1.1.- Concepto Definición de cono Definición de función homogénea Interpretación económica de la función homogénea

Transcripción

1 Fucoes homogéeas FUNCIONES HOMOGÉNEAS (ESQUEMA).- Cocepo y propedades...- Cocepo Defcó de coo Defcó de fucó homogéea Ierpreacó ecoómca de la fucó homogéea..- Propedades (Operacoes co fucoes homogéeas) Suma de fucoes homogéeas Produco de u escalar por ua fucó homogéea Combacó leal de fucoes homogéeas Produco de fucoes homogéeas Cocee de fucoes homogéeas Dervacó de ua fucó homogéea Reduccó a ua fucó de (-) varables.- Teorema de Euler. Ierpreacó ecoómca...- Teorema de Euler..- Teorema de Euler y eoría de la dsrbucó Problemas resuelos Problemas propuesos Bblografía - -

2 Fucoes homogéeas FUNCIONES HOMOGÉNEAS. Cocepo y Propedades..- Cocepo Defcó de coo (e u espaco vecoral real) Se llama coo a odo cojuo C R que cumple la sguee codcó: Defcó de fucó homogéea C, C, >0. Dada ua fucó real de varables al que f: D R R, e dode su domo es u coo, se dce que es homogéea de grado r s verfca: f( ) r f(), D co >0, r R NOTA : Se ege que D sea u coo para garaar que D. NOTA : Jusfcacó de > 0: - Eva problemas de fala de defcó o eseca: Ejemplo : S f( ) r f(). r y < 0 f( ) R. - Ierpreacó ecoómca: Al rabajar co deermadas varables ecoómcas (cadades a cosumr, a emplear o a producr, por ejemplo), el sedo ecoómco mpoe su o egavdad, por lo que co > 0 se ee garaado que va a segur maeedo ese msmo sedo ecoómco. 0 y > 0 0 (sedo ecoómco). NOTA 3: r R r puede ser posvo o egavo; eero, racoal o rracoal. S r es eero (posvo o egavo), > 0 es ua resrccó superflua. El valor de r ee mporaca a la hora de la erpreacó ecoómca de fucoes homogéeas. Ejemplo : f(,y,) 3 + y. - -

3 Fucoes homogéeas Al raarse de ua fucó polómca, su domo es R 3, y por ao es u coo. f(, y, ) 3 + ( y)( ) (3 + y ). Esa fucó o es homogéea. Ejemplo : f(, y) + y. Su domo es el cojuo D{(,y) R /+y 0}, que es u coo, pues mulplcado la resrccó que cumple los puos (,y) D por ua cadad posva, >0, el sedo de la resrccó o camba (+y) 0 + y 0 ( )+( y) 0 (, y) D. Esudado s es homogéea:. f(, y) + y (+ y) + y f(,y) La fucó es homogéea de grado r. Ejemplo 3: y f(, y). + 3 y Su domo es el cojuo D R - {(0,0)}, que es u coo. Se esuda s es homogéea: ( ) ( y) f(, y) ( ) + 3( y) y + 3 y f(,y) Por ao, la fucó es homogéea de grado 0. Ejemplo : y y y ( + 3 y ) f(,y), (,y) D, > 0 r 0. f(, y) + y. Su domo ambé es el cojuo D {R - (0,0) }, que es u coo. - 3-

4 Fucoes homogéeas f(, y) ( ) + ( y) + y ( + y ) - f(,y) (,y) D, > 0 r -. Por ao, la fucó es homogéea de grado -. Ierpreacó ecoómca de la fucó homogéea EL FENÓMENO DE LA ILUSIÓN MONETARIA : Fucó de demada del be (p, p,..., p, y d ), dode p es el preco del be, p,..., p so los precos bees susuvos y complemearos, y d es la rea omal dspoble. S la fucó es homogéea de grado r: ( p, p,..., p, y d ) r (p, p,..., p, y d ), segú los valores de r: r 0 Auseca de lusó moeara. El cosumdor ee e cuea su rea real y o varía su demada. r > 0 lusó moeara. BIEN NORMAL (El cosumdor aumea su demada por creer aumeada su rea real) r < 0 lusó moeara. BIEN INFERIOR (El cosumdor dsmuye su demada por creer aumeada su rea real). RENDIMIENTOS A ESCALA EN FUNCIONES DE PRODUCCIÓN: Fucó de produccó del be q: q (k,k,..., k ), - -

5 Fucoes homogéeas dode k,..., k so las udades empleadas de facores producvos. S es homogéea de grado r: q ( k, k,..., k ) r q (k, k,..., k ), segú los valores de r: r Redmeos cosaes a escala (homogeedad leal) r < Redmeos decrecees a escala. Caso cocreo r 0: r 0 Aumear veces los pus o hace varar la cadad producda. r > Redmeos crecees a escala. Ejemplo : Fucó de Produccó Cobb-Douglas Q(K,L) A K α L β, dode A es ua cosae posva, A>0, L y K so las udades de facor rabajo y facor capal empleadas, α, β R / α, β >0. El domo e sedo ecoómco se puede demosrar que es u coo: D Q {(K,L) R / K 0; L 0}. Esa fucó de produccó Cobb-Douglas es homogéea de grado (α+β) como se puede ver a couacó: Q( K, L) A ( K) α ( L) β A α K α β L β A α+β K α L β α+β (A K α L β ) α+β Q(K,L) La fucó de produccó Cobb-Douglas refleja: - -

6 Fucoes homogéeas - Redmeos cosaes a escala s (α+β). - Redmeos crecees a escala s (α+β)>. - Redmeos decrecees a escala s (α+β)<. RENDIMIENTOS A ESCALA E ISOCUANTAS: Isocuaa: Q(K,L) C. Recoge las combacoes de K y L que proporcoa u vel de produccó gual a C. (a) Redmeos crecees: (K -0)> (K -K )> (K 3 -K ) ; (L - 0)> (L -L )> (L 3 -L ). (b) Redmeos cosaes : (K -0) (K -K ) (K 3 -K ) ; (L - 0) (L -L ) (L 3 -L ). (c) Redmeos decrecees : (K -0)< (K -K )<(K 3 -K ) ; (L - 0)< (L -L )< (L 3 -L ). - 6-

7 Fucoes homogéeas..- Propedades (operacoes co fucoes homogéeas) ) Suma de fucoes homogéeas Sea f y g dos fucoes homogéeas del msmo grado r ales que: f: D R R; g: D R R. Eoces la fucó suma (f+g) : D R R es homogéea de grado r. Demosracó: (f+g)() f()+g() r f() + r g() r [f()+g()] r (f+g)(). ) Produco de u escalar por ua fucó homogéea k R. Sea f: D R R ua fucó homogéea de grado r. Sea k u úmero real, Eoces la fucó resulae del produco del escalar k por la fucó f (k f) : D R R es homogéea de grado r. Demosracó: (k f)() k f() k r f() r [k f()] r (k f)(). 3) La combacó leal de fucoes homogéeas Sea f y g dos fucoes homogéeas del msmo grado r ales que: f: D R R ; g: D R R. Sea α, β úmeros reales, α, β R. Eoces la combacó leal de las msmas (αf+βg) : D R R es homogéea de grado r. Demosracó: Por las dos propedades aerores. - 7-

8 Fucoes homogéeas NOTA: Se puede deducr de esa propedad que el cojuo de fucoes homogéeas de u msmo grado forma u subespaco vecoral (de dmesó fa). Ejemplo 6: Los gresos de ua empresa cosse e lo que obee por la vea de su produco a u preco p más ua subvecó de udades moearas por cada udad de rabajo empleada. S la fucó de produccó de esa empresa presea redmeos cosaes a escala, esude s la fucó de gresos es homogéea y de qué grado. Solucó: La fucó de veas sería el preco por la produccó V(K,L) p Q(K,L) Como Q(K,L) es homogéea de grado, al mulplcarla por el preco se ee ua fucó de veas que ambé es homogéea de grado. La subvecó obeda es ua fucó leal s érmo depedee y, por ao, es homogéea de grado. Sub(K,L) L. La fucó de gresos, pues, es la suma de dos fucoes homogéeas de grado defdas e el msmo cojuo, por lo que ambé será homogéea de grado. I(K,L) V(K,L) + Sub(K,L). ) Produco de fucoes homogéeas Sea f y g dos fucoes reales homogéeas de grado r y s, respecvamee, ales que: f: D R R; g: D R R. Eoces el produco de ambas (f g) : D R R es ua fucó homogéea de grado (r+s). Demosracó: (f g)() f() g() r f() s g() r s [f() g()] r+s (f g)(). - 8-

9 Fucoes homogéeas Ejemplo 7: S f: R R es ua fucó homogéea de grado r, pruebe que es homogéea la sguee fucó y obega su grado: g(,y) y f(,y). Solucó: g(, ) y f(, y) y r f(, y) +r y f(, y) +r g(, y), g es homogéea de grado (+r). Ese resulado es el que se obedría cosderado a g(,y) como el produco de dos fucoes homogéeas f(,y) y h(,y) y (homogéea de grado ). ) Cocee de fucoes homogéeas Sea f y g dos fucoes reales homogéeas de grado r y s, respecvamee, ales que: f: D R R; g: D R R. Eoces el cocee de ambas, cuado esé defdo, es ua fucó f g : D* R R homogéea de grado (r-s). Demosracó: f g () f() g() r f() s g() r-s f() g() r-s f g (). 6) Composcó de fucoes homogéeas Sea f:d f R R y g: D g R R dos fucoes homogéeas de grado r y s, respecvamee, ales que: g(d g ) D f. Eoces la composcó de g co f, (f g)() f[g()] (f g): D g R R - 9-

10 Fucoes homogéeas es ua fucó homogéea de grado (r s). Demosracó: (f g)( ) f[g( )] f[ s g()] ( s ) r f[g()] r s (f g)(). 7) Dervacó de ua fucó homogéea Sea f ua fucó homogéea de grado r al que: f: D R R; y f C q (D). Eoces sus dervadas parcales de orde p, sedo p q, so fucoes homogéeas de grado (r-p). Demosracó: Se va a realar la demosracó por duccó fa a parr de las dervadas parcales de prmer orde. f f(,..., () lm h 0 + h,..., Por ser f homogéea de grado r se ee que: ) - f(,...,,..., h ). f () lm h 0 lm lm h 0 h 0 > 0 r- r f( r f f( r-,..., f( (),...,,..., h +,..., h +,..., h + ) - h h,..., ) - f( r ) - f( h f(,...,,...,,...,,...,,...,,..., ) ) ) Lo que prueba que f () es homogéea de grado (r-), para,,...,. S q, ya esará demosrado. Para q >, como las dervadas parcales de prmer orde so fucoes homogéeas de grado (r-) puede ducrse, por la demosracó aeror, que las dervadas parcales de segudo orde va a ser homogéeas de orde (r-). - 0-

11 Fucoes homogéeas Así, supoedo que las dervadas parcales de orde p q so homogéeas de grado (-p), las dervadas de orde (p+) será homogéeas de grado (r-(p+))r- p - por lo demosrado aes. 8) Reduccó a ua fucó de (-) varables Sea f: D R R ua fucó homogéea de grado r. Eoces se verfca que f(,...,,..., r ) ϕ,..., -, +,..., Demosracó: S f es homogéea de grado r, se ee que: f(,,..., ) r f(,,..., ).. Se demosraría omado u. Como > 0, se esaría egedo mplícamee que > 0. NOTA: Esa propedad acúa como codcó ecesara y sufcee, pero esa úlma codcó o es operava e la prácca. Ejemplo 9: Aplcacó de la propedad 8ª: Sea Q(K,L) ua fucó de produccó co redmeos cosaes a escala (homogéea de grado r). Eoces, la producvdad físca meda de los facores puede epresarse como fucó de ua sola varable, la relacó capal- rabajo.(k K/L). Por ejemplo: K L K PMeL Q(K, L)Q, Q, f(k). L L L L - -

12 Fucoes homogéeas.- Teorema de Euler. Ierpreacó ecoómca Para las fucoes homogéeas que adme dervadas parcales couas e su domo se puede obeer u mporae resulado coocdo co el ombre de Teorema de Euler...- Teorema de Euler Sea f: D R R ua fucó homogéea de grado r, cuyo domo es u coo abero y, además, f C (D). Eoces se verfca para cada puo D la sguee gualdad: r f() f(), r f(,, L, ) 3 f () + f () f (). Demosracó: S f es homogéea de grado r, se ee que: f(,,..., ) r f(,,..., ). Cosderado ambos érmos como fucoes depedees de, y sabedo que f C (D), se puede obeer la dervada co respeco a de los dos érmos: Térmo : Se raa de ua fucó compuesa F() cuya dervada se obedrá medae la Regla de la Cadea: f(,,..., ) f() () f() ( ) f() ( ) ()+ ()+...+ () f() f() f() Térmo º: Dervado respeco a, queda: r r- f(,,..., ). Al gualar las dervadas de lo dos érmos: r r- f() f() f() f(,,...,)

13 Fucoes homogéeas Esa epresó se cumple, al ser f homogéea, para cualquer > 0, por lo que se segurá cumpledo para u valor cocreo como. Susuyedo ese valor e la epresó aeror se obee para cualquer D lo que se quería demosrar: r f() f () + f () f () f() NOTA: Se puede demosrar que el Teorema acúa como codcó ecesara y sufcee para que ua fucó de clase sea homogéea de grado r...- Teorema de Euler y eoría de la dsrbucó El Teorema de Euler revela alguas propedades eresaes de las fucoes de produccó homogéeas. Dada ua fucó de produccó Q(K,L) se llama producvdad margal de Q Q los facores rabajo y capal a los valores de las dervadas parcales,, L K respecvamee. Segú la eoría margalsa, e régme de compeeca perfeca, el equlbro e los mercados se alcaa cuado se rerbuye a los facores de acuerdo co sus producvdades margales. La remueracó global de los facores rabajo y capal será eoces: Q Q L + K. L K S la fucó de produccó Q(K,L) es homogéea de grado r, el Teorema de Euler esablece que: r Q(K, r Q L) Q(K, Q K Así pues, se ee que co esa rerbucó: K + L L) K L Q L - S r, (redmeos cosaes a escala) la remueracó oal de los dversos facores es gual (agoa) a la produccó alcaada. - S r >, (redmeos crecees a escala) la produccó o alcaa para remuerar a odos los facores (rq >Q). - S r <, (redmeos decrecees a escala) la produccó supera la remueracó de odos los facores, quedado pare del produco s dsrbur (rq < Q).., - 3-

14 Fucoes homogéeas Problemas resuelos.- Esude la homogeedad de la sguee fucó y halle su grado. Solucó: f(, y,) y + f(,y,) será homogéea de grado r s verfca: 3 3 se y f(λ, λy, λ) λ r f(, y, ) (,y,) D f λ > 0 / λ(, y, ) D f r R f ( λ, λy, λ) ( λ) ( λy) λ 3 + ( λ) λ y + λ se se 3λ λy 3 y λ λ 3 λ λ y f (, y, ) + λ 3 3 se 3 y Por ao, f es homogéea de grado 3 (epoee de λ)..- Esude la homogeedad de la sguee fucó y halle su grado. y 3 f(, y,) + l. y Solucó: f(,y,) será homogéea de grado r s verfca: ( λ)( λy) f ( λ, λy, λ) λ λ f(λ, λy, λ) λ r f(, y, ) (,y,) D f λ > 0 / λ(, y, ) D f r R y + ( λ) + λ 3λ λλ y l λy λ 3 l λ y f (, y,). Por ao, f es homogéea de grado (epoee de λ). + λ 3 l y E los ejerccos resuelos se ha empleado ua oacó dferee a las págas aerores: se emplea el parámero λ e lugar de. - -

15 Fucoes homogéeas 3.- Esude la homogeedad de las sguees fucoes y halle su grado. Esude la homogeedad y grado de la fucó suma (f+g)(,y,). y f(, y,) 3 g(, y,) se y f(,y,) será homogéea de grado r s verfca: f(λ, λy, λ) λ r f(, y, ) (,y,) D f λ > 0 / λ(, y, ) D f r R ( λ)( λy) f ( λ, λy, λ) λ λλ y λ λ y λ f (, y, ). Por ao, f es homogéea de grado. g(,y,) será homogéea de grado r s verfca: g( λ, λy, λ) ( λ) g(λ, λy, λ) λ r g(, y, ) (,y,) D g λ > 0 / λ(, y, ) D g r R 3( λ) se λ ( λy) Por ao, g es homogéea de grado. 3λ/ se yλ/ λ 3 se λ y g(, y,). La fucó suma es (f+g)(,y,) f(,y,)+g(,y,), será homogéea de grado r s verfca: (f+g)(λ, λy, λ) λ r (f+g)(, y, ) (,y,) D f+g λ > 0 / λ(, y, ) D f+g r R Por ser f y g homogéeas del msmo grado, resulará que su suma ambé será homogéea y del msmo grado,. Se jusfca así: (f+g)(λ, λy, λ) f(λ, λy, λ)+ g(λ, λy, λ) λ f(,y,)+ λ g(,y,) λ (f(,y,)+g(,y,)) λ f+g(,y,).- Esude la homogeedad de las sguees fucoes y halle su grado. Esude la homogeedad y grado de la fucó suma (f+g)(,y,). - -

16 Fucoes homogéeas y f(, y,), 30 g(, y,) cos. y f(,y,) será homogéea de grado r s verfca: f(λ, λy, λ) λ r f(, y, ) (,y,) D f λ > 0 / λ(, y, ) D f r R ( λ)( λy) λy f ( λ, λy, λ) λ λ Por ao, f es homogéea de grado. g(,y,) será homogéea de grado r s verfca: g( λ, λy, λ) ( λ) 30 y g(λ, λy, λ) λ r g(, y, ) (,y,) D g λ > 0 / λ(, y, ) D g r R ( λ) cos λ ( λy) Por ao, g es homogéea de grado λ/ cos yλ/ λ λ f (, y, ). cos λ y 30 g(, y,) La fucó suma es (f+g)(,y,) f(,y,)+g(,y,), será homogéea de grado r s verfca: (f+g)(λ, λy, λ) λ r (f+g)(, y, ) (,y,) D f+g λ > 0 / λ(, y, ) D f+g r R Por ser f y g homogéeas pero de dso grado, resulará que su suma o será homogéea. Se jusfca así: (f+g)(λ, λy, λ) f(λ, λy, λ)+ g(λ, λy, λ) λ f(,y,)+ λ 30 g(,y,) λ (f(,y,)+λ 9 g(,y,)) λ r f+g(,y,) No es homogéea. - 6-

17 Fucoes homogéeas Problemas propuesos.- Demuesre que s f(,y) es ua fucó homogéea de grado r co dervadas parcales de segudo orde couas se cumple: f (,y)+ y f (,y)+ y f (,y) r (r-) f(,y) AYUDA: Segú la propedad 7ª, las dervadas parcales de prmer orde de esa fucó será homogéeas de grado (r-), y por ao se les podrá aplcar el Teorema de Euler..- Sea f(,y) y g(,y) fucoes homogéeas de grado r y F(u,v) ua fucó homogéea de grado s. Pruebe que la fucó (,y) F[f(,y), g(,y)] es homogéea de grado (r s). AYUDA: Se probaría a parr de la propedad 6ª (composcó de fucoes homogéeas). 3.- Demuesre que el Teorema de Euler es ambé ua codcó sufcee para que ua fucó real de varables co dervadas de prmer orde couas sea homogéea de grado r. BORRELL FONTELLES, J.(99O):pp.3-; COSTA REPARAZ, E.(989):pp Pruebe que la ocava propedad (reduccó a ua fucó de (-) varables) acúa ambé como codcó sufcee para que ua fucó real de varables sea homogéea de grado r. BORRELL FONTELLES, J.(99O):pp.9-; COSTA REPARAZ, E.(989):pp.-.- Ua empresa cuea co 300 horas de empleados y 00 horas de máqua para llevar a cabo la produccó. Supoe que su fucó de produccó es homogéea de grado r, y ha esmado esadíscamee que las producvdades margales de la hora de empleado y la de la hora-máqua oma el valor 3 y, respecvamee. Sabedo que el vel de produccó obedo es de 80 udades, qué grado de homogeedad se deduce para la fucó de produccó? SOLUCIÓN: r 6.- U asesor de versoes quere modelar medae fucoes homogéeas u ídce de resgo de ua carera compuesa por dos pos de acvos faceros, rea varable y rea fja. Las cadades verdas e rea varable esá represeadas por - 7-

18 Fucoes homogéeas, meras y represea las cadades verdas e rea fja. Teedo e cuea que el resgo es meor cuao mayor sea la cadad verda e rea fja co relacó a la verda e rea varable, ayude a ese asesor proporcoádole ua epresó aalíca para la fucó de resgo homogéea, R(,y), e los sguees casos: a) El resgo permaece cosae auque cambe e la msma proporcó las cadades verdas e los dos pos de acvos. b) Cuado se mulplca las cadades verdas, (,y), por ua cosae, el resgo varía e la msma proporcó. c) Cuado se mulplca las cadades verdas, (,y), por ua cosae, el resgo varía e mayor proporcó. EJEMPLOS: a) R(,y) a + b y ; a,b>0 (homogéea grado 0). b) R(,y) a -by ; a,b>0 (homogéea grado ). c) R(,y) a -by ; a,b>0 (homogéea grado ). 7.- Esude la homogeedad de la sguee fucó. E caso afrmavo halle su grado: + y f(, y,). 8.- Esude la homogeedad de la sguee fucó. E caso afrmavo halle su grado: + y f(, y,). y BIBLIOGRAFÍA Borrell Foelles, J. (990): Méodos maemácos para la Ecoomía. Campos y auossemas, ª edcó. Prámde. Madrd, pp. -8. Caballero, R.E.; e al. (99): Méodos maemácos para la Ecoomía. McGraw-Hll, Aravaca (Madrd), pp Chag, A. C. (987): Méodos fudameales de Ecoomía Maemáca. McGraw-Hll, Méco, pp Cosa Repara, E. (989): Maemácas para ecoomsas. Prámde. Madrd, pp.-60. Grafe, J. (99): Maemácas para ecoomsas. McGraw-Hll. Madrd, pp