Lógica Matemática. Operadores Lógicos. Universidad del Azuay - Marcos Orellana Cordero

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Lucas Alarcón Fuentes
hace 6 años
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1 Lógica Matemática Operadores Lógicos

2 Introducción La lógica proposicional inicia con las proposiciones y los conectores lógicos. A partir de la combinación de dos proposiciones por medio de un conector lógico, se genera una tabla de verdad. La lógica proposicional se utiliza generalmente en los circuitos lógicos y la programación (condicionales (if))

3 Conceptos fundamentales Una proposición es el producto lógico por el cual se afirma o niega algo, todo el acto constituye el juicio. Una proposición es el significado de una oración que determina el estado de las cosas. En lógica interesa las proposiciones y no las oraciones gramaticales.

4 Conceptos fundamentales La oración no es más que la expresión lingüística de la proposición. Una oración se compone de palabras. Una proposición se compone de conceptos. Ejm. El curso de Matemáticas Discretas es fácil. La proposición también se le llama sentencia declarativa (AFIRMA ALGO).

Conceptos fundamentales Concepto sujeto Concepto predicado Conector: cópula Un concepto sujeto establece el objeto al que se refiere la proposición.

5 Conceptos fundamentales Concepto sujeto Concepto predicado Conector: cópula Un concepto sujeto establece el objeto al que se refiere la proposición. Un concepto predicado establece la determinación del objeto. La cópula es el conector, generalmente es. Ejm. La mesa de Juan es verde Ejm. x + 5 es par

6 Proposición Es una sentencia declarativa que genera verdad o falsedad, no ambas. X + 3 es par Afirmación Si x = 2 la afirmación es falsa Si x = 3 la afirmación es verdadera

7 Proposición Es una sentencia declarativa que genera verdad o falsedad, no ambas. La materia es fácil Afirmación Si la materia es programación, la afirmación es falsa Si la materia es matemáticas la afirmación es verdadera

8 Variable discreta y variable proposicional Una variable discreta es una variable que puede tomar ciertos valores finitos dentro de un conjunto numerable. No se acepta más que lo determinado en el conjunto. Una variable discreta que puede ser verdadera o falsa.

9 Variable proposicional Se representa la proposición por medio de variables, denominadas variables proposicionales. Ejm: p : La mesa de Juan es verde

10 Tipos de proposiciones Proposición primitiva No se puede descomponer en más hechos La mesa de Juan es verde La luna es blanca Proposición compuesta Aquella que no se considera simple Si la mesa de Juan es verde, comprará una silla del mismo color. Tu también viste que la luna es blanca.

11 Tipos de proposiciones Proposición primitiva No se puede descomponer en más hechos La mesa de Juan es verde La luna es blanca Proposición compuesta Aquella que no se considera simple Si la mesa de Juan es verde, comprará una silla del mismo color. Tu también viste que la luna es blanca.

12 Valor de verdad En una proposición el valor de verdad es una asignación del valor discreto. VERDADERO FALSO

13 Operadores lógicos Se utilizan para construir proposiciones complejas. Negación: p se lee no p Conjunción: p q se lee p y q Disyunción: p q se lee p o q Proposiciones complejas Expresiones que combinan proposiciones y operadores lógicos p ( q ( r ( p)))

14 Jerarquía de operadores Los operadores tiene jerarquía o precedencia con respecto a sus similares que indican el orden de precedencia de uno sobre otro, estableciendo mayor o menor jerarquía y por tanto evitando el uso de paréntesis. Mayor Jerarquía Menor Jerarquía Expresión Interpretación p q r p ( q r ) p q ( p ) q p s q r (p ( s)) (( q ) r )

15 Operadores Proposiciones p: Está caluroso q: Está soleado r: Está lluvioso s: Está húmedo Está lluvioso y soleado : r q Está soleado o está lluvioso : q r Está soleado y no está caluroso : q p Ni está soleado ni está caluroso : q p Está soleado pero está lluvioso : q r Está lluvioso pero no está caluroso : r p

16 Tabla de Verdad La tabla de verdad de una proposición son valores de verdad para todas las combinaciones que puede adquirir las variables que la componen.

17 Negación Negación: p se lee no p

18 Conjunción Conjunción: p q se lee p y q

19 Disyunción Disyunción: p q se lee p o q

20 (p q ) (p q ) p q p q q p q (p q ) (p q ) F F F F T F T F T T T T

21 [(p q) v (q p)] p q F F F T T T T T [(p q) v ( q p)]

22 Equivalencia lógica Dos formas proposicionales α y β se dicen lógicamente equivalentes si y sólo si tienen valores de verdad idénticos para cualquier sustitución de valores de verdad de sus variables proposicionales. Esto se simbolizará:

23 Equivalencia lógica p q q p (p q ) r p ( q r ) (p q ) r p ( q r ) p ( q r ) (p q ) (p r ) p ( q r ) (p q ) (p r ) (p q ) p q (p q ) p q p (p q ) p p (p q ) p ( p ) p p p F p p T p p p p p p p T p p F p

24 Práctica 2: Tablas de verdad Construir la tabla de verdad para las expresiones: [ p v (q r)] r a [(b v b)] [(p q) v q] [(p p) q] [~q (r q)] [p (p ~q)]

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