Integrales indenidas
|
|
- Héctor Valdéz Aguirre
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Integrales indenidas Adriana G. Duarte 7 de agosto de 04 Resumen Antiderivación. Integrales indenidas, propiedades. Técnicas de integración: inmediatas,por sustitución, por partes. Ejemplos y ejercicios. Antiderivación Sabiendo que g es derivable y h es su derivada ¾es posible a partir de h encontrar la función g?. Efectivamente, es posible a través de un proceso inverso a la derivación, denominado antiderivación. g Derivación Antiderivación h Se dice que g es la antiderivada de h, porque al derivar g se obtiene h. O bien, si llamamos primitiva a la antiderivada, tenemos que g es una primitiva de h porque derivando g se obtiene h. Si hacemos g = F y h = f, diremos entonces que F es una primitiva de f, porque derivando F hallamos f. Suponiendo que x es la variable independiente de las funciones y que ambas están denidas en un conjunto D, se tiene la siguiente denición: Def: F es primitiva de f en D x D : F (x) = f(x) Ejemplo. Dadas tan(x) y sec (x), estudiar quién es la primitiva de quién. En este caso, F (x) = tan(x) es una primitiva de f(x) = sec (x) porque F (x) = (tan(x)) = sec (x) = f(x)
2 La función F (x) = tan(x) + es una primitiva de sec (x), porque F (x) = (tan(x) + ) = sec (x) = f(x) La función F (x) = tan(x) es una primitiva de sec (x), ( porque F (x) = tan(x) ) = sec (x) = f(x) Podemos ver que numerosas funciones tienen por derivada a f, y que todas dieren en una constante. En la gura, se presentan los grácos de las primitivas (en azul), (en verde) y (en rojo): Y π π π X Figura : F, F y F, primitivas de f(x) Se observa que en un mismo punto del dominio, todas poseen recta tangente con la misma pendiente (gura ). Y tan(x) Y + tan(x) Y + tan(x) X X X Figura : Las pendientes son iguales F (0) = F (0) = = F (0) = Además, esto es así para todo punto del dominio de las funciones dadas Adriana Duarte 9
3 Teorema. [No unicidad] Si F es una primitiva de f en D, entonces existen innitas primitivas de f, de la forma F + k, siendo k un número real. Demostración. nada Denimos una función F k (x) = F (x)+k, x R, derivamos miembro a miembro: F k (x) = F (x) + 0, por ser F una primitiva de f, entonces x D : F (x) = f(x). Por propiedad transitiva, se tiene que: F k (x) = f(x), cumpliéndose la denición de primitiva, se deduce que F k = f + k es primitiva de f. Notación: Podríamos usar el símbolo A como operador para la Antiderivación, y se expresaría, por ejemplo, A (sec (x)) = tan(x), o bien A (5 x 3 ) = 5 4 x4 y en general para cualquier función: A(f) = F + k. Sin embargo, es utilizado universalmente como operador de este proceso, el símbolo deformación de la letra S que se conoce con el nombre de símbolo de integración entendiendo integración como equivalente a antiderivación. Entonces, las expresiones anteriores se pueden escribir: sec (x) = tan(x), 5 x 3 = 5 4 x4 f = F + k Se dice que: f es la función integrando, y que F es la integral de f. Es así que los términos primitiva, antiderivada o integral son equivalentes. Es usual explicitar la variable independiente de la función, acompañando a la función integrando con el diferencial de la variable independiente, entonces: f(x) dx = F + k La presencia de la constante k indica que se trata de una integral indenida, para diferenciarla de la integral denida, que se estudiará más adelante... Propiedades de las integrales indenidas [ ]. Si f(x) dx = F (x) + k, entonces d f(x) dx = f(x) dx Demostración Diferenciando miembro a miembro la primera igualdad, tenemos: d f(x) dx = d [F (x) + k] = [F (x) + k] dx = F (x) dx por hipótesis, se tiene que F es primitiva de f, o sea F (x) = f(x), entonces la expresión anterior resulta: d f(x) dx = f(x) dx Adriana Duarte 3 9
4 , y el teorema queda demostrado. [ ] Ejemplo: d sen(x) dx = sen(x) dx. Si f(x) dx = F (x) + k, entonces df (x) = F (x) + k Demostración Diferenciamos la primitiva, d[f (x)] = F (x) dx = f(x) dx, integrando miembro a miembro: d[f (x)] = f(x) dx = F (x) + k, por lo tanto se obtiene que: df (x) = F (x) + k y queda demostrado. Ejemplo: d (e x ) = e x + k 3. Sean F y G primitivas de f y g respectivamente, entonces (F + G) es primitiva de (f + g) o bien (F G) es primitiva de (f g). Demostración: Derivamos la primitiva, (F + G) = F + G. Por hipótesis sabemos que F = f y que G = g, entonces: (F + G) = f + g, por lo tanto (F + G) es primitiva de (f + g), y el teorema se demuestra. De manera similar se demuestra para la diferencia de las funciones. Como también se cumple que F = f y que G = g, es habitual que esta propiedad se simbolice así: (f ± g) = F ± G = f ± g Ejemplo: (sen(x) + e x ) = sen(x) + 4. Sea c una constante y F la primitiva de f, entonces (c F ) es primitiva de (c f). O bien, se puede simbolizar: c f(x) = c F (x) = c f(x) Ejemplo: 6 ln(x) = 6 ln(x) e x 5. Si f(x) = x n, con n R, entonces su primitiva es F (x) = xn+ + k. O bien: n + x n dx = xn+ n + + k Ejemplos: a) x 3 dx = x4 4 + k, b) c) 4 5 x dz = z k, dt 5 = t k = 5 5 t4 + k t Adriana Duarte 4 9
5 La combinación de las propiedades 3), 4) y 5) permite encontrar primitivas o integrales de funciones más complejas, por ejemplo: (3x 3 + x 4) dx = 3x 3 dx + x 4 dx = 3 x 3 dx + x 4 dx = 3 x + 5 x5 + k Ejercicios. ¾Pueden las funciones F (x) = x x + y G(x) = x + f(x) = (x + ) ser primitivas de la función. En la propiedad 5) ¾puede ser n =? 3. ¾Cuál es el resultado de 0 dx? ( 4. Hallar las integrales siguientes: a) e x + ) x dx b) x 3 x x dx 5. Para un móvil con movimiento rectilíneo uniforme ¾Quién es la primitiva de la velocidad? ¾la función posición o la función aceleración? Exprese simbólicamente el resultado.. Integrales inmediatas Son aquellas que resultan de interpretar una tabla de derivadas de forma inversa, y en las cuales para hallar el resultado no es necesario aplicar ninguna propiedad. Por ejemplo, son inmediatas: cos(x) dx, e x dx, dx x, sen(x) dx, Sh(x) dx, + x dx, x + dx, etc Integración por sustitución Este método de integración se utiliza cuando la función integrando es función compuesta. Teorema. [función compuesta] Si F es primitiva de f, entonces f [g(x)] g (x) dx = F [g(x)] + k Demostración. nada Derivando la primitiva F [g(x)] + k tenemos: (F [g(x)] + k) = (F [g(x)]) + 0 = F [g(x)] g (x) Adriana Duarte 5 9
6 como F es primitiva de f, queda (F [g(x)] + k) = f [g(x)] g (x) y queda demostrado que (F [g(x)] + k) es primitiva de f [g(x)] g (x) Ejemplo. se desea conocer la primitiva de f(x) = cos [ln(x)] x. La función integrando es el producto de una función compuesta (f g) por la derivada de la primera función en la composición. Por lo tanto, la primitiva es otra función compuesta (F g), siendo F la función seno. Entonces, la integral se expresa: cos [ln(x)] x dx = sen [ln(x)] + k Efectivamente, si controlamos el resultado derivando la primitiva, tenemos que por la regla de la cadena se obtiene la función integrando. Ejemplo 3. Resolver (5x + 3) 9 dx. En este caso las funciones de la composición (f g) son g(x) = 5x + 3 y f(x) = x 9 y se observa que no aparece g (x) = 5. ¾se podrá resolver por sustitución? Como el nombre lo dice, se realiza una sustitución, o bien un cambio de variables. Este cambio de variables debe favorecer que la función integrando sea más sencilla y poder resolverla utilizando propiedades de integrales o que sea una integral inmediata. En efecto, hacemos el siguiente cambio de variables: u = g(x), siendo du = g (x) dx, de donde dx = du g (x). En este ejemplo: u = g(x) = 5x+3, diferenciando queda: du = 5 dx dx = du 5. Sustituimos en la integral y queda una función que se puede integrar aplicando las propiedades 4) y 5): u 9 du 5 = u 9 du = u k Se observa que la primitiva quedó en función a la variable u, entonces hay que volver para expresarla en función a x: (5x + 3) 9 dx = (5x + 3) 0 + k 5 0 y ya está Ejercicios: Resolver las siguientes integrales. 6x 3 x 3 3x dx. tan(x) dx Adriana Duarte 6 9
7 .3.. Una sustitución especial Sea la integral ax + b ax + bx + c dx La función integrando es racional cociente de funciones polinómicas, y la función del numerador es la derivada del denominador. Se resuelve como sigue: u = ax + bx + c, diferenciando queda: du = (ax + b) dx. Sustituimos y queda una integral inmediata: u du = ln(u) + k = ln ( ax + bx + c ) + k. En el caso de que la función del numerador no sea igual a la derivada del denominador, primero se procede sustituyendo al polinomio del numerador por una nueva expresión equivalente en la cual sí aparece la derivada del denominador: x 5 Ejemplo 4. Resolver x + 3x + 3 dx. Hacemos u = x + 3x + 3 u = x + 3. Tomando el polinomio del numerador: x 5 m(x + 3) + n x 5 mx + m3 + n. Para que dos polinomios sean equivalentes, los coecientes de los términos semejantes deben ser iguales, y esto resulta cuando m = / y n = 3/. La integral queda: 3 (x + 3) + x + 3x + 3 dx = (x + 3) x + 3x + 3 dx 3 x + 3x + 3 dx [] Para resolver la segunda integral del segundo miembro, se completa cuadrados en el denominador: x + 3x + 3 = x + 3x = ( x ) Luego hacemos t = x + 3 y dt = dx Por lo tanto, la expresión [] se escribe: Teniendo en cuenta que inicial es: y ya está du u 3 t + a dt ( 3 ) ['] t + dt = a arctan x 5 x + 3x + 3 dx = ln ( x + 3x + 3 ) 3 ( ) t, la solución de la integral a ( ) x + 3/ arctan + k 3 3/.4. Integración por partes En general, las propiedades de integrales estudiadas no son útiles para integrar productos de funciones, entonces se recurre al siguiente método: Por denición, el diferencial de un producto de funciones u y v que dependen de x es: d(u v) = v du + u dv, integrando miembro a miembro: d(u v) = (v du + u dv) Adriana Duarte 7 9
8 despejando la segunda integral queda: u dv = u v v du [] Supóngase que se quiere hallar la siguiente integral: f(x) g(x) dx, entonces se podrá decir que: primera posibilidad) f(x) = u y g(x) dx = dv o segunda posibilidad) g(x) = u y f(x) dx = dv Si tomamos la primera posibilidad, se observa que en el segundo miembro de la igualdad en [] solicita conocer v y du. Por lo tanto: u = f(x) dv = g(x) dx du = f (x) dx v = dv = g(x) dx [3] Se espera que [3] sea una integral más sencilla, que se pueda resolver por propiedades, por sustitución o que sea inmediata. Una vez hallada v, se reemplaza siguiendo la expresión []. De igual modo, al hacer este reemplazo, la integral v du deberá ser más simple que la integral dada, o que se pueda resolver por otros métodos ya estudiados. Si eso no ocurre, hay que probar utilizando la segunda posibilidad. Ejemplo 5. Hallar e x x dx. Hacemos u = e x dv = x dx du = e x dx v = x dx = x / (*) (*) Observe que se omite la constante de integración dado que ésta aparecerá al nal de todo el proceso. Utilizando la expresión [], tenemos: e x x dx = e x x x ex dx [3] Se observa que en el segundo miembro de la expresión [3] la integral obtenida es de mayor complejidad que la que se intenta resolver. Por ello, intentaremos con la segunda posibilidad: u = x dv = e x dx du = dx v = e x dx = e x Utilizando la expresión [], tenemos: e x x dx = x e x e x dx [4] En la expresión [4] la integral obtenida es inmediata!!, por lo tanto: e x x dx = x e x e x + k Adriana Duarte 8 9
9 En ocasiones, el método se debe repetir dos o más veces, hasta encontrar en el segundo miembro una integral sencilla de resolver. Ejemplo 6. Hallar e x sen(x) dx u = e x dv = sen(x) dx Hacemos du = e x dx v = sen(x) dx = cos(x) Entonces: e x sen(x) dx = e x cos(x) + cos(x) e x dx [5] Ésta última integral presenta la misma complejidad que la dada es un producto entre una función exponencial y una trigonométrica, entonces en ella se aplica el método nuevamente. Hacemos: u = e x dv = cos(x) dx du = e x dx v = cos(x) dx = sen(x) Entonces: cos(x) e x dx = ( e x sen(x) sen(x) e x ) dx sacando paréntesis y sustituyendo en [4]: e x sen(x) dx = e x cos(x) + e x sen(x) 4 e x sen(x) dx Reuniendo las integrales en el er miembro: 5 e x sen(x) dx = e x cos(x) + e x sen(x) e x sen(x) dx = 5 ex cos(x) + 5 ex sen(x) + k Ejemplo 7. Encontrar arctan(x) dx En este caso la única posibilidad es hacer: ¾cuál es el resultado? u = arctan(x) dv = dx du = + x dx v = dx = x versión L A TEX /pdf: colaboración de Jorge Omar Morel Adriana Duarte 9 9
1. Función primitiva e integral indefinida
Entrenamiento Matemático Sesión 0 (4 -Octubre-00) Cálculo elemental de Primitivas GRUPO:. Función primitiva e integral indefinida Dada una función f: R-->R, se dice que una función derivable F es primitiva
Más detallesDERIVADA DE UNA FUNCIÓN
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 3URI/XLV~xH] Se estudia aquí uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función. Además de la definición y su interpretación, se allarán las
Más detallesIntegral indefinida. Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Integral indefinida 1. Integración Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces,
Más detallesINTEGRACIÓN POR PARTES Y POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES
INTEGRACIÓN POR PARTES Y POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES INTEGRACIÓN POR PARTES Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas. 1. Sean u y v dos funciones dependientes
Más detallesCapítulo 4: Derivada de una función
Capítulo 4: Derivada de una función Geovany Sanabria Contenido Razones de cambio 57 Definición de derivada 59 3 Cálculo de derivadas 64 3. Propiedadesdederivadas... 64 3.. Ejercicios... 68 3. Derivadasdefuncionestrigonométricas...
Más detallesPolinomios de Aproximación (Polinomios de Taylor P n )
Polinomios de Aproximación ( P n ) Sabemos que la recta tangente a una función en un punto es la mejor aproximación lineal a la gráca de f en las cercanías del punto de tangencia (xo, f(xo)), es aquella
Más detallesApellidos: Nombre: para x 1, determina sus asíntotas. 4. Halla el valor de los parámetros m y n para que la función f sea continua en todo.
EXAMEN DE MATEMÁTICAS CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Día: 3- II- 6 CURSO 05-6. Halla el dominio de definición y recorrido de las funciones a) f(x)= 9 b) g(x)= 4. Calcula
Más detallesMÉTODOS DE INTEGRACION
MÉTODOS DE INTEGRACION En este tema se continúa con los métodos de integración iniciados en el capítulo anterior, en el que a partir del concepto de primitiva y de las derivadas de las funciones elementales
Más detallesUnidad II. Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en unaconstante.
Unidad II Integral indefinida y métodos de integración. 2.1 Definición de integral indefinida. Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones
Más detallesUnidad IV. 4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función.
Unidad IV Derivadas 4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función. Derivada de una función en un punto. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define
Más detallesUNIVERSIDAD ARTURO PRAT IQUIQUE CHILE DEPARTAMENTO DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS INTEGRALES
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS INTEGRALES MARIA ELISA VODNIZZA LIRA e-mail : mvodnizz@cec.unap.cl url : www.unap.cl/~mvodnizz SEPTIEMBRE - 00 INTEGRALES Uno de los problemas importantes
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN REAL
EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN REAL Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones y escribir su función derivada: si < ( ) f 7 si < 7 si b) f c) f La función f(
Más detallesDERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES 2 El procedimiento mediante el cuál se obtiene la derivada de una función se conoce como derivación. Llamaremos funciones elementales a las funciones polinómicas,
Más detallesLa integral indefinida
Apuntes Matemáticas º de bachillerato Leibniz Tema 7 La integral indefinida Matemáticas º de bachillerato 7. Introducción Def.: Dadas dos funciones, F() y f(), si se verifica que: F () f(), para un cierto
Más detallesMatemáticas CÁLCULO DE DERIVADAS
Matemáticas Derivada de un cociente de funciones CÁLCULO DE DERIVADAS Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesHerramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas
ir Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura ir ir Índice. Definiciones y propiedades Método de por
Más detallesMATEMÁTICAS VI. CÁLCULO INTEGRAL UNIDAD I LA INTEGRAL INDEFINIDA
UNIDAD I LA INTEGRAL INDEFINIDA INTRODUCCIÓN El cálculo diferencial proporciona una regla para obtener la derivada de una función sencilla, con esta regla se obtienen las fórmulas para derivar todo tipo
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales
Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 8 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2016 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 8. Introducción a la integración INTEGRAL INDEFINIDA
INTEGRAL INDEFINIDA CONCEPTOS BÁSICOS: PRIMITIVA E INTEGRAL INDEFINIDA El cálculo de integrales indefinidas de una función es un proceso inverso del cálculo de derivadas ya que se trata de encontrar una
Más detallesINTEGRALES INDEFINIDAS
INTEGRALES INDEFINIDAS Índice: 1. Primitiva de una función--------------------------------------------------------------------------- 2 2. Interpretación geométrica. Propiedades de la integral indefinida--------------------------
Más detallesINTEGRACIÓN INDEFINIDA
1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Definición: Sean F(x) y f(x) dos funciones reales definidas en un mismo dominio D. Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva de f(x) si se cumple quef'(x) = f(x), x. Dicho
Más detallesDerivadas e integrales
Derivadas e integrales Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M a M salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es ÍNDICE Matemáticas Cero Índice. Definiciones 3. Herramientas 4.. Reglas de derivación.......................
Más detalles2 x
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencial e Integral 08-2 Importante: Visita regularmente ttp://www.dim.ucile.cl/~calculo. Aí encontrarás las guías de ejercicios
Más detallesB. Cálculo de primitivas.
50CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS y y f(x) x y y F (x) x F (x) 8 >< >: x si x [0, ] x + six (, ] x si x (, ] Figura 5.5: B. Cálculo de primitivas. 5.. Integración inmediata. Definición
Más detalles2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones
Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto
Más detallesx ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = xdx, entonces u =ln x du = 1 x dx x 2 dx = 1 2 x2 ln x x2
Tema 5 Integración Indefinida Ejercicios resueltos Ejercicio Calcular la integral x ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = xdx, entonces u =ln x du = x dx dv =
Más detalles2 Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
ITESM, Campus Monterrey Departamento de Matemáticas MA-41: Ecuaciones Diferenciales Lectura # Profesor: Victor Segura Flores Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior.1 Ecuaciones Diferenciales
Más detallesUNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 0. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función () f en un intervalo
Más detallesTema 6: Ecuaciones diferenciales lineales.
Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación que se puede escribir de la siguiente forma: a n (x)y (n) (x) + a n 1 (x)y (n 1) (x) + + a 0 (x)y(x)
Más detallesDerivación. Aproximaciones por polinomios.
Derivación... 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares. Matemáticas (Grado en Químicas) Contenidos Derivada 1 Derivada 2 3 4 5 6 Outline Derivada 1 Derivada 2 3 4 5 6 Definición
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesUniversidad Simón Bolívar Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 2008
Universidad Simón Bolívar Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 8 MA- Practica: semana y/o Ejercicios sugeridos para la semana y/o. Cubre el siguiente material: Propiedades de la
Más detallesDERIV. DE UNA FUNC. EN UN PUNTO
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función. En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado
Más detallesDerivadas. Derivabilidad
Apuntes Tema 4 Derivadas. Derivabilidad 4.1 Derivada de una función Llamamos tasa de variación media al cociente entre el incremento que sufre la variable dependiente y el incremento de la variable independiente.
Más detallesCurso Propedéutico de Cálculo Sesión 3: Derivadas
Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 3: Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico Esquema 1 2 3 4 5 6 7 Esquema 1 2 3 4 5 6 7 Introducción La derivada
Más detalles* e e Propiedades de la potenciación.
ECUACIONES DIFERENCIALES 1 REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS PREVIOS AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1. Cuando hablamos de una función en una variable escribíamos esta relación como y = f(x), esta
Más detallesCBC. Matemática (51) universoexacto.com 1
CBC Matemática (51) universoexacto.com 1 PROGRAMA ANALÍTICO 1 :: UNIDAD 1 Números Reales y Coordenadas Cartesianas Representación de los números reales en una recta. Intervalos de Distancia en la recta
Más detallesTema 7: Derivada de una función
Tema 7: Derivada de una función Antes de dar la definición de derivada de una función en un punto, vamos a introducir dos ejemplos o motivaciones iniciales que nos van a dar la medida de la importancia
Más detalles2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN
2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN 1.) Resuelve las siguientes derivadas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) f(x) = arcsen 2.) Resuelve la siguiente derivada, simplificando
Más detallesTERCER TRABAJO EN GRUPO Grupo 10
TERCER TRABAJO EN GRUPO Grupo 10 Problema 1.- Se considera la ecuación x 3 + x + mx 6 = 0. Utilizando el Teorema de Bolzano demostrar que: (i) Si m > 3 la ecuación tiene al menos una raíz real menor que.
Más detallesIntegral indefinida Matemáticas I 1 INTEGRAL INDEFINIDA. Cuando utilizamos la notación diferencial, teniendo en cuenta que
Primitiva. Integral indefinida INTEGRAL INDEFINIDA Sean f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio. La función F es una función primitiva de f, o simplemente primitiva de f, si F tiene por
Más detallesintegración de funciones racionales
VIII 1 / 6 Ejercicios sugeridos para : los temas de las clases del 26 de febrero y 2 de marzo de 2004. Tema : Integración de funciones racionales. 1.- Diga, justificando, cuales de las siguientes fórmulas
Más detallesGuía 3 Del estudiante Modalidad a distancia. Modulo CÁLCULO UNIVARIADO INGENIERÍA DE SISTEMAS II SEMESTRE
Guía 3 Del estudiante Modalidad a distancia Modulo CÁLCULO UNIVARIADO INGENIERÍA DE SISTEMAS II SEMESTRE DATOS DE IDENTIFICACION TUTOR Luis Enrique Alvarado Vargas Teléfono 435 29 52 CEL. 310 768 90 67
Más detallesUNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El alumno contestará a
Más detallesFunciones de Una Variable Real I. Derivadas
Contents : Derivadas Universidad de Murcia Curso 2010-2011 Contents 1 Funciones derivables Contents 1 Funciones derivables 2 Contents 1 Funciones derivables 2 3 Objetivos Funciones derivables Definir,
Más detallesIntegración por fracciones parciales
Integración por fracciones parciales El cociente de dos polinomios se denomina función racional. La derivación de una función racional conduce a una nueva función racional que puede obtenerse por la regla
Más detallesUniversidad de Chile Integración por partes. Ingeniería Matemática SEMANA 6: PRIMITIVAS
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencial e Integral 08- Ingeniería Matemática SEMANA 6: PRIMITIVAS 3.3. Integración por partes Proposición 3. (Fórmula de integración
Más detallesFigura 1. Círculo unidad. Definición. 1. Llamamos número π (pi) al valor de la integral
ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. La función f(x) = 1 x 2 es continua en el intervalo [ 1, 1]. Su gráfica como vimos es la semicircunferencia de radio uno centro el origen de coordenadas.
Más detalles2.1 Derivadas Tipo Función Simple Función Compuesta
Tema 2: Derivadas, Rectas tangentes y Derivabilidad de funciones. 2.1 Derivadas Tipo Función Simple Función Compuesta Constante Identidad Potencial Irracional Exponencial Logarítmica Suma Resta Producto
Más detallesMATEMÁTICAS 2º BACH CCyTECN INTEGRACIÓN INDEFINIDA. Profesor: Fernando Ureña Portero
1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Definición: Sean F(x) y f(x) dos funciones reales definidas en un mismo dominio D. Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva de f(x) si se cumple que F'(x) = f(x), x. Dicho
Más detallesUNIDAD DE APRENDIZAJE II
UNIDAD DE APRENDIZAJE II Saberes procedimentales 1. Interpreta adecuadamente la relación de dependencia que se establece entre dos variables, así como la razón de cambio entre sus valores. 2. Define en
Más detallesIntegración indefinida
Integración indefinida La integral indefinida comprende los conceptos de antiderivación y condición de función elemental, para poder entender su alcance. Integrar y derivar son términos que responden a
Más detallesMatemáticas II. Segundo de Bachillerato. Curso Exámenes
Matemáticas II. Segundo de Bachillerato. Curso 0-03. Exámenes LÍMITES Y CONTINUIDAD o F. Límites y continuidad o F Ejercicio. Calcular el dominio de definición de las siguientes funciones: f(x) = 4 x h(x)
Más detallesCÁLCULO DE DERIVADAS.
ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. La Función Derivada. CÁLCULO DE DERIVADAS. Definición.. Sea una función f : R R derivable. Se llama función derivada a la función f : R R x f (x). Observación.. Domf { x R :
Más detallesCÁLCULO CON SCILAB. Jorge Antonio Polanía Puentes
CÁLCULO CON SCILAB INTRODUCCIÓN.... LÍMITES.... LÍMITE DE UNA CONSTANTE.... LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.... DERIVADAS... 4. DERIVADA DE UNA CONSTANTE... 4. DERIVADA DE UNA POTENCIA... 5.3 DERIVADA DE UN PRODUCTO...
Más detallesDERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.
DERIVADAS Tema: La derivada como pendiente de una curva Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. La pendiente de la curva en el punto
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.4: La derivada y sus propiedades básicas. La Regla de la cadena. El concepto de derivada aparece en muchas situaciones en la ciencias: en matemáticas
Más detallesSistemas de ecuaciones diferenciales y el uso de operadores
Sistemas de ecuaciones diferenciales y el uso de operadores En la clase anterior resolvimos algunos sistemas de ecuaciones diferenciales sacándole provecho a la notación matricial. Sin embrago, algunos
Más detallesDerivadas de Orden superior
Derivadas de Orden superior Para una función cualquiera f, al tomar la derivada, obtenemos una nueva función f y podemos aplicar la derivada a f. La función f se suele escrbir f y recibe el nombre de derivada
Más detallesf(x) = x 2 Ejercicio 121 Para x = 1/2 formar los cocientes incrementales f/ x para los incrementos entre x = 1 y x = 1+ x de tres maneras diferentes:
22 CAPÍTULO 3. INTEGRALES: CÁLCULO POR MEDIO DE PRIMITIVAS 3.2. La derivada En la sección 3. analizamos los incrementos y cocientes incrementales de varias funciones. En esta sección nos concentraremos
Más detallesCoordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 7: Lunes 22 - Viernes 27 de Abril. Contenidos
Coordinación de Matemática I (MAT01) 1 er Semestre de 013 Semana 7: Lunes - Viernes 7 de Abril Cálculo Contenidos Clase 1: Álgebra de límites. Teorema del Sandwich. Cálculo de límites. Límites trigonométricos.
Más detalles2 Deniciones y soluciones
Deniciones y soluciones Sabemos que la derivada de una función y(x) es otra función y (x) que se determina aplicando una regla adecuada. Por ejemplo, la derivada de y = e 3x es dx = 6xe3x. Si en la última
Más detallesREGLA DE L'HÔPITAL. En cursos anteriores, al estudiar límites de funciones, aparecen las indeterminaciones e
REGLA DE L'HÔPITAL En cursos anteriores, al estudiar límites de funciones, aparecen las indeterminaciones e y se aprenden los artificios necesarios para resolverlas. Generalmente, surgen en límites de
Más detalles1 LIMITES Y DERIVADAS
1 LIMITES Y DERIVADAS 2.1 LA TANGENTE Y PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD Problema de la tangente Se dice que la pendiente de la recta tangente a una curva en el punto P es el ite de las rectas secantes PQ a medida
Más detallesCONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR
INTERVALOS CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR Un intervalo es un conjunto infinito de números reales comprendidos entre dos extremos, que pueden estar incluidos en él o no. 1. Intervalo abierto (a, b): Comprende
Más detallesCÁLCULO DE DERIVADAS
TEMA 4 CÁLCULO DE DERIVADAS Contenidos Criterios de Evaluación 1. Función derivada.. Derivadas sucesivas. 3. Derivadas elementales. 4. Álgebra de derivadas. 5. La Regla de la Cadena. 6. Continuidad y derivabilidad.
Más detallesOperador Diferencial y Ecuaciones Diferenciales
Operador Diferencial y Ecuaciones Diferenciales. Operador Diferencial Un operador es un objeto matemático que convierte una función en otra, por ejemplo, el operador derivada convierte una función en una
Más detallesCálculo Diferencial en una variable
Tema 2 Cálculo Diferencial en una variable 2.1. Derivadas La derivada nos proporciona una manera de calcular la tasa de cambio de una función Calculamos la velocidad media como la razón entre la distancia
Más detalles1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
1 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 1.1. PRIMERAS DEFINICIONES. PROBLEMA DEL VALOR INICIAL Definición 1.1. Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen una variable dependiente y
Más detallesMétodos de integración
Integración por partes Métodos de integración De la derivada del producto de dos funciones obtenemos la fórmula de la derivación por partes. (uu. vv) = uu vv + uu vv que se puede escribir dd(uu. vv) =
Más detallesINTRO. LA INTEGRAL INDEFINIDA
INTRO. LA INTEGRAL INDEFINIDA Se inicia en este tema el estudio de la integral, concepto fundamental de lo que se conoce como cálculo infinitesimal, que alcanzó su auge y desarrollo durante el siglo XVII.
Más detallesInstituto Tecnológico de Saltillo
Instituto Tecnológico de Saltillo CÁLCULO INTEGRAL Enero-Junio 2012 Programa de Unidades I. Teorema Fundamental del Cálculo (Diferenciales). II. La integral Indefinida. III.Técnicas de Integración Indefinida.
Más detallesProblemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid Resueltos Isaac Musat Hervás 22 de mayo de 213 Capítulo 11 Año 21 11.1. Modelo 21 - Opción A Problema 11.1.1 3 puntos Dada la función: fx
Más detallesCálculo Integral Enero 2015
Cálculo Integral Enero 015 Laboratorio # 1 Antiderivadas I.- Halle las siguientes integrales indefinidas. 10) ) 6) 1 1 1 1 16) 1 8) 9) 18) II.- Calcule 1.. 1 Cálculo Integral Enero 015 Laboratorio # Aplicaciones
Más detallesDerivadas. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid
Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid Recta tangente a una curva Recta tangente a una curva Recta tangente a una curva Recta tangente a una curva Recta tangente a una curva Recta
Más detallesProblemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás de mayo de 13 Capítulo 6 Año 5 6.1. Modelo 5 - Opción A Problema 6.1.1 ( puntos) Justificar razonadamente
Más detallesDERIVADAS. Problemas con Solución.
DERIVADAS. Problemas con Solución. Aplica la definición de derivada como un límite, para calcular f siendo fx = x + x +. 4. Sea la función fx = x/x, halla la derivada de f en el punto de abcisa usando
Más detallesDefinición. Se denomina primitiva de la función f(x) en un intervalo (a, b) a toda función F (x) diferenciable en (a, b) y tal que F (x) = f(x).
Tema 5 Integración 5.1 Integral Indefinida Definición. Se denomina primitiva de la función f(x) en un intervalo (a, b) a toda función F (x) diferenciable en (a, b) y tal que F (x) = f(x). Ejemplos: La
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
Más detalles4.2 Tasas de Variación. Sea la función f: Se llama tasa de variación media de la función f en el intervalo [a, b] al cociente:
U.D.4: DERIVADAS 4.1 Ecuaciones de una recta. Pendiente de una recta La pendiente de una recta es una medida de la inclinación de la recta. Es el cociente del crecimiento en vertical entre el crecimiento
Más detallesTécnicas de Integración, preparado por: Gil Sandro Gómez
Tema II. Técnicas de Integración. Integración por partes. La integración por partes surge del producto de una función trascendente y una algebraica, una inversa trigonométrica y una algébrica, una trigonométrica
Más detallesFunciones de Una Variable Real II: Cálculo de Primitivas
Universidad de Murcia Departamento Matemáticas Funciones de Una Variable Real II: Cálculo de Primitivas B. Cascales, J. M. Mira y L. Oncina Universidad de Murcia http://webs.um.es/beca Grado en Matemáticas
Más detallesEXAMEN DE SEPTIEMBRE, MATEMÁTICAS I. 1. (2.5 ptos) Sean f y g funciones con derivadas primeras y segundas continuas de las que se sabe que
EXAMEN DE SEPTIEMBRE, MATEMÁTICAS I DEBE CONTESTAR ÚNICAMENTE A 4 DE LOS SIGUIENTES 5 EJERCICIOS 1. (.5 ptos) Sean f y g funciones con derivadas primeras y segundas continuas de las que se sabe que Sea
Más detallesREPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se
Más detallesDERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES
CAPITULO IV CALCULO II 4.1 DEFINICIÓN DERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES En cálculo una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables con las otras
Más detallesIntegración por partes VIII INTEGRACIÓN POR PARTES. Supóngase que se tiene la función producto y = uv. Si se deriva con respecto de x se obtiene:
VIII INTEGRACIÓN POR PARTES Área Supóngase que se tiene la función producto y = uv. Si se deriva con respecto de x se obtiene: dy d = uv dx dx dy dv du = u + v dx dx dx Multiplicando toda la igualdad por
Más detallesAN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. POLINOMIOS DE TAYLOR. DEFINICI ON. Vamos a considerar una funcion polinomica. P (0) = a 0. P 00 (0) = 2a 2.
AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. POLINOMIOS DE TAYLOR. DEFINICI ON. Vamos a considerar una funcion polinomica Observemos que P (x) = a n x n + a n 1x n 1 + + a 1 x + a 0 P (0) = a 0 P 0 (0) = a 1 P 00 (0)
Más detallesFunciones reales. Números complejos
Funciones reales. Números complejos Funciones reales 1. Encuentra todos los números reales x que verifican: a) (x 1)(x 3) > 1 b) x + 1 > 1 1 x c) x 1 + x + 1 < 1 d) 5 < x 2 14x + 5 < 26 2. Si la gráfica
Más detallessobre un intervalo si para todo de se tiene que. Teorema 1 Sean y dos primitivas de la función en. Entonces,
Integral indefinida Primitiva e integral indefinida. Cálculo de primitivas: métodos de integración. Integración por cambio de variable e integración por partes. Integración de funciones racionales e irracionales.
Más detallesLas funciones. 1. Constantes y variables.- Constante es una letra o símbolo que representa un número fijo y determinado.
Las funciones 1. Constantes y variables.- Constante es una letra o símbolo que representa un número fijo y determinado. Variable es una letra o símbolo que representa cada uno de los números de un conjunto.
Más detalles2 Métodos de solución de ED de primer orden
CAPÍTULO Métodos de solución de ED de primer orden.4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma a 0.x/y 0 C a.x/y D f.x/y r ; con r 0; : se denomina
Más detallesDerivadas 6 ACTIVIDADES. 1. Página 140. Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página Página Página
Derivadas 6 ACTIVIDADES 1. Página 140 Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página 140 3. Página 141 4. Página 141 5. Página 142 211 Derivadas 6. Página 142 Las derivadas laterales no existen, por
Más detalles2.1.5 Teoremas sobre derivadas
si x < 0. f(x) = x si x 0 x o = 0 Teoremas sobre derivadas 9 2. f(x) = x 3, x o = 3 a. Determine si f es continua en x o. b. Halle f +(x o ) y f (x o ). c. Determine si f es derivable en x o. d. Haga la
Más detallesINTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN EJERCICIOS RESUELTOS Calcula una función real f : que cumple las condiciones siguientes: f (0) = 5, f (0) =, f (0) = 0 y f () = + Como f () = +, integremos esta
Más detalles1. Lección 9 - Continuidad y Derivabilidad
1. Lección 9 - Continuidad y Derivabilidad 1.1. Continuidad El concepto de continuación es el mismo que el visto en el primer cuatrimestre pero generalizado al caso de los campos escalares. Así, sea la
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A Ejercicio 1.- Sea f : R R definida por f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c. a) [1 75 puntos] Halla a,b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1 2 y que la recta tangente en
Más detallesIntroducción a Ecuaciones Diferenciales
Introducción a Ecuaciones Diferenciales Temas Ecuaciones diferenciales que se resuelven directamente aplicando integración. Problemas con condiciones iniciales y soluciones particulares. Problemas aplicados.
Más detallesContinuidad de funciones
Apuntes Tema 3 Continuidad de funciones 3.1 Continuidad de funciones Def.: Dada una función f(x), diremos que es continua en x = a, si cumple la siguiente condición: En caso de que no cumpla esta condición,
Más detalles3. Funciones de varias variables
Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 17 3. Funciones de varias variables Función real de varias variables reales Sea f una función cuyo dominio es un subconjunto D de R n
Más detalles