MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

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1 Funciones 008 EJERCICIO 1A f definida mediante 1 f ( ) 1 a) (05 puntos) Determine los puntos de corte con los ejes b) (1 punto) Estudie su curvatura c) (1 punto) Determine sus asíntotas d) (05 puntos) Represente la función Solución: a) (0, -1) y (-1, 0) = 1/, asíntota horizontal y = 1/ d) EJERCICIO 1B b) (-,1/ ) f es cóncava, (1/, + ) f es convea c) Asíntota vertical a) (15 puntos) La gráfica de la derivada de una función f es la recta que pasa por los puntos (0, -) y (4, 0) Estudie la monotonía de la función f b) (15 puntos) Calcule la derivada de las guientes funciones: y 1 L( ) g( ) 1 ; e h( ) Solución: a) (-, 4) f es decreciente, (4, + ) f es creciente, en = 4 f tiene un mínimo relativo b) g ' ( ) 9 1 L 1 h' ( ) EJERCICIO A (Septiembre) e a) (15 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función = -1 f ( ) en el punto de abscisa b) (15 puntos) Halle los valores de a y b para que la función (1, ) Solución: a) y = - 6 b) a = 1, b = 1 b g( ) a tenga un etremo relativo en el punto EJERCICIO B (Septiembre) Dada la función f ( ) 4, determine: a) (15 puntos) La monotonía y la curvatura de f b) (05 puntos) Los puntos donde la función alcanza sus etremos relativos c) (1 punto) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = -1 1

2 Solución: a) (-, 0) (4, + ) f es creciente, (0, 4) f es decreciente; (-, ) f es cóncava, (, + ) f es convea b) Máimo relativo en (0, 4) y mínimo relativo en (4, 0) c) y = EJERCICIO A (Junio) definida de la forma f ( ) 1 10 a) (05 puntos) Halle el dominio de f b) (15 puntos) Estudie la derivabilidad de f en = c) (15 puntos) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 0 Solución: a) R - {1} b) La función no es continua en = y en consecuencia no es derivable en dicho punto Es derivable en R - {1, } c) y = - EJERCICIO B (Junio) f definida mediante a b f ( ) L() 1 1 a) (15 puntos) Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en = -1 b) (15 puntos) Para a = -1 y b = 1, estudie la derivabilidad de f en = -1 y en = 1 Solución: a) a =, b = - derivable b) En = -1 es continua y derivable, en = 1 no es continua y en consecuencia no EJERCICIO 4A El beneficio de una empresa, en miles de euros, viene dado por la función B( ) , 0 donde representa el gasto en publicidad, en miles de euros a) (075 puntos) Calcule el gasto a partir del cual la empresa no obtiene beneficios b) (075 puntos) Calcule el valor de que produce máimo beneficio Cuánto es ese beneficio? c) (075 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento del beneficio de la empresa d) (075 puntos) Represente gráficamente la función B Solución: Gasto superior a euros b) El máimo beneficio se obtiene cuando se hace un gasto en publicidad de 0000 euros, y el beneficio obtenido es de euros es decreciente d) y c) [0, 0) B() es creciente, (0, + ) B()

3 EJERCICIO 4B Calcule las derivadas de las guientes funciones: a) (075 puntos) f ( ) 7 ( 1) e b) (075 puntos) g( ) L( ) 5 c) (075 puntos) h( ) ( 1) 6 6 d) (075 puntos) 1 i ( ) Solución: a) f' ( ) 7 1 ( 7 7 ) e b) g' ( ) c) h ' ( ) L L d) EJERCICIO 5A i' ( ) ( 6 4 ) f ( ) 6 a) (1 punto) Determine sus puntos de corte con los ejes b) (1 punto) Calcule sus etremos relativos y su punto de infleión c) (1 punto) Represente gráficamente la función Solución: a) (0, 0) y (6, 0) b) Máimo relativo (0, 0), mínimo (4, -) y punto de infleión (, - y 16) c) EJERCICIO 5B 4 1 f ( ) a b 1 a) ( puntos) Calcule a y b, sabiendo que f () = 7 y que f es continua en = 1 b) (1 punto) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 1 Solución: a) a =, b = b) y = - + EJERCICIO 6A

4 definida de la forma f ( ) e a) (1 punto) Es f continua en = 0? Es continua en su dominio? b) (1 punto) Es f derivable en = 0? Es derivable en su dominio? c) (1 punto) Estudie la monotonía de f Solución: a) Es continua en = 0 y en todo su dominio (R) c) Es creciente en todo su dominio b) Es derivable en = 0 y en todo su dominio (R) EJERCICIO 6B a) (15 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( ) en el punto de abscisa 1 b) (15 puntos) g( ) a b Calcule a y b sabiendo que su gráfica presenta un punto de infleión en el punto (, 5) Solución: y = -+4 b) a = -6, b = 1 Funciones 009 EJERCICIO 1A a) (1,5 puntos) Halle las funciones derivadas de las funciones definidas por las guientes epreones: ln() ; g() ; h() e f ( ) b) (1,5 puntos) Determine el dominio y las asíntotas de la función m ( ) 4 Solución: a) ' ( ) 1 f, g' ( ) vertical: = 4, asíntota horizontal: y = EJERCICIO 1B 1 ln( ), h' ( ) 1 e b) Dom(m) = R-{4}, antota a) (1,5 puntos) 1 f ( ) Estudie su continuidad y derivabilidad b) (1,5 puntos) Se conderan las funciones: g( ) 1, 1 h( ) Halle sus funciones derivadas Solución: a) Continua en R, derivable en R {0} b) g' () ln( ), h' ( ) 4

5 EJERCICIO A (Septiembre) La función derivada de una función f viene dada por f `' ( ) 1 9 a) (1,5 puntos) Obtenga los intervalos de monotonía de la función f y los valores de en los que dicha función alcanza sus etremos locales b) (0,75 puntos) Determine los intervalos de concavidad y conveidad de la función f c) (0,75 puntos) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, 5), calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto Solución: a) (-, 1) (, + ) f es creciente, (1, ) f es decreciente, en = 1 máimo y en = mínimo b) (-, ) f es cóncava, (, + ) f es convea, en = punto de infleión c) y = EJERCICIO B (Septiembre) f ( ) a b a) (1,5 puntos) Determine el valor de los parámetros a y b sabiendo que la función f tiene un máimo en = 1 y que f(1) = b) (1,5 puntos) Para a = b = 1, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa X = 0 Solución: a = -, b = 4 b) y = EJERCICIO A (Junio) f ( ) a) ( puntos) Analice la continuidad y derivabilidad de la función en su dominio b) (0,5 puntos) Determine la asíntota horizontal, la tiene c) (0,5 puntos) Determine la asíntota vertical la tiene Solución: a) Es continua y derivable en su dominio (R) b) Horizontal: y = 1 para + c) Vertical no tiene EJERCICIO B (Junio) Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función: C(t) 0t 4t 5, 0 t 5 (t = años trascurridos desde el año 000) a) (1 punto) En qué año se alcanzará un máimo en el nivel de contaminación? b) (1 punto) En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero? 5

6 c) (1 punto) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función C(t) en t = 8 Interprete el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento Solución: a) En el año 010 b) En el año 05 c) y = EJERCICIO 4A Un almacenista de frutas ha estimado que el beneficio que le produce cada kilogramo (KG) de fresas depende del precio de venta de acuerdo con la función B ( ) 4 Siendo B() el beneficio por kg, ambos epresados en euros a) (15 puntos) Entre qué precios se producen beneficios para el almacenista? b) (15 puntos) Qué precio maimiza los beneficios? c) (0,5 puntos) Si tiene en el almacén kg de fresas, cuál será el beneficio total máimo que podrá obtener? Solución: a) Se producen beneficios el precio de venta está entre 1 y euros b) Máimo beneficio cuando el precio de venta es de euros el kg c) 0000 euros EJERCICIO 4B f ( ) a) ( puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función f b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa = Solución: a) Continua en R, derivable en R {1} b) y = -1 EJERCICIO 5A f ( ) 1 a) (1 punto) Calcule los puntos de corte de la gráfica con los ejes, su monotonía y etremos relativos, los tuviese b) (1 punto) Determine su curvatura y punto de infleión c) (1 punto) Halle los puntos de la gráfica en los que la recta tangente tiene de pendiente Solución: a) Cortes ejes: abscisas (1, 0), ordenadas (0, 1) La función es creciente en todo su dominio (R) Punto de infleión (0, -1) b) (-, 0) f es cóncava, (0, + ) f es convea, en (0, -1) punto de infleión (-1, -) c) (1, 0) y EJERCICIO 5B de variable real f ( )

7 a) (1 punto) Represente gráficamente la función b) (1 punto) Estudie la continuidad de la función c) (1 punto) Estudie la derivabilidad de la función Solución: a) b) Continua en R c) Derivable en R {1} EJERCICIO 6A 7 y f ( ) 1 a) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto (0, 1) b) (1 punto) Estudie la monotonía de f c) (1 punto) Halle las asíntotas, los puntos de corte con los ejes y represente gráficamente la función Solución: a) y = + 1 b) Creciente en todo su dominio (R {1/ }) c) Cortes ejes: abscisas (1, 0), ordenadas (0, 1) Asíntota vertical: = 1/ Asíntota horizontal: Y = 1/ y EJERCICIO 6B f : R R definida mediante f ( ) e a) (1 punto) Es f continua en = 0? Es continua en su dominio? b) (1 punto) Es f derivable en = 0? Es derivable en su dominio? c) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 1 Solución: a) Continua en = 0 y en todo su dominio (R) b) Derivable en = 0 y en todo su dominio (R) c) y = -1 Funciones 010 EJERCICIO 1a En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inverón en publicidad, y han llegado a la concluón de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado por la epreón B ( ) , endo la inverón en publicidad, en miles de euros, con en el intervalo 0, 10 a) (1 punto) Para qué valores de la inverón la empresa tiene pérdidas? b) (1 punto) Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio poble? 7

8 c) (05 puntos) Cuál es el beneficio no se invierte nada en publicidad? Hay algún otro valor de la inverón para el cual se obtiene el mismo beneficio? Solución: a) Entre 000 y 6000 b) c) B(0) = 6000 ; = 8000 EJERCICIO 1b 1 f ( ) a) (15 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función b) (1 punto) Represéntela gráficamente Solución: a) No es continua ni derivable en = 0, en los demás puntos es continua y derivable b) f()=/ f()=^-4+5 EJERCICIO a Sean las funciones f ( ) h ( ) a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f en = 0 b) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función h en = 0 c) (05 puntos) Si las dos funciones anteriores representan el perfil de un arco puntiagudo de una catedral y el de un arco redondeado (n picos) de un túnel, indique, razonadamente, la que corresponde a la catedral y la que corresponde al túnel Solución: a) Es continua y derivable en = 0 b) Es continua pero no derivable en = 0 c) f() corresponde al arco del túnel y h() corresponde al arco de la catedral EJERCICIO b El gerente de una empresa sabe que los beneficios de la misma, f ( ), dependen de la inverón,, según la función f ( ) ( es la cantidad invertida, en millones de euros) a) (075 puntos) Determine los valores de la inverón para los que la función beneficio es no negativa b) (1 punto) Halle el valor de la inverón para el cual el beneficio es máimo A cuánto asciende éste? c) (075 puntos) Entre qué valores ha de estar comprendida la inverón para que el beneficio sea creciente, sabiendo que éste es no negativo? Solución: a) Entre 1 millón y 10 millones el beneficio es no negativo b) Beneficio máimo para una inverón de 5,5 millones de euros y el beneficio es 05 millones de euros c) Entre 1 millón y 55 millones de inverón EJERCICIO a Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes La epreón que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva abierto el consultorio es N(t ) 4t t a) (1 punto) A qué hora el número medio de pacientes es máimo? Cuál es ese máimo? b) (1 punto) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, a qué hora cerrará? c) (05 puntos) Represente gráficamente N(t), con N(t) 0 Solución: a) A las ete de la tarde 4 pacientes de media b) A las nueve de la noche 8

9 EJERCICIO b a 1 f ( ) a a) (05 puntos) Calcule el valor de a para que f sea continua en = 1 b) ( puntos) Para a = 1, represente su gráfica y, a la vista de ella, indique su monotonía y las coordenadas de sus etremos locales Solución: a) a = 1 b) Es creciente en Es decreciente en (-1, ) Máimo en (-1, 4) mínimo en (, -5) y EJERCICIO 4a definida por f / ) a) (175 puntos) Estudie su continuidad y derivabilidad b) (075 puntos) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa = Solución: a) Es continua en todo R Es derivable en R {4} b) y = -4 EJERCICIO 4b Un depóto lleno de agua se vacía por un sumidero que tiene en la parte baja El volumen de agua, en m, que hay en cada momento en el depóto, desde que empieza a vaciarse, viene dado por la función t es el tiempo en minutos a) (05 puntos) Cuál es la capacidad del depóto? b) (05 puntos) Cuánto tiempo tarda en vaciarse? c) (08 puntos) Represente gráficamente la función V d) (07 puntos) Calcule la derivada de esa función en t = 8 e interprete su gnificado V( t ) t 8 t, donde Solución: a) 8 m 1 b) 16 minutos d) V ( 8 ) es la pendiente de la recta tangente en t = 8 c) 9

10 y EJERCICIO 5a f ( ) 1 Calcule: a) (1 punto) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento b) (1 punto) Las coordenadas de sus etremos relativos c) (05 puntos) El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4 Solución: a) Creciente en el intervalo (0, 4) Decreciente en, 4, relativo (4, /) c) (, 16/) EJERCICIO 5b Calcule las derivadas de las guientes funciones: a) (08 puntos) e f ( ) 1 g( ) ln 1 b) (08 puntos) b) Mínimo relativo (0, 0) Máimo c) (09 puntos) h( ) e Solución; a) f ( ) b) g ( ) c) h ( ) 5 ln 1 1 EJERCICIO 6a f ( ) a b a) (15 puntos) Determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, ) y alcanza un etremo local en el punto de abscisa = - b) (15 puntos) Tomando a = 8 y b = -10 deduzca la curvatura de su gráfica, el valor mínimo que alcanza la función y los valores donde la función se anula Solución: a) a = 8 b = -7 b) Convea, -18 en = -, se anula en = -5 y = 1 EJERCICIO 6b a) (15 puntos) Calcule las derivadas de las guientes funciones: 5 1 ; g( ) ln1 f ( ) 1 b) (1 punto) Halle las asíntotas y los puntos de corte con los ejes de h ( ) 0 5 Solución: a) f ( ) g ( ) 6 ln( 1 ) b) Asíntota vertical 9 1 =, asíntota horizontal y = (0, -1/) (-1/, 0) Funciones 011 EJERCICIO 1A Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de gasolina, c(), epresado en litros, viene dado por la función 10

11 c() , endo la velocidad en km/h y a) (05 puntos) Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h b) (1 punto) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función c() c) (1 punto) A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máimo consumo y cuáles son éstos? Solución: a) c( 50 ) = 5,65 litros = c ( 150 ) b) c() es decreciente en el intervalo (5, 100) y decreciente en el intervalo (100, 175) c) A 100 km/h se obtiene el consumo mínimo ( 5 litros) El consumo máimo es 6,4065 litros a las velocidades de 5 km/h y 175 km/h EJERCICIO 1B Se condera la función dada por a) (15 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f b) (1 punto) Halle las ecuaciones de las asíntotas de esta función Solución: a) f() es continua y derivable en R {-, 0} = 0 b) Asíntota vertical: = - Asíntota horizontal: y EJERCICIO A Un banco lanza al mercado un plan de inverón cuya rentabilidad R(), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad,, que se invierte, también en miles de euros, por la guiente epreón: R() , con 10 a) (05 puntos) Calcule la rentabilidad para una inverón de euros b) (15 puntos) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máima rentabilidad c) (05 puntos) Qué rentabilidad máima se obtendría? Solución: a) 500 euros b) Debe invertir euros c) el rendimiento máimo es 4500 euros EJERCICIO B a) (075 puntos) Calcule el valor de a para que f sea continua en = 1 b) (175 puntos) Para a = estudie la continuidad y la derivabilidad de f Solución: a) a = b) Es continua en todo R y derivable también en todo R EJERCICIO A El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año, viene dado por la función B(t) epresada a continuación 11

12 , t es el tiempo transcurrido en meses a) (1 punto) Estudie la derivabilidad de la función al cabo de 6 meses b) (05 puntos) Cuándo fue mínimo el beneficio? Cuál fue dicho beneficio? c) (1 punto) Represente gráficamente la función B(t) Cuándo fue máimo el beneficio? A cuánto ascendió? Solución: a) Para t = 6 la función es continua pero no es derivable b) Cuando el tiempo transcurrido es 4 meses y el beneficio fue 000 euros c) EJERCICIO B a) (15 puntos) La gráfica de la función derivada, f, de una función f es una parábola que corta al eje OX en los puntos (-1,0) y (,0), y tiene su vértice en (1,-4) Estudie, a partir de ella, la monotonía de la función f e indique la abscisa de cada etremo relativo b) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g() e en el punto de abscisa = 0 Solución: a) es creciente en mínimo b) y = -6 y decreciente en (-1, ) La abscisa del máimo es -1 y la del EJERCICIO 4A a) (1 punto) Calcule la función derivada de b) (15 puntos) Se sabe que la epreón que representa el número medio de clientes N(t) que acude un día a una cadena de almacenes, en función del número de horas t que llevan abiertos, es N(t) = a t + b t, 0 t 8, a,b ε R Sabiendo que el máimo de clientes que han acudido ese día ha do de 160 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b Solución: a) b) a = -10 y b = 80 1

13 EJERCICIO 4B Las funciones I (t) t 51t y G(t) t 96 con 0 t 18 representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, t, transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años a) (05 puntos) Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos? b) (1 punto) Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de t y represéntela gráficamente c) (1 punto) Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueron máimos? Calcule el valor de ese beneficio Solución: a) t = t = 16 b) c) 9 años y el beneficio es 147 mil euros EJERCICIO 5A a) (15 puntos) Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes, y las asíntotas de la función: b) (15 puntos) Halle los intervalos de monotonía, los etremos relativos, los intervalos de curvatura y los puntos de infleión de la función g() Solución: a) Dominio = Eje OX y OY (0, 0) Asíntota vertical Asíntota horizontal y = b) Es creciente en todo R En cóncava en (-, -1) y convea en (-1, + ) Tiene un punto de infleión en (-1, -1) EJERCICIO 5B a) (15 puntos) Halle el valor de a para que dicha función sea continua y estudie la derivabilidad de f para ese valor de a b) (1 punto) Para a = 1, eiste alguna asíntota vertical de esa función? Y horizontal? Razone las respuestas y calcule, en caso afirmativo, dichas asíntotas Solución: a) a = 4 La función es derivable en todo R b) No tiene asíntota vertical porque el denominador se anula en = 0 que no es mayor que Tiene asíntota horizontal y = 0 EJERCICIO 6A a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f 1

14 b) (05 puntos) Determine los etremos locales de f c) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa = Solución: a) Es continua en todo R y derivable en R { 4 } b) Tiene un mínimo en (4, 1) c) La ecuación es; EJERCICIO 6B (5 puntos) Calcule las derivadas de las guientes funciones: Solución: EJERCICIO 1A Funciones 01 De la función f se sabe que su función derivada es f ( ) 8 5 a) (15 puntos) Estudie la monotonía y la curvatura de f b) (1 punto) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (1, 1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto Solución: a) f es creciente en y decreciente en F es cóncava en y convea en b) y = 1 EJERCICIO 1B a) (15 puntos) Dada la función f ( ) a b, determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, ) y alcanza un etremo en b) (15 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función g ( ) 1, en el punto de abscisa 1 Solución: a) a = 8 b = -7 b) y = 4 EJERCICIO A Se condera la función f ( ) 1 a) (08 puntos) Determine la monotonía y curvatura de la función b) (08 puntos) Calcule sus asíntotas c) (09 puntos) Represéntela gráficamente Solución: a) f() es empre creciente La función es convea en el intervalo (-,-) y cóncava en el intervalo (-, + ) b) Asíntota vertical: = - Asíntota horizontal: y = 1 c) 14

15 EJERCICIO B Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses: t 0 t 5 P ( t) 100t 50 t 5 t 5 a) (05 puntos) Estudie la continuidad de la función P b) (075 puntos) Estudie la derivabilidad de P en t =5 c) (075 puntos) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas d) (05 puntos) En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50? Solución: a) Es continua en [0, + ) b) No es derivable en t = 5 c) La función es empre creciente y está por debajo del 100% EJERCICIO A (SEPTIEMBRE) (5 puntos) Determine los valores que han de tomar a y b para que la función Solución: a = 6 b = 6 EJERCICIO B (SEPTIEMBRE) a 7 1 f ( ) sea derivable en R 4 b 1 En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina La superficie afectada, en km, viene dada por 11t 0 la función f ( t), endo t el tiempo transcurrido desde que empezamos a observarla t a) (05 puntos) Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla? b) (15 puntos) Estudie la mancha crece o decrece con el tiempo c) (075 puntos) Tiene algún límite la etenón de la superficie de la mancha? Solución: a) 10 km b) Es empre creciente c) La etenón de la mancha tiene un límite de 11 km EJERCICIO 4ª (JUNIO) a) (15 puntos) a f ( ) b 4 Determine los valores de a y b, para que la función f sea derivable en = b) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función abscisa = 0 Solución: a) a = b = -7 b) EJERCICIO 4B (JUNIO) y g ( ) en el punto de 1 15

16 Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próimos 10 años viene dado por la at t 0 t 6 función B ( t), endo t el tiempo transcurrido en años t 6 t 10 a) (075 puntos) Calcule el valor del parámetro a para que B sea una función continua b) (1 punto) Para a = 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá c) (075 puntos) Para a = 8 indique en qué momento se obtiene el máimo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor Solución: a) a = 8 b) f()=8-^ f()= c) En el año 4 se obtiene un beneficio de 16 millones de euros EJERCICIO 5A a a) (075 puntos) Para la función f definida de la forma f ( ), determine, razonadamente, los valores de a b y b sabiendo que tiene como asíntota vertical la recta de ecuación y como asíntota horizontal la de ecuación y b) (175 puntos) Para la función g, definida de la forma g ( ), determine: su dominio, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y etremos relativos Con esos datos haga un esbozo de su gráfica Solución: a) a = b = b) dom (g) =R Es creciente en y es decreciente en EJERCICIO 5B a f ( ) b a) (15 puntos) Calcule a y b para que la función sea continua en todo su dominio y presente un mínimo en = 1 b) (1 punto) Represente gráficamente la función para a = 15 y b = 05 Solución: a) b) f()=15^- f()=/-05 EJERCICIO 6A Sean dos funciones, f y g, tales que las epreones de sus funciones derivadas son, respectivamente, f ( ) y g ( ) a) (1 punto) Estudie la monotonía de las funciones f y g 16

17 b) (075 puntos) De las dos funciones f y g, indique, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el que su derivada es nula c) (075 puntos) Cuál de las funciones f y g es una función polinómica de primer grado? Por qué? Solución: a) fes decreciente en el intervalo y creciente en el intervalo La función g es creciente en todo su dominio b) La derivada de la función f en = - c) g porque su función derivada es constante EJERCICIO 6B Calcule las derivadas de las guientes funciones: a) (08 puntos) f ( ) e ln( 5) b) (08 puntos) g( ) 1 6 c) (09 puntos) h( ) ( 5 1) ln Solución: a) b) c) 17

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