TEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. y una base de vectores de V cualquiera

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1 TEMA 12.- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1.- PUNTOS Y VECTORES. ESPACIO AFÍN y una base de vectores de V cualquiera {,, B = u1 u2 u} A cada punto del espacio, P, le asociamos el vector OP, que tendrá unas coordenadas en la base B. Vamos a considerar un punto O del espacio ( R ) De la misma manera, a cada vector u le asociamos un punto que será el extremo del vector al hacer coincidir su origen con O. Se llama sistema de referencia de R al conjunto formado por el punto O (llamado origen del sistema de referencia) y la base B, es decir; S. R. = O, u, u, u { } 1 2 Y llamaremos coordenadas del punto P respecto a dicho sistema de referencia a las coordenadas del vector OP respecto de la base correspondiente. Dicha relación entre puntos y vectores en el espacio cumple una serie de propiedades: a) PP = 0 b) PQ = QP c) PQ + QR = PR 1 d) P, Q R v V / v = PQ 1 e) P R, v V, Q R / PQ = v Al conjunto de todos los puntos de espacio relacionados con el conjunto de vectores de esta forma se le llama espacio afín R. El sistema de referencia que usaremos a partir de este momento será el formado por el punto O(0.0.0) y la base canónica B { i(1,0,0), j(0,1,0), k(0,0,1) } =. A dicho sistema de referencia se le llama sistema de referencia afín canónico. Es decir, el que un punto P tenga de coordenadas (1,-2,) respecto del sistema de referencia significa que el vector OP tiene de coordenadas (1,-2,) respecto de la base canónica. Es muy importante por tanto dejar claro cuando estamos trabajando con el vector (1,-2,) y cuando con el punto (1,-2,). (Pondremos u ó P) Matemáticas II: Rectas y Planos

2 A las rectas que pasan por el origen del sistema de referencia y llevan la dirección de los vectores de la base canónica les llamaremos ejes de coordenadas (eje X, eje Y, eje Z) y al O centro u origen de coordenadas. Gráficamente: 2.- APLICACIONES 2.1. Vector que une dos puntos Dados dos puntos del espacio P( p1, p2, p), Q( q1, q2, q ), sus vectores asociados serán OP( p, p, p ), OQ( q, q, q ) Como se ve en la figura, se observa que OQ = OP + PQ, de donde: PQ = OQ OP = ( q, q, q ) ( p, p, p ) PQ = ( q p, q p, q p ) Por ejemplo, si P(,-5,8) y Q(1,7,-4), el vector PQ será: PQ = ( 1, 7 + 5, 4 8) = ( 2, 12,12) Matemáticas II: Rectas y Planos

3 2.2.- Punto medio de un segmento Sean dos puntos del espacio P( p1, p2, p), Q( q1, q2, q ), y sea M ( x, y, z ) el punto medio del segmento que une P y Q: Como M es el punto medio de P y Q: PM = 1 2 PQ Además, como se observa en el dibujo: 1 OM = OP + PM = OP + PQ 2 Y por tanto: 1 OM = ( p1, p2, p) ( q1 p1, q2 p2, q p) 2 M p + q p + q p + q =,, Así, el punto medio del segmento determinado por los puntos P(4,-1,2) y Q(2,,-8) es el punto M 4 + 2, 1+, 2 8 = (,1, ) Simétrico de un punto respecto a otro El simétrico de un punto P( p1, p2, p ) respecto de otro punto Q( q1, q2, q ) es P '( x, y, z ) si Q es el punto medio de P y P: Y de la fórmula del punto medio obtenemos: p1 + x p2 + y p + z q1 = ; q2 = ; q = Fórmulas de las que es fácil despejar las coordenadas x, y, z del punto P. Así, si P(5,-1,2) y Q(7,0,), para calcular P '( x, y, z ) usamos: 5 + x 1+ y 2 + z 7 = x = 9 ; 0 = y = 1 ; = z = Y por tanto P '( 9,1,4 ) - - Matemáticas II: Rectas y Planos

4 Ejercicio: Dado el triángulo de vértices A(1,-,5), B(0,7,2), C(-1,5,6), calcular: a) El perímetro de dicho triángulo b) Los puntos medios de los lados c) El simétrico de A respecto del punto medio de B y C.- ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO Una recta viene determinada por un punto por el que pase y un vector que indique su dirección llamado vector director. Sea P ( p, p, p ) un punto por el que pasa la recta y sea u ( u, u, u ) director su vector Si X(x,y,z) es otro punto cualquiera de la recta, entonces el vector PX es paralelo al vector u y por tanto se podrá expresar como: PX = λu Por otra parte, el vector OX es la suma de OP y PX, con lo que se obtiene: OX = OP + λu Donde λ representa un número real cualquiera que variará dependiendo del punto X de la recta. La ecuación anterior se llama ecuación vectorial de la recta. Si expresamos dicha ecuación en coordenadas: x, y, z = p, p, p + λ u, u, u, de donde obtenemos tres ecuaciones: ( ) ( ) ( ) x p u = 1 + λ 1 = 2 + λ 2 λ y p u z = p + u que son las ecuaciones paramétricas de la recta Matemáticas II: Rectas y Planos

5 Despejando λ de cada ecuación se obtiene: x p y p z p = = = u u u 1 2 λ ; λ ; λ 1 2 x p1 y p2 z p De donde: = = u u u 1 2 que es la ecuación continua de la recta. Si igualamos dos de las ecuaciones anteriores y luego otras dos, obtenemos dos ecuaciones del tipo: Ax + By + Cz + D = 0 A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 Que son las ecuaciones generales implícitas de la recta. Ejemplo: Calcular las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(1,-2,4) y cuyo vector u 2, 1, director es ( ) Solución: Ecuación vectorial: OX = OA + λu Ecuaciones paramétricas: x = 1+ 2λ y = 2 λ z = 4 + λ Ecuación continua: x 1 y + 2 z 4 = = 2 1 Multiplicando en cruz las dos primeras y las dos terceras obtenemos las: Ecuaciones generales: x + 2y + = 0 y + z + 2 = 0 Nota: Para pasar de las ecuaciones generales a las paramétricas, o bien se le da a una incógnita el valor de λ y se despejan las otras dos, o bien se calculan dos puntos de la recta y se toma el vector que los une como vector director Matemáticas II: Rectas y Planos

6 Ejercicios: 1.- Calcular todas las ecuaciones de la recta que pasa por P(,-1,4) y cuyo vector u 2, 5,0 director es ( ) 2.- Calcula todas las ecuaciones de los ejes de coordenadas.- Calcular las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(1,7,) y B(2,-1,-8). 4.- Comprueba si los puntos A(-1,2.-), B(-,4,-6) y C(5,-4,-6) están alineados y calcula las ecuaciones de la recta que los contiene. 5.- Calcula un punto y un vector director de las siguientes rectas: x = λ x z + 2 2x + y = a) r y = 2 + λ b) s = y 2 = c) t 2 2x z = 1 z = 1 4λ 6.- Pasa a ecuaciones generales las siguientes rectas: x = 2 + λ x y + 1 a) r y = 5 b) s = = z 2 4 z = 1+ λ Obtén dos puntos y dos vectores directores de cada una de ellas 7.- Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta 2x + y z = 0 r x y + 2z + 1 = Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(-1,-2,0) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B(0,-,1) y C(1,1,0) 9.- Calcula la recta que pasa por el punto P(2,-2,-) y es paralela a la recta x y = 0 r x + z = Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por el punto medio del segmento de extremos A(1,-2,0) y B(,2,4) y es paralela al eje OY. Pertenece el punto C(2,-1,) a dicha recta? Nota: Si nos fijamos en los ejercicios anteriores, para calcular una recta necesitamos: Un punto y un vector director o Dos puntos o Un punto y una recta paralela Matemáticas II: Rectas y Planos

7 4.- ECUACIONES DE UN PLANO EN EL ESPACIO Un plano viene determinado por un punto por el que pase y dos vectores directores (no paralelos entre sí): En la siguiente figura vemos cómo obtener cualquier punto X del plano a partir del punto y los vectores directores: Como se puede ver, el vector PX se puede escribir como combinación lineal de los vectores directores de la forma: PX = λ u + µ v Además, podemos escribir: OX = OP + PX Y por tanto: OX = OP + λ u + µ v que es la ecuación vectorial del plano, donde λ y µ son dos números reales que variarán de acuerdo con el punto concreto del plano. Si expresamos dicha ecuación en coordenadas: x, y, z = p, p, p + λ u, u, u + µ v, v, v, de donde obtenemos tres ecuaciones: ( ) ( ) ( ) ( ) x p u v = 1 + λ 1 + µ 1 = 2 + λ 2 + µ 2 = + λ + µ y p u v z p u v Matemáticas II: Rectas y Planos

8 que son las ecuaciones paramétricas del plano. Si observamos las ecuaciones anteriores, se trata de un sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas, λ y µ: x p u v 1 = λ 1 + µ 1 2 = λ 2 + µ 2 = λ + µ y p u v z p u v y la condición para que dicho sistema tenga una única solución es que la matriz de los coeficientes tenga rango 2, y por tanto, que: x p u v y p u v = z p u v Al desarrollar este determinante llegamos a una ecuación del tipo: Ax + By + Cz + D = Que es la ecuación general del plano. 0 Ejemplo: Calcular las ecuaciones del plano que pasa por el punto A(2,,5) y cuyos vectores u 1, 2, v 1,,5 directores son ( ) y ( ) Solución: Ecuación vectorial: OX = OA + λ u + µ v Ecuaciones paramétricas: x = 2 λ + µ y = 2λ + µ z = 5 λ + 5µ Para calcular la ecuación general desarrollamos el determinante: x y 2 = 0 z 5 5 ( x ) ( y ) ( z ) ( z ) ( y ) ( x ) = 0 x + 2y z + 1 = Matemáticas II: Rectas y Planos

9 Nota: el orden de las filas o columnas del determinante es indiferente, pues a lo sumo se obtiene la misma ecuación cambiada de signo. También es posible simplificar o cambiar de signo los vectores directores a fin de que los cálculos sean más sencillos. Ejercicios: 1.- Escribe las ecuaciones del plano que pasa por el punto A(1,0,-) y cuyos u 2, 0,1 v 1, 1,1 vectores directores son ( ) y ( ) 2.- Halla la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(1,7,-2), B(4,5,0) y C(6,,8). Halla otros dos puntos de dicho plano Calcula k para que el punto D(1,k,5) pertenezca a dicho plano..- Calcula las ecuaciones paramétricas del plano π 2x y + z 1 = Calcula las ecuaciones paramétricas y general de los planos coordenados 6.- Calcula la ecuación del plano que pasa por los puntos A(2,2,2), B(1,2,-1) y en el u, 2,1 que un vector director es ( ) 7.- Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(,1,-1) y B(2,0,) y es y + 1 z paralelo a la recta r x 2 = = Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto P(-2,-,2) y contiene a la x = 2 + t recta r y = t z = 1 t 9.- Halla la ecuación del plano que contiene a la recta x = 2λ paralelo a la recta s y = 1+ λ z = 1 + λ x + 1 y r = = z 2 2 y es 10.- Determina si los siguientes puntos pertenecen o no a un mismo plano y, en caso afirmativo, calcula su ecuación: a) A(2,1,-5), B(1,0,-2), C(-1,2,0). D(-2,0,5) b) A(1,1,1), B(-1,2,1), C(2,.1,1), D(-2,2,2) Matemáticas II: Rectas y Planos

10 5.- VECTOR NORMAL A UN PLANO El inconveniente que tiene un plano es que necesitamos trabajar con dos vectores directores en lugar de uno sólo, que es lo que sucedía en la recta. Se trata de encontrar un vector que resuma por sí solo la información contenida en los dos vectores directores. Este vector va a ser un vector perpendicular al plano, es decir, un vector ortogonal a la vez a los dos vectores directores (su producto escalar ha de ser cero). Por supuesto hay muchos vectores perpendiculares a un plano (todos ellos paralelos entre sí). Dado el plano de ecuación π Ax + By + Cz + D = 0, vamos a demostrar que el vector n ( A, B, C) es perpendicular a él. Para ello basta demostrar que es ortogonal a cualquier vector PQ determinado por dos puntos del plano: n PQ = A B C q p q p q p = A q p + B q p + C q p = (,, ) ( 1 1, 2 2, ) ( 1 1 ) ( 2 2 ) ( ) ( ) = Aq Ap + Bq Bp + Cq Cp = Aq + Bq + Cq Ap + Bp + Cp = como P y Q están en el plano cumplen su ecuación y por tanto = D ( D) = 0 Al vector n ( A, B, C) sencillo de calcular. se le llama vector normal del plano, y como se puede ver es muy Lógicamente, todos los planos paralelos entre sí tienen el mismo vector normal (o proporcional). Conociendo pues el vector normal de un plano y un punto por el que pase, podremos determinar de manera sencilla dicho plano: Matemáticas II: Rectas y Planos

11 Ejemplo: Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto A(-2,,5) y cuyo vector normal es n 1,,2 ( ) Solución: Todos los planos con ese vector normal tienen de ecuación x - y + 2z + D = 0 Para calcular aquél que pasa por ese punto en concreto, basta sustituir el punto en la ecuación para sacar D: D = 0 D = 1 Luego el plano pedido es: π x y + 2z + 1 = 0 Nota: es muy importante no confundir jamás el vector normal del plano con sus vectores directores, pues la ecuación del plano se calcula de manera muy diferente con uno u otros. 6.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO Dos rectas en el espacio pueden estar colocadas de las siguientes formas: 1) Supongamos que tenemos ambas rectas en ecuaciones de las que es fácil obtener sus puntos y sus vectores directores (por ejemplo, continua o paramétricas): x = p + λ u x = q + µ v r y = p + λ u s y = q + µ v z p λ u = + z = q + µ v a) Si u v (se ve a ojo) significa que las rectas o son paralelas o son coincidentes. Para saberlo, tomamos un punto de una de ellas y lo sustituimos en la otra. Si no está, serán paralelas, y si está, serán coincidentes. b) Si u v, entonces las rectas serán secantes o se cruzarán. Para distinguirlo resolvemos el sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas ( λ y µ) que se obtiene al igualar sus ecuaciones paramétricas. En caso de que tenga solución serán Matemáticas II: Rectas y Planos

12 secantes y de paso obtendremos el punto de corte. Si el sistema es incompatible, las dos rectas se cruzan. En resumen: P s coincidentes u v P s paralelas S. C. D secantes u v S. I. secruzan Existe otra forma sencilla de distinguir el caso b): Si las rectas son secantes los vectores u, v y PQ estarán en el mismo plano y por tanto serán linealmente dependientes, y por lo visto en el tema anterior, debe cumplirse que: q p u v q p u v = q p u v En caso contrario serán dos rectas que se cruzan. 2) Supongamos ahora que las rectas vienen dadas en sus ecuaciones generales. Siempre podemos pasarlas a paramétricas, pero una opción en principio más sencilla es resolver el sistema formado por las cuatro ecuaciones generales de las dos rectas. Si el sistema es Compatible Determinado, las rectas son secantes. Si el sistema es Compatible Indeterminado, las rectas son coincidentes. Si el sistema es Incompatible, las rectas o bien son paralelas o bien se cruzan. En este caso las pasaremos a paramétricas y observamos si los vectores directores son paralelos (rectas paralelas) o no (se cruzan). Ejemplo 1: Estudiar la posición relativa de las rectas: x = 5λ x 1 y 4 z r y = 2 + λ s = = z = 5 λ Solución: Matemáticas II: Rectas y Planos

13 Como los vectores directores u ( 5,1, 1 ), v ( 10, 2, 2) tienen sus coordenadas proporcionales son paralelos. Por tanto las rectas o son coincidentes o son paralelas. Tomamos un punto por ejemplo de la recta r y miramos si pertenece a s (sustituyendo en las ecuaciones paramétricas): P(,2,5) P s y por tanto las rectas son paralelas. Ejemplo 2: Estudiar la posición relativa de las rectas: x = 2 λ x = 1 µ r y = + 5λ s y = 2µ z λ = z = 5 Solución: Como los vectores directores u (,5,1 ), v ( 1, 2,5) no tienen sus coordenadas proporcionales no son paralelos. Por tanto las rectas o son secante o se cruzan. Como un punto de r es P(2,,0) y un punto de s es Q(1,0,5), el vector que los une será PQ 1,,5, y ahora calculamos el determinante: ( ) = = Y por tanto las rectas se cortan en un punto (secantes). Para calcular el punto de corte igualamos sus ecuaciones paramétricas y resolvemos el sistema: 2 λ = 1 µ + 5λ = 2µ λ = 5, µ = 14 λ = 5 Y al sustituir λ en la ecuación de r o µ en la ecuación de s obtenemos el punto de corte A(-1,28,5) Matemáticas II: Rectas y Planos

14 Ejercicio: Estudiar la posición relativa de los siguientes pares de rectas: x = 2 λ x = λ x 1 x y z = 0 a) r y = + 5λ s = y = z 5 b) r y = 1+ 2λ s 1 2x y 1 z λ = = z = 1 λ x + y z = 2 x 2y 2z = c) r s 2x z = 2x y = POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS EN EL ESPACIO Dos planos en el espacio pueden ser: Supongamos los dos planos en ecuaciones generales (si no lo más cómodo es pasarlos a dichas ecuaciones): π Ax + By + Cz + D = 0 ; π ' A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 Si son paralelos o coincidentes sus vectores normales son iguales (o proporcionales) y si no son secantes (se cortan en una recta). Por tanto: Si Si Si A B C D = = = A' B ' C ' D ' A B C D = = A' B ' C ' D ' coincidentes paralelos A B C A' B ' C ' secantes En caso de ser secantes, la recta en la que se cortan es justamente la formada por las dos ecuaciones de los planos, que serían las ecuaciones generales de la recta Matemáticas II: Rectas y Planos

15 Ejercicio: Estudiar la posición relativa de los siguientes pares de planos: a) π 2x + y z = 0, π ' 4x 2y + 2z 1 = 0 x = λ + µ b) π y = 1 λ, π ' x 2y + z = 1 z = 2 2λ + µ 8.- POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO Las posiciones de una recta y un plano en el espacio pueden ser: La mejor manera para obtener su posición relativa es resolver el sistema formado por la ecuación general del plano y las ecuaciones generales de la recta (tres ecuaciones y tres incógnitas) o bien por la ecuación general del plano y las ecuaciones paramétricas de la recta (sustituyendo los valores de x, y, z en la ecuación del plano). En ambos casos: Si el sistema es Compatible Determinado, la recta corta al plano en un punto Si el sistema es Compatible Indeterminado, la recta está contenida en el plano Si el sistema es Incompatible, la recta es paralela al plano Ejemplo : Estudiar la posición relativa de: x = 1+ λ r y = λ, π x y + z = 0 z = λ Matemáticas II: Rectas y Planos

16 Solución: Sustituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano: ( ) ( ) 1+ λ 2 + 2λ + λ = 0 + λ + 2 2λ + λ = 0 8 = 0 Esta contradicción indica que el sistema no tiene solución y por tanto la recta es paralela al plano. Ejercicio: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos y rectas: x 1 y 1 z a) r = =, π 2x 2y + z = x + y z 1 = 0 b) r, π x y + z 5 = 0 2x + z = 0 x = 5 + 7λ x = λ c) r y = 2, π y = 11+ 2λ + µ z = z = µ 9.- POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS EN EL ESPACIO Tres planos en el espacio pueden estar situados de las siguientes maneras: Matemáticas II: Rectas y Planos

17 Los casos en los que hay planos coincidentes o paralelos son fáciles de ver a ojo en las ecuaciones de éstos. Si no hay planos paralelos o coincidentes nos quedan sólo los tres últimos casos. Para ello resolvemos (aunque basta con discutir, por Rouché) el sistema formado por las tres ecuaciones de los planos: π Ax + By + Cz + D = 0 π ' A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 π '' A'' x + B '' y + C '' z + D '' = 0 Si el sistema es Compatible Determinado, son tres planos que se cortan en un punto (que será la solución del sistema) Si el sistema es Compatible indeterminado, son tres planos que se cortan en una recta (cuyas ecuaciones son generales son las formadas por dos de los planos) Si el sistema es Incompatible, son tres planos que se cortan dos a dos en una recta. Ejercicio: Estudiar la posición relativa de los siguientes planos: a) π 2x y + 2z = 7 ; π ' x + y z = 5 ; π '' 2x 2y + z = 7 b) π x y z = 0 ; π ' x + 2y z 1 = 0 ; π '' x 2y + z + 2 = Matemáticas II: Rectas y Planos

18 EJERCICIOS 1.- Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por A(1,-2,2) y es paralela a la recta 2x y + z 8 = 0 r x y + 2z 9 = Comprueba que los puntos A(1,2,-1), B(1,,-) y C(1,0,) están alineados y calcula la recta que los contiene..- Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta A(2,2,2) x = 1+ λ r y = λ z = λ y al punto 4.- Calcula la ecuación de la recta perpendicular al plano π 2x + 2y 4z 6 = 0 y que pasa por el punto P(-2,,4) 5.- Calcula la ecuación del plano que pasa por A(-1,0,2), es perpendicular al plano x 1 z π 2x + y + z 5 = 0 y es paralelo a la recta r = y + 1 = Halla el plano paralelo a π x 2y + z 5 = 0 y que pasa por A(1,0,-1) 7.- Halla el plano perpendicular a π x y + z 4 = 0 y que contiene a la recta x = 1+ t r y = 2 t z = + 2t 8.- Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas x = 1+ 2λ y 1 z 4 r x 2 = =, s y = 2 + λ 2 1 z = λ 9.- Calcula la ecuación del plano perpendicular a la recta pasa por el punto P(2,-1,) x 2y = 0 r y + z + 2 = 0 y que 10.- Los puntos A(1,,-4), B(2,6,7) y C(5,-1,2) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Calcula el cuarto vértice D. (Ten en cuenta que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio) Calcula además la ecuación del plano que contiene a dicho paralelogramo Matemáticas II: Rectas y Planos

19 11.- Estudia la posición relativa de las rectas x = 2 2λ x y 2 z 1 r = =, s y = 2λ 2 1 z = 5 6λ 12.- Dadas las rectas x 1 x 2z 5 = 0 r = y = z 2, s 2 x 2y 11 = 0 a) Comprueba que son paralelas b) Halla la ecuación del plano que contiene a r y a s 1.- Son coplanarios los puntos A(1,0,0), B(0,1,0), C(2,1,0) y D(-1,2,1)? En caso afirmativo, calcula la ecuación del plano que los contiene Estudia la posición relativa de las siguientes rectas: x 1 y + 2 z 1 x + 2 y z 1 a) r = = ; s = = x 1 y 1 x 4 z 5 b) r = = z 2 ; s = y 4 = x z + 1 x 2y 1 = 0 c) r = y 1 = ; s 2 y z + 1 = 0 x = + 4λ x 1 y z d) r = = ; s y = + 6λ 2 4 z = 4 + 8λ 15.- Calcula el valor de a para que las siguientes rectas sean secantes y calcula su punto de corte: r x = y = z a ; 1 x = + λ 2 2 s y = 2λ z = Halla los valores de m y n para que las rectas r y s sean paralelas: x = 5 + 4λ x y 1 z + r y = + λ ; s = = m n z = λ Calcula la ecuación del plano que las contiene Matemáticas II: Rectas y Planos

20 17.- Estudia la posición relativa de los tres planos en cada caso: a) π x + 2y z = 0 ; π y + 2z 1 = 0 ; π x + y + z 2 = b) π 2x y + z = 0 ; π x y + z 2 = 0 ; π x y + z 4 = c) π x + y z 1 = 0 ; π x + y z + 2 = 0 ; π 2x + 2y 2z + = x = λ d) π1 x y + z 1 = 0 ; π 2 y = λ + 2µ ; π 2x + 2y z + 4 = 0 z = µ 18.- Calcula m y n para que los planos π mx + y z 1 = 0 ; π ' 2x + ny z = 0 sean paralelos. Pueden ser coincidentes? 19.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,-,0) y es paralela a la recta determinada por la intersección de los planos: x = 1+ t + s π 2x y + z = 0 ; π ' y = t s z = 2 + 2t + s 20.- Calcula el valor de m para que los puntos A(0,1,2), B(1,0,), C(1,m,1) y D(m,-1,2m) pertenezcan a un mismo plano y calcula su ecuación Estudia la posición relativa del plano π x y + 2z 1 = 0 con cada una de las siguientes rectas: x = 1+ λ x = 1+ 2λ x y a) r y = 2λ b) s = = z 1 c) t y = 4λ 2 4 z λ = z = λ 22.- Estudia la posición relativa de los siguientes planos según los valores de m: π x + y = 1 ; π ' my + z = 0 ; π '' x + (1 + m) y + mz = m Estudia, según los valores de a, la posición relativa del plano π x + ay z = 1 y la recta 2x + y az = 2 r x y z = a Matemáticas II: Rectas y Planos

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