Tema 10: Funciones de varias variables. Funciones vectoriales. Límites y continuidad

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1 Tema 10: Funciones de varias variables. Funciones vectoriales. Límites y continuidad 1 Funciones de varias variables Observación 1.1 Conviene repasar,enestepunto,lodadoeneltema8paratopología en R n : bolas, puntos interiores y de acumulación, conjuntos abiertos, cerrados, actados y compactos, en especial en el plano R 2 y en el espacio tridimensional R 3. Definición 1.2 Llamaremos función real de varias variables (o campo escalar) a toda función f : R n R Y llamaremos función vectorial de varias variables (o campo vectorial) a toda función f : R n R m En ambos casos se dice que f es una función de n variables. Ejemplo 1.3 i) f : R 2 R dada por f(x, y) =x 2 y + e cos y log x 3 es una función real de 2 variables. ii) f : R 3 R dada por f(x, y, z) =cos(x y 2) + z 5 1tan(e x+y ) es una función real de 3 variables. iii) f : R n R dada por x f(x 1,x 2,..., x n )=e 2 1 +x x2 n es una función real de n variables. iv) f : R 3 R 2 dada por f(x, y, z) =(x y + z 20,zlog[e zy 7]) es una función vectorial de 3 variables y 2 coordenadas. v) f : R 4 R 5 dada por f(x, y, z, t) =(x y, xcos z, t 2 + e y, 0, 3 xyzt) es una función vectorial de 4 variables y 5 coordenadas. 1

2 Definición 1.4 Sea f : R n R m (una función vectorial). Llamaremos funciones coordenadas de f a las funciones f 1,f 2,..., f m : R n R que verifican que f(x 1,x 2,...,x n )=(f 1 (x 1,x 2,..., x n ),f 2 (x 1,x 2,..., x n ),..., f m (x 1,x 2,...,x n )) En esta situación pondremos f =(f 1,f 2,..., f m ) Observación 1.5 Para el ejemplo iv) anterior se tiene que f : R 3 R 2 tiene por funciones coordenadas f 1,f 2 : R 3 R dadas por f 1 (x, y, z) = x y + z 20 f 2 (x, y, z) = z tan[e xy ] Para el ejemplo v) anterior se tiene que f : R 4 R 5 tiene por funciones coordenadas f 1,f 2,f 3,f 4,f 5 : R 4 R dadas por f 1 (x, y, z, t) =x y f 2 (x, y, z, t) =x cos z f 3 (x, y, z, t) =t 2 + e y f 4 (x, y, z, t) =0 f 5 (x, y, z, t) =3 xyzt Igual que en el caso de funciones reales de una variable real (f : R R) seentiendepordominio de una función de varias variables al conjunto de puntos de R n en el cual tienen sentido todas las expresiones que definen a la función. Si f =(f 1,f 2,...,f m ) es una función vectorial se tiene además que Domf = Domf 1 Domf 2... Domf m De todos modos, al igual que ocurría con funciones reales de variable real, el dominio puede estar restringido sin necesidad de ser el dominio máximo posible. 2

3 Observación 1.6 En el ejemplo i) anterior el dominio está formado por todos los puntos (x, y) que cumplen que x>0. En el ejemplo ii) el dominio está formado por todos los puntos (x, y, z) de R 3 que verifican z y cos(e x+y ) 6= 0, simultáneamente. En el ejemplo iii) el dominio es todo R n, así como en el ejemplo v). Finalmente en el ejemplo iv) el dominio está formado por todos los puntos (x, y, z) de R 3 que verifican e zy > 7. Eldominiodelafunción 1 f(x, y) =cos( x 2 + y ) 2 es todo R 2 salvo el punto (0, 0) (observar que es el único punto que hace nula la suma de cuadrados x 2 + y 2. Para la función g(x, y) = x2 + y 2 xy el dominio es Domg = {(x, y) R 2 tales que xy 6= 0}, en definitiva todo R 2 salvo los ejes coordenados x =0e y =0. Y el dominio de la función h(x, y) =( x2 y, log(x y), x 2 1) es Domh = {(x, y) R n : y 6= 0,x y>0,x 2 1 0} La gráfica de una función f : R n R m es el siguiente conjunto de puntos de R n+m {(x 1,x 2,..., x n,f(x 1,x 2,..., x n )) R n+m :(x 1,x 2,...,x n ) Domf} Casos donde puede visualizarse la gráfica: Una función real de variable real f : R R. Enestecasolagráfica es una curva en R 2,que está formada por todos los puntos de la forma (x, f(x)), donde x recorre el dominio de f. Ésta es la situación que hemos analizado en el Tema 8 de la asignatura. Una función real de dos variables f : R 2 R. En este caso la gráfica es una superficie, que estáformadaportodoslospuntosdelaforma(x, y, f(x, y)), donde(x, y) recorre el dominio de f. Ésta será la situación que analizaremos en el presente tema y en los restantes. Una función vectorial de una variable f : R R n, cuando n =2, 3. En este caso tenemos lo que se denomina una curva parametrizada en R 2 ó R 3. Ésta es una situación especial que se visualiza de otro modo que no vamos a tratar con detalle aquí. 3

4 A continuación vemos algunas superficies (aquí están dadas mediante una ecuación implícita): Esfera x 2 + y 2 + z 2 =1 Cilindro x 2 + y 2 =1 Cono z 2 = x 2 + y 2 Paraboliode z = x 2 + y 2 Silla de montar z = x 2 y 2 Toro z 2 =1 ( p x 2 + y 2 2) 2 La figura ocho Una espiral La hélice circular Debido a la complejidad existente en general a la hora de abordar el problema de la representación gráfica de una superficie z = f(x, y) se hace necesario otro recurso que facilite en buena medida esta 4

5 labor. Así podemos utilizar las curvas de nivel, que son las proyecciones sobre el plano OXY de los puntos de la superficie que están a cierta altura constante (para cada altura k al hacer la proyección sobre el plano OXY de la superficie obtenemos la curva de nivel {(x, y) :f(x, y) =k). Algunas pinceladas sobre esto comentaremos en el apéndice. 2 Límitedefuncionesdevariasvariables La idea intuitiva de límite es similar a la del caso de funciones reales de una variable real, con las generalizaciones correspondientes. En principio la idea inicial que tenemos de límite consiste, como ocurría para las funciones reales de una variable, es sustituir en el punto: x Ejemplo y 2 2 = 1 = 1 (x,y) (0,1) 1+x cos y 1 2. (x,y) ( 2,π) [sin y 3cos(yx)]2 =[sinπ 3cos( 2π)] 2 =[0 3] 2 =9 3. (x,y,z) (1, 1,0) x2 y 3 (z +2) 4=1 2 ( 1) 3 2 4= 2 4= 6 Consideremos una función real de varias variables f : Ω R n R y x 0 =(a 1,a 2,..., a n ) un punto de acumulación de Ω (recordemos que esto se da cuando toda bola centrada en x 0 contiene infinitos puntos de Ω; en adelante cuando estudiemos el límite en un punto siempre supondremos que estamos con un punto de acumulación). Diremos que L R es el límite de f cuando x =(x 1,x 2,..., x n ) tiende hacia x 0 atravésde Ω (también se dice que es el límite restringido a Ω) cuando (de modo intuitivo) al aproximarnos al punto x 0 por puntos x Ω el valor de la función f(x) se aproxima a L. Esto lo denotaremos de alguna de las siguientes maneras f(x 1,x 2,..., x n )=L f(x) =L (x 1,x 2,...,x n ) (a 1,a 2,...,a n ),x Ω x x 0,x Ω x x 0 x Ω f(x) =L Observación 2.2 Rigurosamentehablandoespreciso,comoseindicaanteriormente,sóloparaplantear la existencia del límite de una función f en un punto x 0 atravésdeunconjuntoω, quedicho punto sea de acumulación del conjunto. En lo sucesivo, aunque no hagamos mención de tal detalle, cada vez que se plantee un límite, supondremos que ocurrirá así, es decir, el punto será de acumulación del conjunto, aunque no hagamos mención expresa de ello. Es conveniente especificar claramente el conjunto Ω en el que se toman los puntos a través de los cuales pretendemos aproximarnos hacia x 0, pues la cosa puede variar si lo cambiamos. El caso más 5

6 habitual es que pretendamos aproximarnos al punto x 0 a través del conjunto más amplio posible, el dominio de la función, para el que pondremos f(x) =L x x 0 y al que nos referiremos simplemente diciendo que L es el límite de f cuando x tiende hacia x 0 (como ocurría con x =0ó log x =, que podemos poner, respectivamente, x =0ó + + log x =, dando por hecho que el límite sólo puede hacerse por la derecha, es decir, a través del conjunto {x : x>0}). Veamos cómo puede cambiar la cosa si nos acercamos a través de diversos conjuntos: Ejemplo 2.3 Dada la función f(x, y) = 9x2 y 2 x 2 + y 2 definida para todo punto excepto para el origen (0, 0), vamos a determinar el valor del límite de la función cuando nos acercamos al origen, a través de los siguientes conjuntos: 1. La recta y = x, 9x 2 y 2 (x,y) (0,0),y=x x 2 + y 2 = 9x 2 x 2 x 2 + x 2 = 8x 2 2x =4 2 9x 2. La recta y =3x, 2 y 2 (x,y) (0,0),y=3x x 2 +y 2 3. La parábola x = y 2, 9x 2 y 2 (x,y) (0,0),x=y 2 x 2 + y 2 9x = 2 9x 2 x 2 +9x 2 0 = 10x 2 = 9y 4 y 2 y 0 y 4 + y 2 = 0=0 = 9y 2 1 y 0 y 2 +1 = 1 Nota: Puede ocurrir así (el límite sale distinto, según el conjunto que se tome para la aproximación) en casos en los que al sustituir directamente no se obtenga un valor determinado En lo sucesivo, las propiedades que enunciemos acerca del límite a través del dominio podrán ser generalizadas para límites a través de algún conjunto Ω. De modo similar se define el límite de una función vectorial de varias variables sólo que L no es un número real sino un vector f : R n R m L =(L 1,L 2,..., L m ) R m Para determinar la existencia del límite de una función vectorial basta estudiar el límite de sus funciones coordenadas. De este modo nos centraremos en estudiar límites de funciones reales. Esto se debe al siguiente resultado: 6

7 Propiedad: Sea f =(f 1,f 2,..., f m ):R n R m y x 0 R n. Se tiene que existe f(x) yvalel =(L 1,L 2,..., L m ) si y sólo si existen los límites de x x0 las funciones coordenadas f 1 (x), f 2 (x)..., f m (x) x x 0 x x0 x x0 yvalenl 1,..., L m, respectivamente. En conclusión µ f(x) = (f 1 (x),f 2 (x),..., f m (x)) = x x 0 x x0 f 1 (x), f 2 (x),..., f m (x) x x 0 x x0 x x0 Ejemplo Para f : R 3 R 2 dada por f(x, y, z) =(x y + z 20,ztan[ π 4 ezy ]) se tiene que (x,y,z) (1,0, 1) f(x, y, z) = (x y + z 20,ztan[π (x,y,z) (1,0, 1) 4 ezy ]) = = ( (x,y,z) (1,0, 1) = ( 20, tan π )=( 20, 1) 4 [x y + z 20], z tan[π (x,y,z) (1,0, 1) 4 ezy ]) = 2. ( x (x,y) (3,0) e, y 1 y 3x, 5) = (3 1, 1 9, 5) = (3, 1 9, 5) También es posible que los límites de funciones de varias variables sean infinitos, generalizando la definición dada para funciones reales de una variable. Ejemplo 2.5 x+1 = 1 = (x,y) (0,0) y 0 (x,y) (2,0) 2.1 Operaciones con límites 1+x = 3 =+ (2y, 3 )= (x 2) 2 +y 2 0 (x,y) (1, 3) x 1 Y al igual que ocurría para el caso de funciones reales de una variable real se tratan las operaciones usuales para las funciones de varias variables, siempre que tengan sentido. Así: Propiedad: Sean f : R n R m y g : R n R m funciones para las que existe el límite y es finito cuando la variable tiende a un punto x 0 y sean α y β números reales. Entonces [f(x) ± g(x)] = f(x)± g(x) x x 0 x x0 x x0 [αf(x)] = α f(x) x x0 x x0 7

8 Además en el caso en que m =1(es decir, cuando las funciones no son vectoriales sino reales) se tiene: Sean f,g : R n R funciones para las que existe el límite y es finito cuando la variable tiende a un punto x 0.Entonces [f(x) g(x)] = f(x) g(x) x x 0 x x0 x x0 x x0 f(x) g(x) = g(x) x x 0 x x0 f(x) (esto último tiene sentido si x x0 g(x) 6= 0). Además, estos resultados también son válidos para algunas situaciones de las distintas de las anteriores, como algunas en las que interviene algún infinito (de modo análogo a como ocurría para funciones de una variable: ver la Sección Operaciones Simbólicas del Tema 8): Ejemplo 2.6 e y x 2 = e =0 (x,y) (0,1) Nos planteamos ahora la relación existente entre los límites a través de diferentes conjuntos. Y entonces se cumple que: Para que el límite exista deben coincidir todos los límites planteados a través de todos los conjuntos posibles. Ejemplo 2.7 La función g(x, y) = x y x + y definida en todo punto posible no tiene límite en el punto (0, 0) pues a través del conjunto su límite existe y vale 0 y a través del conjunto su límite existe y vale 1 3. Ω 0 = {(x, x) :x R} = {(x, y) :y = x} Ω 00 = {(x, 2x) :x R} = {(x, y) :y =2x} 2.2 Límites direccionales A la hora de estudiar el límite de una función de dos variables mediante límites a través de algunos conjuntos es típico considerar conjuntos del tipo rectas, parábolas y en general curvas de algunas de las formas y = g(x) x = h(y) 8

9 Una situación especial es el caso de los límites a través de rectas que contienen al punto, denominados también límites direccionales. Estas rectas, como ya sabemos, son las de la forma y b = m(x a) junto con la recta vertical x = a Notemos que la existencia de los límites direccionales no garantiza la existencia del límite, ni siquiera cuando todos ellos coinciden. Lo más que se puede decir es lo siguiente: Consecuencia: Si no existe algún límite direccional o al menos dos de ellos son distintos entonces no existe el límite (a través del dominio). Nota: Como comentamos anteriormente se puede generalizar el resultado anterior y deducir que si el límite a través de al menos dos conjuntos da un valor distinto (pueden ser dos direccionales, dos no direccionales o uno direccional y otro no direccional) entonces el límite no existe. Ejemplo 2.8 Calcular los límites direccionales de la función en el punto (0, 0). Éstos son (x,y) (0,0),y=mx x 2 y 2 x 2 +2y 2 (x,y) (0,0),x=0 x 2 y 2 x 2 +2y 2 = x 2 m 2 x 2 x 2 +2m 2 x 2 x 2 y 2 x 2 +2y 2 1 m = 2 = 1 m2 1+2m 2 1+2m 2 y = 2 = 1 y 0 2y 2 2 Como consecuencia vemos que el límite no existe puesto que hay límites direccionales que difieren (basta observar que hay límites direccionales distintos: por ejemplo el último límite, que vale 1 2,y alguno de los otros; por ejemplo para m =0,cuyovalores1 óparam =1, cuyo valor es 0). Ejemplo 2.9 Calcular los límites direccionales de la función x 1 y+2 Éstos son (x,y) (1, 2),y+2=m(x 1) (x,y) (1, 2),x=1 x 1 = y+2 x 1 x 1 = y+2 y 2 x 1 = m(x 1) x 1 0 = 0=0 y+2 y 2 en el punto (1, 2). 1 m = 1 m Como consecuencia vemos que el límite no existe puesto que hay límites direccionales que difieren (por ejemplo para m =1da 1 yparam =3da 1 ;inclusohayunoqueda, param =0). 3 Ejemplo 2.10 Comprobar que no existe el siguiente límite (x,y) (0,0) xy 2 x 2 + y 4 Ver que los límites direccionales, a pesar de ser todos iguales, resultan distintos del límite a través del conjunto x = y 2. Los límites direccionales valen (x,y) (0,0),y=mx xy 2 x 2 +y 4 (x,y) (0,0),x=0 = xm 2 x 2 x 2 +m 4 x 4 xy 2 x 2 +y 4 = x 3 m 2 x 2 (1+m 4 x 2 ) = 0 y = 2 y 0 y = y 0 y 4 = y 0 0=0 xm 2 1+x 2 m 4 = 0 1 =0

10 y el límite a través del conjunto mencionado es xy 2 (x,y) (0,0),x=y 2 x 2 + y = 4 y 0 y 2 y 2 y 4 + y 4 = y Cambio a coordenadas polares en R 2 y 4 2y = 1 4 y 0 2 = 1 2 Supongamos que tenemos una función f : R 2 R para la que planteamos el límite en un punto x 0 =(a, b). Para hacer el límite f(x, y) (x,y) (a,b) podemos probar haciendo el cambio de variable x = a + ρ cos θ y = b + ρ sin θ El caso más sencillo y el que más habitualmente vamos a utilizar es cuando a =0,b =0,esdecir, cuando estamos con el punto (0, 0), en el que queda así la cosa Concretamente se tiene la siguiente relación: Propiedad: Si no existe el límite x = ρ cos θ y = ρ sin θ f(a + ρ cos θ,b+ ρ sin θ) =L ρ 0 o este valor, L, depende de θ [0, 2π[, entonces no existe el límite f(x, y) =L (x,y) (a,b) En el apéndice figura una condicion teórica adicional que permite garantizar en determinados casos la existencia del límite inicial (en coordenadas cartesianas). Ejemplo 2.11 Para la función en el punto (0, 0), setienequecomo g(x, y) = 2x2 +3y 2 2y 3 x 2 + y 2 cos 2 θ +3ρ 2 sin 2 θ 2ρ 3 sin 3 θ g(ρ cos θ, ρ sin θ) = ρ 0 ρ 0 [2ρ2 ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 ]= θ = [ ρ2 (2 cos 2 θ +3sin 2 θ 2ρ sin 3 θ) ρ 0 ρ 2 (cos 2 θ +sin 2 ]= θ) = [2 cos 2 θ +3sin 2 θ 2ρ sin 3 θ)] = 2 cos 2 θ +3sin 2 θ ρ 0 depende de θ, entonces no existe el límite g(x, y). (x,y) (0,0) 10

11 Observación 2.12 A veces las expresiones que salen dependientes de θ pueden realmente no serlo. Imaginemos que sale cos 2 θ +sin 2 θ que vale constantemente 1. Pero no es el caso anterior. Si no se tiene claro lo mejor es darle unos cuantos valores a θ yverquesalendiferentesresultados.enel últimoejemplosienlaexpresión2cos 2 θ +3sin 2 θ le damos el valor θ =0nos da 2 ysiledamosel valor θ = π nos da 3. 2 Ejemplo 2.13 Pasemos el siguiente límite a coordenadas polares (x,y) (0,1) x 3 x 2 +(y 1) 2 x = ρ cos θ y = 1+ρ sin θ L = ρ 0 (ρ cos θ) 3 (ρ cos θ) 2 +(1+ρ sin θ 1) 2 = ρ 0 = ρ 0 ρ 3 cos 3 θ ρ 2 (cos 2 θ +sin 2 θ) = ρ 0 ρ cos3 θ =0 Nota: Este límite sí existe, como puede consultarse en el apéndice. Ejemplo 2.14 Estudiemos el límite de la función en el origen, en coordenadas polares. Se tiene que h(ρ cos θ, ρ sin θ) = ρ 0 ρ 0 Puede verse en el ejemplo 2.10 que h(x, y) = ρ cos θρ 2 sin 2 θ ρ 2 cos 2 θ + ρ 4 sin 4 θ = ρ 0 Ejercicio 2.15 Estudiar el valor del xy2 x 2 + y 4 h(x, y) (x,y) (0,0) ρ 3 cos 3 θ ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 θ = ρ 3 cos θ sin 2 θ ρ 2 (cos 2 θ + ρ 2 sin 4 θ) = ρ 0 ρ cos θ sin 2 θ cos 2 θ + ρ 2 sin 4 θ =0 en coordenadas polares (2 (x +1) 3 (x,y) ( 1,2) (x +1) 2 +(y 2) ) 4 x = 1+ρ cos θ y = 2+ρ sin θ Solución: 2. 11

12 3 Continuidad de funciones de varias variables La definición de continuidad es enteramente análoga al caso de funciones de una variable real. Diremos que una función f es continua en un punto x 0 cuando el punto está en el dominio, la función tiene límite (finito) en el punto y el valor de la función y de su límite en el punto coinciden. Es decir: 1) x 0 Domf ( f(x 0 )). 2) Existe el límite de f en x 0 (y es finito). 3) x x0 f(x) =f(x 0 ). El estudio de la continuidad de una función en un punto se reduce fundamentalmente al estudio de la existencia y, en su caso, el valor del límite de la función en el punto. Además, al igual que pasaba con los límites, el estudio de la continuidad de una función vectorial se reduce al de sus funciones coordenadas pues: Propiedad: Una función vectorial es continua si y sólo si son continuas sus funciones coordenadas. Además, las funciones usuales (constantes, polinomios, exponenciales, trigonométricas, logaritmos, etc.) son funciones continuas en todo punto de su dominio. También al igual que pasaba con las funciones de una variable real, las operaciones usuales quesehacencon funciones continuas dan como resultado una función continua: sumas, restas, multiplicación por escalares, composición de funciones, productos, cocientes con denominador no nulo, y otras operaciones usuales. Así por ejemplo serán funciones continuas, en todo punto de su dominio, las siguientes: Ejemplo 3.1 1) f 1 (x, y) = 3xy+x6 x y +5(x 2 +1) x (continua en {(x, y) :y 6= 0}). e 2) f 2 (x, y) =( sin(x y) x 2 +y 2 log(x + y 2 ),e tan(x+1) ) (continua en {(x, y) :x + y 2 > 0, cos(x +1)6= 0}). Observación 3.2 En ocasiones ocurre que por problemas de dominio no podemos plantear el límite atravésder 2, sólo podemos plantearlo a través del dominio. Así ocurre por ejemplo con la función f(x, y) = x y cuando planteamos la existencia del límite en el punto (0, 0): éste sólo puede plantearse a través del dominio, que es el conjunto {(x, y) :x y}. En este caso el resultado del límite es 0. Entonces podemos interpretar que la función, que está definida en (0, 0) tomando el valor 0, es continua en dicho punto, por supuesto, continua a través del dominio. Admitiremos pues dentro de la definición de continuidad tal generalidad (que denominaremos continuidadatravés de un conjunto), especialmente en el caso en que el límite lo realicemos a través del dominio. A continuación, y para finalizar el tema, damos la versión en varias variables del Teorema de Weierstrass que generaliza el caso de una variable: Teorema 3.3 Si f : R n R m es una función continua en Ω Domf y Ω es compacto entonces f(ω) es también compacto. 12

13 Corolario 3.4 Si la función f : R n R es continua en el conjunto compacto Ω Domf, entonces existen x 0,y 0 Ω tales que f(x 0 )=max{f(x) :x Ω} f(y 0 )=min{f(x) :x Ω} 13

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