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- María Mercedes Escobar Lara
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1 Tabla d contnido Página Ecuacions difrncials no hoogénas Solución d una cuación difrncial no hoogéna con coficints constants Método d variación d arátros Rsun Bibliografía rcondada 4 No 4 Autovaluación forativa 5
2 Coright 999 FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN Facultad d Ingniría d Sistas. Sista d Educación Abirta a Distancia. Santa F d Bogotá, D.C. Prohibida la rroducción total o arcial sin autorización or scrito dl Prsidnt d la Fundación. La rdacción d st fascículo stuvo a cargo d JAIME PRECIADO LOPEZ Sd Santa F d Bogotá, D.C. Disño instruccional orintación a cargo d MARIANA BAQUERO DE PARRA Disño gráfico diagraación a cargo d SANTIAGO BECERRA SAENZ ORLANDO DIAZ CARDENAS Irso n: GRAFICAS SAN MARTIN Call 6A No Tls.: Santa F d Bogotá, D.C.
3 Ecuacions difrncials no hoogénas En st fascículo trabajaros n la búsquda d solución a cuacions difrncials linals no hoogénas con coficints constants; laros dos étodos: l étodo d coficints indtrinados l d variación d arátros; rconocros la solución gnral d una cuación d st tio coo la sua d las solucions d la cuación hoogéna asociada la articular. Al trinar l studio dl rsnt fascículo, l studiant: Halla corrctant la solución d una cuación difrncial hoogéna asociada. Ela corrctant l étodo d coficints indtrinado ara solucionar cuacions difrncials no hoogénas. Ela corrctant l étodo d variación d arátros ara solucionar cuacions difrncials no hoogénas. Soluciona corrctant cuacions no hoogénas con coficints constants. Solución d una cuación difrncial no hoogéna con coficints constants Vaos a buscar la solución d cuacions linals u hoogénas dl tio a n n d a n d n d d a d a d n n 0 () Podos rsuir l rocdiinto ara rsolvr una cuación dl tio () n trs asos:
4 . Hacos g () 0 d odo qu () s convirt n una cuación hoogéna con coficints constants la rsolvos; a la solución ncontrada s l acostubra llaar solución hoogéna asociada s nota or h.. Buscaos una solución articular d la cuación no hoogéna (); a dicha solución s l acostubra llaar solución articular.. Suaos los rsultados d los asos ara ncontrar la solución gnral, s dcir, h Al studiar stos trs asos, dtalladant, vos qu l aso No. no rsnta dificultad orqu n l fascículo antrior rsolvios st tio d cuacions; l aso No. hac rfrncia tan solo a la sua d las solucions ncontradas, ro l aso No. s nuvo ara llvarlo a cabo odos utilizar l étodo conocido coo étodo d los coficints indtrinados. Para hallar la solución articular, considros la cuación: a a g( ) Podos ncontrar ara sta cuación con bas n nsaos d acurdo con la rsión g (), así: a. Si g( ) d d d d0 odos nsaar la solución articular C C C C0 b. Si g ( ) b odos nsaar coo solución articular C 4
5 c. Si g( ) bcos Csn odos robar la solución articular Bcos Csn d. Si alguno d los térinos d g () s una solución d la cuación hoogéna, ultilicaos or nustra solución. A continuación vaos a rsolvr algunos jlos ara scificar l étodo. Ejlo Rsolvaos la cuación 9 54 (). Sigaos los trs asos dscritos n la todología Paso No. : rsolvos la hoogéna asociada a la cuación dada 9 0 la cuación auiliar s o 9 0 ( )( ) 0 así tnos dos raícs rals distintas, or tanto la solución s n C C Paso No. : ncontros la solución articular g ; coo () ara nustra cuación () 54 g s un olinoio d grado cro, robaos una solución articular con un olinoio tabién d grado cro k ; rlazaos sus drivadas n la cuación dada sabindo qu: 5
6 k 0 0 así nustra cuación 9 54 d dond k 6, or tanto Paso No. : hacos s convirt n 0 9k 54 h C 6 obtnos la solución gnral: C 6 Ejlo Rsolvaos Paso No la cuación auiliar s o así tnos qu s una raíz ral rtida, or tanto Paso No. h C C Coo g ( ) 6 robaos con una solución A B Si obtnos las drivadas d ntoncs 6
7 A 0 Si rlazaos or n la cuación dada obtnos 0 4A 4( A B) 6 qu odos scribir coo 4A ( 4A 4B) 6 si igualaos los coficints tnos rsolvindo or tanto Paso No. 4A 4A 4B 6 A B n Ejlo Rsolvaos C C 4 Paso No. 0 7
8 la cuación auiliar s o 0 0 así tnos raícs rals distintas, or tanto Paso No. Coo g n C 4 ( ) nsaaos C C las drivadas son 4C 6C si rlazaos sus drivadas n la cuación dada tnos: o 6C 4C C 0 Lo cual s un rsultado incorrcto qu dbíaos srar, a qu la solución qu staos nsaando s un térino d la solución d la cuación hoogéna; ara solucionar l robla dbos ultilicar or nustra solución rousta, coo s dijo n l nural d); así dbos robar con: C Vaos: C 8C 4C 6C 8
9 rlazando n la cuación 8C 6C C 4C C quivalnt a 7C así C 7 or tanto 7 Paso No. h C C 7 Ejlo Rsolvaos sn Paso No. Dbos rsolvr la cuación hoogéna la cuación auiliar s 0 0 d dond las raícs son coljas corrsondn a i lando la idntidad d Eulr, odos scribir la solución hoogéna asociada coo 9
10 Paso No. Coo n C cos C g( ) sn odos robar con sn Asn Bcos Csn D cos la rira sgunda drivadas d son A Dcos C Bsn C cos Dsn A Dsn C Bcos Csn D cos si rlazaos n la cuación sn tnos: B C Dsn A D C cos Dsn C cos sn igualando coficints tnos: rsolvindo tnos: así rlazando n B C D 0 A D C 0 D C 0 A ;B ; C 0; D obtnos: sn cos cos Paso No. h 0
11 C cos C sn sn cos cos. En los siguints roblas usa l étodo d coficints indtrinados ara rsolvr las cuacions difrncials sn 6. 4 cos 8. Método d variación d arátros Para ncontrar la solución d una cuación difrncial, ud hacrs uso d un étodo conocido coo variación d arátros l cual s atribuido a Josh Louis Lagrang; st étodo lo odos dscribir d anra dircta rsuir así: Josh Louis Lagrang (76 8). Nació n Turín. Dirctor d la scción d atáticas d la Acadia d Brlín. Si u ( ) () u son solucions indndints d la cuación hoogéna asociada, ist una solución articular d la cuación no hoogéna dada or n dond s satisfac v v ( ) u ( ) v ( ) u ( ) ( ) u ( ) v( ) u( ) v ( ) u ( ) v( ) u( ) g( ) los jlos qu sigun, ustran la fora d ncontrar las funcions v ( ) () v. 0
12 Ejlo Rsolvaos csc. cot La cuación hoogéna asociada s 0 d dond las raícs son coljas, la solución s: si llaaos qu: con las condicions n C cos C sn u ( ) cos u ( ) sn ntoncs odos dcir v )cos v ( ) sn ( v ) ( )cos v( sn si dsjaos ( ) v ( ) sn v ( )cos csc cot v ( ) v d st sista d cuacions 0 obtnos: or tanto así v ( ) v ( ) v ( ) cot v( ) cot v ( ) d v ( ) d cot d ln sn cot d cot
13 ln sn cos cot cos ln sn cos sn sn así la solución gnral s: h C cos Csn cos ln sn cos sn Agruando térinos odos scribir sta solución coo: C cos Csn cos ln sn sn Sir qu odaos alicar l étodo d los coficints indtrinados, dbos hacrlo a qu s ás ficaz ráido qu l étodo d variación d arátros.. En los siguints roblas rsulv las cuacions difrncials diant variación d arátros. 5. cot. 4 En st fascículo hos arndido a rsolvr cuacions difrncials no hoogénas con coficints constants hacindo uso d dos étodos, l étodo d coficints indtrinados l d variación d arátros; con llos hos hcho vidnt qu la solución gnral d
14 una cuación no hoogéna corrsond a la sua d la solución d la hoogéna asociada la solución articular, s dcir, h. Rainvill, Earl D. Otros. Ecuacions Difrncials. Méico: Ed. Prntic Hall, octava dición, 997, ca. 4. Zill, Dnnis G. Ecuacions Difrncials con Alicacions d Modlado. Méico: Ed. Intr. Thoson Editors, sta dición, 000, ca. 4. En l róio fascículo vros los oradors difrncials l orador anulador d una función; adás, buscaros la solución d sistas d cuacions difrncials or l étodo d los oradors, un quivalnt al étodo d liinación, lado ara rsolvr sistas d cuacions no difrncials. 4
15 Autovaluaciónforativa Ecuacions difrncials - Fascículo No. Nobr Allidos Fcha Ciudad Sstr. Rsulv, or l étodo d los coficints indtrinados, las cuacions siguints: a. 9 sn b. 9 sn. Rsulv or l étodo d variación d arátros 5
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Tabla d contnido Página Ecuacions actas linals Ecuacions difrncials actas Torma 4 Solución d una cuación difrncial acta Ecuacions linals 1 Solución d una cuación linal 1 Rsumn 19 Bibliografía rcomndada
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