y C= a 0 1

Transcripción

1 .- CONCEPTO DE MATRIZ Escriba la matriz 2 x 3 en la que a ij = i 4j 2 Calcule, si es posible, los valores de a b para que sean iguales las matrices 3a b 9 b a 7 2b a 7 A= B= a+ b 2 a 3b 3 3 a 3.- OPERACIONES CON MATRICES Sean las matrices A= 3 B= 4 C= Qué dimensiones deben tener las matrices P Q para que las matrices (B+C)P BQC sean cuadradas? Sean las matrices A= 0 B= Se verifica la expresión (B + A)(B A) = B 2 A 2? Si A es una matriz de dimensión m x n, indique la dimensión de una matriz X si se verifica que (A t A)X = I n. a 6 Se consideran las matrices A= B= ( ) Calcule el valor del parámetro a para que se verifique (BA) t = A B t. (Propuesto PAU Andalucía 204) 2 x x 3 7 Determine los valores de x e que hacen cierta la igualdad = 3 0 (Propuesto PAU Andalucía 204) 6 2 a 8 Sean las matrices A= B C 2 4 = = 0 3 b Halle los valores de a b para que se verifique BC t = A. (Propuesto PAU Andalucía 202) 6 9 Dada la matriz A= 7, calcule (I3 A) 3. (Propuesto PAU Andalucía 20) 0 0 De una matriz cuadrada, A, de orden 3 se conocen los siguientes elementos a2 = a 2 = 2, a 3 = a 3 = 0, a 23 = a 32 = Determine los demás elementos de la matriz A sabiendo que debe cumplirse la ecuación AB = C t, donde B t = ( ) C = ( 4 2 ). (Propuesto PAU Andalucía 20) 2 x Sea la matriz A= 0 x+ 2. Halle los valores de x para los que se verifica A 2 = 2A. (Propuesto PAU Andalucía 2003) 3 z x 2 Sean las matrices A= 3 B= C D z = =. Calcule x,, z, sabiendo que AB = 2C D. 0 0 z (Propuesto PAU Andalucía 2002) 4.- POTENCIAS SUCESIVAS DE UNA MATRIZ CUADRADA 2 3 Sea la matriz A= 0. Calcule A2 A Sea la matriz A= 0. Calcule A4 A 80. (Propuesto PAU Andalucía 20) Sea la matriz A= 0. Calcule A2 A 203. (Propuesto PAU Andalucía 203) - Página -

2 .- APLICACIONES DE LAS MATRICES Situaciones reales 6 Las filas de la matriz P indican los respectivos precios de tres artículos A, A 2 A 3 en dos comercios, 2 2 C (fila ) C2 (fila 2): P= Cati desea comprar 2 unidades del artículo A, de A2 3 de A3. Manuel desea comprar unidades de A, de A 2 de A Han dispuesto esas compras en la matriz Q: Q= a) Calcule PQ t QP t e indique el significado de los elementos de las matrices resultantes. b) A la vista de lo obtenido en el apartado anterior, dónde les interesa hacer la compra a cada uno? 7 Una fábrica produce dos tipos de productos, A B, que distribue a tres clientes. En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A de B, el segundo cliente 3 de A 7 de B, el tercer cliente 4 de A 6 de B. En el mes de febrero el primer cliente el segundo duplicaron las compras del mes anterior, el tercer cliente compró de cada producto una unidad más de las que compró en enero. En marzo el primer cliente no compró nada, el segundo el tercero compraron lo mismo que en febrero. a) Para cada mes construa la matriz de dimensión 3 x 2 correspondiente a las compras de ese mes. b) Calcule la matriz de compras del trimestre. c) Si los precios de los productos A B son, respectivamente, euros, calcule lo que factura la fábrica en el primer trimestre, por cada cliente en total. (Propuesto PAU Andalucía 202) 8 Una empresa vende tres artículos diferentes A, B C, cada uno de ellos en dos formatos, grande normal. En la matriz F se indican las cantidades de los tres artículos, en cada uno de los dos formatos, que ha vendido la empresa en un mes. En la matriz G se indican las ganancias, en euros, que obtiene la empresa por cada unidad que ha vendido de cada artículo en cada formato A B C A B C grande 6 8 grande F = G 2040 = normal 4 3 normal a) Efectúe los productos F t G F G t b) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas de cada uno de los tres artículos especifique cuáles son esas ganancias. c) Indique en qué matriz se pueden encontrar las ganancias que ha recibido la empresa en ese mes por el total de las unidades vendidas en cada uno de los dos formatos, especifique cuáles son esas ganancias halle la ganancia total. (Propuesto PAU Andalucía 202) Grafos 9 Escriba las matrices de adacencia asociadas a los siguientes grafos 20 El siguiente grafo representa las relaciones de amistad entre 6 personas de una red social Escriba la matriz de adacencia asociada 2 Dadas las siguientes matrices de adacencia que unen los nodos p, q r, dibuje los grafos que 0 0 representan: A= B = Página 2 -

3 ACTIVIDADESCOMPLEMENTARIAS Sean las matrices A= 3 0 a b B= 6. Calcule los valores de a b para que AB = BA. (Propuesto PAU Andalucía 207) Sean las matrices A= 2, B= ( 2 3) C= Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar en dichos casos calcule el resultado: AB, BA, BC C t B t Se consideran las matrices A= 3 2 B= 4. Efectúe la operación ABt. (Propuesto PAU Andalucía 20) Sean las matrices A= B= C= 3 0 Analice cuáles de las siguientes operaciones con matrices se pueden realizar, indicando en los casos afirmativos las dimensiones de la matriz D: A + D = C, AD = C t, DA = C, DA = C t. (Propuesto PAU Andalucía 20) a b Dadas las matrices M= A 0 = 2 calcule los valores de a b para que se verifique la ecuación MA = A. (Propuesto PAU Andalucía 20) Sean las matrices A= B= C= Determine en cada caso la dimensión de la matriz D para que se puedan realizar las siguientes operaciones: CD + A, C t DC, DC t, CDC t. (Propuesto PAU Andalucía 203) 2 7 Sean las matrices A= B a b = Obtenga a b sabiendo que A = 2. Es A simétrica? (Propuesto PAU Andalucía 203) 8 Sea la matriz A= 2 a) Qué requisitos mínimos debe cumplir una matriz B para que pueda efectuarse el producto AB? b) Y para el producto 3AB? (Propuesto PAU Andalucía 202) 0 3 t Dadas las matrices M= N = razone cuáles de las siguientes operaciones tienen sentido efectúe las que puedan realizarse: M + N t, M t N, MN (Propuesto PAU Andalucía 20) Sean las matrices A= B = 2 Efectúe, si es posible, los siguientes productos: AA t ; A t A ; AB. (Propuesto PAU Andalucía 20) a Dadas las matrices B =, C D b 3 = = 3 0, determine a b de manera que BC D = O, siendo O la matriz nula. (Propuesto PAU Andalucía 20) - Página 3 -

4 2 Calcule 2D 2, siendo D= 3. (Propuesto PAU Andalucía 20) Sean las matrices A= B= C= 3 3. Calcule A2 BC t. (Propuesto PAU Andalucía 20) 4 Sean A, B C matrices con 2, 3 2 filas respectivamente. Sabiendo que el producto de matrices ABC es posible que el resultado es una matriz con 4 columnas, halle las dimensiones de dichas matrices. (Propuesto PAU Andalucía 200) 2 c d 6 Sean las matrices P= Q R a 0 = = 8 4 b 0 0 a) Calcule, si es posible, PQ QP, razonando la respuesta b) Cuánto deben valer las constantes a, b, c d para que P2Q = R? (Propuesto PAU Andalucía 200) Sean las matrices A= B 3 = 0. Calcule A t B AB t. (Propuesto PAU Andalucía 200) 3 7 Sean las matrices A= B =. Calcule A 2 2B + I 2. (Propuesto PAU Andalucía 2009) a b 8 Sean las matrices A= B 3 0 = 6. Calcule los valores de a b para que AB = BA. 9 Dadas las matrices F= ( 2 3) C=, calcule los productos CF FC 2 0 x 2 20 Determine los valores de x e que cumplen la igualdad = 3 x Sean A B las matrices siguientes: A= B = 2 4. Calcule (A + B)(A B) 2 x 0 22 Sean las matrices A= B C = = x 0 2 a) Encuentre el valor o valores de x de forma que B 2 = A. b) Determine x para que A + B + C = 3I Sea la matriz B= b. Calcule el valor de b para que B 2 = I Sean las matrices A= B= 2 0. Calcule BBt AA t. - Página 4 -

5 x 2 Sean las matrices A= B= x+ a) Encuentre el valor o valores de x de forma que B 2 = A b) Determine x para que AB = I 2. (Propuesto PAU Andalucía 2006) 2 26 Sean las matrices A= B 2 0 =. Calcule la matriz C = BA A t B t. 2 (Propuesto PAU Andalucía 200) Sean las matrices A= B = 0 x Determine el valor de x en la matriz B para que se verifique la igualdad AB = BA (Propuesto PAU Andalucía 200) x 2 28 Sean las matrices A= B= x 0. Si AB = BA A + At = 3I 2 calcule x e (Propuesto PAU Andalucía 200) Sean las matrices A= B 2 = 0 a) Calcule (A I 2 )B, siendo I 2 la matriz identidad de orden 2. b) Obtenga la matriz B t (matriz traspuesta de B) calcule, si es posible, B t A. (Propuesto PAU Andalucía 2004) Sean las matrices A= C = 2 0 a) Determine la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto AMC b) Determine la dimensión de la matriz N para que C t N sea una matriz cuadrada (Propuesto PAU Andalucía 2004) Sean las matrices M= N 3 4 = 2. Calcule la matriz A = MM t M ; ( M t indica la traspuesta de M ). (Propuesto PAU Andalucía 2003) Sean las matrices A= B= C= Realice, cuando sea posible, los siguientes productos de matrices: AB, BC, CA. (Propuesto PAU Andalucía 2002) x x 3 33 Determine los valores de x e que hacen cierta la siguiente igualdad 3 2 = 2 (Propuesto PAU Andalucía 200) Sea la matriz A= 2 a. Calcule AA T, donde A T indica la matriz transpuesta de A. 2 (Propuesto PAU Andalucía 2000) 0 3 Dada la matriz A= 0, halle A (Propuesto PAU Andalucía 2004) 36 Sea la matriz A=. Calcule la matriz A (Propuesto PAU Andalucía 2000) - Página -