a la gráfica en los puntos A y B. Esta recta se llama secante
Más detalles1 CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
1 CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Ya sabemos como determinar si una función es estric. creciente o decreciente en un punto. Pero nos interesa determinar si la función crece o decrece de forma cóncava o convexa.
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 010 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Más detallesTEMA 6 INICIACIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL
TEMA 6 INICIACIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL 6.1. TASAS DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA 6.1.1. Tasa de variación media La tasa de variación media de una unción en un intervalo a, b es el cociente: b a TVM,
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL DE GENERAL SARMIENTO Matemática I Segundo Parcial (21/11/09) xe2x JUSTIFIQUE TODAS SUS RESPUESTAS
Segundo Parcial (21/11/09) 1. Sea f(x) = 1 +2 xe2x a) Hallar dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos locales de f. b) Hallar (si las hay) las asíntotas horizontales y verticales de
Más detallesCONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Continuidad. Derivabilidad. 1.- CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: Lim f( ) = f( a) a Para que una función sea continua en un punto
Más detallesLa variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x.
Bloque 8. FUNCIONES. (En el libro Temas 10, 11 y 12, páginas 179, 197 y 211) 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio
Más detallesInterpretación geométrica de la derivada
Interpretación geométrica de la derivada El matemático francés ierre de Fermat (60 665) al estudiar máimos mínimos de ciertas funciones observó que en aquellos puntos en los que la curva presenta un máimo
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva,
Más detallesDERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.
DERIVADAS Tema: La derivada como pendiente de una curva Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. La pendiente de la curva en el punto
Más detallesEjercicios de representación de funciones
Ejercicios de representación de funciones Representar las siguientes funciones, estudiando su: Dominio. Simetría. Puntos de corte con los ejes. Asíntotas y ramas parabólicas. Crecimiento y decrecimiento.
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,
Más detallesTEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R
TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. Concepto de función. Definición Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R f() que a cada número le
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesAplicaciones de la derivada 7
Aplicaciones de la derivada 7 ACTIVIDADES 1. Página 160 a) La pendiente de la recta tangente es 12. b) La pendiente de la recta tangente es 3. 2. Página 160 a) La pendiente de la recta tangente es. b)
Más detallesI. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS
Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES
Más detallesTema 7: Geometría Analítica. Rectas.
Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. En este tema nos centraremos en estudiar la geometría en el plano, así como los elementos que en este aparecen como son los puntos, segmentos, vectores y rectas. Estudiaremos
Más detalles1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS 1 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función f por la izquierda de un punto x = a. Es el valor al
Más detallesMatemáticas. Si un error simple ha llevado a un problema más sencillo se disminuirá la puntuación.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE LOS MAYORES DE 25 AÑOS CONVOCATORIA 2014 CRITERIOS DE EVALUACIÓN Matemáticas GENERALES: El examen constará de dos opciones (dos
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.5: Aplicaciones de la derivada. Máximos y mínimos (absolutos) de una función. Sea f una función definida en un conjunto I que contiene un punto
Más detallesCálculo de derivadas
0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula La gráfica f() representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo. Calcula mentalmente: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa
Más detallesFunciones reales de variable real
Tema Funciones reales de variable real Introducción El objetivo fundamental de este tema es recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable real.. Conceptos Generales Definición.
Más detallesTasa de variación. Tasa de variación media
Tasa de variación Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx). Se llama
Más detallesCONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR
INTERVALOS CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR Un intervalo es un conjunto infinito de números reales comprendidos entre dos extremos, que pueden estar incluidos en él o no. 1. Intervalo abierto (a, b): Comprende
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detalles9.- DERIVADAS 2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 2 utilizando la definición y halla su valor en xo = REGLAS DE DERIVACIÓN
9- DERIVADAS - DERIVADA EN UN PUNTO Calcula la derivada de y = + en o = utilizando la definición Solución: y'() = 8 Calcula la derivada de - en o = utilizando la definición Solución: y '() = -6 Calcula
Más detallesMATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO Curso EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES
MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO Curso 9-1 EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES A. Inecuaciones lineales con una incógnita x x1 x3 > 1 3 4 x x1 x3 4( x ) 3( x1) 6( x3) 1
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 00-0. MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A,
Más detallesProblemas Tema 3 Solución a problemas de Derivabilidad - Hoja 11 - Todos resueltos
Asignatura: Matemáticas II ºBachillerato página 1/10 Problemas Tema 3 Solución a problemas de Derivabilidad - Hoja 11 - Todos resueltos Hoja 11. Problema 1 1. Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se
Más detallesDefinición 1. Definición 3. Un numero critico de una función f es un numero c en el dominio de f tal c ) no existe.
CALCULO DIFERENCIAL Definición. Una función f ( ) tiene un máimo absoluto (o máimo global) en c si f ( c ) f ( ) D, donde D es el dominio de f. El numero f ( c ) se llama valor máimo de f en D. De manera
Más detalles1. Estudia la derivabilidad de la función )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg(x) tiene pendiente 2?.
ejerciciosyeamenes.com EXAMEN DERIVADAS. Estudia la derivabilidad de la función si f ()= si > 3. )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg() tiene pendiente?. 4. Ecuación de la recta tangente
Más detallesProblemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid Resueltos Isaac Musat Hervás 22 de mayo de 213 Capítulo 11 Año 21 11.1. Modelo 21 - Opción A Problema 11.1.1 3 puntos Dada la función: fx
Más detallesDerivación. Aproximaciones por polinomios.
Derivación... 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares. Matemáticas (Grado en Químicas) Contenidos Derivada 1 Derivada 2 3 4 5 6 Outline Derivada 1 Derivada 2 3 4 5 6 Definición
Más detallesAPLICACIONES DE LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES A LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES A LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN 1ª Determinar la ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE a la gráfica de una función y=f(x) en el punto de x=a contiene al punto (a,f(a)) y
Más detallesDERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f () 5 5 9 4 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(4). f'() 0; f'(9) ; f'(4) 4 Di otros
Más detallesProblemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales
Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=
Más detallesAnálisis matemático de la función de Nelson y Siegel
Anexos Anexo 1 Análisis matemático de la función de Nelson y Siegel La función que define el tipo forward según el modelo propuesto por Nelson y Siegel (1987) es la siguiente: con m 0 y τ 0. 1 > m m m
Más detallesAplicaciones de la derivada
CAPÍTULO 8 Aplicaciones de la derivada 8. Máimos mínimos locales Si f. 0 / f./ para cada cerca de 0, es decir, en un intervalo abierto que contenga a 0, diremos que f alcanza un máimo local o un máimo
Más detallesTEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
TEMA 7 DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS CCSSI º Bac TEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Definición : Se llama
Más detallesRepresentación de funciones
Representación de funciones 1) Sea la función Calcule: a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Sol: La función es creciente en (0,4) y decreciente en (,0) (4, ). b) Las coordenadas de sus extremos
Más detallesGuía de algunas Aplicaciones de la Derivada
Guía de algunas Aplicaciones de la Derivada 1.1. Definiciones Básicas. Recordemos que : 1. Recta Tangente y Normal La ecuación de la recta tangente a la curva y = en el punto P = (x 0, y 0 ) es de la forma:
Más detallesFunción cuadrática. Ecuación de segundo grado completa
Función cuadrática Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detallesm=0 La ecuación de una recta se puede obtener a partir de dos puntos por los que pase la recta: y y1 = m(x x1)
Recta Una propiedad importante de la recta es su pendiente. Para determinar este coeficiente m en una recta que no sea vertical, basta tener dos puntos (, y) & (, y) que estén sobre la recta, la pendiente
Más detallesFUNCIONES y = f(x) ESO3
Las correspondencias entre conjunto de valores o magnitudes se pueden expresar de varias formas: con un enunciado, con una tabla, con una gráfica, o con una fórmula o expresión algebraica o analítica.
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesResumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones.
Resumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. Cálculo de derivadas. Aplicaciones. 0.. Concepto de derivada. Definición. Sea f : S R R, a (b, c) S. Decimos que f es derivable en a si existe: f(x) f(a)
Más detallesTema 1. Cálculo diferencial
Tema 1. Cálculo diferencial 1 / 57 Una función es una herramienta mediante la que expresamos la relación entre una causa (variable independiente) y un efecto (variable dependiente). Las funciones nos permiten
Más detalles3.4 Concavidad y el criterio de la segunda derivada
90 CAPÍTULO 3 Aplicaciones de la derivada 3.4 Concavidad el criterio de la segunda derivada Determinar intervalos sobre los cuales una función es cóncava o cóncava. Encontrar cualesquiera puntos de infleión
Más detalles