Lógica proposicional. 1. Lógica proposicional. 4. Conectivos lógicos. 2. Proposición lógica. 3. Negación de una proposición

Transcripción

1 Lógica proposicional 1. Lógica proposicional Es una parte de la lógica que estudia las proposiciones y la relación existente entre ellas, así como la función que tienen los conectivos lógicos. 2. Proposición lógica Es aquella expresión u oración coherente que puede calificarse o bien como verdadero () o bien como falso () y sin ambigüedad. Las proposiciones lógicas generalmente se denotan con letras minúsculas, tales como: p, q, r, s,..., etc. alor veritativo p : = 8 () q : Todo hombre es mortal. () r : El Libertador Simón Bolívar nació en Lima. () s : 14 es un número primo. () Nota: Las preguntas, mandatos, exclamaciones, deseos, etc. NO son proposiciones lógicas ya que no se pueden calificar como verdaderas () o falsas (). Cómo te llamas? Buenos días Haz tu tarea! 3. Negación de una proposición Consiste en cambiar el valor de verdad que tiene una proposición. Si la proposición es "p", su negación se denota por "~p" y se lee: "no p" o "es falso que p". Las diferentes posibilidades las podemos esquematizar en una tabla, denominada Tabla de verdad. p ~p p: 6 es un número par. () ~p: 6 no es un número par. () 4. Conectivos lógicos Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, denominada a veces proposición molecular. Ejemplos: a) Lima es la capital del Perú y Barcelona es la capital de España p p q p v q q CONECTIO LÓGICO b) 4 es un número impar o 15 es un número primo p Los conectivos lógicos empleados son: q CONECTIO LÓGICO 4.1 Disyunción (se simboliza: ", se lee: "o") Dos proposiciones se pueden enlazar por medio de la palabra "o", para formar una nueva proposición llamada disyunción de ambas. La disyunción de las proposiciones "p o q" se denota: p q. p: 4 es menor que 7. () q: 4 es igual a 7. () La disyunción de ambas será: p v q es falsa () únicamente cuando "p" y "q" son ambas falsas, en los demás casos es verdadera. 4 es menor que 7 o 4 es igual a 7 simbólicamente: p v q Su valor de verdad (según la tabla): = 4.2 Conjunción (se simboliza: " ", se lee: "y") Dos proposiciones se pueden enlazar por medio de la palabra "y" para formar una nueva proposición llamada conjunción de ambos. La conjunción de las proposiciones "p y q" se denota: p q. ARITMETICA 4 AÑO

2 p q p q p q es verdadera ( ) ú n i c a m e n t e cuando "p" y "q" son ambas verdaderas. p: 4 es menor que 7. () q: 4 es igual a 7. () La conjunción de ambas será: 4 es menor que 7 y 4 es igual a 7 simbólicamente: p q Su valor de verdad: = [Según la tabla] Nota: Las palabras sin embargo, pero, además, también, incluso, no obstante, aunque, así mismo, tanto... como, etc, equivalen al conectivo lógico y. 4.4 Bicondicional (simbolizada por: " ", se lee: "si y sólo si") Es aquel conectivo que al enlazar "p" con "q" se denota "p q" y se lee: "p si y sólo si q". p q p q p: 4 es menor que 7. () q: 4 es igual a 7. () La bicondicional de ambas será: p q es verdadera ( ) ú n i c a m e n t e cuando p y q tienen el mismo valor de verdad. 4 es menor que 7 si y sólo si 4 es igual a 7 simbólicamente: p q Su valor de verdad: = [Según la tabla] 4.3 Condicional (se simboliza por: " ", se lee: "si...entonces...") Muchas proposiciones, especialmente matemáticas, son de la forma "si p entonces q". Tales proposiciones se denominan condicionales y se les denota por: p q. A la proposición "p" se le denomina "antecedente" y a "q" "consecuente". p q p q p: 4 es menor que 7. () q: 4 es igual a 7. () La condicional de ambas será: p q es falsa () únicamente cuando p es verdadera y q es falsa, en los demás casos es verdadera. Si: 4 es menor que 7 entonces 4 es igual a 7 simbólicamente: p q Su valor de verdad: = [Según la tabla] Nota: Las palabras por consiguiente, de modo que, por lo tanto, en consecuencia, luego, dado que, equivalen al conectivo condicional. Nota: las palabras cuando y sólo cuando, entonces y sólo entonces, etc, equivalen al conectivo lógico si y sólo si. 4.5 (Se simboliza: " ", se lee: o... o... ) p q p q p q es verdadera ( ) ú n i c a m e n t e cuando p y q t i e n e n d i f e r e n t e valor de verdad. p: Marco juega () q: Marco estudia () La disyunción exclusiva de ambos será: o bien Marco juega o bien estudia simbólicamente: p q Su valor de verdad: = [Según la tabla] 5. Proposiciones compuestas Utilizando conectivos lógicos se puede combinar cualquier número finito de proposiciones; para obtener otras, denominados proposiciones compuestas. Ejemplos: i. (p q) ( p s) ii. (p q) ( t r)

3 6. Tautología, Contradicción y Contingencia 6.1 Tautología Es toda proposición cuyo valor de verdad es siempre verdadero (), para cualquier combinación de los valores de verdad de sus componentes, se le denota por "". La proposición: "p (p q)" es una tautología, tal como se puede comprobar en su tabla de verdad. p q p (p v q) 7. Implicación lógica Se denomina así a toda condicional "p q" que sea una tautología y en tal caso la condicional se denota por "p q". 7.1 Equivalencia lógica Se denomina así a toda bicondicional "p q" que sea una tautología y en tal caso la bicondicional se denota por "p q". 8. Álgebra de proposiciones Entonces: "p (p q)" = 6.2 Contradicción Son equivalencias lógicas que nos permiten simplificar un problema y expresarlo en forma más sencilla. Las demostraciones se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso. Principales leyes: 8.1 Ley de Idempotencia Es toda proposición cuyo valor de verdad es siempre falso (), para cualquier combinación de los valores de verdad de sus componentes. Se le denota por. La proposición: "(p q) ~q" es una contradicción, tal como se puede comprobar en su tabla de verdad. p q (p q)q p q (p q)p Entonces: "(p q) ~q" = 6.3 Contingencia Es toda proposición lógica cuyo valor de verdad tiene al menos un verdadero () y un falso (). La proposición "(p q) ~p" es una contingencia tal como se puede comprobar en su tabla de verdad. p p p p p p 8.2 Ley Conmutativa p q q p p q q p 8.3 Ley Asociativa (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) 8.4 Ley Distributiva p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) 8.5 Ley de la Doble Negación ~ (~p) p 8.6 Leyes de Identidad p ; p p p p; p 8.7 Leyes del Complemento p ~p p ~p 8.8 Ley del Condicional p q ~p q

4 8.9 Ley del Bicondicional p q (p q) (q p) p q (p q) (~p ~q) 8.10 Ley de Absorción p (p q) p p (p q) p p (~p q) p q p (~p q) p q 8.11 Leyes de Morgan Ejercicios ~(p q) ~p ~q ~(p q) ~p ~q 1. Cuál de los siguientes enunciados no es una proposición lógica? a) Todo hombre es inmortal. b) Cali es la capital de Colombia. c) Perú clasificará al mundial 2006 de fútbol. d) Muchas felicidades. e) iva el Perú. f) 7 es un número primo. 2. Los valores de verdad de las siguientes proposiciones: I. (2 + 5 = 7) (3-1 = 4) II. (3 + 5 = 8) (4 + 2 = 7) III. (4-0 = 0) (6-4 1) I. ( ) (2 + 5 = 8) Son respectivamente: Rpta.: Mediante una tabla de verdad comprobar las siguientes equivalencias lógicas: a) p q (p q) ( p q) b) (p q) p q c) p q p q 4. Si los valores veritativos de "p", "q" y "r" son, y respectivamente, hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) p r b) q q c) q (r p) d) r (p q) 5. Si los valores veritativos de "m", "t" y "s", son, y respectivamente, hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) m t b) m s c) (t s) m d) (s m) (t m) 6. Construir la tabla de verdad de las siguientes fórmulas, indicando si se trata de una tautología, contradicción o contingencia: a) (r q) r b) (p q) p c) (r q) ( p r) d) (p m) ( p m) Bloque I Problemas para la clase 1. De las siguientes expresiones, cuáles son proposiciones lógicas: I. Colombia es un país sudamericano. II. 13 es un número primo. III. Me siento bien. I. Cómo llegaste? a) Sólo II b) I y II c) Sólo III d) Sólo I e) I y III 2. Dadas las premisas: p : Luis es doctor. q : Carlos es abogado. r : Pedro es ingeniero. Cuál será la expresión simbólica del enunciado: Si Carlos es abogado y no es cierto que Luis es doctor, entonces Luis no es doctor o Pedro es ingeniero. a) (q ~ p) (~ p r) b) (q ~ p) (p r) c) (q ~ p) (~ p r) d) (q ~ p) (p r) e) N.A. 3. Dadas las proposiciones compuestas: I. (3. 0 = 3) (4 + 0 = 4) II. (1 < -1) (5 2 < 2,5) III. (2 0 = 2) ( ) I. (8. 0 = 0) (7. 1 = 7) Hallar sus valores de verdad. a) b) c) d) e) 4. Dadas las proposiciones lógicas: p : 12 es un número primo. q : 3 es un número racional. r : 16 es un cuadrado perfecto.

5 Hallar los valores de verdad de: I. ( ~ p q) (r p) II. ~ (p q) (q ~ r) a) b) c) d) e) altan Datos 5. Si la proposición compuesta: (~p r) q es falsa, hallar los valores de verdad de p, q y r respectivamente. a) b) c) d) e) 6. Si la siguiente proposición: (~p r) (p s) es falsa, hallar el valor de verdad de: I. (p ~q) r II. (q ~r) (s p) a) Tautología b) Contingencia c) Contradicción d) Equipotencia e) Equivalencia Bloque II 1. Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. ( ) (4. 0 = 4) II. ( < 15) (5 > -10) III. (7. 1 = 7) ( ) a) I y II b) II y III c) Sólo I d) Sólo II e) Sólo III 2. Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición compuesta: (~p q) (p q) y dar el resultado. a) b) c) d) e) a) b) c) 3. Al construir la tabla de verdad de: d) e).d. (p ~q) (p ~q) el número de valores verdaderos en el resultado es: 7. Si la siguiente proposición: (~q p) (~p r) a) 0 b) 1 c) 2 es verdadera, hallar el valor de: d) 3 e) 4 I. (q ~r) p II. (~p ~q) (p r) a) b) c) d) e) altan datos 8. Construir la tabla de verdad de: (~p q) (p ~q) e indicar de qué se trata. a) tautología b) contradicción c) contingencia d) composición e) equipotencia 9. Construir la tabla de verdad de: (p ~q) (~p q) luego indicar cuál de las proposiciones siguientes es verdadera. I. Es una contingencia. II. Es una contradicción. III. Hay tres valores de verdad. a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) I y III e) Sólo III 10.La siguiente proposición compuesta: ~(q p) (p ~q) es una: 4. Sabiendo que: (r q) ~p es falsa, hallar los valores de verdad de: I. (p r) (~q t) II. ~(~p q) (r q) a) b) c) d) e) altan datos 5. Si la negación de: ~p (~q r) es verdadera, hallar las proposiciones verdaderas. I. p q, es verdadero. II. ~q r, es falsa. III. q puede ser verdadero. a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) I y III e) II y III 6. Cuáles de las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes? I. ~p ~q II. ~p q III. p q a) I y II b) I y III c) II y III d) Todas e) Ninguna

6 7. La siguiente proposición compuesta: ~(p ~q) (p q) es una: a) tautología b) contingencia c) contradicción d) equivalencia e) faltan datos 8. Si: p = todos los hombres son inmortales; y la proposición: [(q ~p) (s ~q)] (r ~p) es falsa. Hallar: I. (p ~q) (r q) II. ~(q ~p) ~(p ~r) a) b) c) d) e) altan datos 9. Sabiendo que la proposición p es verdadera, en cuál de los siguientes casos es suficiente dicha información para determinar el valor de las proposiciones? I. p ~q II. (~q p) ~r III. (~p q) r a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III 10.Si la proposición compuesta: (p q) (~q ~r) es falsa. Hallar el valor de verdad de: I. ~(p ~q) (~r q) II. (~p r) ~(q p) a) b) c) d) e) altan datos Bloque III 1. Dadas las proposiciones: p : Luis es abogado. q : Carlos es biólogo. r : Juan es administrador. e) I. (r ~p) q II. (p ~r) 2. De las siguientes proposiciones compuestas: I. Si: = 7 entonces 8 < 7. II. 9 es mayor que 5 ó 4 es menor que 3. III. 25 = 5, sin embargo -4 2 = 16. I. 3 < 4 si y sólo si < Indicar los valores de verdad respectivamente. a) b) c) d) e) 3. Sabiendo que: (~r q) p es falso, hallar los valores de verdad de: I. (~q p) (~r q) II. (p ~q) (~p r) a) b) c) d) e) altan datos 4. Sabiendo que: (p q) ~r; es falsa. (s p) r; es verdadera. Cuáles de las afirmaciones son verdaderas? I. ~(p s) es verdadera. II. s q es falsa. III. ~s es verdadera. a) I y II b) I y III c) II y III d) Todos e) Sólo una de ellas 5. La proposición: (p q) (r s) es verdadera, teniendo r y s valores de verdad opuestos. Hallar los valores de verdad de: I. (~p ~q) (r s) II. [ ~(p q) (r s)] (~p q) a) b) c) d) e) altan datos Cuál es la expresión simbólica de los siguientes enunciados? 6. Simplificar: [(~p q) r] (~q r) I. Si Juan es administrador y Luis no es abogado entonces Carlos no es biólogo. II. Luis es abogado pero Juan no es administrador. a) I. (r ~p) q b) I. (r ~p) ~q II. p r II. p ~ r c) I. r (~p q) d) I. (r ~p) ~q II. p ~r II. p r a) ~q b) ~q r c) q r d) q ~r e) q p 7. De la falsedad de la proposición: (p ~ q) (~r s) se deduce los valores de verdad de:

7 I. (~ p ~q) ~q II. (~r q) [(~q r) s] III. (p q) [(p q) ~q] a) b) c) d) e) 8. Si la proposición: (p ~q) (p r) es falsa. Cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. p q es falsa. II. r q es verdadera. III. ~q p es verdadera. a) I y II b) I y III c) II y III d) Todas e) Ninguna 9. La siguiente proposición: ~(p ~q) (q ~p) es una: a) tautología b) contradicción c) contingencia d) equipotencia e) inducción 10.Se define el conectivo # por: p # q = ~p q Hallar el equivalente de: (p # ~q) # (q # ~p) a) ~p q b) p ~q c) ~q p d) p q e) tautología Autoevaluación 1. Si tenemos las proposiciones: p: Luis estudia inglés q: Luis trabaja por las tardes r: Luis es profesor de ísica simbolizar: Luis es profesor de ísica y no estudia inglés, por lo tanto trabaja por las tardes; sin embargo trabajar por las tardes es condición suficiente y necesaria para no ser profesor de ísica. a) [(r ~p) q] (q ~r) b) [(r ~p) q] (q ~r) c) [(r ~p) ~q] (q ~r) d) [(r ~p) q] (q ~r) e) [(r ~p) q] (q ~r) 2. Si la proposición compuesta: (p ~q) ~t es falsa, hallar los valores de verdad de p, q y t respectivamente. a) b) c) d) e) 3. Al construir la tabla de verdad de: (p ~q) (~p ~q) el número de valores verdaderos en el resultado es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 4. Si p es una proposición falsa, a cuáles de las siguientes proposiciones compuestas se puede hallar su valor? I. (p ~q) r II. ~p (q ~r) III. (p q) ~r a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) I y III 5. Dado el conector lógico *, cuya tabla es: p q p * q construir la tabla de verdad de: [p * (q * ~p)] * q e indicar de que se trata. a) tautología b) contradicción c) contingencia d) equivalencia e) negación

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