Fecha de elaboración: Agosto de Fecha de última actualización: Julio de 2010

Transcripción

1 PROGRAMA DE ESTUDIO Programa Educativo: Área de Formación : Licenciatura en Matemáticas Transversal Programa elaborado por: Modelos Matemáticos Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Total de Horas: 5 Total de créditos: 8 Clave: F1148 Tipo : Asignatura Carácter de la Optativa asignatura Dr. Gamaliel Blé González Dr. Víctor Castellanos Vargas M.C. Jorge López López Fecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010 Seriación explícita Asignatura antecedente No Asignatura subsecuente Seriación implícita Si F1148 Modelos Matemáticos 1/8

2 Conocimientos previos: Métodos de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias Presentación En el siglo XXI es imposible imaginar el desarrollo de la ciencia moderna sin la aplicación de los métodos y técnicas de la matemática; en particular, es de relevancia mencionar que los modelos matemáticos que en el pasado solo se utilizaban en las ciencias básicas, en las últimas décadas, se están utilizando en las diferentes ramas de las ciencias y en el desarrollo de la tecnología. La ventaja de trabajar con modelos matemáticos es que permiten investigar, analizar y simular el comportamiento de procesos complicados que de otro modo sería costoso o prácticamente imposible de realizar. El auge de la modelación matemática comienza a partir de los años 40 del siglo XX debido a la post-guerra y a la aparición de las primeras computadoras. Éstas, han evolucionado rápidamente en los últimos años y han facilitado a la modelación matemática, entrar a una etapa caracterizada por la modelación computacional y la modelación de fenómenos sociales. Por lo anterior, es necesario que un estudiante de ciencias adquiera habilidades para elaborar, analizar e interpretar modelos matemáticos. Objetivo General Comprender las estrategias básicas para plantear un modelo matemático y aplicar métodos para analizar e interpretar los resultados del modelo. Competencias que se desarrollaran en esta asignatura F1148 Modelos Matemáticos 2/8

3 Capacidad para plantear un modelo matemático usando la teoría de funciones, el concepto de derivada e integral Capacidad para interpretar los resultados obtenidos en un modelo matemático Competencias del perfil de egreso que apoya esta asignatura Capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas. Capacidad para formular problemas en lenguaje matemático, de forma tal que se faciliten su análisis y su solución. Salón de clases, biblioteca y seminarios. Escenario de aprendizaje Perfil sugerido del docente Licenciado en Matemáticas, preferentemente con Posgrado en Matemáticas. Contenido Temático Unidad No. 1 Introducción a Modelación Matemática F1148 Modelos Matemáticos 3/8

4 Objetivo particular Conocer los fundamentos básicos en el planteamiento de un modelo matemático. Hrs. Estimadas 30 Temas Resultados del aprendizaje Sugerencias didácticas Estrategias y criterios de evaluación 1.1. Qué es un modelo? 1.2. Tipos de modelos Leyes fundamentales de la naturaleza Principios de variación Uso de analogías en la construcción de modelos Aproximación jerárquica en la construcción de un modelo Universalidad de los modelos matemáticos Modelos matemáticos no lineales. Conocimiento básico sobre los fundamentos para el planteamiento de un modelo matemático Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos de modelos matemáticos que usan las ecuaciones tanto algebraicas como diferenciales. Trabajar en la clase en grupos pequeños. Abordar ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados. Dirigir el planteamiento y las estrategias de solución a los problemas planteados. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades Resolución de problemas. Preguntas escritas. Preguntas orales. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos. F1148 Modelos Matemáticos 4/8

5 Unidad No. 2 Diseño de Modelos Objetivo particular Generar modelos de la física-matemática y de otras ciencias utilizando leyes, principios o hechos asociados al problema. Hrs. Estimadas 30 Temas 2.1 Modelos usando las leyes fundamentales de la naturaleza Conservación de la masa Conservación de la energía Conservación del número de partículas Modelos usando principios de variación Ecuación de movimiento de un sistema mecánico Ecuación de movimiento en forma lagrangiana. Resultados del aprendizaje Conocimiento de las leyes o principios básicos usados para generar modelos en la física matemática y en otras ciencias. Capacidad comprender modelos básicos en otras ciencias, usando el álgebra y cálculo diferencial. Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos de modelos matemáticos que usan las ecuaciones tanto algebraicas como diferenciales. Trabajar en la clase en grupos pequeños. Abordar ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados. Dirigir el planteamiento y las estrategias de solución a los problemas planteados. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades Estrategias y criterios de evaluación Resolución de problemas. Preguntas escritas. Preguntas orales. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos. F1148 Modelos Matemáticos 5/8

6 Principio de variación de Hamilton Modelos de sistemas mecánicos Ecuación de Boltzman y sus diferentes variantes Modelos de procesos económicos y financieros Modelos poblacionales Modelos epidemiológicos Modelos en otras ciencias. Unidad No. 3 Validación de Modelos Matemáticos Objetivo particular Aplicar técnicas matemáticas en el análisis de modelos de fenómenos de la física y de otras ciencias Hrs. Estimadas 20 Temas Resultados del Sugerencias didácticas Estrategias y criterios de F1148 Modelos Matemáticos 6/8

7 3.1. Aplicación de métodos de similitud Principio del máximo y teorema de comparación Jerarquización de modelos Método de promedios Transición de modelos discretos Simulación numérica aprendizaje Comprensión de los métodos básicos para analizar modelos, validarlos e interpretar sus resultados. Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos en cada uno de los conceptos. Trabajar en la clase en grupos pequeños. Abordar ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados. Dirigir el planteamiento y las estrategias de solución a los problemas planteados. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades evaluación Resolución de problemas. Preguntas escritas. Preguntas orales. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos. F1148 Modelos Matemáticos 7/8

8 Bibliografía básica 1. Haberman, R. (1977). Mathematical Models: Mechanical vibrations, populations dynamics and traffic flow. Prentice Hall. 2. Enns Richard, H. y Mcguire, George C. (2006). Computer Algebra Recipes. An Introductory Guide To The Mathematical Models Of Science. New York: Springer 3. Lomen, D. y Lovelock, D. (2000). Ecuaciones diferenciales a través de gráficas, modelos y datos. México: CECSA. 4. Samarskii, A. A. y Mikhailov, A. P. (2002). Principles of Mathematical Modeling, ideas, methods, examples. Taylor and Francis. 5. Shier, D. R. y Wallenius, K. T. (1999). Applied Mathematical Modeling. Florida: Chapman and Hall. Bibliografía complementaria 1. Brauer, F. y Castillo-Chávez, C. (2001). Mathematical Models in population Biology and Epidemiology. New York: Springer Verlag. 2. Gershenfeld, N. (1999). The Nature Of Mathematical Modeling. Londres: Cambridge University Press. 3. Giordano, F. R., Maurice, D. Weir y William, P. Fox. (2003). A First Course In Mathematical Modeling. 3 a ed. South Melbourne, Victoria: Thomson-Brooks/Cole 4. Mesterton-Gibbons, M. (1995). A concrete approach to mathematical modeling. New York: John Wiley and Sons. 5. Murray, J. D. (2003). Mathematical Biology. 3 a ed. New York: Springer-Verlag. F1148 Modelos Matemáticos 8/8