Centro de Física Fundamental y Grupo de Procesos Dinámicos en Química, ULA

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1 Centro de Física Fundamental y Grupo de Procesos Dinámicos en Química, ULA Una Breve Introducción a la Física de los Cristales Fotónicos. Año Internacional de la Luz Pedro L. Contreras E. Jornadas Aniversario del Postgrado en Física de la Materia Condensada. Mérida, Junio 2015

2 Preambulo Criterio para distinguir aislantes, metales y semiconductores ρ = 1 σ Criterio para distinguir materiales ordenados de materiales desordenados V (x)

3 Cristales fotónicos I Figura: Los cristales fotónicos son estructuras periódicas

4 Cristales fotónicos II Para la mayoria de λ los fotones se propagan a través de la estructura periódica sin dispersión, la cual se cancela de forma coherente. Sin embargo si λ 2a entonces la dispersión puede ocurrir y los fotones no se pueden propagar, se forma una brecha fotónica.

5 Cristales fotónicos III Los cristales fotónicos son medios electromagnéticos con periodicidad espacial y constante dieléctrica ε heterogénea, y donde la luz puede quedar atrapada en cavidades o en guias de onda. Los cristales fotónicos son aislantes ópticos. Figura: Una cavidad fotónica y una guia de onda fotónica

6 Tratamiento macroscópico I Macroscópicamente las ecuaciones que representan dicho fenómeno son las ecuaciones de Maxwell escritas para un material no conductor y que no produce corrientes de inducción, ni presenta fenómenos de polarización P y de magnetización M macroscópica, es decir E = 0, H = 0, E = 1 c H = ε(x) 1 c H t, y donde E es el campo eléctrico, H el campo magnético y ε(x) la constante dieléctrica. Se omite la corriente de desplazamiento de Maxwell J D que representa el flujo de una corriente de inducción. E t

7 Tratamiento macroscópico II Aplicando el rotor a la tercera ecuación de Maxwell y la periodicidad en (E e i( k r ω t ), se obtiene la siguiente expresión, la cual representa una ecuación para un operador ω 2 E = ε(x) E c 2 la cual puede reescribirse luego de separar ε(x) = ε 0 + ε fluctuante (x) como 2 E + ( E ) ε fluctuante (x) ω2 c 2 E = ε0 ω 2 c 2 E donde ε fluctuante (x) es la parte espacial fluctuante o heterogenea de la constante dieléctrica.

8 Tratamiento macroscópico III La expresión 2 E + ( E ) ε fluctuante (x) ω2 c 2 E = ε0 ω 2 c 2 E es similar a la ecuación de Schrodinger [ ] 2 2m 2 + V (x) ψ(x) = E ψ(x) donde el campo eléctrico E representa la función de onda ψ y la parte aleatoria de la constante dieléctrica es análoga a la de un potencial aleatorio V (x).

9 Dispersión en las ecuaciónes de Schrodinger para electrónes y de Maxwell para fotones

10 Comparación entre las propiedades físicas de los potenciales anteriores El eléctron puede estar atrapado en potenciales profundos. Debe cumplirse la condición ε 0 + ε fluctuante (x) > 0, lo que se traduce en que la constante dieléctrica total debe ser real y positiva. La condición anterior forza a que el valor de la energía propia sea siempre mayor que el modulo del potencial efectivo ε fluctuante (x) ω2 c 2 El campo eléctrico es extendido, no localizado y el autovalor ω ε 2 0 debe ser mayor que el valor de la barrera de potencial c 2 más alta.

11 Aislantes de Mott y semiconductores desordenados Aislantes de Mott: Son materiales que conducen siguiendo la teoría de bandas a temperaturas ambiente, pero son aislantes a bajas temperaturas. Este efecto es debido a que las interacciones electrónelectrón no son consideradas en la teoría de bandas convencional. Semiconductores desordenados: Son materiales semiconductores dopados donde el potencial de las impurezas es desordenado (no es periódico) y por tanto no presenta el orden traslacional de la red.

12 Localización de Anderson I En la física del estado sólido, la localización de Anderson, es la ausencia de difusión de las ondas de materia en un medio desordenado. Este fenómeno recibe el nombre del físico estadounidense P. W. Anderson, quien fue el primero en sugerir la posibilidad de la localización de electrones dentro de un semiconductor, siempre que el grado de aleatoriedad de las impurezas o defectos sea suficientemente grande. Es un fenómeno ondulatorio de caracter general que se aplica al transporte de las ondas electromagnéticas (fotones), ondas acústicas (fonones), ondas electrónicas (electrónes) y ondas de espín (magnones). La difusión en sólidos es un fenómeno de transporte de masa por el movimiento de las partículas subatómicas.

13 La función de onda y densidad de probabilidad en el espacio de configuraciones En mecánica cuántica, la función de onda se representa como ψ(ξ), donde ξ es variable en el espacio de configuraciones y depende del número de partículas en el mismo. ρ(ξ) = ψ(ξ) 2 es la densidad de probabilidad de hallar la o las partículas entre ξ y ξ + dξ. El criterio de convergencia, tambien llamado condición de difusión para una red discreta tridimensional en un potencial aleatorio viene dado por ψ(n, t) 2 n D t n donde n representa el sitio en la red. Dicho criterio representa que tan rapido la densidad de probabilidad se difunde por la red.

14 Localización de Anderson II Figura: Estados localizados, extendidos y la densidad de estados ν(e) de acuerdo al modelo de Anderson

15 Condiciones de periodicidad en un cristal fotónico k + 2 π/a es equivalente a k ε het (x) = ε 1 (x) + V (x) ε 1 (x) = ε 1 G k G = 1 2 U G e ik x G

16 La función de Block en un cristal fotónico para el modelo de enlace fuerte E (x, t) = e i(kx ωt) E k (x) donde e i(kx ωt) representa una onda plana y E k (x) la envolvente del campo eléctrico

17 Como se forma la brecha de energía en un cristal fotónico

18 Estructura de bandas fotónica

19 Yablonovich y colegas en el Bell-Lab 1990 Figura: Aislante fotónico en la zona de microondas compuesto por huecos de 8 mm creados sobre un bloque dieléctrico que tiene la simetría puntual tipo FCC con un índice de refracción de 3.6

20 Estructura de un aislante fotónico

21 Transición de fase en cristales fotónicos

22 Pseudo brecha en cristales fotónicos y evolución de la densidad de estados

23 Referencias [1] Sajeev John. Frozen light. Nature [2] Sajeev John. Localization of light. Physics Today [3] John D. Joannopoulos, Steven G. Johnson, Joshua N. Winn, and Robert D. Meade, Photonic Crystals: Molding the Flow of Light. Princeton University Press. 2008

24 Agradecimientos Se agradece al Postgrado en Física de la Materia Condensada por permitir presentar esta charla pedagógica en sus Jornadas Aniversario y al Prof. Sajeev John de UofToronto.

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