1) Una caja contiene 3 bolitas rojas y 4 amarillas se extraen dos, una después de la otra y sin reposición. X= No de bolitas rojas extraídas

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Paula Velázquez Palma
hace 6 años
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1 ENCUENTRO # 47 TEMA: Distribución binomial CONTENIDOS: 1. Definición. Distribución binomial 2. Ejercicios propuestos 3. Ejercicios de Entrenamiento PAES Ejercicios Reto 1) Una caja contiene 3 bolitas rojas y 4 amarillas se extraen dos, una después de la otra y sin reposición. X= No de bolitas rojas extraídas 2) Se colocan 5 ratas blancas y 5 negras en el centro de un laberinto, por cuya salida no pueden salir dos ratas juntas, sino que una después de la otra. Solamente salen dos ratas y las demás se quedan dentro del laberinto. X= No de blancas que salieron Definición 1. La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos si la variable es una variable aleatoria discreta, es decir, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4,..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Existen algunos fenómenos o experimentos que presentan las mismas características, por lo que sus probabilidades se pueden calcular de la misma manera y simplemente haciendo uso de una formula. En las empresas tenemos muchas situaciones donde se espera que ocurra o no un evento específico. Éste, sólo puede ser de éxito o fracaso. Por ejemplo, en la producción de una pieza, ésta puede salir buena o defectuosa. Para situaciones como éstas utilizan la distribución binomial cuyas características principales son: 1) El fenómeno aleatorio se repite varias veces. 2) Cada una de las repeticiones es independiente de las otras. 3) Se está interesado solamente en dos posibles resultados. Todos los experimentos que cumplan las tres características anteriores son experimentos binomiales y las probabilidades asociadas a ellos se calculan de la misma manera, por medio de una formula, llamada binomial. Si el experimento se repite n veces. Y queremos encontrar la probabilidad de que en m de estas veces ocurra un suceso A, entonces se hace uso de la formula siguiente: [ ][ ] Portal de Matemática 1

2 Donde n es el número de veces que se repite el experimento. m es el número de veces que debe ocurrir A. P(A) es la probabilidad que ocurra A al efectuar el experimento una sola vez. P(A c ) es la probabilidad que no ocurra A al efectuar el experimento una sola vez. Ejemplo 1.1. La Organización Mundial de la Salud (OMS) informó en el año 2011 que de cada 5 salvadoreños, uno padece algún tipo de desnutrición. Si en una plaza pública se encuentran sentadas 29 personas, encontremos la probabilidad que 7 de ellas padezcan desnutrición. La probabilidad que una sola persona padezca de desnutrición es 1/5 = 0.2; mientras que la probabilidad que no padezca es 4/5= 0.8 Solución. Se trata de un experimento binomial porque: 1) El experimento se repite 29 veces 2) La desnutrición de una persona es independiente de las otras. 3) Se está interesado solamente en dos posibles resultados: La persona sufre desnutrición o No la sufre. Se tiene entonces lo siguiente: Ejemplo 1.2. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura: Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leído la novela 2 personas? n = 4; m = 2; P(A) = 0.8; P(A c ) = 0.2 Y cómo máximo 2? Portal de Matemática 2

3 Ejemplo 1.3. Un transistor específico colocado en un equipo de sonido tiene una probabilidad igual a 0.7 de funcionar más de tres mil horas. Si el equipo de sonido tiene 15 de dichos transistores. Cuál es la probabilidad que 2 estén funcionando después de tres mil horas de uso? Solución. En este caso. n = 15; m = 2 ; P(Un transistor funcione) = P(A) = 0.7; P(Un transistor no funcione) = P(A) = 0.3. Por lo tanto P(Que dos transistores funcionen) Ejemplo 1.4. Un 5% de las piezas producidas en un proceso de fabricación resultan defectuosas. Halla la probabilidad de que en una muestra de 20 piezas elegidas al azar haya exactamente dos piezas defectuosas. Solución. X = número de piezas defectuosas n = 20 m = 2 P(Obtener piezas defectuosas) = P(A) = 0.05 P(Obtener piezas no defectuosas) = P(A c ) = 0.95 Por lo tanto Portal de Matemática 3

4 Ejercicios Propuestos 1. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: a) Las cinco personas b) Al menos tres personas c) Exactamente dos personas 2. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos? 3. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión? 4. En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan puesto el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección a) Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones b) Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones 5. La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es p = Se envió un cargamento de artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica 6. En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviación típica. Portal de Matemática 4

5 7. Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos? a) Ningún paciente tenga efectos secundarios b) Al menos dos tengan efectos secundarios c) Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar? 8. Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces Ejercicios Entrenamiento PAES 1. El historial de un jugador es acertar el 80% de sus tiros libres. Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la probabilidad que en los próximos cinco lanzamientos tres sean efectivos? (PAES 2014) A. B. C. D. 2. Daniel participa de un juego que consiste en lanzar una moneda 4 veces. El ganará si obtiene 3 caras, Cuál es la probabilidad que tiene de ganar? (PAES 2014) A. 1/4 B. 3/4 C. 3/16 D. 3/8 Portal de Matemática 5

6 3. En un Complejo Educativo, el 65% de la población es del nivel de educación básica. En una mañana de clases, cinco estudiantes se encontraban en la biblioteca, cuál es la expresión que representa la probabilidad de que dos de los estudiantes sean de bachillerato? (PAES 2015) A. B. C. D. 4. En la clínica del Dr. Morales se sabe que de las pruebas de embarazo 7 de cada 10 son negativas y 3 de cada 10 son positivas. Si se han recibido 10 muestras para analizar, cuál es la probabilidad de que 2 de las pruebas resulten positivas? (PAES 2015) A B C D Portal de Matemática 6

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