ALGUNOS NÚMEROS NOTABLES

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1 E 15 ALGUNOS NÚMEROS NOTABLES 1. Número abundante Número que es estrictamente inferior a la suma de sus divisores, excepto sí mismo. 12 < = 16, por lo tanto 12 es un número abundante. 18 < = 21, por lo tanto 18 es un número abundante. 20 < = 22, por lo tanto 22 es un número abundante. 2. Números amistosos Un par de números amistosos es un par de totalidades naturales cuya suma de los divisores, excepto sí mismo, del uno es igual al otro. Ejemplo: la suma de los divisores de 220 es: = 284 la suma de los divisores de 284 es: = 220 Pues 220 y 284 son números amistosos Los primeros pares de números amistosos son: 220 y y y y y Número automorfo Número n cuyo cuadrado n 2 se termina por n. 5 ( 5 2 = 25 ), 25 ( 25 2 = 625 ) son números automorfos; 36 ( 36 2 = 1.296) no es un número automorfo (96 36) 4. Número cuadrado encajado Tal cuadrado que existe un número que insertado en su medio luego insertado a lo infinito en medio del número obtenido da siempre un cuadrado. Ejemplos : 16 = = = = Fly abr 09 1

2 49 = = = = Número compuesto Número que es el producto de dos, o más, números primos. 4 ( = 2 2 ); 6 ( = 2 3 ); 8 ( = ) son números compuestos. Los primeros términos de la consecuencia de los números compuestos son: 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 14 ; 15 ; 16 ; 18 ; 20 ; 21 ; Número curioso Número que posee una o más propiedades exclusivas = 17,17 es el único número primo igual a la suma de cuatro números primos sucesivos = 111; 6 37 = 222; 9 37 = 333; = 444, el producto de 37 por un múltiplo de 3 es un número de tres cifras idénticas (hasta = 999) es el más pequeño común múltiplo de los enteros de 1 a ; ; y son formados por las 10 cifras tomadas una única vez y son todos divisibles por todos los enteros inferiores a Número deficiente Número que es estrictamente superior a la suma de sus divisores, excepto sí mismo. 4 > = 3, por lo tanto 4 es un número deficiente. 8 > = 7, por lo tanto 8 es un número deficiente. 9 > = 4, por lo tanto 9 es un número deficiente. 8. Número un poco excesivo Los Griegos intentaron encontrar números cuya suma de los divisores era superior de una unidad a estos números. No encontraron. Hoy, no somos capaces de demostrar que no existen. Fly abr 09 2

3 9. Número de Fibonacci Número que forma parte de una sucesión cuyos 2 primeros términos son 1 y cada uno del cual, a partir de la tercera fila, de los términos sucesivos es igual a la suma de los dos precedentes. Los primeros términos de la consecuencia de Fibonacci son: 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; 89 ; 144 ; 233 Se encuentran estos números en numerosos problemas de enumeración, por ejemplo para contar el número de maneras de recorrer un camino de longitud n - 1 dando pasos de 1 ó 2, ellos se interviene en el estudio de la ejecución del algoritmo de Euclidio que determina el Máximo Común Divisor de dos enteros. Una aplicación interesante de los números de Fibonacci es la conversión de las miles en kilómetros (el factor de conversión es de cerca de 1,609). 10. Número fraternal Número cuya escritura es la yuxtaposición de dos números consecutivos que tienen el mismo número de cifras ; y son números fraternales; no lo es debido al cero insertado entre 98 y Número heterómero Número que es igual al producto de dos totalidades consecutivas. Los números heterómero, u oblongos, casi cuadrados o pronicos, son de la forma n (n + 1). 12 (= 3 4) y 72 (= 8 9) son números heterómeros. Los primeros términos de la consecuencia de los números heterómeros son: 0 ; 2 ; 6 ; 12 ; 20 ; 30 ; 42 ; 56 ; 72 ; 90 ; 110 ; 132 ; Número feliz Número cuya suma de los cuadrados de las cifras es 1. Ejemplo: = 49, = 97, = 130, = 10 y = 1, por lo tanto 70 es un número feliz Los primeros términos de la sucesión de los números felices son: 1; 7; 10; 13; 19; 23; 28; 31; 32; 44; 49; 68; Números homogéneos Números que tienen los mismos primos factores. Ejemplo: 20 = y 100 = ,20 y 100 son números homogéneos. Fly abr 09 3

4 14. Números heterogéneos Números que no tienen los mismos primos factores. Ejemplo: 20 = y 30 = 2 3 5, 20 y 30 son números heterogéneos. 15. Números invertidos Número que se escribe con las mismas cifras que otro pero leídos en sentido contrario. Ejemplo: 29 y 92, 235 y 532 son números invertidos. La diferencia de dos números invertidos de dos cifras es igual a 9 veces la diferencia de las dos cifras [92 29 = 9 (9 2) = 63]. La diferencia de dos números invertidos de tres cifras es igual a 99 veces la diferencia de la primera y tercera cifras [ = 99 (5 2) = 297]. Observación: existe números invertidos cuyos cuadrados ellos mismos están invertidos: 144 ( = 12 2 ) y 441 ( = 21 2 ) 169 ( = 13 2 ) y 961 ( = 31 2 ) ( = ) y ( = ) ( = ) y ( = ) ( = ) y ( = ) 16. Número irracional Número que no puede escribirse bajo la forma de una fracción de dos números enteros. A partir de la Antigüedad se dio cuenta de que existían números que no podían escribirse bajo forma fraccionaria. π ; 2 y 3 son números irracionales 17. Número gemelo Número cuya escritura es la yuxtaposición de dos números idénticos siempre que, cada uno de estos números no comience por ; y son números gemelos; no lo es debido al cero. 18. Número narcisista Número cuya suma de las potencias enésimo de sus cifras le es igual. Fly abr 09 4

5 = = 153, por lo tanto 153 es un número narcisista = = 407, por lo tanto 407 es un número narcisista = = 1.634, por lo tanto 1634 es un número narcisista = = , por lo tanto es un número narcisista. 19. Número de Oro Número real φ (se nota φ en homenaje al escultor griego Phidáis que participó en la decoración del Partenón sobre la Acrópolis de Atenas). Su escritura decimal comienza por 1, Es una de las dos soluciones de la ecuación x 2 x 1 = 0. Su valor exacto es Número palíndromo Número entero que se lee indiferentemente en las dos direcciones. 22 ;101 ; son números palíndromos. Existen 9 números palíndromos de 2 cifras: 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88 y 99. Existen 90 números palíndromos de 3 cifras y 90 números palíndromos de 4 cifras. 101 son el más pequeño número primo palíndromo. 11 y 22 son números palíndromos cuyos cuadrados son palíndromos (11 2 = 121 y 22 2 = 484). Los cuadrados, los cubos y las potencias cuartas de 101 (101 2 = ; = y = ) y de ( = ; = y = ) son palíndromos 21. Número perfecto Entero natural igual a la suma de sus divisores, excepto sí mismo = 6, por lo tanto 6 es un número perfecto = 28, por lo tanto 28 es un número perfecto = 496, por lo tanto 496 es un número perfecto. Pitágoras observó que los números perfectos son la suma todavía de una serie aritmética: = = = 496 Fly abr 09 5

6 Euclides descubrió que son los múltiplos todavía de 2 números unos de los cuales son una potencia de 2 y otro la potencia siguiente de 2 menos 1: 2 1 ( ) = 2 ( 4 1 ) = 2 3 = ( ) = 4 ( 8 1 ) = 4 7 = ( ) = 16 ( 32 1 ) = = 496 Conocemos 40 números perfectos: los Griegos descubrieron 6, 28, 496 y 8.128, el quinto, se descubrieron más tarde años, el sexto es , el séptimo Leonhard Euler descubre , el octavo, es Actualmente el mayor número perfecto conocido posee cifras, es igual a ( ) 22. Número π El número π es una constante matemática utilizada en numerosos ámbitos como la física y las matemáticas. Es la primera letra de la palabra griega que significa perímetro; y es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro o: π = C. Su escritura decimal comienza por : y tiene un número d infinito de decimales, es un número irracional. La mayor parte del tiempo se utiliza su valor aproximado 3.14 Este número se conoce desde la antigüedad, ya que los Babilonios ya habían calculado esta relación hace años. Utilizaban el valor Los Egipcios utilizaron un valor ligeramente igual a 3.15 hace mas de años Este valor de π se descubrió en un muy famoso papiro, el papiro de Rhind, escrito por Ahmes, el escriba de Ramses II en Tebas. El número π es utilizado también en China, Grecia, India con una precisión cada vez más importante. Actualmente, se calcularon más de mile millones de decimales con ayuda de una potente computadora que funcionó durante más de 400 horas. 23. Números poliédricos Número que puede ser representado por un poliedro por acuerdos de objetos esféricos. los números tetraedros: un número tetraedro es un número que puede ser representado por una pirámide con base triangular = = = 10 Los primeros términos de la sucesión de los números tetraedros son: 1 ; 4 ; 10 ; 20 ; 35 ; 56 ; 84 ; 120 ; 165 ; 220 ; 286 ; 364 ; 455 los números piramidales: un número piramidal es un número que puede ser representado por una pirámide de base cuadrada. Fly abr 09 6

7 = = = 14 Los primeros términos de la sucesión de los números piramidales son: 1; 5; 14; 30; 55; 91; 140; 204; 285; 385; 506; 650; Números poligonales Número que puede ser representado por un polígono regular. Los matemáticos antiguos descubrieron que algunos números podían representarse arreglando de determinada manera piedras o semillas. Ejemplos : los números triangulares : un número triangular es un número que puede ser representado por un triángulo equilátero =1 1+2=3 3+3=6 6+4=10 Los primeros términos de la sucesión de números triangulares son: 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; 28 ; 36 ; 45 ; 55 ; 55 ; 66; 78 ; 91 los números cuadrados : un cuadrado perfecto es el cuadrado de un entero =1 1+3=4 4+5=9 9+7 = 16 Los primeros términos de la sucesión de números cuadrados son: 0 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121 ; 144 Los matemáticos se han interesado por algunas curiosidades relativas a los cuadrados perfectos. La más conocida, en particular, por su referencia al teorema de Pitágoras, es la igualdad = 5 2, que comienza el estudio de los tríos pitagóricos. Desde 1995, gracias al teorema de Fermat-Wiles, sabemos que solo los cuadrados pueden hacer una identidad como la de los tríos pitagóricos. Con a, b y c enteros no hay ninguna solución a la ecuación a 3 + b 3 = c 3. Números hexagonales: =1 1+5=6 6+9= =28 Los primeros términos de la sucesión de números hexagonales son : 1 ; 6 ; 15 ; 28 ; 45 ; 66 ; 91 ; 120 ; 153 ; 190 ; 231 ; 276 ; 325 Fly abr 09 7

8 El método para aumentar un polígono consiste en prolongar dos lados adyacentes de un único punto, luego en completar la figura con puntos para obtener los lados suplementarios que faltan. 25. Número primo Entero natural superior o igual a 2 que sólo es divisible por 1 y por sí mismo. 2, 3, 5, 7, 11 son números primos. Los números primos inferiores a 100 son: 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 y 97. Algunos grandes números primos: - un número de Fermat, en 1640: un número de Euler, en 1.732: = una marca de 1.999: , este número se escribe con cifras. En cuanto los números se vuelven mayores los números primos se hacen más raros: entre 1 y 10 hay un 40 % de números primos, entre 1 y 100 hay un 25 %, entre 1 y hay un 14,4 % y entre 1 y sólo hay un 4,8 %. La manera más simple para encontrar números primos es un algoritmo llamado tamiza de Eratóstenes Para obtener los números inferiores a un número n - comienza por escribir todos los números de 2 hasta n, - luego tache los múltiplos de 2 (excepto 2), - toma el más reducido número no techado, 3, y se techar los múltiplos de 3 (excepto 3), - se repite el mismo proceso, se acaba cuando se llega a la raíz cuadrada de n. 26. Números primos el uno con el otro 1. Dos números son primos el uno con el otro si no tienen otro divisor común que 7 y 13 sólo tienen 1 como divisor común, por lo tanto 7 y 13 son primos el uno con el otro. 2 y 6 tienen 1 y 2 como divisores comunes, por lo tanto 2 y 6 no son primos el uno con el otro. 61 y 78 sólo tienen 1 como divisor común, por lo tanto 61 y 78 son primos el uno con el otro. Fly abr 09 8

9 27. Números primos gemelos Par de números primos cuya diferencia es y 13 son dos números primos y = 2, por lo tanto 11 y 13 son dos números primos gemelos. 17 y 19 son dos números primos y = 2, por lo tanto 17 y 19 son dos números primos gemelos. 59 y 61 son dos números primos y = 2, por lo tanto 59 y 61 son dos números primos gemelos. 28. Número primo Potencia de un número primo. Ejemplo: 7 2 = 49 y 3 4 = 81 son números primos. Los primeros términos de la sucesión de los números primos son: 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 11; 13; 16; 17; 19; Números racionales Número que puede escribirse bajo la forma de una fracción de dos números enteros. 5 ; ; 15,26 ; 25 ; 1 son números racionales Números reales El conjunto de los números reales se compone de los números racionales pues de los enteros naturales, de los enteros relativos, de los decimales, de las fracciones, y de los números irracionales. Son los números que encontramos diariamente. 31. Número semiprimo Número que es el producto de dos números primos. 15 (= 3 5) y 21 (= 3 7) son números semiprimos. Los primeros términos de la serie de los números semiprimos son: 4; 6; 9; 10; 14; 15; 21; 22; 25; 26; 33; 34; Números del triángulo de Pascal Estos números pueden estar dispuestos según un triángulo llamado triángulo de Pascal : Fly abr 09 9

10 El triángulo de Pascal está constituido por triángulos imbricados los unos en los otros, el primer triángulo sólo está constituido por 1, el segundo de la sucesión de los números enteros consecutivos, el tercero de la sucesión de los números triangulares, el cuarto de la sucesión de los números tetraédricos, : sucesión de los números enteros consecutivos sucesión de los números triangulares sucesión de los números tetraédricos Fly abr 09 10