CAPITULO 1 CONCEPTOS ELEMENTALES. B, A es un subconjunto propio de B si y solo si S( x) X para toda x C}

Transcripción

1 CONTENIDO conceptos elementales el par ordenado el producto cartesano 3 Relacones 4 Funcones 5 Famlas 6 Funcones defndas en conjuntos potenca 7 Aplcacones de funcones 8 Los números naturales 9 Orden 0 Los axomas de Choce el Lema de Zorn s El buen orden Recursón transfnta smltud 3 Ordnales 4 Cardnales Respuestas Referencas

2 CAPITULO CONCEPTO ELEMENTALE 0 x A e lee x es un elemento del conjunto A x A e lee x no pertenece al conjunto A Axoma de extensón A = B sgnfca x A s solo s x B Defncón de subconjuntos A B sgnfca s x A entonces x B A B sgnfca A B A B, A es un subconjunto propo de B ( ) es una condcón, entonces x { ( )} s solo s ( x) Axoma de Especfcacón A es un conjunto { x x ( x)} es un conjunto ( x) es una condcón, entonces Axoma de pardad A B son conjuntos, entonces exste un conjunto C tal que A C B C Defncón de Par { A, B} = { x x Ao x B} Axoma de unón C es un conjunto, entonces exste un conjunto U tal que s x para alguna C, entonces x U Defncón de Unón UC = { x x para alguna C} Defncón de Interseccón Para C I C = { x x para toda x C} Defncón de Complementos Relatvos A B= { x x x B} el conjunto A esta comprenddo, denotamos A B por B Axoma de potenca E es un conjunto, entonces exste un conjunto E, entonces P Defncón de conjunto potenca E = { x x E} Defncón de conjunto vacío = { x x x} P tal que s Los sguentes símbolos son menudo utlzados para estudar el álgebra de las sentencas representa representa o representa no representa s entonces mplca representa sí solo sí representa exste para algún representa para todo estos mbolos son empleados de acuerdo a las sguentes reglas de construccon para sentencas p q son sentencas, entonces p q, p q, p, p q, p qson sentencas p es una sentenca, entonces x : p, x: pson sentencas Por ejemplo, dado que p, q, rson sentencas, se verfco que [( p q) r] es una sentenca en el sguente sentdo q es una sentenca; por lo tanto q es una sentenca p q son

3 sentencas; por lo tanto p q es una sentenca p q r son sentencas por lo tanto ( p q) r es una sentenca [( p q) r] es una sentenca El valor verdadero de las sentencas construdas de los prmeros cnco símbolos son determnados formalmente de la defncón de la tabla de verdades e tene (utlzando como un símbolo de verdadero 0 como un símbolo de falso): p q p q p q p q p q p q p q p q p q Por ejemplo, s p es una sentenca falsa q es una sentenca verdadera, entonces p q, p qson falsas p q, p q, p son verdaderas Dos sentencas con el msmo valor verdadero son equvalentes ( = ) La equvalenca puede ser sstemátcamente verfcada usando la tabla de verdades teratvamente como en estos ejemplos p q p q La columna para p q la columna para p qcontenen los msmos valores verdaderos p q p q p p q p q p q p p q p q q q 0 p ( q r) ( p q) ( q r) p q r q r p ( p r) p q p r ( p q) ( p r) Usando la tabla de verdades, probemos cada equvalenca sguente

4 a) p q p q b) p q ( p q) c) p q ( p q) d) p q p q e) p q ( p q) p f) p q ( p q) q g) p q ( p q) ( r r) h) p q ( p q) ( q p) ) p q q p j) p q q p k) p ( q r) ( p q) ( p r) l) p ( q r) ( p q) ( p r) m) p ( p) n) p ( q r) ( p q) r o) ( p q) r p ( p r) p) p p p k) p p p Estos ejerccos sugeren como la lógca es formalzada Los estudantes nteresados en la matera deberán de consultar un lbro de lógca Las expresones se relaconan de la sguente manera: x : p es equvalente a ( x : p), o en palabras, (para toda x, p es verdadero) es equvalente a (este no es el caso de que haa una x tal que p sea falso) Probar esta equvalenca: ( x): ( x x Y) es equvalente a ( x): ( x x Y) Escrta fuera un resumen de estos teoremas usando la palabra subconjunto Demostracón no es subconjunto de Y s solo s ha un membro de que no este en Y 3 Pruebe que la gualdad para conjuntos es reflexva, smetrca transtva; esto es pruebe estos teoremas: a) = para todo conjunto b) = Y, entonces Y =, para todo conjunto, Y c) Para todo conjunto,, Y, Z s = Y Y = Z, entonces = Z Demostracón a) x x = por el axoma de extensón b) x x Y es equvalente a x Y x c) ( x x Y) ( x Y x Z) mplca ( x x Z) 4 Pruebe que la nclusón para conjuntos es reflexva, antsmetrca, transtva; esto es, pruebe estos teoremas a) para todo conjunto

5 b) YY mplca = Y para todos conjuntos, Y c) para todos conjuntos,, Y, Z s YY Zentonces Z Demostracón a) x mplca x b) x, entonces x Y, s x, entonces x x Y c) x, entonces x Y, x Y, entonces x Z mplca, s x, entonces x Z 5 ea A BB C Pruebe que A C Demostracón ea c C c Bentonces esto es posble a que B es un subconjunto propo de C c A, a que s c A, entonces c B 6 ea A BB CC A Pruebe que A= B= C Demostracón Para probar que A = B, solo necestamos demostrar que todo membro que pertenezca a B tambén es un elemento de A 7 ea P U Q U Defnmos P = { x x U x P} Q smlar Pruebe que P Q Q P Pruebe además que P = ( P ) Demostracón (s p entonces q) es equvalente a ( s no q entonces no p) ( no( no p)) es equvalente de p 8 Pruebe que P Pruebe que P P= Demostracón El argumento ( s x, entonces x P) puede ser demostrado certamente este argumento fuere falso, entonces podra exstr un tal que P Pero esto no puede ser a que Por tanto P 9 Por defncón P Q= { x x Po x Q} =U{ P, Q} P Q= { x x P x Q} =I { P, Q} PQson conjuntos, entonces pruebe que P Q P Q son conjuntos Demostracón PQ son conjutos mplca que { PQ} es un conjunto por los axomas de pardad, que en general mplca que U{ PQ, } por el axoma de la unón especfcacón 0 Pruebe que es un elemento neutral para la unón de conjuntos, e, = =

6 Para todo conjunto Demostracón ( x o x ) es equvalente a ( x ), a que (x ) es sempre falso ea Y = para todo conjunto Pruebe que Y = Demostracón Y = para todo conjunto, entonces Y = Pero Por tanto Y = Y = Y Pruebe que = Demostracón (x x ) es equvalente a (x ), a que ( x ) es sempre falsa 3 Pruebe los sguentes teoremas: a) La conmutabldad de la unón, P Q = Q P b) La conmutabldad de la nterseccón, P Q = Q P c) La asocatvdad de la unón P ( Q R) = ( P R) Q d) La asocatvdad de la nterseccón P ( Q R) = ( P R) Q e) La dstrbucón de la nterseccón con respecto a la unón P ( Q R) = ( P Q) ( P Q) f) La dstrbucón de la unón con respecto a la unón P ( Q R) = ( P Q) ( P Q) g) La ndempotenca de la unón P P= P h) La ndempotenca de la nterseccón P P= P La solucón probablemente salga mas fácl utlzando las equvalencas de : a) j, b), c) o, d) n, e) k, f) l, g) q, h) p 4 Defnmos, = 0 {0}, = {}, 3= {}, probar que 0,,, 3, son conjuntos, estos conjuntos que son de notados por el símbolo para la no negatvdad entera se muestran con frecuenca en estos ejerccos Demostracón ea A un conjunto 0 = = { x x A x x} es un conjunto por el axoma de especfcacón {0} es un conjunto por el axoma de pardad = U { 0,{0} } es un conjunto por el axoma de unón especfcacón El msmo argumento se repte con,, 3, 4 sucesvamente remplazando 0 5 Exprese el conjunto $ usando solo los símbolos {,},,, olucón 4 = {,{ },{,{ }},{,{ },{,{ }}}} 6 Pruebe cual de estas sentencas es certa o falsa:

7 a) c) = 0 e) (0 ) b) d) = olucón olo c) es falsa 7 En orden de generalzar la construccón de 4 asuma una secuenca ntutva de números Naturales conocdo demuestre por nduccón matemátca Para cada numero natural n de fna un conjunto n como sgue: 0, n+ = n { n} Pruebe que s n es un conjunto, entonces n + es un conjunto Conclur que n es un conjunto para cada numero natural n Fnalmente, dentfcar n n ; Esto es, use el símbolo n para denotar él numero natural como ntutvamente se entendó el conjunto construdo Estos conjuntos, 0,,, 3, se usaran en ejerccos sguentes olucón La demostracón es smlar a la hecha en 4 7 De cual de los sguentes conjuntos es x un membro, x un subconjunto, x nngún membro nngún subconjunto? A) {{ x}, } D) { x} {{ x}} B) x E) { x} x C) x F) { x} { } olucón x es un membro: D, E, F x es un subconjunto: B, E x no es nngún membro n un subconjunto: A, C Los membros del conjunto x no se dan aquí la respuesta esta en base a que x x 9 Demostrar que a) U{{ abc,, },{ ade,, },{ a, f}} = { abcde,,,,, f} b) I {{ abc,, },{ ade,, },{ a, f}} = { a} c) U{} = d) I {} = e) U{ A} = A para todos los conjuntos A f ) U{ A} = A para todos los conjuntos A 0 Exprese los sguentes conjuntos usando los conjuntos 0,,, etc, U,, UU,, UUU, olucón 0, 0,, 0,, 0, {0,,, {}} ea = {{,5},4,{4}} encuentre I ( U 4) olucón 4 Construr ( U ) donde A = 3 A para cualquer conjunto A

8 olucón {, } 3 Construr IU ( ) olucón 0 4 ea = {{{,},{}},{{,0}}} construr U, I, UU, I I, I U olucón {{, },{},{,0}}, 0, 3, no defndos, 0, {} 5 ea = {{, },{, 0},{, 3}} construr U, I, UU, I I, I U olucón 4, 0, 3, no defndos, 0, 0 6 ea PQR,, subconjuntos de U sea el complemento relatvo ( ) con respecto a U Entonces pruebe lo sguente: a) P Q P Q = b) P Q P Q= U c) P Q ( P Q ) P d) P Q ( P Q ) Q e) P Q ( P Q ) ( R R ) olucón El ejercco contene notables equvalencas 7 Pruebe que A B= A B A olucón La sentenca ( x Ao x B x A) es equvalente a la sentenca ( x B x A), que se puede verfcar fáclmente utlzando la tabla de verdad 8 Pruebe que A B= A A B olucón La sentenca ( x Ax B x A) es equvalente a la sentenca ( x A x B) 9 De un ejemplo de dos conjuntos A, B tal que ( I A) ( I B) I ( A B) Por ejemplo, A= {}, B = {0,} 30 Pruebe que ( I A) ( I B) I ( A B) olucón x ( I A) ( I B) x ( I A ) mplca que para toda s A B entonces x Implca que para toda A Buno tene x que en seguda mplca que x I ( A B)

9 3 De un ejemplo de dos conjuntos A, B tal que ( A B) ( A) ( B) olucón {,} {0,} {0,}{,} {0,,} 3 Asumendo una regón conocda de, los números reales, que subconjuntos están descrtos aquí? { x x > } { x x < x+ 3 } olucón (, ) 33 Defnmos a A + B = ( A B) ( B A) como la dferenca smétrca de los conjuntos A B Pruebe lo sguente: a) A+ = A b) A+ B= B+ A c) A+ ( B+ C) = ( A+ B) + C d) A ( B+ C) = ( A B) + ( A C) e) A B A+ B f) A= B A+ B= g) A+ C = B+ C A= B 34 Pruebe que { A } es un conjunto sn usar el axoma de pardad, dado que A es un subconjunto olucón { x x A x = A} es un conjunto usando el axoma de potenca de especfcacón

10 CAPITULO EL PAR OREDENADO Y EL PRODUCTO CARTEIANO 0 Defncón del Par Ordenado ( ab, ) = {{ a},{ ab, }} Defncón de Producto Cartesano A B = { x x = ( a, b) para a lgun a A a lg un b B} Construr los sguentes conjuntos: a) 3 d) g) b) 3 e) c) 3 f) 0 olucón a) 3, b), c) {(0,0), (0,), (0,), (,0), (,), (,)}, d) {(0,0), (,0)}, e) {(0,0),(0,)}, g){(0,0)} Demuestre que { x, } no puede nterpretarse como la defncón para un par ordenado; demostrar que esta no tene la propedad ( x, ) = ( a, b) x = a = b olucón x = b = a a b, entonces { x, } = {,} a b x a b 3 Un par ordenado es por defncón un conjunto Mostrar por ejemplo que no todo par ordenado tene dos membros olucón El par ordenado ( x, x ) tene solo el membro { x } 4 Pruebe esta preposcón falsa: Y = Y para todo conjunto, Y El producto cartesano es no conmutatvo olucón = {0} Y = {}, entonces Y Y a que (0,) (,0) 0, a que Pruebe que el producto cartesano es no asocatvo olucón = {0}, Y = {0}, Z = {}, entonces ( Y) Z ( Y Z) ( Y) Z = {((0,0),)}; ( Y Z) = {(0,(0,))} (0,0) 0 6 Dar un ejemplo de dos conjuntos, Y tal que Y = Y olucón Tomando al conjunto vacó 7 Pruebe que el producto cartesano es dstrbutvo con respecto a la unón: ( Y Z) = ( Y) ( Z), Y, Z olucón ( x, ) ( Y Z) x, Y Z x ( Yo Z) ( x x Y) o( x x Z) ( x, ) Yo( x, ) Z ( x, ) ( Y) ( Z) 8 Dar ejemplos de conjuntos tales que ( Y Z) ( Y) ( Z)

11 olucón =, Y = Z = 0 9 Pruebe que II ( x, ) = x olucón a I {{ x},{ x, }} a { x} a {, x } s a= x ( a = xo a = ) a = x 0 Pruebe [ IU( x, )] [ UU( x, ) UI( x, )] = olucón Pruebe prmero que U ( x, ) = { x, } Entonces a ( I { x, }) ( U{ x, } U { x}) (a x a ) o (( a xo a ) a x) ( a x a ) o a a Pruebe que = Y Y = Y olucón ea x entonces ( x, x) ( x, x) Y Y x Y Y gualmente Y Y = Pruebe que Y = Z Y = Z olucón ea Y a que sea a entonces ( a, ) Y ( a, ) Z Zgualmente Z Y Y = Z

12 CAPITULO 3 RELACIONE 30 Defncón de una relacón de a Y R es una relacón de a Y s solo s R Y en este caso escrbremos xr s ( x, ) R Defncón de magen de una relacón Imagen R = { ( x, ) R para a lg una x } Defncón de premagen de una relacón Premagen R = { x ( x, ) R para a lg una Y} Defncón Una relacón R en (de a ) es a) Reflexva s solo s para toda x, ( x, x) R b) Irreflexva s solo s para toda x, ( x, x) R c) Transtva s solo s ( x, ) R ( z, ) Rmplca ( x, z) R d) Intranstva s solo s ( x, ) R ( z, ) Rmplca ( x, z) R e) métrca s solo s ( x, ) R mplca ( x, ) R f) Antsmétrca s solo s ( x, ) R ( x, ) R x= Defncón de composcón R es relacón de a Y es relacón de Y a Z entonces o R= {( x, ) ( x, ) R (, z) para a lg una Y} Defncón de Relacón Inversa R es relacón de a Y entonces R = {( x, ) ( x, ) R} Defncón una relacón de Equvalenca en es una relacón reflexva, smétrca transtva Defncón Un orden en es una relacón reflexva, antsmétrca transtva en Defncón Un orden estrcto en es una relacón rreflexva, antsmétrca transtva en Defncón Un orden R en es total s solo s x, mplca ( x, ) Ro ( x, ) R Defncón de partcón P es una partcón de s solo s P, = UP, P A, B Pmplca A B= o A= B Teorema Asocatvdad con una relacón de equvalenca R en un conjunto es una partcón / R = { x/ R x } en la cual x / R = { ( x, ) R} 3 Lste todas las relacones de = { abc,, } a Y = {} s olucón Y,{( as, ),( bs, )},{( as, ),( cs, )},{( bs, ),( cs, )},{( as, )},{( cs, )}, 3 Lste todas las relacones sobre el conjunto

13 olucón 33 Cuantas relacones ha en un conjunto con n elementos? olucón n 34 ea R una relacón de W a, una relacón de a Y, T una relacón de Y a Z Pruebe la asocatvdad de la composcón: T o( or) = ( T o) o R olucón ( wz, ) To( or) ( w, ) o R ( z, ) T para alguna Y s solo s (( wx, ) R ( x, ) para alguna x ) ( z, ) T para alguna Y s solo s ( wx, ) R (( x, ) ( z, ) T para alguna Y) para alguna x ( wz, ) ( To) o R 35 ea una relacón de a Y Pruebe que olucón Como Y son conjuntos, conjunto por los axomas de especfcacón esto es un subconjunto de Y es una relacón de Y a {(, x) (, x) Y = ( x, ) } es un es una relacón de Y a a que 36 Defna I = {( x, ) ( x, ) x = } ea una relacón de x Pruebe que I * = * I = x a Y Demostracón ( A) ( x, ) para alguna x Aque mplca Y z ( T o )( A) ( x, z) T o para alguna x As solo s ( x, ) ( z, ) T para alguna Y x As solo s ( z, ) T para alguna ( A) s solo s z ( T( ( A)) ( A) ( B) mplca ( A) o ( B) que mplca ( x, ) para alguna x A o ( x, ) para alguna x B que mplca ( x, ) para alguna x A Bo ( x, ) para alguna x B Aque mplca que ( A B) ( A B) mplca ( x, ) para alguna x A B x A, entonces ( x, ) para alguna x Aflexble ( A) s en el otro sentdo x B, entonces ( x, ) para alguna x B flexble ( B) en otro caso ( A) ( B) ( A B) ( x, ) para alguna x B Aque mplca x A x B ( x, ) para alguna x que mplca ( A) ( B) 37 ea una relacón de a Y T una relacón de Y a Z Defna para A, ( A) = { ( x, ) para alguna x A} Pruebe que

14 ( T o )( A) = T( ( A) ) Pruebe que ( A B) = ( A) ( B) Pruebe que ( A B) ( A) ( B) olucón (, x) ( T) s solo s ( x, ) T ( x, ) ( x, ) T s solo s (, x) ( x, ) T s solo s (, x) T mlarmente para 38 ean T relacones de a Y Entonces pruebe ( T) T ( T) = = T olucón (, zx) ( T ) ( x, ) T ( x, ) ( x, ) T ( x, ) T, smlarmente para ( x, ) T ( x, ) 39 ea una relacón de a Y T una relacón de Y a Z Pruebe entonces que ( T o) = ot olucón ( x, ) ( T) ( x, z) T o ( x, ) ( x, ) T para alguna Y sí solo sí ( x, ) T sí ( x, ) 30 Probar que para una relacón en es reflexva I es rreflexva Ix = es transtva ( o) es ntranstva ( o) = es smétrca = es antsmétrca I x para alguna Y sí solo sí ( x, ) o T olucón ea reflexva ea Entonces x = pero ( x, x) a que es reflexva De aquí ( x, ) = ( x, x) I La prueba nversa sea I ea x ( x, x) I pero I más aun ( x, x) es reflexva es rreflexva sí solo sí ( x, x) para toda x sí solo sí ( x, x) para toda ( x, x) I sí solo sí I = ea transtva ( x, z) o, entonces ( x, ) ( z, ) para alguna Pero s es transtva, Entonces ( x, z), o Inversamente sea o Asumendo ( x, ) ( z, ) entonces ( x, z) o, a que o tambén ( x, z) es transtva ea anttranstva ea ( x, z) o, entonces ( x, ) ( z, ) para alguna Además

15 ( x, z) ( o) = nversamente, sea ( o) = sea ( x, ) ( z, ) ( x, z) o,( x, z) métrca í solo sí ( ( x, ) mplca ( x, ) ) sí solo sí ( ( x, ) mplca ( x, ) (, x) ) sí solo sí ea antsmetrca Asumendo ( x, ) = ( x, ) entonces ( x, ) por antsmetra x = ( x, ) = ( x, x) I nversamente, sea I ea ( x, ) ( x, ) entonces ( x, ) ( x, ) I x= ( x, ) ( x, ) 3 ea una relacón en Probar que s es transtva reflexva, entonces o = es certo para la relacón nversa? olucón es transtva, entonces o ea ( x, ) Por reflexón 3 Construa todas las relacones de equvalenca en el conjunto 3 olucón Las partcones de3 = { 0,,} son {{0},{},{}}, {{0,},{}}, {{0,},{}}, {{,},{0}}, {{0,,}} Las correspondentes relacones de equvalenca son I 3, I 3 {(0,),(,0)}, I {(,0),(0,)}, I {(,),(,)}, ea δ un conjunto no vacío de relacón de equvalenca en un con junto Pruebe que I δ es una relacón de equvalenca en olucón ea I δ Entonces I δ ea x ( x, x) δ Ademas ( xx, ) I δ ea ( x, ) I δ ( x, ) δ ( x, ) δ ( x, ) I δ Ahora sea ( x, ) ( z, ) I δ ( x, ) ( z, ) para toda δ ( x, z) para toda δ ( x, z ) I δ 34 ea un conjunto Verfque que la gualdad de conjuntos es una relacón de equvalenca en olucón La gualdad = { (A;B) (A,B) A = B} 35 Construa todas las ordenacones en el conjunto 3 Cuales son totales? olucón Ha 9 ordenacones en 3: I I3 {(0,)}, I3 {(0, )}, 3, I3 {(, )}, I3 {(,0)}, I3 {(,0)}, I3 {(,)}, I3 {(0,),(0,)},

16 I3 {(0,),(,0),(,)}, I3 {(0,),(,),(0,)}, I3 {(0,), (,)}, I3 {(,0),(0,),(,)}, I3 {(,0),(,0)}, I3 {(,0),(,)}, I3 {(,0),(,),(,0)}, I3 {(,0),(,),(,0)}, I3 {(,0),(,)}, I3 {(0,),(,)}, I3 {(0, ),(,),(0,)}, Las ordenacones con 6 elementos son ordenacones toteles 36 Puede ser una relacón de equvalenca? Una ordenacón? olucón Dado que ambas ordenacón relacón de equvalenca son relacones reflexvas, el únco conjunto en el cual el conjunto vacío puede ser un orden o una relacón de equvalenca es en el msmo conjunto vacío Que es un Orden una relacón de equvalenca es facl de verfcar 37 ea δ un conjunto no vacío de orden en Pruebe que I δ es un orden olucón La prueba es analoga a la demostracón en el ejercco Verfque que nclusón es un orden en olucón Cf Ejercco 4 39 es un orden en un conjunto A, Pruebe que ( A A) es un orden en A Pruebe que s es total en, entonces ( A A) es total en A olucón ea un orden en ( A A) A A ea x A(x,x) A A (x,x) ( A A) ea (x,) ( A A) (,x) ( A A) Y (x,) (,x) x = ea (x,) ( A A) (,z) ( A A) (x,) (,x) (x,z) ( x, ) A A ( z, ) A A Por lo tanto x,, z A( x, z) A A( x, z) ( A A) Por lo que (A A) es un orden en A ea total en ea x, A Entonces ( x, ) o ( x, ) Pero ( x, ) A A ( x, ) A A Por lo tanto ( x, ) o ( x, ) ( A A) 30 Pruebe que es un orden en es orden en olucón Utlzando la condcón del ejercco 30, es un orden s solo s I ( ) I se verfca fáclmente

17 3 Construa las sguentes relacones en el conjunto 8, Contar con sus prevos conocmentos de artmétca El símbolo (-) en estos ejerccos sgnfca dferenca artmétca no la relacón complemento a), donde x x 8 b), donde x< x 8 x 8 c) =, donde x = x = 0 d) :, donde x : x es un entero dvsble por e)*, donde x * 4< x f) s, donde x s x = Cuales relacones son smétrcas? Antsmétrcas? Reflexva? Irreflexva? Transtva? Anttranstva? Cuales relacones son ordenes? Relacones de equvalenca? Para cada relacón de equvalenca cual es la correspondente partcón de 8? olucón a) = {(0,0), (0,), (0,), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), (0,7), (,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), (,7), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), (,7), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (3,7), (4,4), (4,5), (4,6), (4,7), (5,5), (5,6), (5,7), (6,6), (6,7), (7,7)} b) I8 c) I 8 d) I8 {(0,), (0,4), (0,6), (,0), (,4), (,6), (4,0), (4,), (4,6) (6,0), (6,), (6,4), (,3), (,5), (,7), (3,), (3,5), (3,7) (5,), (5,3), (5,7), (7,), (7,3), (7,5)} e) {(5,0), (6,0), (7,0), (6,), (7,), (7,)} f) {(0,), (,), (,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7)} metrca: c, d Antsmetrca: a, b, c, e, f Reflexva: a, c, d Irrefleccva: b, e, f Transtva: a, b, c, d, e Anttranstva: f Ordenacones: a, c Relacón de equvalenca: c, d Para c: {{0}, {}, {}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}} Para d: {{0,, 4, 6}, {, 3, 5, 7}} 3 ea L el conjunto de todas las líneas del plano eucldano Verfque que el paralelsmo es una relacón de equvalenca en LVerfcar que partcularmente es rreflexva, smétrca, una relacón ntranstva 33 ea Q el conjunto de los números raconales Y sea Q(x) el conjunto de todos los polnomos en con coefcentes raconales Defna una relacón en A = Q ( ) Qcomo sgue: para todo f, g A, f p g g = qf para alguna Probar que p es un orden estrcto en A, es una (p ) I totales? olucón ( p ) A A f p f a que f = qf con grado q da una contradccón Note que Q [ ] Q consste de polnomos de grado uponga que f p g g p f g = q f f = qg produce g = qq g grado g > grado g que es una

18 contradccón Ahora suponga que f p g g h, g = q f h= q g Entonces p h= ( qq) f con qq = q + q El orden no es total Por ejemplo, los sguentes polnomos no son comparables: x +, x+, x 34 es un orden en Pruebe que l es un orden estrcto es un orden en Pruebe que l es un orden olucón ea un orden en consdere I I, para ea x ( x, x) I por lo tanto ( x, x) I ea ( x, ) (, x) I Entonces ( x, ) ( x, ) mplca x = Ahora sea ( x, ) (, z) I De esto se sgue que ( x, z) Entonces ( x, z) I a menos que x = z x = z, entonces ( x, ) ( x, ) ambos pertenecen a, consecuentemente x = Pero ( x, ) I mplca x dando una contradccón 35 Puede ser un orden estrcto olucón El vacío es un orden estrcto en cualquer conjunto 36 ea una relacón en Pruebe que es una relacón en UU Pruebe que UU olucón Esto debería mostrar que ( UU UU ) α U s solo s α ( x, ) para alguna ( x, ), s solo s α {{ x},{ x, }} para alguna ( x, ), s solo s α {} x o α {, x } para alguna ( x, ) β UU s solo s β α para alguna α U, s solo s β {} x o β {, x } para alguna ( x, ), s solo s β = x o β = para alguna ( x, ) Ahora s ( x, ), nosotros tenemos x UU UU, en consecuenca ( x, ) UU UU ea β UU Entonces β = x de alguna ( x, ) o β = de alguna ( x, ) Por lo tanto β 37 ea una relacón de en Y Obtenga la premagen de la magen Y olucón x Premagen de mplca ( x, ) Y x magen de mplca ( x, ) Y Y

19 38 ea una relacón de a Y Pruebe que l o Pruebe que lmagen o premagen olucón x Premagen de entonces exste un ( x, ) De aquí ( x, x) ( x, ) ( x, ) o Lo msmo para magen de entonces exste un (, ) o 39 ea un orden en T un orden en Y sea (( x, ),( x, )) P ( x, x) (, ) T Pruebe que P es un orden en Y (el producto orden) olucón P ( Y) ( Y) ea ( x, ) Y x Y ( x, x) (, ) T (( x, ),( x, )) P P es reflexva Ahora sea (( x, ),( x, )) P (( x, ),( x, )) P Entonces ( x, x ) (, ) T ( x, x ) (, ) T x = x ( x, ) = ( x, ) P es antsmétrca Ahora sea = x x P x x (( x, ),( x, )) P ((, ),( 3, 3)) (, ) (, ) T ( x, x3) (, 3) T Por lo tanto ( x, x3) (, 3) T (( x, ),( x, )) P ea una relacón de equvalenca en T una relacón de equvalenca en Y ea (( x, ),( x, )) P ( x, x) (, ) T Pruebe que P es una relacón de equvalenca Y olucón mlar a ea un orden estrcto en T un orden estrcto en Y En Y defna una relacón R como sgue: (( x, ),( x, )) R (, ) T o [( x, x) ] = R es decr una ordenacón por ultmas dferencas Pruebe R es un orden estrcto en Y olucón R = {(( x, ),( x, )) (, ) T o [( x, x) = ]} es un conjunto usando el axoma de especfcacón en ( Y) ( Y) R es reflexva a que (( x, ),( x, )) R mplca (, ) T con o esto mplca ( x, x) con x x en otro caso ( x, ) ( x, ) Ahora por antsmétra asumendo ambos (( x, ),( x, )) R (( x, ),( x, )) R En los cuatro casos todo nos llevan a ( x, ) = ( x, ) La transtvdad se demuestra de la msma forma 33 ean T partcones de es mas fno que T s solo s u mplca u vpara alguna v T Pruebe que la relacón que es más fna es un orden en el conjunto de todas las partcones de

20 olucón ea F el conjunto de todas las partcones de es mas fna que a que u mplca u u para alguna u uponga que es mas fna que T T mas fna que u mplca u v para alguna v T v T mplca que ha una u tal que v u Cualquer otra u = u o u u = a que es una partcón Puesto que u sea a u Entonces a v a u u u Por lo tanto u = u tenemos u = v T mlarmente, T, conclumos que = T ea mas fna que T T mas fna que sea u u vpara alguna v T u w para alguna w U Entonces es mas fna que U, puesto que para cada u exste w U 333 Dar un ejemplo de un conjunto un conjunto δ de orden en tal que Uδ no es un orden en olucón ea = δ = {{(0,0),(0,),(,)},{(0,0),(,0),(,)}} por ejemplo U δ = =, que no es un orden 334 ea R una relacón en Pruebe que R R es la menor relacón smétrca ncluda en R que R R es la maor relacón smétrca ncluda en R olucón ea R una relacón en ea δ el conjunto de todas las smetrías en, cada una ncluda en R U δ es una relacón smétrca, por suponer ( x, ) U δ entonces ( x, ) para alguna δ ( x, ) U δ U δ δ Uδ R es la maor relacón smétrca ncluda en R Ahora se deberá probar que δ R R U = ( x, ) R R ( x, ) R ( x, ) R (, x) R ( x, ) R R R R R R δ R R U δ suponga que ( x, ) U δ Entonces ( x, ) para alguna δ ( x, ) ( x, ) ( x, ) R ( x, ) ( x, ) R ( x, ) R R U δ R R ea δ = { es una relacón smétrca en R } δ δ Defna sr ( ) = I δ sr ( ) es la menor relacón smétrca que nclue a R Por que? Ahora se deberá probar que sr ( ) = R R Prmero se prueba que R R es smétrca mplca (, x) De este modo R o ( x, ) R R δ nclue a R uponga ( x, ) R, así ( x, ) R R mplca ( x, ) Rque mplca (, x) R R o ( x, ) R que sr ( ) R R ea T una relacón smétrca que ( x, ) R R ( x, ) R, entonces ( x, ) T entonces ( x, ) R ( x, ) T ( x, ) T De aquí R R T para toda T δ R R s R 335 ea R una relacón en tal que R es reflexva transtva R No es necesaramente un orden a que R no es necesaramente antsmetrca Pruebe que exste una relacón de equvalenca en un orden R en / tal que ( x /, / ) R ( x, ) R ( )

21 olucón Defna ( x, ) s solo s ( x, ) R ( x, ) R Que es una relacón de equvalenca se sgue de: ( x, x) puesto que ( x, x) R ( x, ) mplca ( x, ) R ( x, ) R que mplca ( x, ) Fnalmente ( x, ) ( z, ) mplca ( x, ) R ( x, ) R ( z, ) R ( z, ) Rque mplca ( x, z) R ( zx, ) Rque mplca ( x, z) Como fue defnda R es claro que resulta un subconjunto de / / Ahora ahí que checar que esta ben defnda ea x / = x/ / = / ( x /, / ) R mplca ( x, ) R Pero ( x, x) mplca ( x, x) R ( x, x ) R (, ) mplca (, ) R (, ) R ( x, ) R ( x /, / ) R Que R es orden se verfca a contnuacón ( x, x) ( x /, / ) ( x, ) R mplca ( x / x, / ) R R ( / x, / ) Rmplca ( x, ) R ( x, ) Rque mplca que mplca x / = / ( x /, / ) R ( / z, / ) Rmplca ( x, ) ( z, ) Rque mplca ( x, z) Rque mplca ( x / z, / ) R

22 CAPITULO 4 FUNCIONE 40 Defncón F es una funcón de a Y s solo s f Y, x ha una Y tal que ( x, ) f, ( x, ) f, ( x, ) f mplca = Tambén por defncón, f : Y sgnfca que f es una funcón de a Y con domno f =, condomno f = Y, magen f = { Y ( x, ) f para alguna x }, = f( x) sgnfca ( x, ) f, es la magen de x bajo f sgnfca ( x, ) f, x es la premagen de bajo f sgnfca ( x, ) f, es el valor de la funcón f a x sgnfca ( x, ) f, Defncón Una funcón f de a Y es una sobreeccón (tambén llamada una sobre funcón) s solo s para toda Y exste una x tal que ( x, ) f f : >>Y sgnfca f es una sobreeccón de a Y Defncón Una funcón f de a Y es una neccón (tambén llamada una funcón uno a uno) s solo s ( x, ) f ( x, ) f mplca x = x f : > >Y sgnfca f es una nectva de a Y Defncón Una funcón f de a Y es una beccón s solo s f es nectva sobreectva f : > >>Y sgnfca f es una beccón de a Y Una beccón es llamada tambén una equvalenca En caso de que aa una f : > >>Y, llamaremos al conjunto Y equvalenca: : Y Defncón Y = { f f : Y} Defncón ea f : A Y, g: B Y g f Entonces g es una restrccón de f f es una extensón de g ( f B) = f ( B Y) = g Defncón de mapeo Cocente / R es una partcón de entonces la sobreeccón φ : >> / Rtal que φ ( x) = x/ Res llamado el mapeo cocente (o mapeo cocente) Defncón de funcón característca A es un subconjunto de, La funcón característca de A es la funcón χ A : tal que χ ( x A ) = para x A χ ( x) = 0 A para x A Defncón de Monode Un monode es un par ordenado (, ) A w en el cual A es un conjunto w es una operacón asocada en A con un elemento neutral e

23 Un operador en un conjunto A es una funcón w de A A a A Escrbmos x w para el valor de la operacón w(x, ), e es un elemento neutral para la operacón w sí solo sí e w x = x w e = x para toda x A Defncón de un ubmonode ea (A,w) un monode Un subconjunto de A es un submonode de, A sí solo s x, xw wx e Por abuso de lenguaje sea ( Gw), un monod es usual escrbr G es un monode Defncón de emgrupo Un semgrupo zquerdo es un monode ( A, w) con le de cancelacón zquerda, e, x w= xwz = z Defncón de Grupo Un monode ( Gw, ) es un grupo s solo s todo elemento de G es nvertble x es un elemento nvertble de G sí solo sí x w= wx= epara alguna G Los estudantes que no encuentren sufcente estas defncones para trabajar pueden consultar las referencas 8, 9, 0 4 ea N quen representa a los enteros no negatvos, Z los enteros, Q los raconales R los números reales asumendo un ACQUAINTANCE con estos conjuntos, damos un ejemplo de una funcón: a) de N a un subconjunto propo de N, una neccón no, b) que es una neccón de N a un subconjunto propo de N, c) de Z a un subconjuunto propo de Z una neccón no d) que es una neccón de Z a un subconjunto propo de Z, e) de R a N, f) de R a N tal que para toda x, f ( x) x olucón Por ejemplo a) {( n,0) n N }, b) {( nn, + ) n N }, c) {( n,0) n Z}, d) {( n, n) n Z }, e) {( x,0) x R }, f) {( x,0) x R {0}} {(0,)} 4 Pruebe que no toda neccón de un conjunto en sí msmo es una beccón olucón Ver solucón de 4 b) 43 Construa una funcón a) de a, b) de 0 a, c) de 3 a 6, de 6 a 3, ambas beccones olucón a) {(0,0)}, b), c) una beccón de 3 a 6 es {((0,0),0),((0,),),((0,),),((,0),3),((,),4),((,),5)} 44 Construa estos conjuntos a) c) e) 0 g) ) 0 b) 3 d) 0 f) h) 0 j)

24 olucón a) {{(0,0),(,0),(,0)}, {(0,0),(,0),(,)}, {(0,0),(,),(,0)}, {(0,0),(,),(,)}, {(0,),(,0),(,0)}, {(0,),(,0),(,)}, {(0,),(,),(,0)}, {(0,),(,),(,)}} b) {{(0,0),(,0)},{(0,),(,0)},{(,0),(,0)}, {(0,0),(,)},{(0,),(,)},{(,0),(,)}, {(0,0),(,)},{(0,),(,)},{(0,),(,)}} 45 uponga que exste una funcón de a Y que no es una neccón Pruebe que Y olucón es gual al vacío entonces f =, que es nectva, a que s ( x, ) ( x, ), entonces x = x s Y = f es una funcón de a Y, entonces = tambén f =, que nuevamente resulta una neccón 46 uponga que exste una funcón de a Y que no es una sobreeccón Pruebe que Y olucón Y = f es una funcón, entonces f es una sobreeccón 47 Pruebe que : 4 : sgnfca equvalenca olucón {(0,0),(,),({},),(,3)} es una beccón B 48 Pruebe que A = 0 A= 0 B 0 olucón Prmero sea A = 0 B 0 B f A mplca f B 0= 0 Pero no es una B funcón de B 0 a A = 0 Por lo tanto A 0 en otro caso B = 0, entonces B 0 es una funcón de B a A de nuevo A 0 49 Y = Y = Y mplca Probar olucón Y sea Y Y f = Y entonces el domno f = Y, puesto que f Y Pero el domno f =, puesto que f Y = Y en otro caso = 0, entonces por 48 = 0 Pero Y = 0 tambén con lleva a Y = 0 Nuevamente = Y 40 Pruebe que s A B, entonces A C B C

25 olucón ea f A C Luego observar 0) f C A C B, ) Para toda x C ha una A ( por lo tanto B) tal que ( x, ) f, ) ( x, ) f ( x, ) f mplca = f es por lo tanto una funcón de C a B por lo tanto es un C membro de B 4 Pruebe que s A : B, entonces C C A : B olucón ea :A> >> B junto con C C f A Entonces defnmos : A > >> B ea C C C f A Luego defna : A > >> B como sgue: Φ ( f ) = φ o f Φ es nectva, puesto que φ of = φ og mplca f = g Cf 49 Φ es sobreecva, puesto que para g B Φ ( φ og) = φoφ o g = g C 4 ea f : Pruebe que s f I, entonces f = I olucón Para probar f = I queda por probar I f ea x Puesto que f es una funcón, ( x, ) f para alguna Pero de hpótess f I esta dado ( x, ) I x = ( x, x) f Por lo tanto I f 43 ea f : Pruebe que s I f, entonces f = I olucón Dado que I f, queda por probar que f I ea ( x, ) f Entonces x ( x, x) I ( x, x) f a que I f ( x, x) f ( x, ) f mplca x = Por lo tanto ( x, ) = ( x, x) f f I n 44 ea f : n un numero entero postvo tal que f = I ( Pruebe que f es una beccón n n f f f + = o ) olucón n = entonces f = I, que es una beccón uponga ahora que n > uponga que f no es una neccón f ( x) = f( x ) para alguna x, x, x x n n f f( x) = f f( x ) para algunas x, x dstntas De aquí f no es una neccón n partcularmente, la neccón I B C B C 45 ean A, B, C conjuntos tales que B C = Pruebe que A : A A olucón B C ea f A entonces f = f f donde f = f ( B A) f = f C A f f = a que B C = Ahora f : B A f : C A Defna n

26 Φ ( f ) =Φ( f f ) = ( f, f ) esto puede ser verfcado sn nnguna dfcultad que Φ es una funcón, una neccón, una sobreeccón B C B C 46 Es ( A ) : A? ea B C f A B C B C Defna Φ : A > >>( A ) como sgue: B Φ ( f ) = {( cg, ) ( cg, ) C A gb ( ) = f( bc, )} Como argumento Φ es nectva, Por lo tanto: Φ ( f) =Φ ( f) {( cg, ) ( cg, ) C A gb ( ) = f( bc, )} = {( cg, ) ( cg, ) C A gb ( ) f( bc, )} c C, f = f B = f (,) bc = f(,) bc para toda b B B C Para probar la propedad sobreectva, sea h ( A ) hc (): B A hc ()() b A ea f : B C A tal que f ( bc, ) = hc ( )( b) Entonces Φ ( f ) = {( cg, ) ( cg, ) C A B gb ( ) = f( bc, )} 47 Pruebe que ( A B) C : A C B C B = {( cg, ) ( cg, ) C A gb ( ) = hc ( )( b)} B = {( cg, ) ( cg, ) C A gb ( ) = hc ( )} = h B olucón Φ > >> Φ ( f, g))( x) = ( f( x), g( x)) para (, ) = (, ) Para probar el mapeo Defna : C C A B ( A B) C tal que ( toda x C f = f g = g f g f g sobreectvo, sea h ( A ) C C B h A B ea ( h( x), h( x)) = h( x) h A C h B (, ) C C h h A B Φ ( h, h) = h a que Φ ( h, h)( x) = ( h( x), h( x)) = hx ( ) para toda x C 48 Pruebe que s R es el conjunto de todas las ordenacones sobre el conjunto R es el conjunto de todas las ordenacones estrctas en, entonces exste una beccón de R > >> R olucón Verfque que Φ: Ω> >>Ω tal que Φ ( ) = I es una neccón 49 Pruebe que ha un conjunto ξ de todas las relacones de equvalenca en un conjunto un conjunto I de todas las partcones de un conjunto Pruebe que exste una beccón Φ= ξ > >>I olucón ξ = { ( ) es una relacón de equvalenca en } I= { P P P es una partcón de } Defna Φ :ξ > >>I tal que Φ ( ) = / Para probar que Φ es nectva, sea Φ ( ) =Φ ( T)

27 / = / T ea ( x, ) / = / T ( x, ) T T de la msma forma T T = Para probar que Φ es una sobreeccón, sea P I Defna = A A U A P e puede entonces verfcar que es reflexva, smetrca, transtva, que está pertenece a ξ entonces se verfca que Φ ( ) = P 40 ean P Q las partcones de e defne la partcón cruz de P Q, P Q = { A B A P B Q} { } Pruebe que P Q es mas fno que ambos P Q, mas aun, es la menor partcón fna de ambos P Q: P Q =sup{p,q} ean R, relacones de equvalenca con correspondenca natural a P Q Pruebe que R corresponde a P Q Pruebe que exste una partcón que es nf{p,q} olucón P Q = { A B A P B Q} { } Prmero mostramos que P Q es una partcón de ea A B P Q A P B Q A B A B Por tanto P Q Ahora sea x Entonces x U P x U Q x A para alguna A P x B para alguna B Q x A B para alguna A P B Q x U ( P Q) U ( P Q) Ahora suponga ( A B) ( C D ) = Entonces exste una a tal que a ( A B) ( C D) a A a Cmplca A C Por lo tanto A=C De la msma forma B=D De aquí A B=C D Fnalmente P Q por lo tanto P Q es una partcón de Para probar que P Q es mas fno que P Q sea A B P Q Entonces A P A B A; B Q A B B Para probar que P Q es la menor partcón fnta de ambos, sea N cualquer partcón mas fna que P Q C N mplca C A para algún A P, C B para algún B Q C A B con A B P Q Así N es más fno que P Q P Q = sup{ P, Q} ea P={ } Q={ } Entonces P Q = { z z, } R R R -{ } = { } {0} Como R R = o = R x R s solo s x s solo s ( x, ) R ( x, ) s R solo s ( x, ) R s solo s x Con lo cual P Q corresponde a R R ea ϑ = { U R U U U es una relacón de equvalenca en } ϑ mplca que ϑ T =I ϑ es una relacón de equvalenca en es sup{ R, } Corresponde a esta relacón de equvalenca la partcón N P Q son ambos mas fnos que N ea A P Entonces A= R x mplca que R ( x, ) R, lo cual mplca que, con lo cual x T R T C T = para alguna C N análogamente para Q Entonces N es una cota nferor para P Q Ahora supóngase que tanto P como Q son más fnos que M: Entonces R U

28 U donde U es la relacón de equvalenca asocada a M ea C N entonces C= para alguna T U porque u T ϑ T N es más fno que M U N=nf { PQ, } 4 ea Defna fg s solo s rango de f = rango g para f, g Pruebe que es una relacón de equvalenca en que / : olucón Que sea una relacón de equvalenca depende de tres propedades de gualdad de conjuntos Defne Φ : > > tal que Φ f f f g = = s solo s m f = m g s solo s ( ) m, f g ( ) ( ) Φ =Φ Entonces Φ es una funcón nectva Ahora sea A Entonces A A ea a A Defne f : A como sgue: f ( x ) = x s x A ( ) es supreectva La sguente observacón de que f x = a s x A Entonces ( ) m Φ f = f = A Por lo tanto mφ es structva mf = φ para alguna f, entonces f= Pero 4 Asuma un conocmento de los números reales, ea = [0,] sea f, g Defnmos ( f, g) f( x) g( x) 0para toda x [0,] Pruebe que es un orden Es el orden total? olucón ( f, f) porque f( x) f( x) = 0 0 x [0,] ( f, g) mplca que f = g porque s gx ( ) f( x) 0 x [0,], entonces g( x) f( x) = 0 x [0,] La transtvdad tambén es fácl de verfcar El orden no es total Por ejemplo, f ( x) = x g( x) = x+ no son comparables porque f (0) g(0) = = g() f() 43 ea χ : la funcón caracterstca de defnda por el subconjunto A de A Pruebe φ : > >> donde φ( A) = χ A para A olucón Es claro que Φ es una funcón de a Que Φ sea nectva se prueba como sgue: supóngase que Φ ( A) =Φ ( B) χ = χ χ ( x) = χ ( x A B A B ) x A s solo s χ ( ) = s solo s χ ( ) = s solo s B A=B Para mostrar que Φ es supraectva, sea f A={ x x f( x) = } A Φ ( A) = f 44 Construr χ donde A 3 χ olucón {(0,), (,), (,0)} B Defne 45 ea f : Y, g: Y, ea A = { x x f ( x) = g( x)} sea : A> > la neccón dentdad Mostrar que f o = go ea B cualquer

29 otro conjunto de con j: B > > que f oj = go j Pruebe que B A la funcón nectva dentdad de B tal olucón ( f o)( x) = f( ( x)) = f( x) = g( x) = g( ( x)) = ( go)( x) x A ea x B Entonces f ( jx ( )) = g( jx ( )) f ( x) = g( x) x A, pues x f ( x) = g( x) B A 46 ea f : Y g: Y Pruebe que exste una relacón de equvalenca R en Y tal que s φr : Y >> Y / R que es el mapeo cocente, entonces φ o g = φ o f, mas aun, s T es cualquer otra relacón de equvalenca en Y R R tal que φ og = φ o f, entonces R T, Y / R es mas fna que Y/ T Por lo que T T exste una t: Y / R >> Y / T tal que t o φ = φ R olucón ea Σ= { ( ) es una relacón de equvalenca en Y tal que φs of = φs o g} Por φ s se entende al mapeo cocente asocado a la relacón de equvalenca φs of = φs o g s solo s φs of ( x) = φs o g( x) x s solo s f( x) = g( x) x s solo s ( f ( x), g( x)) x Y Σ porque Y Y es una relacón de equvalenca en Y certamente ( f ( x), g( x)) Y Y x Entonces Σ R= I Σ es una relacón de equvalenca en Y ver 33 Para mostrar que φr of = φr o g uno debe mostrar que ( f ( x), g( x)) R Pero ( f( x), g( x)) Σ Entonces ( f ( x), g( x)) I Σ= R x Como R = I Σ, R T T Σ Defne t : Y > R Y tal que t T ( R) = El hecho de que t es funcón es claro salvo, T posblemente, esta propedad: = z mplca que ( z, ) Rcon lo cual R R ( z, ) T, que a su vez mplca T Y T T ( ) entonces t = R T z T T = t ( ) t( z ) R = t es supraectva: s R 47 ea f : Y g: Y ea go f la dentdad en Probar que neccón g es una sobreeccón f es una olucón La prueba es smlar a la de ea f : Y g: Y ea go f la dentdad en f o g la dentdad en Y Probar que f g son bectvas g = f olucón Por 47, f es nectva g es supraectva tamben g es nectva f es supraectva Por lo tanto ambas son beccones Ahora es ( x, ) f ( x, x) I mplca que ( x, z) f ( zx, ) gpara alguna z Y ( x, z) f ( x, ) f mplca que z= Entonces ( z, ) g ea ( x, ) g Implca que

30 ( w, ) g ( w, ) f para algún w ( w, ) g ( x, ) gmplca que x=w Por lo tanto ( x, ) f ( x, ) f s solo s ( x, ) g G= f 49 ea h Probar que s ho f = ho g, entonces f = g para toda f, g s solo s h es una neccón olucón upóngase que h no es nectva Entonces hx ( ) = hx ( ) para algunas x, x, x x ean g, f funcones defndas como sgue: g: tal que gx ( ) = x x f : tal que f ( x) = x x f, g f g hof=hog upóngase que hof=hog f g f g entonces f ( x) g( x ) para algún x h( f( x)) = h( g( x)) con f ( x) g( x ) sgnfca que h no es neccón 430 ea h Probar que s f oh= goh, entonces f = g para toda f, g s solo s h es una sobreeccón olucón upóngase que h no es supraectva Exste una x tal que hx ( ) x x Como h nunca toma el valor x, podemos conclur que { x} Además, el teorema es verdadero s = Entonces sea x con x x Defne funcones f, g como sgue: f : tal que f ( x) = x x, x x, f( x) x; g: tal que gx ( ) x x Entonces f g f ( hx ( )) = ghx ( ( )) x upóngase para la mplcacón opuesta que goh = go h f g Entonces exste una x tal que f ( x) g( x ) Entonces hx ( ) nunca toma el valor x, de lo contraro h( f( x )) h( g( x )) Entonces h no es supraectva 43 ea un conjunto Probar que dentdad es un monode junto con la hpótess de que la funconal olucón La composcón funconal es composcón relaconal, la cual se ha probado que es asocatva en el ejercco 34 la operacón en es el conjunto {(( f, g), h) (( f, g), h) ( ) h= go f} Que la composcón de dos funcones sea una funcón deberá ser verfcado I es, por supuesto, el elemento neutral 43 Probar que ς, El conjunto de neccones de, consttuen un submonode de (, o) que este submonode es un semgrupo zquerdo olucón e requere demostrar que la composcón de dos funcones nectvas es nectva g( f( x )) ( ( )) mplca que ( ) = ( ) por la nectvdad = g f x hx f x de g f ( x) = f( x ) mplca que x = x por la nectvdad de f

31 433 Probar que ς, El conjunto de neccones de, consttuen un submonode de (, o) que este submonode es un semgrupo derecho olucón La composcón de dos funcones supraectvas es supraectva mplca que f ( z ) = para alguna z f ( z) mplca que g( x) = zpara alguna x Entonces exste una x tal que f ( gx ( )) = f og es supraectva 434 ea ϑ = ς δ Probar que ϑ es un submonode de (, o), aun mas, es un grupo Este es llamado el grupo smétrco de olucón La composcón de dos beccones es una beccón f es una beccón, entonces f es una beccón f of = f o f = I 435 ea f ϑ Probar que f es una relacón reflexva s solo s f = I, la dentdad de ϑ olucón Por 30, f es reflexva s solo s I s I = f f Por 43, I f s solo 436 ea f ϑ Probar que f es una relacón transtva s solo s f es un elemento dempotete de ϑ ; e, f = f olucón f es transtva s solo s f o f f por 30 f o f f s solo s f o f = f se prueba como sgue Claramente f o f = f mplca f o f f Para el nverso, asúmase que ( x, ) f mplca que ( z, ) f para alguna z Entonces ( x, z) f o f ( x, z) f ( x, ) f ( x, z) f mplcan que =z Por lo tanto ( x, ) f o f 437 ea f ϑ Prueba que f es una relacón transtva s solo s f es un elemento dempotente de ϑ ; e, f = f olucón f es smétrca s solo s f= f por 30 f= f s solo s f o f = I

32 CAPITULO 5 Famlas 50 Defncón de famla Una famla ( ) I es una funcón con domno I valor para cada I Defncón de la unón de una famla ( ) I U = Urango( ) I = { x x para alguna I} I Defncón de la nterseccón de una famla ( ) I, I I = I rango( ) I = { x x para toda I}, I I Defncón del producto cartesano de una famla ( ) I = {( ) I x } Defncón de la funcón proeccón ean ( ), J I dados Entonces defnmos, proj : J I I tal que projj ( ) I= ( ) J 5 ea 0 = {,} ab, 0 = { A}, 0 = { α, βγ, }, I = 3 Construe ( ) I olucón ( ) I = {(0, 0),(, ),(, )} = {(0,{ ab, }),(,{ A}),(,{ αβγ,, })} = {{(0, a),(, A),(, α)},{(0, a),(, A),(, β )}, I = {(0, a),(, A),(, γ)},{(0, b),(, A),(, α)}, = {(0, b),(, A),(, β )},{(0, b),(, A),(, γ )}} I I I 5 ea I = 3, = para toda 3 Construe ( ) I I olucón ( ) I = I3; = 53 ea 3, I I = =, =, 3 = 3 Construe ( ) o olucón ( ) I = {(0,),(, ),(,3)} = {{(0,0),(,0),(,0)},{(0,0),(,0),(,)}, I = {(0,0),(,0),(, )},{(0,0),(,),(,0)}, = {(0,0),(,),(,)},{(0,0),(,),(, )}} 54 Prueba que 0 : I I

33 olucón Defne f : A0 A > > A tal que f ( a0, a) = {(0, a0),(, a)} Prueba que f es una beccón 55 ea Prueba que exste una neccón de 0 a neccón s =? olucón ea c Defne f 0 > > 3 : = En este caso exste una eccón s solo s 3 gue exstendo esta tal que f ( a, a ) = {(0, a ),(, a ),(, c)} Prueba que f es una beccón s x = entonces 56 Prueba que exste una neccón de I = o = a ( I olucón Defne : A A > > ( A A) ) Ha una becón? f tal que f( a,( a) I) (( a, a)) I I I = El argumento de que f es una neccón es como sgue: ea f( a,( a ) ) = f( b,( b) ) I I (( aa, )) I = (( aa, )) I ( aa, ) = ( bb, ) I a= b a = b I a = b ( a ) = ( b) ( a,( a ) ) = ( b,( b) ) f I I I I En caso de que A = I = A0 = A = no ha beccón 57 ea { I j J} una partcón de un conjunto I Prueba entonces que j : ( ) I j J I j j olucón defne f : A > > A j j J I j I membro de A corresponde un membro de A vceversa J I j I tal que f((( a ) ) ) ( a ) I j J = I (( a ) ) = (( b) ) s solo s ( a ) = ( b) j s solo s Ij j J Ij j J a = b I j j J una becón Y Y 58 ucede que ( ) : ( )? I I Ij I J j A cada s solo s a = b I s solo s ( a ) = ( b) f es olucón defne Φ :( A) C > > A C tal que Φ f = g donde ( ) I I I I g ()( c) = f( c)() I, c C La motvacón para este mapeo se puede segur de estas C líneas: f ( A ) s solo s f () c A s solo s f ()() c A s solo s I I C ( f ( c)( )) c C A s solo s (( ( )( )) ) C f c c C I A I

34 U U U 59 ean ( ), ( ) famlas dadas Muestra que ( ) ( Y) = ( Y ) I Y I I I (, j) I J olucón ( x, ) ( U) ( UY j) s solo s x I j J U U Y I I s solo s para algún I Yj para alguna j J s solo s x j Yj para algún (, j) I J s solo s ( x, ) Yj para algún (, j) I J s solo s ( x, ) U Y j (, j) I J x 50 ea F el conjunto de todas las funcones real-valuadas defndas en el ntervalo [0,] Expresa a F como un conjunto exponencal tambén exprésalo como un producto cartesano olucón [0,) ; [0,] o, = [0,] 5 Para un conjunto ; sea ( ) la famla de todos los subconjuntos de ndcados por s I msmos e I = P( ) = es llamado el conjunto de todas las funcones a I elegr de para Es el nombre apropado? = olucón I A P( ) A f A P( ) A s solo s f : P ( ) tal que f ( A) A El hecho de que f asgna a todo subconjunto no vacío de algún membro de ese subconjunto, ha dado a f el nombre de funcón de eleccón 5 Muestra que N [, + ) : [, + ) olucón Defne Φ : > > tal que Φ ( f) = ( f [, + )) ω ω Φ ( f ) =Φ ( g) s solo s ( f [, + )) ω = ( g [, + )) ω s solo s f [, + ) = g [, + ) para toda ω s solo s f = g entonces Φ es una neccón Para probar que Φ es supraectva, sea g [, + ) ω U U ω ω = ω ω Φ ( g ( )) = ( g ( ) [, + )) = ( g ( )) g Entonces 53 ea ( ) dada con = para cada nterpretalos geométrcamente en proj{0,} {( ) 3 ax0 bx cx proj{0,} {( ) 3 x = } = con a + b + c 0} Encuentra cada uno de los sguentes conjuntos e olucón La prmera es la proeccón de un plano en el espaco de tres dmensones en el plano 0, la proeccón es el plano 0 c 0 En el segundo ejemplo, la esfera untara es proectada en un dsco cerrado untaro

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36 60 Defncón Dada f : Y defne CAPITULO 6 Funcones defndas en conjuntos potenca f : P ( ) PY ( ) tal que f ( A) = { ( x, ) f para alguna x A} f : PY ( ) P tal que f ( B) = { x ( x, ) f para alguna B} 6 ea f : Y Muestra que f es supraectva s solo s f es nectva olucón ean f nectva, A P ( ), B = f ( A) Entonces tenemos f B f f A ( ) = ( ( )) = A; probando as que f es supraectva Ahora, supongamos que f no es una neccón Entonces f ( x) = f( x ) para dos elementos dstntos x x de Entonces f no es supraectva, puesto que { x} f ( B) para cualquer B PY ( ) f ( B) entonces { x, x } f ( B) f ( B) { x} Por otra parte, s x f B ( ), entonces claramente 6 ea f : Y Muestra que f { x } f es nectva s solo s f es supraectva olucón ea f supraectva asume que f ( B) = f ( B) ea B Entonces, como f es supraectva, = f( x) para alguna x x f ( B) = f ( B) f ( x) = para alguna B = porque los valores de la funcón son úncos, dejando así que B B B Con un argumento smétrco tenemos que B B B = B f es nectva f no es supraectva, exste un Y tal que f( ) Entonces no es nectva f f ( ) = ({ }) f 63 ea f : Y Muestra que f es nectva s solo s la magen nversa bajo f de cada conjunto que consta de un solo elemento en la magen de f es un conjunto que nuevamente consta de un solo elemento en el domno de f olucón ea f nectva Im( f) Im( f), exste al menos una x tal que f ( x ) = Entonces f x f ({ }) s solo s f ( x ) = Como x f ({ }) Dado que f es nectva puede exstr, a lo mas, una ({ }) es un conjunto que consta de un elemento f no es nectva exsten, x x dstntos tales que f ( x) = f( x) = { x, x } f ({ }), que no es un conjunto de un solo elemento 64 ea f : Y Muestra que f es supraectva s solo s la magen nversa bajo f de todo subconjunto no vacío de Y es un subconjunto no vacío de

37 para alguna olucón s f es supraectva B es un subconjunto no vacío de Y, sea B = f( x) x x f ( B) Además, supongamos la magen nversa de todo conjunto no vacío bajo f es un conjunto no vacío de ea Y Entonces { } es un subconjunto no vacío de ea Y Entonces { } es un subconjunto no vacío de Y supraectva f ({ }) f ( x) = para algún x Por lo tanto f es 65 Da de una manera no trval la hpótess faltante para el sguente teorema: f : Y ( A ) es una famla con A P( ) para toda I, entonces I olucón f es nectva I I A ) I I f ( A) = f( 66 ea f : Y ucede que A, B P( Y)? f ( A B) = f ( A) f ( B) para cualquer x f B olucón s ( ) ( ) s solo s B, B tal que = f( x) s solo s x f B B x f ( B ) s solo s x f ( B ) f ( B ) 67 ea f : Y ucede que ucede que f ( A B) f( A) f( B) para cualquer A, B P( )? f ( A) f( B) f( A B) para cualquer A, B P( )? olucón, para la segunda nclusón ea f ( A) = f ( A ) Entonces = f( x ) para alguna x A f( x) para cualquer x A Esto mplca que = f( x ) para x A A, lo que mplca que f ( A A) Entonces f ( A) f ( A) f ( A A ) No para la prmera nclusón ean f no nectva, = f( x) = f( x), x x Entonces sea A = { x, x} A = { x } Esto nos da un contraejemplo 68 ean f : Y, A P( ) para toda I Muestra que contraejemplo para I f ( A) f( I A) I I I I A ) Da un I I f ( A) f( olucón f ( I A) entonces exste una x tal que = f( x) x A para toda I I Esto mplca que x f ( A ) I para toda I, de lo cual tenemos que x f ( A) contraejemplo, sea I =, A = {0, }, A = {0, }, f = {(0,0)(,)(,)} 69 ea f ( x, ) x 0 = + para todos los reales x, a) Cual es el domno de f? b) Cual es el codomno de f? I Para el

38 c) Cual es el rango de f? f ([0,]) d) Cual es? [0,] es el ntervalo cerrado en e) Es f nectva o supraectva? {(, ) } A= x x+ = Cuál es f ( A )? olucón a) b) Cualquer conjunto que contenga los reales no negagvos c) Los reales no negatvos d) No nectva, pues f(0,) = f(,0) pero supraectva s Im( f ) = Cod( f ) e) El dsco cerrado untaro con centro en el orgen f ) [, )

39 CAPITULO 7 Aplcacones de funcones 70 Defncón ea G con operacón w: G G G un grupo Representamos entonces a w como multplcacón: s x, G, entonces wx (, ) = x ea G, a G Por defncón = { } a { xa x } a ax x s solo s N es subgrupo de G = Un subconjunto N de G es un subgrupo normal de G G x Nx = N para toda x G Un grupo conmutatvo (monode) es un grupo (monode) tal que la operacón w es conmutatva; x = x para cualesquera x, G ean G, H grupos (monodes) con sus respectvas operacones expresadas multplcatvamente f : G H es un homomorfsmo s solo s f ( x) = f ( x) f ( ) para cualesquera x, G f ( eg) = eh ker f = f ( e H ) Defncones ( R, +, ), un anllo conmutatvo con dentdad, es un conjunto junto con dos operacones (aquí representadas por + ) tal que ( R, + ) es un grupo conmutatvo ( R, ) es un monode conmutatvo tal que x( + z) = x + xz para todo xz,, Un subanllo A de R es un deal s solo s ra A para todo r R f : R s solo s es un homomorfsmo para el ean R anllos conmutatvos con dentdades grupo adtvo el monode multplcatvo Defncón un anllo conmutatvo K con dentdad es un campo s solo s todo elemento dferente de cero de K tene nverso multplcatvo Defncón ea K un campo V un grupo conmutatvo una funcón K V V dada (representada multplcatvamente) tal que: k( x+ ) = kx+ k, ( k + m) x = kx+ mx, kmx ( ) ( kmx ) km, K, x, V =, x x Entonces V es un espaco vectoral sobre el campo K = para cualesquera Un álgebra V sobre el campo K es un espaco vectoral sobre el campo K en el cual una multplcacon (V V V ) k( x) = ( kx) = x( k), x( z) = ( x) z, x( + z) = x + xz, ( x + ) z = xz + z para cualesquera 7 ea f : Y Exste una partcón R de, una funcon supraectva φ : una R neccón f : Y R tal que f o φ = f Este teorema sera referdo en ejerccos posterores como el teorema fundamental de mapeo olucón Defne la relacón R en : ( x, x) R s solo s f ( x) = f( x ) Verfca que R es una relacón de equvalenca Asocada a la relacón de equvalenca esta una partcón R una funcón φ( x): > supraectva (el mapeo cocente) tal que φ ( x) = x Defne f R R : Y R