CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES

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1 CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES CODIGO HORAS TEÓRICAS HORAS PRÁCTICAS UNIDADES CRÉDITO SEMESTRE (C0MPUTACION) (SISTEMAS) IV PRE REQUISITO CÁLCULO INTEGRAL ELABORADO POR REVISADO POR APROBADO POR Ing. Inés K. Sánchez O., MSc, MGS 1

2 JUSTIFICACIÓN El área de conocimientos de esta unidad curricular se ubica en el componente de formación profesional básico, ya que, contribuye el logro de los objetivos previstos en esa área de formación, estimular la capacidad del desarrollo del pensamiento lógico y el proporciona conocimientos básicos que se requerirán en las unidades curriculares del área de formación aprobadas para esta casa de estudios. Por lo cual el diseño de este programa permite, en todos sus capítulos, profundizar los conocimientos matemáticos en las áreas de funciones, Calculo Diferencial e Integral de varias variables, todo ello, concatenado con la visión de nuestros profesionales. Este espacio de análisis y reflexión, se emplea en matemática, en teorías de curvas, superficies, teorías de funciones, y a través de estos campos en los problemas físicos, técnicos y tecnológicos, además se cimientan las bases de los futuros cálculos a los que deben enfrentarse los estudiantes en su vida universitaria. De igual forma este eje conceptual se concibe como una manera de organizar el conocimiento matemático, retomando algunos conceptos básicos y fundamentales de la matemática, que se han estructurado, atendiendo a los aspectos propuestos en el plan de estudio de las carreras de Computación, y Sistemas. El presente programa está estructurado en cuatro unidades: Unidad I : FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Unidad II : LÍMITES Y DERIVADAS PARCIALES Unidad III: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Unidad IV: INTEGRALES MÚLTIPLES GENERALES Conceptual Procedimental Actitudinal Analizar los fundamentos teóricos del cálculo diferencial e integral para funciones reales multivariables en el planteamiento y solución de situaciones prácticas que llegan a presentarse en su ejercicio profesional. Calcular la derivada y la integral para funciones reales multivariables, utilizando la definición analítica, teoremas y las diferentes metodologías en la modelación de fenómenos objetos de estudio, dando respuestas eficaces con postura crítica de análisis que reflejen el manejo adecuado de los recursos. Interiorizar la importancia del estudio de las funciones reales multivariables como herramienta para la solución de problemas en las diferentes áreas del conocimiento. 2

3 UNIDAD I: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES OBJETIVO TERMINAL: REPRESENTAR GRÁFICAMENTE TANTO LAS SUPERFICIES COMO LAS FUNCIONES MULTIVARIABLES, EN COORDENADAS POLARES, ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS, DESCRIBIENDO SUS TRAZAS E INTERSECCIONES FACILITANDO VISUALIZAR EL COMPORTAMIENTO DE UN FENÓMENO O SITUACIÓN PRÁCTICA. ESPECÍFICOS 1.1. Definir superficies cilíndricas y la forma canónica general de la ecuación, relacionándolas con aplicaciones cotidianas 1.2. Definir superficies cuadráticas y la forma canónica general de la ecuación cuadrática, mediante situaciones contextualizadas Representar gráficamente las superficies cilíndricas y cuadráticas, utilizando inclusive la traslación de ejes coordenados que modelen fenómenos situacionales. 1. GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO Líneas y planos en el espacio. Definición de superficies cilíndricas y la forma canónica general de la ecuación. Trazado de un cilindro a través de su directriz y generatrices. Definición de superficies cuadráticas y la forma canónica general de la ecuación cuadrática Definición de superficies cuadráticas: Elipsoide, Hiperboloide de una hoja, Hiperboloide de dos hojas, Cono elíptico, Paraboloide elíptico, y Paraboloide Hiperbólico. Definición de intersecciones, trazas, simetría y gráficas de las superficies cilíndricas y cuadráticas. DE Resolución de Ejercicios 5 3

4 ESPECÍFICOS 2.1. Definir el sistema de coordenadas polares y su relación con las coordenadas rectangulares en situaciones cotidianas Definir pendientes en polares y las rectas tangentes en los polos que facilite la representación gráfica del modelo objeto de estudio. 2. COORDENADAS POLARES Definición del sistema de coordenadas polares Relación entre coordenadas polares y rectangulares Pendientes en polares Rectas tangentes en los polos Gráficas en polares: Caracoles, Rosas, Cardioides, Círculos y Lemniscatas. DE Resolución de Ejercicios Graficar en los diferentes sistemas de coordenadas del espacio situaciones de la vida diaria Definir los diferentes sistemas de coordenadas del cilíndricas y esféricas y su relación con las coordenadas rectangulares. 3.2 Graficar en los diferentes sistemas de coordenadas del cilíndricas y esféricas. 3. COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS Definición del sistema de coordenadas cilíndricas y esféricas Conversión de coordenadas rectangulares a cilíndricas. Conversión de coordenadas rectangulares a esféricas Gráfica en esféricas. Resolución de Ejercicios 5 4

5 ESPECÍFICOS 4.1. Definir las funciones y sus campos de existencia de dos y tres variables asociadas a situaciones prácticas Representar gráficamente las funciones de dos variables a partir de las trazas en planos paralelos a los planos coordenados y las curvas de nivel, como herramienta para conocer el comportamiento de un fenómeno físico 4.3. Representar gráficamente las funciones de tres variables a partir de las superficies de nivel, las cuales corresponden a modelos de situaciones prácticas 4. FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES Definición función de varias variables Definición y campos de existencia (Dominio, Rango) de una función de dos variables como una superficie en el espacio(interpretación geométrica). Representación gráfica de las funciones de dos variables a partir de las trazas en planos paralelos a los planos coordenados y las curvas de nivel. Definición función de tres variables y sus campos de existencia (Dominio, Rango). Representación gráfica de las funciones de tres variables a partir de las superficies de nivel. DE Resolución de Ejercicios 5 5

6 UNIDAD II: LÍMITES Y DERIVADAS PARCIALES OBJETIVO TERMINAL: APLICAR LAS DERIVADAS PARCIALES EN FUNCIONES EXPLICITAS E IMPLÍCITAS DE N VARIABLES, MEDIANTE SUS PROPIEDADES Y LA REGLA DE LA CADENA, SOBRE LA BASE DE LA DEFINICIÓN DE LÍMITES E INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA, PREVIO RECONOCIMIENTO DE LA CONTINUIDAD DE LAS MISMAS. ESPECIFICOS 1.1. Definir el límite de dos variables y sus propiedades, bajo su interpretación como la distancia entre dos puntos Determinar límites indeterminados de funciones de dos y tres variables utilizando métodos directos, límites reiterados, límites según una trayectoria y direccionales, que permita conocer y aproximar el comportamiento de la función. 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Entorno en el plano. Definición del límite de una función de dos variables y sus propiedades. Límites indeterminados de funciones de dos y tres variables Exposición Demostrativa DE Resolución de Ejercicios Interpretar la continuidad de una función en un punto de su dominio, clasificando los distintos tipos de discontinuidad, de manera de poder determinar si un modelo matemático correspondiente a un fenómeno presenta saltos en su recorrido. utilizando métodos directos, límites reiterados, límites según una trayectoria y direccionales. Definición de continuidad de una función de dos y tres variables 6

7 ESPECIFICOS 2.1 Definir los conceptos de derivación parcial y la regla de la cadena para funciones de n variables, usando las diferentes notaciones, vista como la tasa de variación instantánea por unidad de variación de una de las variables 2. DERIVADAS PARCIALES Definición, notación e interpretación de las derivadas parciales de una función de n variables como la tasa de variación instantánea por unidad de variación de una de las variables DE Resolución de Ejercicios Calcular derivadas de orden superior y cruzadas tanto de funciones explicitas como de funciones implícitas en aplicaciones de razón de cambio. Regla de la cadena Derivadas de orden superior y Cruzadas Derivadas Parciales Implícitas 2.3. Calcular la derivada direccional y el gradiente de una función de dos y tres variables, modelando fenómenos contextualizados. Derivadas direccionales. Definición e interpretación geométrica. Gradientes para funciones de dos y tres variables. 7

8 UNIDAD III: APLICACIONES DE LAS DERIVADA PARCIALES OBJETIVO TERMINAL: APLICAR DERIVADAS PARCIALES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE DIFERENTES ÁREAS DE CONOCIMIENTO COMO HERRAMIENTA DE TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA Y DE OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS. ESPECIFICOS 1.1 Aproximar el cálculo de error relativo asociados a situaciones prácticas, mediante el cálculo de los diferenciales. 1.2 Determinar la dirección del máximo crecimiento de una función de varias variables, a partir del cálculo de su gradiente en problemas relacionados con la conducción del calor y de electricidad Analizar el comportamiento y la optimización de un fenómeno expresado a través de una función (modelo matemático), haciendo uso de las derivadas parciales, de los planos tangentes y rectas normales de una superficie, mediante los máximos y mínimos locales o el método de Multiplicadores de Lagrange. 1. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES Diferencial Total. Dirección del Máximo crecimiento (Gradiente) Derivadas de orden superior. Derivadas Direccionales. Planos tangentes y rectas normales a superficies. Extremos absolutos y relativos de funciones de dos variables. Puntos críticos. Criterio de la Segunda Derivada. Método de Multiplicadores de Lagrange DE Resolución de Ejercicios 20 8

9 UNIDAD IV: INTEGRALES MÚLTIPLES VICERRECTORADO ACADÉMICO OBJETIVO TERMINAL: APLICAR LA DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES EN LOS DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS REFERENCIALES MÚLTIPLES SITUACIONES PRÁCTICAS EN LA BÚSQUEDA DE UNA SOLUCIÓN, PROMOVIENDO LA CAPACIDAD DE INTERPRETACIÓN Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS. ESPECIFICOS 1.1. Definir las integrales dobles y sus propiedades sobre la base de su interpretación geométrica como la medida del volumen de un sólido tridimensional Aplicar la definición de integral doble en la determinación de áreas de regiones planas y el volumen limitado por dos superficies, en los diferentes sistemas coordenados (rectangulares y polares) 1.3. Determinar momentos de inercia y centros de masas en coordenadas rectangulares y polares. 1. INTEGRALES DOBLES Definición de integral doble. Propiedades. Interpretación geométrica. Área de una región en el plano. Volumen de una región sólida. Teorema de Fubini. Volumen de una región acotada por dos superficies. Cambio de variables a coordenadas polares. Área de una región polar. Momentos de inercia y Centros de masas en coordenadas rectangula-res y polares. Área de la superficie de un sólido DE Resolución de Ejercicios 20 9

10 ESPECIFICOS 2.1 Definir las integrales triples y sus propiedades sobre la base de su interpretación geométrica como la medida del volumen de un sólido tridimensional Aplicar la definición de integrales triples en la determinación del volumen de un sólido, en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas, mediante el uso de los Jacobianos Aplicar la definición de integrales triples en la determinación de los momentos de inercia y las masas tanto en coordenadas rectangulares como en las cilíndricas y esféricas. 2. INTEGRALES TRIPLES Definición e interpretación geométrica. Propiedades. Interpretación geométrica. Volumen en Coordenadas Rectangulares Momentos de inercia y Centros de masas en Coordenadas Rectangula-res Integrales triples en coordenadas cilíndricas Volumen en coordenadas cilíndricas Masas y Momentos de inercia y en coordenadas cilíndricas. Integrales triples en coordenadas esféricas. Volumen en coordenadas esféricas. Momentos de inercia y Centros de masas en Coordenadas Esféricas. Cambio de variables: Jacobianos DE Participación Activa Resolución de Ejercicios 20 10

11 BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 1 APOSTOL, TOM A. Cálculus. VOLUMEN II. Editorial Reverté. Segunda Edición. España páginas. 2 LEITHOLD, LOUIS. El Cálculo 7. Editorial Harla. Séptima Edición. México páginas 3 PURCEL, EDWIN J.; VARBERG, DALE Y RIGDON, STEVE E. Cálculo. Editorial Pearson-Prentice Hall. Novena Edición páginas. 4 RONALD LARSON, ROBERT HOSTETLER Y BRUCE EDWARDS. Cálculo y Geometría Analítica. Volumen 2. McGraw-Hill Latinoamericana Editores. Sexta Edición. México páginas 5 STEWART, JAMES. Cálculo Multivariable. International Thomson Editores, S.A. de C.V. Cuarta Edición México páginas 11