Métodos Matemáticos I

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1 Métodos Matemáticos I Curso Hoja de Problemas #2. Dados los siguientes conjuntos: () + 2i (2) 3 + i < 6 (3) + 2i < (4) 0 arg π/3, 0 (5) Re( 2 ) 0 (6) Re( 2 ) < 0 Represéntalos gráficamente. (b) Cuáles de ellos son regiones abiertas (dominios)? Cuáles no son ni abiertos ni cerrados? (d) Cuáles son acotados? (e) Determina el cierre de los conjuntos que no sean cerrados. (0399) 2. Para cada una de estas funciones, describe su dominio de definición (Arg indica el valor principal del argumento): f() = 2 +. ( ) (b) f() = Arg. f() = +. (d) f() = 3. Sol. ±i, Re 0. (032) 3. Dibuja la región sobre la que se aplica el sector r, 0 θ π/4 bajo la transformación: w = 2. (b) w = 3. w = Otra interpretación de una función w = f() = u(x, y) + i v(x, y) es como campo de vectores en el dominio de definición de la función f. La función asigna un vector w, con componentes u(x, y) y v(x, y) a cada punto en el que está definida. Indica gráficamente el campo vectorial representado por las ecuaciones w = i. (b) w = /. (0323) (0324) 5. Sea n un entero positivo y sean P () y Q() dos polinomios con Q( 0 ) 0. Usa el Teorema A2 y los límites conocidos para hallar: 0 n, para 0 0. (b) i i 3 + i. P () 0 Q(). Sol. / n 0, (b) 0, P ( 0 )/Q( 0 ). (0325)

2 6. Prueba que: 4 2 ( ) 2 = 4. (b) ( ) 3 =. 2 + =. (0326) 7. Sea la función f() definida por i, si 2i f() = 3 + 4i, si = 2i Demuestra que i f() existe y determina su valor. (b) Es f() continua en = 2i? Explica tu respuesta. Es f() continua en los puntos 2i? Explica tu respuesta. (d) Sería f continua si su valor en = 2i fuera 4i? (0328) 8. Demuestra que f() = 4 es continua en todos los puntos dentro y sobre el círculo unidad + = excepto en cuatro puntos y determina esos puntos. Sol. e iπ(2k+)/4, con k = 0,, 2, 3. (0329) 9. Halla f () para: f() = (b) f() = ( 4 2 ) 3. f() =, con / (d) f() = ( + 2 ) 4 2, con 0. (0330) 0. Prueba que un polinomio P () = a 0 + a + a a n x n de grado n es diferenciable en todas partes, con derivada P () = a + 2a na n n. (b) Prueba que los coeficientes del polinomio P () del Apartado anterior se pueden expresar como a 0 = P (0), a = P (0)!, a 2 = P (0) 2!,..., a n = P (n) (0). n! (033). Utiliando la definición de derivada, da una demostración directa de que f () = / 2 cuando f() = / con 0. (0332) 2

3 2. Utiliando inducción matemática, demuestra que d d n = n n. (0333) (b) Demuestra que la expresión d d n = n n. sigue siendo válida cuando n es un entero negativo, supuesto que 0. Sugerencia: Ha m = n y usa la fórmula de derivación de un cociente de funciones. (0334) 3. Utiliando la definición de derivada y calculando el límite a lo largo de los ejes real e imaginario del plano δ, demuestra que f () no existe en ningún punto si f() es. (b) Re. Im. (0335) 4. Usa el Teorema B para probar que f () no existen en ningún punto para f() =. (b) f() =. f() = 2x + i xy 2. (d) f() = e x e iy. (0336) 5. Demuestra, mediante el Teorema B2, que f () y su derivada f () existen en todas partes, y calcula f () para f() = i + 2. (b) f() = e x e iy. f() = 3. (d) f() = cos x cosh y i sen x senh y. Sol. (b) f () = f(), (d) f () = f(). (0337) 6. Utiliando los Teoremas B y B2, determina dónde existe f () y calcula sus valores para f() = /. (b) f() = x 2 + i y 2. f() = Im. Sol. f () = / 2 con 0, (b) f (x + ix) = 2x, f (0) = 0. (0338) 7. Con ayuda del Teorema B2 y las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar, demuestra que cada una de las funciones siguientes es diferenciable en el dominio indicado y determina el valor de f (): f() = / 4 con 0. (b) f() = r e iθ/2 con r > 0 y π < θ < π. f() = e θ cos(ln r) + i e θ sen(ln r) con r > 0 y 0 < θ < 2π. Sol. (b) f () = 2f(), f () = if(). (0339) 3

4 8. Aplica el Teorema B2 para comprobar que cada una de de estas funciones es entera: f() = 3x + y + i (3y x). (b) f() = sen x cosh y + i cos x senh y. f() = e y e ix. (d) f() = ( 2 2) e x e iy. (034) 9. En cada caso, determina los puntos singulares de la función y explica por qué la función es analítica en todas partes excepto en esos puntos: f() = 2 + ( 2 + ). 3 + i (b) f() = f() = ( + 2)( ). Sol. = 0, ±i, = 2,, ±i. (0343) 20. Calcula, (b) i (3 4i) 6i. ( e iπ/3 ) e iπ/3 ( 3 + ). 2 2i i Sol. (6 + 2i)/25, (b) ( i 3 ) /6 /4. (0344) 2. Demuestra que u(x, y) es armónica en algún dominio y halla una armónica conjugada cuando u(x, y) = 2x ( y). (b) u(x, y) = 2x x 3 + 3xy 2. u(x, y) = senh x sen y. y (d) u(x, y) = x 2 + y 2. Sol. v(x, y) = x 2 y 2 + 2y, v(x, y) = cosh x cos y. (0345) 22. Sea f() = u(r, θ) + i v(r, θ) una función analítica en un dominio D que no incluye al origen. Mediante las ecuaciones de Cauchy-Riemann en polares y supestas continuas las derivadas parciales, demuestra que la función u(r, θ) satisface en D la ecuación diferencial r 2 u rr + r u r + u θθ = 0, que es la forma polar de la ecuación de Laplace. Prueba que lo mismo es cierto para la función v(r, θ). (0346) 4

5 Algunos Teoremas Útiles Teorema A. Supongamos que, para = x + iy, donde u y v son funciones reales. Entonces con 0 = x 0 + iy 0 y w 0 = u 0 + iv 0, si y solo si f() = u(x, y) + i v(x, y), 0 f() = w 0 u(x, y) = u 0 y v(x, y) = v 0 (x,y) (x,y) Teorema A2. Supongamos que Entonces: [ ] f() + g() 0 (b) = A + B. f() g() = A B. 0 [ ] f() = A, si B 0. 0 g() B f() = A y g() = B 0 0 Teorema B. Consideremos una función f() = u(x, y) + iv(x, y). Supongamos que f () existe en un punto 0 = x 0 + iy 0. Entonces, las primeras derivadas parciales de u(x, y) y v(x, y) deben existir en dicho punto y deben satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann: = = Además, f ( 0 ) = + i Teorema B2. Consideremos una función f() = u(x, y)+iv(x, y) definida en un ɛ-entorno de un punto 0 = x 0 + iy 0. Supongamos que las derivadas parciales de primer orden de las funciones u(x, y) y v(x, y) (i) existen en todos los puntos del ɛ-entorno, (ii) son continuas en (x 0, y 0 ) y (iii) satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en (x 0, y 0 ) = = Entonces podemos afirmar que f ( 0 ) existe. 5

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