CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE.

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1 CAMBIO E VAIABLES EN LA INEGAL OBLE. 7. Se = [, ] [, ] se define : como (, ) = ( +, ). Encontrr = ( ). Es inecti? Cd n de ls componentes = +, =, es fnción de n sol rible. Pr er qe es inecti, bst comprobr qe lo son cd n de ls componentes. Ahor bien, l fnción = es l identidd, qe es eidentemente inecti. Además, si, entonces. Por otr prte, l fnción = + = ( ) corresponde n prábol de értice el pnto (, ) qe cort l eje en los pntos (, ) (, ). Como el dominio está restringido l interlo [, ], l fnción es inecti l imgen del interlo [, ] es el interlo [, 3]. En l figr sigiente se ilstr el comportmiento de l fnción. * 3 8. Se el prlelogrmo limitdo por ls rects = 3, = 3, = /, = /+. Se = [, ] [, ]. Encontrr : tl qe ( ) =. En l figr se mestrn los prlelogrmos (donde A = (/5, /5), B = (/5, 6/5), C = (8/5, /5)): B A * C

2 Como l plicción bscd trnsform n prlelogrmo en otro, debe ser n trnsformción linel, del tipo = + b + m = c + d + n. ebido qe mbos prlelogrmos psn por el origen, podemos hcer (, ) = (, ), de modo qe m = n =. eniendo en cent qe los értices de n prlelogrmo se plicn en los értices del otro, podemos estblecer ls relciones: { 8/5 + b/5 = (8/5, /5) = (, ) = 8c/5 + d/5 = { /5 + 6b/5 = (/5, 6/5) = (, ) = c/5 + 6d/5 = esoliendo el sistem resltnte, se obtienen los lores = 3/, b = /, c = / d = /. L trnsformción bscd tiene por ecciones = 3, = Un región del plno XY está limitd por ls rects + = 6, = e =. ) eterminr l región del plno UV en qe se plic por l trnsformción = +, =. b) Clclr el jcobino de l trnsformción (, ) (, ). c) Comprr el resltdo de b) con l relción entre ls áres de. L gráfic sigiente mestr ls regiones : 3 * 3 = + = 6 ) L región sombred en l prte derech de l figr es n triánglo limitdo por ls rects dds. Medinte l trnsformción dd, l rect + = 6 se trnsform en ( + ) + ( ) = 6, es decir l rect = 3. Análogmente, l rect = se trnsform en ( + ) ( ) = o bien l rect =. e l mism mner el eje = se conierte en l rect =. L región trnsformd es el triánglo de l izqierd en el plno UV.

3 b) Clclndo ls derids prciles obtenemos directmente (, ) (, ) = = =. c) El áre de l región tringlr es, en tnto qe l de l región es. Lego l relción entre mbs es / = qe coincide con el lor bsolto del jcobino. Como el jcobino es constnte (lo qe ocrre con ls trnsformciones lineles), ls áres de clesqier regiones del plno XY son el doble de ls áres de ls regiones correspondientes trnsformds del plno UV.. Un región del plno XY está limitd por ls crs con < < b, en el primer cdrnte. + =, + = b, =, =, ) eterminr l región en l cl se trnsform por l trnsformción = cos, = r sen. b) Estdir lo qe ocrre si =. c) Clclr (, ) (, ). ' b = cos = sen b ) L región es l indicd en l figr. Por l trnsformción dd, ls circnferencis + =, + = b se conierten en ls rects =, = b, respectimente. Asimismo, el segmento = comprendido entre b se conierte en = π/, con b el segmento =, b se trnsform en =, b. En definiti, l región bscd es el rectánglo mostrdo en l figr. Se podí hber rzondo tmbién diciendo qe, por ser l distnci desde el origen del plno XY el ánglo medido prtir del eje positio de bsciss, es clro qe l región qe se bsc estrá dd por b, π/, como se indic en l figr. b) Si =, l región se conierte en n cdrnte de n región circlr de rdio b sige siendo n rectánglo. L rzón pr esto es qe el pnto =, = se plic en =, = indetermind l trnsformción no es biníoc en este pnto, llmdo por est rzón pnto singlr. 3

4 c) Sstitendo ls derids prciles en l mtriz obtenemos: (, ) (, ) = cos sen sen cos = (cos + sen ) =.. Se (, ) = (, ( + ) ) = [, ] [, ]. Encontrr = ( ) clclr dd. Bsqemos ls imágenes de los segmentos qe formn l fronter de : = = = = } } } } = = = = = = + = = = = ( + ) = = = + = = = = } } = + = = } } Con est informción, l trnsformción corresponde l figr sigiente: * = = ( + ) Pr clclr l integrl propest, podemos plicr dos métodos: ) irectmente: dd = d + + d = ( + ) ) ( + ) d = 7 8.

5 b) Con l fórml ( ) del cmbio de ribles:, Como J =, + = +, entonces I = d ( + ) d = ( ) d d = Epresr d d como n integrl sobre el triánglo = {(, ) :, } clclr l integrl de ls dos forms. Podemos clclr l integrl directmente, plicndo el teorem de Fbini: d d = 6 d = =. Otro método consiste en hcer el cmbio de ribles (, ) = (, ) qe trnsform el triánglo en l región, indicd en l figr. * = = Como el jcobino de l trnsformción es J fórml del cmbio de rible, tenemos: I = d d = ( ),, = / =, por l = d d =. 3. Cmbir coordends polres l integrl i) es el círclo: +, >. f(, ) dd en los sigientes csos: ii) es el recinto del primer cdrnte limitdo por ls crs: + = + =. iii) es el cdrdo [, ] [, ]. 5

6 i) es el recinto del primer cdrnte limitdo por l cr ( + ) = ( ). ) = {(, ) :, }. i) Si escribimos l ección de l circnferenci en coordends polres (hciendo el cmbio = cos, = sen ), obtenemos = cos, es decir = ó = cos. e l gráfic djnt dedcimos qe, en coordends polres, l región erific ls condiciones π/ π/, cos. Así pes, l integrl se escribe (teniendo en cent el jcobino de l trnsformción) como: I = π/ π/ d cos f( cos, sen ) d. ii) L circnferenci + = se escribe en coordends polres como =, mientrs qe l rect + = tiene por ección =. En el primer cdrnte, el cos + sen ánglo está comprendido entre π/. Con estos dtos, l integrl se escribe como: I = π/ d cos +sen f( cos, sen ) d. iii) En este cso debemos diidir l región en dos triánglos: el primero de ellos limitdo por ls rects =, = e =, lo qe en coordends polres corresponde π/, / cos ; el segndo triánglo está limitdo por ls rects =, = =, s epresión en coordends polres está dd por π/ π/, / sen. 6

7 = = L integrl doble se escribe entonces como: I = π/ cos d f( cos, sen ) d + π/ π/ sen d f( cos, sen ) d. i) L cr dd es l lemnisct de l figr qe, en coordends polres, se epres por l ección = cos. En el primer cdrnte, l región está comprendid entre los lores π/, sí qe l integrl se epres como: I = π/ d cos f( cos, sen ) d. ) L ección de l prábol = se epres en coordends polres por sen = cos, o bien = sen / cos. L región de integrción está comprendid entre los lores = = π/ (correspondiente l rect = ). Así pes, l integrl se epres sí: I = π/ d sen / cos f( cos, sen ) d. 7

8 . Se el círclo nidd. Epresr el rectánglo [, ] [, π] clclrl. ( + + ) 3/ dd como n integrl sobre Si plicmos el cmbio coordends polres, ddo por ls ecciones = cos (, ) =, sen (er figr), teniendo en cent qe el jcobino de l trnsformción es J =,, l integrl se pede clclr del modo sigiente: ( + + ) 3/ dd = ( + ) 3/ dd = π d = π ( + ) 5/ 5/ ( + ) 3/ d = 8π. 5 p * = cos = sen - 5. Si S es l región del primer cdrnte limitd por ls crs =, =, =, =, probr qe f( ) dd = ln f() d. S L fronter de l región S sgiere relizr el cmbio = /, =, c iners es l trnsformción (, ) = ( /, ), l cl tiene como dominio l región S de l figr djnt. 8

9 S * = / = S El jcobino de est trnsformción es ( ), J =, 3/ / / / / / / / =. Por l fórml del cmbio de rible, l integrl dd se pede escribir como: S f( ) dd = d f() d = ln f() d = ln f() d. 6. Clclr + dd siendo l región del plno XY limitd por + = + = 9. L presenci de + sgiere el empleo de coordends polres (r, ϑ), con = r cos ϑ, = r sen ϑ. Medinte est trnsformción l coron circlr se trnsform en el rectánglo como se indic en l figr. p = cos = sen 3 3 ebido qe (, ) = r, se tiene: (r, ϑ) A = = π + dd = r r dr = r 3 /3 3 = 38π 3. 9 π 3 r dr

10 mbién se podín hber obtenido los límites de integrción pr obserndo l región pes, pr ϑ fijo, r rí desde r = hst r = 3 dentro del sector destcdo en l figr. Integrndo entonces con respecto ϑ desde ϑ = hst ϑ = π se obtiene l sm de todos los sectores citdos. 7. Clclr + = 9. 3 dd sobre l región del primer cdrnte limitd por + Psndo l integrl coordends polres qed: dd = ρ 3 dρ { = ρ cos ϑ = ρ sen ϑ π/ cos 3 ϑ = 3, como (, ) (ρ, ϑ) 3 ρ 3 dρ = 7. = ρ, l integrl 8. Clclr ls sigientes integrles: i) sen + dd. π + π ii) dd, donde es n círclo de rdio con centro en el origen de coordends. i) Si escribimos l integrl en coordends polres, qed de l form: I = π d π π sen d = 6π. [Medinte integrción por prtes se obtiene qe sen d = sen cos.] ii) Escribimos tmbién l integrl en coordends polres, reslt: I = π d sen cos d = π sen d 3 d =. 9. rnsformr l sigiente integrl doble coordends polres resolerl: d 3 d.

11 Clclemos en primer lgr l imgen de cd no de los ldos del triánglo ddo medinte l trnsformción = cos, = sen : =, = sen = cos, cos = = π/, ; = 3, = sen = 3 cos, cos = = π/3, ; =, 3 = cos =, sen 3 = = sec, π/ π/3. L representción gráfic de l trnsformción nterior es l sigiente: * L integrl propest se resele entonces como sige: I = π/3 π/ d sec cos d = π/3 π/ cos 3 8 sec 3 d = 8 3 tg π/3 π/ = 8 3 ( 3 ). Se dej como ejercicio comprobr qe el mismo resltdo se obtiene clclndo directmente l integrl propest. 3. Hllr ( + ) dd, donde es l región del plno XY limitd por ls hipérbols =, = 9, =, = en el primer cdrnte. 8 * 9

12 Aplicndo l trnsformción =, =, l región del plno XY de l derech de l figr se trnsform en l región del plno UV representd en l izqierd de l figr. Vmos comprobr qe dich trnsformción es reglr. ebido qe ( + ) = ( ) + (), es decir + = +, como =, reslt qe = Al ser >, tenemos qe = +. Análogmente, tenemos tmbién qe = +, lo qe preb qe l trnsformción es inecti. riilmente, l trnsformción es de clse C demás J (, ) = = = ( + ) si (, ) (, ). Hech est comprobción l integrl le entonces ( + ) dd = ((, ) + (, ) ) (, ) (, ) dd = + dd + = 9 d 8 d = 8. Not. Ls coordends crilínes (, ) definids de l form nterior son ls llmds coordends hiperbólics. 3. Clclr I = + b =. ) ( b dd etendid l dominio interior l elipse Hremos el cmbio de rible (, ) (ρ, ϑ) = { / = ρ cos ϑ /b = ρ sen ϑ cos ϑ b sen ϑ, con lo qe ρ sen ϑ bρ cos ϑ = bρ. En ls nes coordends, l elipse se escribe como ρ =. Así pes, I = ( ρ )bρ dρ = b (ρ ρ 3 ) dρ π = πb.

13 3. Hllr N = e d. Como e d = N = e d, entonces e d e d = e ( + ) dd. Psndo coordends polres, + = ρ, dd = ρ dρ, el primer cdrnte (, ) (, ) (, ) se trnsform en l región (ρ, ϑ) (, ) (, π/). L integrl qed entonces: N = π/ En definiti, N = π/. e ρ ρ dρ = π/ [ ] lím e ρ = π/ = π. 33. Hllr el áre de l región limitd por: ) Ls crs = p, = q, = r, = s, < p < q, < r < s. b) L cr ( + ) ( = 3 3 ), >. c) Ls crs / + /b =, / + /b =, / = /b, / = /b,, b >. ) L form de ls ecciones qe limitn l región sgiere relizr el cmbio de ribles =, =. e este modo, l región de integrción es hor = {(, ) : p q, r s}. Como entonces J (,, (, ) J =, / / / / = 3, ) =. El áre bscd iene dd por l fórml 3 A = q p s d r 3 d = (s r) (q p). 3 b) ebido l simetrí de l región (er figr), bstrá mltiplicr por 6 el áre de l prte comprendid en el primer cdrnte. 3

14 En coordends polres, l cr dd tiene por ección = cos (cos 3 sen ), de modo qe el áre bscd se clcl por l integrl doble A = 6 π/6 d = 3 π/6 cos (cos 3 sen ) d cos (cos 3 sen ) d = π. c) elizremos l trnsformción de coordends sigiente: = /b /, = / + /b (dich trnsformción es biecti porqe l región está contenid en el primer cdrnte). Con est trnsformción los neos límites de l región son,. Como l iners de l trnsformción es = ( + ), = b ( + ), entonces el áre se clcl medinte l integrl doble A = J (, ) = b3, ( + ), b 3 65b d d = ( + ) Hllr el áre de l región del plno XY encerrd por l lemnisct r = cos ϑ. L cr está dd directmente en coordends polres (r, ϑ). ndo diferentes lores ϑ hllndo los correspondientes lores de r se obtiene l gráfic de l figr.

15 El áre bscd (teniendo en cent l simetrí) se pede clclr sí: A = = π/ π/ cos ϑ π/ r dr = cos ϑ = sen ϑ π/ r cos ϑ =. 35. Clclr el áre del recinto sitdo en el primer cdrnte limitdo por ls crs 3 =, 3 = b ( > b > ), = c, = d (c > d > ). Vmos efectr n cmbio de rible qe trnsforme l región dd en n rectánglo. Pr ello hcemos = 3 / =. c d * b e este modo, A = (, ) (, ) dd. Ahor bien, de ls ecciones = 3 /, =, reslt: = 3 /, = / = 3 / = /, = / = = /7 /7, = / = /7 3/7. Por lo tnto, (, ) (, ) = El áre pedid se clcl entonces como 7 9/7 3/7 3 7 /7 /7 7 6/7 /7 7 /7 5/7 = 7 8/7 /7. 5

16 A = b c 8/7 d d 7 /7 d = 7 = 7 5 ( /7 b /7 ) (c 5/7 d 5/7 ). ( /7 /7 b ) ( 5/7 ) c 5/7 d 36. Hllr el áre de l región eterior l circnferenci ρ = e interior l circnferenci ρ = cos ϑ. Los pntos de intersección de mbs circnferencis son qellos en qe cos ϑ = /, es decir ϑ = ±π/3. eniendo en cent l simetrí de l región, el áre iene dd por A = π/3 cos ϑ ρ dρ = π/3 [( cos ϑ) () ] = π Hllr el áre eterior l circnferenci ρ = e interior l crdioide ρ = ( + cos ϑ). d l simetrí, el áre pedid es igl l doble del áre brrid l rir ϑ desde ϑ = hst ϑ = π/. Así pes, π/ (+cos ϑ) π/ ρ (+cos ϑ) A = ρ dρ = π/ π/ = ( cos ϑ + cos ϑ) = ( sen ϑ + ϑ/ + sen(ϑ)/) = π

17 38. Hllr el áre interior l circnferenci ρ = sen ϑ eterior l lemnisct ρ = 8 cos ϑ. El áre pedid es igl l doble de l correspondiente en el primer cdrnte limitd por ls dos crs l rect ϑ = π/. Los pntos de intersección de mbs crs se encentrn en l rect ϑ = π/6, qe se obtiene l resoler l ección 6 sen ϑ = 8 cos ϑ. Obsermos qe el rco AO de l lemnisct se gener l rir ϑ desde ϑ = π/6 hst ϑ = π/, mientrs qe el rco AB de l circnferenci lo hce l rir ϑ desde ϑ = π/6 hst ϑ = π/. Si descomponemos l figr en dos prtes, n por debjo otr por encim de l rect ϑ = π/, el áre qed de l form: A = = π/ π/6 π/ π/6 sen ϑ ρ dρ + cos ϑ (6 sen ϑ 8 cos ϑ) + π/ π/ π/ sen ϑ Otro método de resolción consiste en efectr l diferenci A = π/ π/6 sen ϑ ρ dρ π/ π/ π/6 ρ dρ 6 sen ϑ = 8π cos ϑ ρ dρ. 39. Hllr el olmen de l región común los cilindros + =, + z =. En l figr djnt se mestrn los dos cilindros l prte de l región correspondiente l primer octnte. 7

18 z z e modo qe el olmen será V = 8 d d = 8 ( ) d = Hllr el olmen del sólido limitdo por el cilindro + = los plnos +z =, z =. L proección del cilindro sobre el plno z = es l circnferenci + =, de modo qe el olmen iene ddo por l fórml V = d ( ) d. z Nemente escribimos l integrl en coordends polres. eslt: V = = π π d ( sen ) d ( 3 3 sen ) d = π (8 8 3 sen ) d = 6π. 8

19 . Clclr el olmen de l sección sitd en el primer octnte del sólido limitdo por los plnos z = z = + + el cilindro + = 6. L bse del sólido es l región del plno comprendid en el primer cdrnte limitdo por l circnferenci de ección + = 6. El plno z = + + limit dicho sólido en s prte sperior. z Así pes, el olmen endrá ddo por: V = = z(, ) dd = d 6 ( + + ) d ( ) d. Pr eitr resoler l integrl de l fnción irrcionl 6, podemos escribir l integrl doble en coordends polres. Así, V = = π π d ( cos + sen + ) d 3 3 (cos + sen ) + d = 6 3 (sen cos ) + 6 π = π.. Clclr el olmen del sólido limitdo speriormente por l esfer + + z = 5 e inferiormente por el prboloide + = z. Clclmos en primer lgr los pntos de intersección de l esfer con el prboloide. enemos: 9

20 + + z = 5 + = z } = { z + z 5 = + = z enemos pes l sitción de l figr djnt. } = z = + = z El olmen pedido se hll medinte l fórml ( V = 5 + ) dd, donde es el círclo + <, qe se obtiene como proección del sólido en el plno XY. Pr resoler l integrl, l trnsformmos coordends polres; en este cso, = {(ρ, ϑ) : < ρ <, ϑ < π}. Entonces: V = π ( ) 5 ρ ρ ρ dρ = π (ρ ) 5 ρ ρ3 dρ = π(5 5 ) Hllr el olmen limitdo por el prboloide + = z, el cilindro + = 8 el plno z =. El olmen pedido se obtiene integrndo l fnción z = ( + )/ en el interior del círclo + = 8. z

21 En coordends cilíndrics, = ρ cos ϑ, = ρ sen ϑ, z = z, el olmen se obtiene l integrr z = ρ / en el círclo ρ = 8 sen ϑ. Por tnto, V = z da = π 8 sen ϑ z(ρ, ϑ)ρ dρ = π 8 sen ϑ ρ 3 dρ = 96π.. Hllr el olmen qe se elimin cndo n esfer de rdio se le prctic n orificio circlr de rdio de form qe el eje del orificio se n diámetro de l esfer. En l primer figr se mestr, desplzd erticlmente, l región qe se etre de l esfer en l segnd figr l propi región sin l esfer. z z e l figr se dedce qe el olmen pedido es ocho eces el correspondiente l del primer octnte limitdo (en coordends cilíndrics) por el cilindro ρ =, l esfer ρ +z = el plno z =. Esto se obtiene integrndo z = ρ en n cdrnte del círclo ρ =, es decir: V = 8 π/ ρ ρ dρ = 3 (8 3 3) 3 π. 5. Clclr los olúmenes de los cerpos limitdos por ls sigientes sperficies: i) z =, z =, =, =, z = ( > ). ii) z = +, + =, + =, z =. i) El sólido consiste en l región del primer octnte limitd por el prboloide z = el plno z =. En l figr de l derech se mestr n ist lterl del sólido limitdo eclsimente l primer octnte.

22 z z Obseremos qe l región de integrción, el cdrnte del círclo con centro el origen rdio, debe diidirse en dos regiones, pes en el sólido está limitdo por el prboloide el plno z =, en el sólido está limitdo por el prboloide el plno z =. e este modo, el olmen se epres por l integrl: V = = [ ] ( ) dd + dd dd ( ) dd. Pr resoler l primer integrl hcemos el cmbio coordends polres mientrs qe l segnd integrl l resolemos directmente (como región de tipo I): V = π/ d d d ( ) d = π ii) El sólido es l figr comprendid entre el plno z = el prboloide z = + c bse es región eterior l circnferenci + = e interior l circnferenci + =. z

23 e este modo, V = ( + ) dd, qe escribimos en coordends polres pr simplificr l región de integrción, qe se ilstr en l figr. - Así pes, V = π/ π/ d cos cos 3 d = π/ π/ 5 cos d = 5π 3. 3

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