Introducción al Análisis de Circuitos Eléctricos

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Introducción al Análisis de Circuitos Eléctricos"

Transcripción

1 Universidad Auónoma de Madrid Escuela Poliécnica Superior Inroducción al Análisis de Circuios Elécricos TEMA ESTUDIO DE CIRCUITOS EN RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL Jesús Bescós Cano Fabriio Tiburi Paramio Madrid, 7

2

3 . INTRODUCCIÓN.... CONCEPTOS BÁSICOS..... TRIGONOMETRÍA..... NÚMEROS COMPLEJOS....3 SEÑALES SINUSOIDALES DEFINICIONES... 3 Señal periódica... 3 Señal sinusoidal... 3 Desfase enre señales sinusoidales... 4 Valor medio y valor efica RELACIÓN CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS. CONCEPTO DE FASOR OPERACIONES. DIAGRAMAS FASORIALES Suma... 8 Derivación e inegración... 9 Conclusiones....4 CIRCUITOS RLC EXCITADOS POR SEÑALES SINUSOIDALES OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN EN RÉGIMEN PERMANENTE IMPEDANCIA EN RPS... 4 Asociación de impedancias ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC EN RPS POTENCIA EN RPS POTENCIA INSTANTÁNEA... 8 Poencia aciva y poencia reaciva. Facor de poencia POTENCIA MEDIA PUESTA EN JUEGO POR LOS DISPOSITIVOS CIRCUITALES... 9 Poencia en una impedancia genérica... Poencia en resisencias, bobinas y condensadores... Poencia insanánea en disposiivos pasivos... APÉNDICE A: NÚMEROS COMPLEJOS... 3 A. HISTORIA Y DEFINICIONES... 3 A. OPERACIONES... 5 Suma... 5 Produco... 6 División:... 6 Sisemas de ecuaciones... 7 A.3 EJERCICIOS... 8 Ejercicio... 8 Ejercicio... 9 Ejercicio Ejercicio Ejercicio APÉNDICE B: POTENCIA COMPLEJA Y POTENCIA APARENTE... 3

4 . Inroducción Por Régimen Permanene Sinusoidal (en adelane RPS) se eniende el esado en que se encuenra un circuio exciado por señales sinusoidales una ve que el régimen libre es despreciable. Si además se verifica que odas las exciaciones son de igual frecuencia, la resolución del circuio se puede abordar sin grandes complicaciones operaivas. En esa siuación, gracias a las especiales propiedades de las señales sinusoidales y a la linealidad de los modelos presenados para resolver un circuio, odas las corrienes y ensiones presenes en el circuio van a ser ambién señales sinusoidales, y de igual frecuencia que la de los generadores o exciaciones. Las especiales propiedades a que nos referimos son esencialmene que la suma de dos sinusoides de igual frecuencia es ora sinusoide de la misma frecuencia y que las sucesivas inegrales o derivadas de señales sinusoidales son ambién señales sinusoidales de la misma frecuencia. Si enemos en cuena que ano las caracerísicas i-v de los disposiivos presenados como las Leyes de Kirchhoff sólo involucran ese ipo de operaciones, se enenderá que las respuesas de circuios exciados por sinusoides sean ambién sinusoides de igual frecuencia. Apare de esas propiedades, relevanes a efecos eóricos, las señales sinusoidales son fáciles de generar (de ahí su uso en la generación de energía elécrica alernador, urbina y en su ranspore), y desempeñan un papel fundamenal en el campo del proceso de señal y comunicaciones (análisis de Fourier, modulaciones, ec.,).

5 . Concepos básicos.. Trigonomería Es la rama de la ciencia que esudia las relaciones que exisen enre los lados y los ángulos de un riángulo. De cara al análisis de circuios, los concepos que conviene dominar son: Unidades. Aunque en ocasiones se rabaja con ángulos expresados en grados, lo habiual es operar con ángulos expresados en radianes. En cualquier caso ha de presarse especial aención para no meclar ambas unidades (error habiual al sumar ángulos que provienen de velocidades angulares, ípicamene dadas en radianes por segundo, con fases iniciales, frecuenemene dadas en grados). Funciones rigonoméricas. Expresiones del seno, coseno y angene de los ángulos agudos de un riángulo recángulo en función de sus caeos e hipoenusa. Circunferencia goniomérica o de radio unidad. Localiación inmediaa de ángulos expresados en radianes e idenificación ágil de sus senos y cosenos... Números complejos Tano en la Ingeniería Elécrica como en emas más direcamene relacionados con la Teoría de la Señal, exisen muliud de fenómenos cuyo esudio es posible formaliar y abordar con relaiva sencille a parir de la eoría de variables complejas. Por ello resula fundamenal saber manejar con solura las operaciones con números complejos, sus diversas represenaciones y sus relaciones con la geomería. El Apéndice A de ese capíulo ofrece un resumen de lo que, a efecos de esa asignaura, se considera necesario dominar.

6 .3 Señales sinusoidales.3. Definiciones SEÑAL PERIÓDICA Es aquella que se repie cada ciero inervalo de iempo fijo, T, al que se denomina periodo de la señal (ver Fig..). T Fig..: Señal periódica de periodo T. Analíicamene, una señal f() es periódica si se verifica: + T / f( ) = f( + nt), n Ζ (. ) Al mínimo valor de T que verifica esa relación (obsérvese que si la verifica un valor T, ambién lo hará T, 3T, ec.) se le denomina periodo fundamenal de la señal. Habiualmene, al periodo fundamenal se le denomina direcamene periodo de la señal. SEÑAL SINUSOIDAL Es una señal periódica cuya expresión habiual viene dada por: y () = Asen( ω + ϕ ) (. ),donde: A es la ampliud máxima que alcana la señal. Viene dada en las mismas unidades que la señal. También se denomina ampliud de pico, y al doble de su valor ampliud pico-pico (ver Fig..). ω es la velocidad de variación de fase, o pulsación. Viene dada en radianes/s. La pulsación esá direcamene relacionada con el periodo de la señal que normalmene vendrá dado en segundos: y () = y ( + T) Asen ( ω+ ϕ) = Asen ( ω( + T) + ϕ) π ω+ ϕ + kπ = ω( + T) + ϕ T = k ω (. 3), que oma valor mínimo para k =, de donde: π T = ω (. 4) A parir del periodo se define la frecuencia de la señal, que se corresponde con el número de ciclos o periodos por segundo, y se mide en herios (H): 3

7 ω f = = T π (. 5) ω ϕ + es la fase de la señal en cada insane,. Puede venir dada en radianes o en grados, aunque es conveniene expresarla en radianes para eviar meclar unidades, ya que la pulsación suele darse en rad/s. Varía linealmene enre y π (ver Fig..). Al valorϕ se le denomina fase inicial de la señal, ya que es el valor que oma la fase en el insane =. Puede venir dada en radianes o en grados, aunque nuevamene es conveniene expresarla en radianes para eviar complicaciones. Ampliud A Ampliud máxima = A Fase π Fase Señal y() ϕ A y() = A sen(ω +ϕ ) Fig..: Evolución de la ampliud y fase de una señal sinusoidal. DESFASE ENTRE SEÑALES SINUSOIDALES El desfase (o, dicho de oro modo, la diferencia insanánea enre fases) enre dos señales sinusoidales de la misma frecuencia puede inerprearse como un reardo en el iempo de una señal respeco de la ora. Dadas dos señales sinusoidales y ( ) e y ( ), podemos inerprear su fase inicial como un iempo inicial: ϕ y = Asen + y = Asen + (. 6) () ( ω ϕ) () ( ω( )) ω ϕ y = A sen + y = A sen + (. 7) () ( ω ϕ) () ( ω( )) ω, lo que indica que la fase de la primera señal es nula para = ϕ ω y la de la segunda para = ϕ ω. Si > (es decir, si ϕ > ϕ ), la señal y ( ) presena fase nula después que y ( ). Dicho de oro modo, y () decimos que esá rerasada con respeco a y ( ) un iempo =, o bien que y () esá adelanada respeco de y ( ) esa misma magniud. También suele decirse que y () presena un reardo de con respeco a y ( ). La Fig..3 ilusra gráficamene ese concepo suponiendo ϕ = y ϕ > ϕ. 4

8 y() y () y () Fig..3: Desfase o reardo emporal enre dos señales sinusoidales. A parir del concepo de desfase es inmediao relacionar las funciones seno y coseno. Efecivamene, si represenamos gráficamene la función seno omando una fase inicial de π / radianes (ver Fig..4), podemos comprobar que el resulado es precisamene la función coseno. De aquí la idenidad habiualmene esudiada en los cursos de rigonomería: π sen ω + = cos( ω) y() sen(ω ) cos(ω ) (. 8) π/(ω ) Fig..4: Represenación gráfica de las funciones seno y coseno. Como veremos a lo largo de ese ema, en la resolución de cieros problemas no se asigna a las señales un deerminado origen de iempos ya que no ineresa conocer la fase absolua de las señales involucradas sino sus fases relaivas (es decir, los desfases enre ellas). En esas siuaciones se habla sin embargo de la fase de una señal, indicando en realidad su desfase con respeco a una señal que se considera o acuerda origen de fases o de fase nula. VALOR MEDIO Y VALOR EFICAZ El valor medio de una señal genérica y() en un inervalo < < se define como la media de los valores insanáneos que y() oma en dicho inervalo: A (, ) m = yd () (. 9) En el caso de señales periódicas se habla simplemene de valor medio y se asume que el inervalo de cálculo es = T, su periodo. Dado que odos los periodos son iguales, la inegral se podrá calcular sobre cualquier periodo de la señal. Así, para una señal y () periódica de periodo T: A m = y( ) d T T (. ) 5

9 Si y() es además una función sinusoidal de pulsación ω (y por ano T = π ω ) el valor medio será siempre nulo: π π ω ω ω A ω ϕ ω ϕ ω Am = A sen( ) d cos( ) π + = + = π ω (. ) Noa: En el erreno de la elecricidad el valor medio de una señal de corriene o ensión puede inerprearse como el valor de señal coninua que ransporara la misma canidad nea de carga. El valor efica al cuadrado de una señal genérica y() en un inervalo < < se define como la media de los valores insanáneos al cuadrado que la señal oma en dicho inervalo: (, ) ef = A y () d (. ) Análogamene a lo viso para el valor medio, si y () es una señal periódica se asumirá direcamene que = T : A = y ( ) d ef T T (. 3) Si y() es además una función sinusoidal de pulsación ω el valor efica será: π π ω ω π ω ωa cos( ω ϕ) ωa ω ef ( ω ϕ) sin( ω ϕ) π π + π A = A sen + d = d = + = = ω A π = A = A (. 4) Aef π ω Noa: En el erreno de la elecricidad el valor efica de una señal de corriene (o ensión) alerna se corresponde con aquél que endría una corriene (o ensión) coninua que produjera la misma poencia media al aplicarse sobre una misma resisencia. Noa: Cuando medimos con un mulímero básico valores de ensiones o corrienes alernas, las medidas obenidas se refieren exclusivamene a sus valores eficaces..3. Relación con los números complejos. Concepo de fasor. Es posible esablecer una relación direca enre los números complejos y las funciones sinusoidales que nos va a permiir represenar cualquier función sinusoidal con un número complejo que gira enorno al origen a una velocidad consane. jϕ Sea un número complejo = Ae. Si lo represenamos en el plano complejo (ver Fig..5) sus pares real e imaginaria se corresponderán con las proyecciones sobre los ejes coordenados: En lengua inglesa el valor efica recibe el nombre de Roo Mean Square, cuyas siglas (RMS) han pasado a ser un anglicismo de uso habiual. 6

10 Re[ ] = Acosϕ (. 5) Im[ ] = Asenϕ (. 6) Im[] A sen(ϕ ) A e jϕ O ϕ A cos(ϕ ) Re[] Fig..5: Represenación geomérica de un número complejo. jφ Si muliplicamos ese número complejo por oro e lo esaremos roando φ radianes respeco al origen. Si además φ varía con el iempo de la forma φ() = ω, el produco j j () Ae ϕ ω = e represena un número complejo de módulo A que gira a raón de ω radianes por unidad de iempo en orno al origen del plano complejo (ver Fig..6). A ese número complejo que gira se le denomina fasor, y sus pares real e imaginaria son respecivamene: j j Re[ Ae ϕ ω e ] Acos( ω ϕ) = + (. 7) j j Im[ Ae ϕ ω e ] Asen( ω ϕ) = + (. 8) Im[] Im[] A ω jϕ A e e jω A sen(ω +ϕ ) O ϕ Re[] ϕ ω Re[] A A cos(ω +ϕ ) ϕ Fig..6: Equivalencia enre funciones sinusoidales y números complejos 7

11 En conclusión, podemos expresar cualquier señal sinusoidal como la pare real o imaginaria de un fasor de módulo igual a la ampliud máxima de la señal, de argumeno igual a su fase inicial, y que gira a una velocidad angular igual a la pulsación de la señal..3.3 Operaciones. Diagramas fasoriales. Según se ha viso en el capíulo anerior, la resolución de circuios se obiene de la aplicación conjuna de las Leyes de Kirchhoff y de las caracerísicas i-v de los disposiivos involucrados. En nuesro caso, ello supone sumas, escalados, derivaciones e inegraciones de señales de ensión o corriene. En esa sección se preende demosrar que si las señales involucradas son sinusoides de igual pulsación o frecuencia, es posible efecuar odas las operaciones con fasores en ve de con sinusoides, lo que simplifica enormemene la operaiva. SUMA San dos sinusoides y ( ) e y ( ) de la forma: y () = A cos( ω + ϕ ) (. 9) y () = A cos( ω + ϕ ) (. ) Si definimos y S () como la función suma de y( ) e y ( ) y expresamos ambas señales en función de sus fasores, podemos escribir:. y () = y () + y () = Re[ Ae e ] + Re[ Ae e ] = Re[ Ae e + Ae e ] (. ) S jϕ jω jϕ jω jϕ jω jϕ jω Si imponemos que las pulsaciones de las dos señales sinusoidales sean iguales ( ω = ω = ω) y jϕs jϕ jϕ definimos el número complejo suma AS e = Ae + Ae, la úlima expresión puede simplificarse: y ( ) = Re[( Ae + A e ) e ] = Re[ A e e ] = A cos( ω + ϕ )) (. ) jϕ jϕ jω jϕs jωs S S S S De ese desarrollo puede concluirse, en primer lugar, que la suma de dos sinusoides de la misma frecuencia es igual a ora sinusoide de la misma frecuencia. En segundo lugar, que la ampliud máxima y la fase inicial de la señal suma ( AS, ϕ S ) pueden obenerse respecivamene como el j S módulo y argumeno del número complejo ( AS e ϕ ) resulane de sumar las pares fijas jϕ j A e, A e ϕ ) de los fasores que represenan a las señales que se suman. ( Obsérvese que ese desarrollo es igualmene válido si las señales que se suman son ambas sinusoides en forma seno. Tomando la pare imaginaria de sus fasores en ve de la pare real llegaríamos exacamene a las mismas conclusiones. Por lo ano, una ercera conclusión es que la obención de ampliud máxima y fase inicial por ese procedimieno asume que las señales que se suman ienen igual forma (ambas seno o ambas coseno ) y que ésa misma es la forma que iene el resulado. Si las señales a sumar uvieran disina forma habría que cambiar la de una de ellas (sumando o resando π a su fase inicial, según la relación (.8)). Por lo ano, para sumar señales sinusoidales de igual pulsación basa con expresar ambas en la misma forma y a coninuación sumar los números complejos que represenan sus respecivas ampliudes máximas y fases iniciales. Dado que la pare giraoria de los fasores (es decir, el j érmino e ω ) no se uilia para llevar a cabo la suma (ya que se asumen señales de igual pulsación), el érmino fasor suele aplicarse sólo a la pare fija de ése. De ese modo, asumiremos de ahora en adelane que los fasores de las señales involucradas (represenados siempre en leras mayúsculas) son: 8

12 y A Y Ae ϕ j () = cos( ω + ϕ) = (. 3) y A Y A e ϕ j () = cos( ω + ϕ) = (. 4) S y () = A cos( ω + ϕ ) Y = A e = Y + Y (. 5) j ϕ S S S S S En conclusión, la suma de señales sinusoidales de igual pulsación se puede llevar a cabo sumando sus fasores. Dicho de oro modo, la operación puede realiarse en el dominio fasorial con mayor facilidad que en el dominio emporal. La Fig..7 muesra gráficamene el proceso de obención de la señal suma. En ella es inmediao comprobar que para sumar dos señales sinusoidales es imprescindible ener en cuena ano sus ampliudes como sus fases. Eso explica por qué cuando se miden corrienes o ensiones sinusoidales con un mulímero (que lo que mide es sólo sus valores eficaces, es decir, un valor proporcional a sus ampliudes) no es posible aplicar direcamene las Leyes de Kirchhoff sobre esos valores: ambién es necesario conocer las fases relaivas de dichas ensiones o corrienes. Im[] Ae jϕ A e jϕ Re[] Fig..7: Diagrama fasorial: represenación gráfica de la suma de dos fasores. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN Sea una señal sinusoidal y () = Acos( ω+ ϕ). La derivada de esa señal con respeco al iempo puede expresarse como: dy() π = Aω sen( ω+ ϕ) = Aω sen( ω+ ϕ + π) = Aω cos( ω+ ϕ + ) (. 6) d, es decir ora señal sinusoidal con la misma frecuencia que y (), escalada por ω y adelanada π / radianes. Aunque las operaciones involucradas para llegar a ese resulado no son demasiado complicadas, esa misma operación, efecuada en el dominio fasorial, resula basane más sencilla. En efeco, represenando y () en función de su fasor giraorio: jϕ jw dy() d jϕ jw da e e jϕ jw π = Re[ Ae e ] = Re = Re[ Ae jwe ] = Aω cos( ω+ ϕ + ) (. 7) d d d j Si observamos el úlimo paso de ese desarrollo (para el que se ha uiliado la relación j = e π ) se puede concluir que el fasor de la señal derivada se puede obener direcamene escalando o muliplicando por jω el fasor de la señal original. En conclusión: Dado que a parir de ahora rabajaremos con señales de igual pulsación, por raones de claridad se omiirán los subíndices y se hará referencia a ella como ω. 9

13 y() A cos( ) A e ϕ j = ω + ϕ (. 8) dy() d π jϕ = Aω cos( ω + ϕ+ ) jωae (. 9) Respeco a la inegración, la inegral de la misma señal sinusoidal y() puede expresarse como sigue: A yd ( ) = Acos( ω+ ϕ) d= sen( ω+ ϕ) = cos ω+ ϕ (. 3) ω, que se corresponde con ora señal sinusoidal de la misma frecuencia que y (), escalada por /ω y rerasada π / radianes. Si efecuamos esa operación uiliando el fasor giraorio de la señal: A ω π jϕ jω jϕ jω jϕ jω A π ω ϕ y ( ) d= Re[ Ae e ] = Re[ Ae e ] = Re[ Ae e ] = cos + jω ω (. 3) j, desarrollo en el que se ha uiliado la relación j = e π. Análogamene al caso de la derivación, se puede concluir que el fasor de la señal inegral se puede obener direcamene escalando o muliplicando por jω el fasor de la señal original. En conclusión: y () Acos( ) Ae ϕ j = ω + ϕ (. 3) A π () cos( ) jϕ = ω + ϕ A y d e (. 33) ω jω A modo de ejemplo y con el fin de conrasar las represenaciones emporal y fasorial aplicadas a magniudes circuiales, supongamos la rama de la Fig..8, recorrida por una corriene sinusoidal i (). Según las caracerísicas i-v de los disposiivos involucrados, las ensiones en la resisencia, la bobina y el condensador en régimen permanene sinusoidal son respecivamene: v () = Ri() (. 34) R () di() vl = L (. 35) d vc () = i() d C (. 36) v R () v L () v C () i() Fig..8: Caídas de ensión en una rama RLC serie. En la Fig..9 se represena esa corriene y esas ensiones en el dominio del iempo y la Fig.. ofrece una represenación de sus respecivos fasores (lo que se denomina un diagrama fasorial).

14 v,i I ωl I R I I /(ωc) i() v R () v C () v L () Fig..9: Represenación en el dominio del iempo de la corriene y de las caídas de ensión en una resisencia, un condensador y una bobina, en régimen permanene sinusoidal. I ω Le π j ϕ + Im[] v L () I Re ϕ j v R () O ϕ Ie ϕ j i() Re[] I e ωc π j ϕ v C () Fig..: Represenación en el dominio fasorial de la corriene y de las caídas de ensión en una resisencia, un condensador y una bobina. Obsérvese que la ensión que cae en bornes de una bobina esá siempre adelanada π / respeco de la corriene que la araviesa (en el diagrama fasorial se aprecia observando que su fasor iene un argumeno π / mayor), la ensión que cae en bornes de un condensador esa rerasada π / respeco de la corriene que la araviesa (en el diagrama fasorial se aprecia observando que su fasor iene un argumeno π / menor), y la ensión en una resisencia se encuenra en fase con la corriene que la araviesa (en el diagrama fasorial se aprecia observando que su fasor iene igual argumeno). CONCLUSIONES Dado que las señales sinusoidales resulanes de las operaciones aneriores conservan la pulsación de las señales originales, se suele aplicar el concepo de fasor de una señal al número complejo invariane o fijo en el iempo que sólo apora información del módulo y la fase de la señal que represena. No debe olvidarse, sin embargo, que aunque no apareca explíciamene en su expresión, un fasor siempre llevará asociada una frecuencia angular, que en úlima insancia deberá de enerse en cuena para expresar la señal en el dominio del iempo. En la siguiene abla se resumen las operaciones que se han explicado en los aparados aneriores y se muesra su resulado ano en el dominio del iempo como en el dominio fasorial. Debe de quedar claro que el único objeivo de cambiar de dominio es, como veremos en secciones

15 poseriores, simplificar la operaiva de resolución de un circuio en régimen permanene sinusoidal. Por ello, aunque para realiar las operaciones inermedias rabajemos en el dominio complejo, los resulados finales deberán expresarse siempre en el dominio del iempo. Operación Dominio del iempo Dominio fasorial OPERANDOS RESULTADO OPERANDOS RESULTADO y() = Acos( ω+ ϕ) Suma y () = A cos( ω+ ϕ ) y () = A cos( ω+ ϕ ) s s s A e ϕ j jϕs jϕ jϕ A j A e ϕ Se = Ae + Ae Derivación π j y () = Acos( ω+ ϕ) Aωcos( ω+ ϕ + ) A e ϕ j jω A e ϕ Inegración A π y () = Acos( ω+ ϕ) cos ω + ϕ ω j A e ϕ jϕ A e jω

16 .4 Circuios RLC exciados por señales sinusoidales.4. Obención de la solución en régimen permanene Sea el circuio de la Fig.. exciado por una fuene sinusoidal de valor e (): + i() e() v R () R C v C () L v L () Fig..: Circuio RLC de una malla con una exciación sinusoidal. Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff sobre la única malla del circuio obenemos: di() e () = Ri () + L () + i( τ ) dτ d C (. 37) Como se vio en el Tema, se raa de una ecuación diferencial lineal con coeficienes reales consanes y posiivos cuya solución, una ve que el régimen libre resula despreciable, es una corriene en régimen permanene o forado. Dado que ese régimen corresponde a la solución paricular de la ecuación diferencial sabemos (por la eoría de ecuaciones diferenciales) que la corriene presena la misma forma que la exciación. Por lo ano si e () es una sinusoide de una frecuencia dada, i () lo será ambién. Sea, por ano, e () = E cos( ω+ ϕ) la ensión conocida del generador. La corriene i () deberá de ser de la forma i () = I cos( ω+ β), expresión en la que I y β son incógnias. Reemplaando esos valores e incógnias en la ecuación.37: d E cos( ω + ϕ ) = L I cos( ω + β ) + RI cos( ω + β ) + I cos( ωτ + β ) d τ (. 38) d C Si derivamos los érminos correspondienes e igualamos por un lado las pares dependienes del iempo y por el oro las independienes podemos llegar a una solución para I y β. Sin embargo, el procedimieno de resolución puede simplificarse susancialmene si observamos que la ecuación únicamene involucra sumas de señales sinusoidales con la misma pulsación, derivaciones e inegraciones, operaciones odas que se ha viso cómo llevar a cabo en el dominio fasorial o complejo. Por lo ano, si susiuimos en la ecuación.37 cada érmino por su fasor podemos escribir una nueva ecuación en ese nuevo dominio: jϕ jβ jβ jβ Ee = RIe + LjωIe + Ie (. 39) C jω jϕ Denoando los fasores corriene y ensión respecivamene como E (= E e ) e I (= ecuación puede rescribirse como: I jβ e ) la 3

17 E = RI + jωli + I (. 4) jωc, ecuación que relaciona fasores de ensión, de acuerdo con la ª Ley de Kirchhoff y en la que podemos despejar el fasor de corriene buscado: E I = R+ jωl+ jωc (. 4) Una ve obenido el fasor resulane (como resulado de una operación con números complejos), y eniendo en cuena que las señales esaban expresadas en forma coseno, la expresión emporal de la corriene buscada queda: jω i () = Re[ Ie ] = I cos( ω+ β) (. 4) Si esa corriene esá adelanada respeco a la ensión ( β > α ) se dice que el circuio presena carácer capaciivo (dado que en un condensador la corriene que lo araviesa esá adelanada respeco a a ensión que en él cae), mienras que si esá resrasada se dice que presena carácer inducivo (por similar moivo). En la Fig.. se muesran los diagramas de los fasores de corriene y ensión para ambas siuaciones. Ese ipo de diagramas, además de ofrecer una visión clara y concisa de las relaciones enre odas las ensiones y corrienes, permien en ocasiones resolver problemas geoméricamene. V R V L V L -V C Im[] O ϕ E V C β I V R Re[] V L Im[] O I ϕ β V C -V L E Re[] V C (a) (b) Fig..: Represenación fasorial de un circuio RLC inducivo (a) y capaciivo (b).4. Impedancia en RPS En la ecuación. 4 puede observarse que el fasor de ensión asociado a cada uno de los disposiivos de la malla es siempre proporcional al fasor de corriene: V = RI = Z I Z = R R R R V = jωli = Z I Z = ωle L L L VC = I = ZCI ZC = e jωc ωc π j π j (. 43) 4

18 Al facor de proporcionalidad Z R, Z L o Z C que en cada caso relaciona el fasor de corriene con el fasor de ensión se le denomina impedancia y se denoa con la lera Z. Su inverso se denomina admiancia y se denoa con la lera Y. La impedancia relaciona, por ano, los fasores de corriene y ensión de acuerdo a una ley similar a la Ley de Ohm en el dominio del iempo, generaliando así la caracerísica I-V de cualquier disposiivo en el dominio fasorial. Dado que la impedancia es un número complejo afeca ano al módulo como a la fase de la magniud sobre la que opere. Obsérvese que la impedancia asociada a una resisencia es siempre real (ya que es precisamene el valor de la resisencia), mienras que la asociada a bobinas y condensadores es siempre imaginaria. Como veremos a coninuación, es posible definir impedancias con pare real e imaginaria. A la pare real la denominamos resisencia, mienras que a la pare imaginara se le denomina reacancia (análogamene, a la pare real de la admiancia se le denomina conducancia y a su pare imaginaria suscepancia). La reacancia se denoa con la lera χ y es posiiva para las bobinas y negaiva en los condensadores. En el caso de los disposiivos aneriores: χ = (. 44) R χ = ωl (. 45) L χ = C ωc (. 46) Un aspeco fundamenal a ener en cuena es que la impedancia de un disposiivo reacivo depende de la pulsación ω a la que rabaje el circuio, según se desprende de las relaciones visas. Por ejemplo, si se duplica la pulsación de rabajo la impedancia de odas las bobinas se duplica y la de los condensadores se reduce a la miad. Si una impedancia iene sólo pare real posiiva se dice que es puramene resisiva (en el conexo de esa asignaura no iene senido hablar de impedancias con pare real negaiva); cuando iene pare imaginaria posiiva, se dice que iene carácer inducivo; y cuando iene pare imaginaria negaiva, que iene carácer capaciivo. Esa apreciación guarda relación direca con el hecho de que la impedancia de un disposiivo indica la relación de ampliud y fase enre la corriene que lo araviesa y la ensión que cae en sus bornes. Efecivamene, dado un disposiivo con impedancia Z : V Z jϕ V = Z = Ze Z, V= Z I Z= I I ϕ Z = ϕv ϕi Así, para los disposiivos visos (ver eq. (. 43)): (. 47) La ensión y corriene en bornes de una resisencia esán en fase (es decir, su diferencia de fases es nula). La ensión en una bobina iene una fase π / mayor que la corriene que la araviesa, es decir, la ensión esá adelanada respeco de la corriene. La ensión en un condensador iene una fase π / menor que la corriene que lo araviesa, es decir, la ensión esá rerasada respeco de la corriene. En el caso de una impedancia genérica, con pare real e imaginaria, el argumeno de la impedancia indicaría el desfase enre ensión y corriene. Observe que al no considerar la posibilidad de pares reales negaivas, ese desfase ha de manenerse siempre en el inervalo π /, π /. [ ] 5

19 ASOCIACIÓN DE IMPEDANCIAS Aplicando los mismos procedimienos visos en el Tema sobre Equivalencia y Asociación, a las Leyes de Kirchhoff expresadas con fasores y al concepo de impedancia como expresión generaliada de la caracerísica I-V de un disposiivo en ese dominio, es posible definir el concepo de impedancia equivalene. Así, para el caso de N impedancias (es decir, disposiivos analiados en RPS) conecadas en serie: N Z = Z = Z (. 48) eq s i i= Y para el de N impedancias conecadas en paralelo: N = = (. 49) Z Z Z eq p i= i o bien, en función de las admiancias Y i = : Z i N Y = Y = Y (. 5) eq p i i= Obsérvese, en primer lugar, que el concepo de impedancia permie asociar disposiivos de disina nauralea (resisencias, bobinas o condensadores); de ahí la posibilidad de obener impedancias que no son reales (resisencias) ni imaginarias (bobinas o condensadores). En segundo lugar, el cálculo de impedancias equivalenes involucra operaciones con números complejos, operaciones que en muchos casos resula venajoso represenar e incluso llevar a cabo gráficamene en un plano complejo (diagrama de impedancias), según muesra la Fig..3. Im[] Z L Z L -Z C O Z C Z EQ β Z R Re[] Fig..3: Impedancia equivalene de un circuio serie RLC con carácer inducivo. 6

20 .5 Análisis de circuios RLC en RPS Según lo expueso hasa ahora, la represenación de señales sinusoidales a ravés de fasores permie rasladar el problema del análisis de un circuio al dominio fasorial: se planea el problema en ese dominio aplicando las Leyes de Kirchhoff sobre fasores, uiliando el concepo de impedancia como caracerísica I-V; se resuelve el sisema de ecuaciones de números complejos; y se inerprean los fasores resulanes como las sinusoides a que represenan. El análisis fasorial es una herramiena que permie abordar de un modo sencillo el problema de análisis de circuios en RPS, rasladándolo del dominio emporal al de los fasores. Es fundamenal, por lo ano, no meclar en ningún caso elemenos de ambos dominios. En ese senido, se ha hecho especial hincapié en adopar una noación (ampliamene exendida) que en RPS ayude a disinguirlos: represenaremos con leras minúsculas odos los daos dependienes del iempo y con leras mayúsculas los fasores. A modo de resumen y compendio de los procedimienos explicados, así como de su relación con las écnicas generales de análisis de circuios visas en el Tema, los siguienes punos indican el procedimieno a seguir para analiar un circuio en RPS: a) Expresar odos los generadores sinusoidales con la misma forma ( seno o coseno ), para lo cual deberá hacerse uso de la equivalencia (. 8). Eso garania que las operaciones con sinusoides puedan efecuarse operando sólo con sus fasores. b) Represenar odas las señales sinusoidales de ensión y corriene (ano los daos como las incógnias) mediane sus respecivos fasores, y represenar odos los disposiivos pasivos (resisencias, bobinas y condensadores) mediane sus correspondienes impedancias. Con ello endremos el circuio expresado en el dominio fasorial o complejo. c) Aplicar las Leyes de Kirchhoff sobre los fasores de ensión y corriene y las caracerísicas I-V de los disposiivos para planear las ecuaciones que permian obener las incógnias buscadas (fasores de corriene, fasores de ensión o impedancias). Resolver las ecuaciones complejas. d) Una ve obenidos los resulados, si son fasores de ensión o de corriene obener la señal de corriene o ensión que represenan, es decir, una sinusoide de igual forma ( seno o coseno ) que la adopada en el aparado primero y cuya ampliud máxima y fase inicial se corresponde con el módulo y argumeno del fasor que la represena. Si los resulados son impedancias, obener los valores de los disposiivos a que corresponden (la pare real corresponderá direcamene a resisencias y la imaginaria a bobinas o condensadores cuyos parámeros L y C dependerán de la pulsación de rabajo). 7

Fundamentos de Electrónica - Análisis de Circuitos en Corriente Alterna 2

Fundamentos de Electrónica - Análisis de Circuitos en Corriente Alterna 2 Fundamenos de Elecrónica - Análisis de Circuios en Corriene Alerna 1 Análisis de Circuios en Corriene Alerna 1. Inroducción: Coninuando con el esudio de los principios básicos que rigen el comporamieno

Más detalles

Práctica 20. CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR ELÉCTRICO

Práctica 20. CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR ELÉCTRICO Prácica 20. CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR ELÉCTRICO OBJETIVOS Esudiar los procesos de carga y de descarga de un condensador. Medida de capacidades por el méodo de la consane de iempo. MATERIAL Generador

Más detalles

UD: 3. ENERGÍA Y POTENCIA ELÉCTRICA.

UD: 3. ENERGÍA Y POTENCIA ELÉCTRICA. D: 3. ENEGÍA Y OENCA ELÉCCA. La energía es definida como la capacidad de realizar rabajo y relacionada con el calor (ransferencia de energía), se percibe fundamenalmene en forma de energía cinéica, asociada

Más detalles

Capítulo 4 Sistemas lineales de primer orden

Capítulo 4 Sistemas lineales de primer orden Capíulo 4 Sisemas lineales de primer orden 4. Definición de sisema lineal de primer orden Un sisema de primer orden es aquel cuya salida puede ser modelada por una ecuación diferencial de primer orden

Más detalles

Y t = Y t Y t-1. Y t plantea problemas a la hora de efectuar comparaciones entre series de valores de distintas variables.

Y t = Y t Y t-1. Y t plantea problemas a la hora de efectuar comparaciones entre series de valores de distintas variables. ASAS DE VARIACIÓN ( véase Inroducción a la Esadísica Económica y Empresarial. eoría y Pácica. Pág. 513-551. Marín Pliego, F. J. Ed. homson. Madrid. 2004) Un aspeco del mundo económico que es de gran inerés

Más detalles

TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL. 1. Sistemas analógicos y digitales.

TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL. 1. Sistemas analógicos y digitales. T-1 Inroducción a la elecrónica digial 1 TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL El raamieno de la información en elecrónica se puede realizar de dos formas, mediane écnicas analógicas o mediane écnicas

Más detalles

Introducción al Análisis de Circuitos Eléctricos

Introducción al Análisis de Circuitos Eléctricos Universidad Auónoma de Madrid Escuela Poliécnica Superior Inroducción al Análisis de Circuios Elécricos TEMA INTODUCCIÓN. CONCEPTOS BÁSICOS. Jesús Bescós Cano Fabrizio Tiburzi Paramio Madrid, 7 . INTODUCCIÓN....

Más detalles

Capítulo 5 Sistemas lineales de segundo orden

Capítulo 5 Sistemas lineales de segundo orden Capíulo 5 Sisemas lineales de segundo orden 5. Definición de sisema de segundo orden Un sisema de segundo orden es aquel cuya salida y puede ser descria por una ecuación diferencial de segundo orden: d

Más detalles

Modelo de regresión lineal simple

Modelo de regresión lineal simple Modelo de regresión lineal simple Inroducción Con frecuencia, nos enconramos en economía con modelos en los que el comporamieno de una variable,, se puede explicar a ravés de una variable X; lo que represenamos

Más detalles

Ecuaciones diferenciales, conceptos básicos y aplicaciones

Ecuaciones diferenciales, conceptos básicos y aplicaciones GUIA 1 Ecuaciones diferenciales, concepos básicos y aplicaciones Las ecuaciones diferenciales ordinarias son una herramiena básica en las ciencias y las ingenierías para el esudio de sisemas dinámicos

Más detalles

PRÁCTICA 3: Sistemas de Orden Superior:

PRÁCTICA 3: Sistemas de Orden Superior: PRÁCTICA 3: Sisemas de Orden Superior: Idenificación de modelo de POMTM. Esabilidad y Régimen Permanene de Sisemas Realimenados Conrol e Insrumenación de Procesos Químicos. . INTRODUCCIÓN Esa prácica se

Más detalles

Cobertura de una cartera de bonos con forwards en tiempo continuo

Cobertura de una cartera de bonos con forwards en tiempo continuo Coberura de una carera de bonos con forwards en iempo coninuo Bàrbara Llacay Gilber Peffer Documeno de Trabajo IAFI No. 7/4 Marzo 23 Índice general Inroducción 2 Objeivos......................................

Más detalles

1 Introducción... 2. 2 Tiempo de vida... 3. 3 Función de fiabilidad... 4. 4 Vida media... 6. 5 Tasa de fallo... 9. 6 Relación entre conceptos...

1 Introducción... 2. 2 Tiempo de vida... 3. 3 Función de fiabilidad... 4. 4 Vida media... 6. 5 Tasa de fallo... 9. 6 Relación entre conceptos... Asignaura: Ingeniería Indusrial Índice de Conenidos 1 Inroducción... 2 2 Tiempo de vida... 3 3 Función de fiabilidad... 4 4 Vida media... 6 5 Tasa de fallo... 9 6 Relación enre concepos... 12 7 Observaciones

Más detalles

FÍSICA. PRUEBA ACCESO A UNIVERSIDAD +25 TEMA 8. Corriente eléctrica

FÍSICA. PRUEBA ACCESO A UNIVERSIDAD +25 TEMA 8. Corriente eléctrica FÍSC. PUEB CCESO UNESDD +5 TEM 8. Corriene elécrica Una corriene elécrica es el desplazamieno de las cargas elécricas. La eoría aómica acual supone ue la carga elécrica posiiva esá asociada a los proones

Más detalles

PROCESOS ESTOCÁSTICOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS INTEGRAL ESTOCÁSTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCASTICAS: LEMA DE ITO

PROCESOS ESTOCÁSTICOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS INTEGRAL ESTOCÁSTICA ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCASTICAS: LEMA DE ITO PROCESOS ESOCÁSICOS PROCESOS ESOCÁSICOS INEGRAL ESOCÁSICA ECUACIONES DIFERENCIALES ESOCASICAS: LEMA DE IO Procesos esocásicos Un proceso esocásico describe la evolución emporal de una variable aleaoria.

Más detalles

Medición del tiempo de alza y de estabilización.

Medición del tiempo de alza y de estabilización. PRÁCTICA # 2 FORMAS DE ONDA 1. Finalidad Esudiar la respuesa de configuraciones circuiales simples a diferenes formas de exciación. Medición del iempo de alza y de esabilización. Medición del reardo. Medición

Más detalles

Métodos de Previsión de la Demanda Datos

Métodos de Previsión de la Demanda Datos Daos Pronósico de la Demanda para Series Niveladas Esime la demanda a la que va a hacer frene la empresa "Don Pinzas". La información disponible para poder esablecer el pronósico de la demanda de ese produco

Más detalles

2 El movimiento y su descripción

2 El movimiento y su descripción El movimieno y su descripción EJERCICIOS PROPUESTOS. Una malea descansa sobre la cina ransporadora de un aeropuero. Describe cómo ve su movimieno un pasajero que esá: parado en la misma cina; en una cina

Más detalles

Técnicas cualitativas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendientes y líneas de fase

Técnicas cualitativas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendientes y líneas de fase Lección 5 Técnicas cualiaivas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendienes y líneas de fase 5.. Técnicas Cualiaivas Hasa ahora hemos esudiado écnicas analíicas para calcular,

Más detalles

Solución: El sistema de referencia, la posición del cuerpo en cada instante respecto a dicha referencia, el tiempo empleado y la trayectoria seguida.

Solución: El sistema de referencia, la posición del cuerpo en cada instante respecto a dicha referencia, el tiempo empleado y la trayectoria seguida. 1 Qué es necesario señalar para describir correcamene el movimieno de un cuerpo? El sisema de referencia, la posición del cuerpo en cada insane respeco a dicha referencia, el iempo empleado y la rayecoria

Más detalles

Tema 8: SERIES TEMPORALES

Tema 8: SERIES TEMPORALES Inroducción a la Economería Tema 8: ERIE TEMPORALE Tema 8: ERIE TEMPORALE. Concepo y componenes de una serie emporal. Definiremos una serie emporal como cualquier conjuno de N observaciones cuaniaivas

Más detalles

APUNTE: ELECTRICIDAD-1 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

APUNTE: ELECTRICIDAD-1 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA APUNTE: EECTRICIDAD- INDUCCIÓN EECTROMAGNÉTICA Área de EET Página de 3 Derechos Reservados Tiular del Derecho: INACAP N de inscripción en el Regisro de Propiedad Inelecual #. de fecha - -. INACAP 00. Página

Más detalles

Análisis de inversiones y proyectos de inversión

Análisis de inversiones y proyectos de inversión Análisis de inversiones y proyecos de inversión Auora: Dra. Maie Seco Benedico Índice 5. Análisis de Inversiones 1. Inroducción. 2. Crierios para la valoración de un proyeco. 3. Técnicas de valoración

Más detalles

Práctica 2: Análisis en el tiempo de circuitos RL y RC

Práctica 2: Análisis en el tiempo de circuitos RL y RC Prácica 2: Análisis en el iempo de circuios RL y RC Objeivo Esudiar la respuesa ransioria en circuios serie RL y RC. Se preende ambién que el alumno comprenda el concepo de filro y su uilidad. 1.- INTRODUCCIÓN

Más detalles

En la Sección III Usted debe justificar todas sus respuestas con claridad en el espacio en blanco.

En la Sección III Usted debe justificar todas sus respuestas con claridad en el espacio en blanco. Diciembre 9, 2011 nsrucciones Nombre Ese examen iene 3 secciones: La Sección consa de 10 pregunas en el formao de Falso-Verdadero y con un valor de 20 punos. La Sección es de selección múliple y consa

Más detalles

LÍNEAS DE FASES. Fig. 1. dx (1) dt se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O.) de Primer Orden definida en Ω.

LÍNEAS DE FASES. Fig. 1. dx (1) dt se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O.) de Primer Orden definida en Ω. LÍNEAS DE FASES E. SÁEZ Sea el dominio Ω R R y la función F : Ω R. F R Ω Una epresión de la forma Fig. 1 d (1) = F(,), o bien, ẋ = F(,) se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O.) de Primer Orden

Más detalles

3 Aplicaciones de primer orden

3 Aplicaciones de primer orden CAÍTULO 3 Aplicaciones de primer orden 3.2. Modelo logísico El modelo de Malhus iene muchas limiaciones. or ejemplo, predice que una población crecerá exponencialmene con el iempo, que no ocurre en la

Más detalles

TEMA 1. INTRODUCCIÓN AL MODELADO Y ANÁLISIS DE CIRCUITOS DE POTENCIA

TEMA 1. INTRODUCCIÓN AL MODELADO Y ANÁLISIS DE CIRCUITOS DE POTENCIA GENERADADES EMA. NRODUCCÓN A MODEADO Y ANÁSS DE CRCUOS DE POENCA.. GENERADADES... REGAS PARA E ANÁSS DE CRCUOS DE POENCA..3. DESARROO EN SERE..3.. Cálculo de Arónicos..3.. Poencia..3.3. Cálculo de valores

Más detalles

Investigación y Técnicas de Mercado. Previsión de Ventas TÉCNICAS CUANTITATIVAS ELEMENTALES DE PREVISIÓN UNIVARIANTE.

Investigación y Técnicas de Mercado. Previsión de Ventas TÉCNICAS CUANTITATIVAS ELEMENTALES DE PREVISIÓN UNIVARIANTE. Invesigación y écnicas de Mercado Previsión de Venas ÉCNICAS CUANIAIVAS ELEMENALES DE PREVISIÓN UNIVARIANE. (II) écnicas elemenales: Modelos Naive y Medias Móviles. Medición del error de previsión. Profesor:

Más detalles

TEMA I: FUNCIONES ELEMENTALES

TEMA I: FUNCIONES ELEMENTALES TEMA I: FUNCIONES ELEMENTALES. Función Logarimo Todos conocemos la definición de logarimo en base b, siendo b un número enero posiivo disino de. u = log b x x = b u y la propiedad fundamenal log b (xy)

Más detalles

Control de un péndulo invertido usando métodos de diseño no lineales

Control de un péndulo invertido usando métodos de diseño no lineales Conrol de un péndulo inverido usando méodos de diseño no lineales F. Salas salas@caruja.us.es J.Aracil aracil@esi.us.es F. Gordillo gordillo@esi.us.es Depo de Ingeniería de Sisemas y Auomáica.Escuela Superior

Más detalles

Física 2º Bach. Tema: Ondas 27/11/09

Física 2º Bach. Tema: Ondas 27/11/09 Física º Bach. Tema: Ondas 7/11/09 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Nombre: Problemas [6 PUNTOS: 1 / APARTADO] 1. Una onda ransversal se propaga en el senido negaivo de las X con una velocidad de 5,00

Más detalles

La transformada de Laplace

La transformada de Laplace Capíulo 8 La ransformada de Laplace 8.. Inroducción a las ransformadas inegrales En ese aparado aprenderemos un méodo alernaivo para resolver el problema de valores iniciales (4.5.) y (x) + py (x) + qy(x)

Más detalles

El OSCILOSCOPIO * X V d

El OSCILOSCOPIO * X V d UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Deparameno de Física Fundamenos de Elecricidad y Magneismo Guía de laboraorio N o 10 Objeivos 1. Conocer y aprender a usar el osciloscopio. 2. Aprender a medir volajes

Más detalles

Fundamentos del Análisis de Fourier

Fundamentos del Análisis de Fourier Fundamenos del Análisis de Fourier Camilo José Carrillo González Deparameno de Enxeñería Elécrica Escola écnica Superior de Enxeñeiros Indusriáis Universidade de Vigo Vigo, 3 Índice Índice PRÓLOGO v I.

Más detalles

Universidad Nacional de Rosario Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Escuela de Ingeniería Electrónica Departamento de Electrónica

Universidad Nacional de Rosario Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Escuela de Ingeniería Electrónica Departamento de Electrónica Universidad Nacional de Rosario Faculad de Ciencias Exacas, Ingeniería y Agrimensura Escuela de Ingeniería Elecrónica Deparameno de Elecrónica EECRÓNICA III RECIFICACIÓN Federico Miyara AÑO 00 B05.0 Riobamba

Más detalles

6 METODOLOGÍA PROPUESTA PARA VALORAR USOS IN SITU DEL AGUA

6 METODOLOGÍA PROPUESTA PARA VALORAR USOS IN SITU DEL AGUA 38 6 METODOLOGÍA PROPUESTA PARA VALORAR USOS IN SITU DEL AGUA 6.1 Méodo general Para valorar los usos recreacionales del agua, se propone una meodología por eapas que combina el uso de diferenes écnicas

Más detalles

Representación gráfica de curvas en forma paramétrica x a(t sent) 1.- Representar la curva dada por

Representación gráfica de curvas en forma paramétrica x a(t sent) 1.- Representar la curva dada por Represenación gráfica de curvas en forma paramérica x a( sen) 1.- Represenar la curva dada por, siendo a > 0. y a(1 cos).- Emparejar cada curva con su gráfica ì ì x = a) ï x = í b) ï ì í ï c) ï x = - sen

Más detalles

IGEP Tema 2. Leyas financieras básicas: estudio usando aplicaciones informáticas.

IGEP Tema 2. Leyas financieras básicas: estudio usando aplicaciones informáticas. IGEP Tema 2. Leyas financieras básicas: esudio usando aplicaciones informáicas. onenido. apial financiero... 2. Leyes financieras: capialización y descueno...4 2. Leyes de capialización...4 2.2 Leyes de

Más detalles

ÁREA DE FÍSICA DE LA TIERRA SISMOLOGÍA E INGENIERÍA SÍSMICA (PRÁCTICAS)

ÁREA DE FÍSICA DE LA TIERRA SISMOLOGÍA E INGENIERÍA SÍSMICA (PRÁCTICAS) ÁREA DE FÍSICA DE LA TIERRA SISMOLOGÍA E INGENIERÍA SÍSMICA (PRÁCTICAS) Anexo VI Prácicas de Sismología e Ingeniería Sísmica PRACTICA 5. TRATAMIENTO DE ACELEROGRAMAS. 1. OBJETIVO Aprender a llevar a cabo

Más detalles

UNIDAD 5: MATRICES Y DETERMINANTES

UNIDAD 5: MATRICES Y DETERMINANTES UNIDD 5: MTRICES Y DETERMINNTES ÍNDICE DE L UNIDD - INTRODUCCIÓN - MTRICES CONCEPTOS BÁSICOS TIPOS DE MTRICES 3- OPERCIONES CON MTRICES 4 4- TRNSFORMCIONES ELEMENTLES EN UN MTRIZ6 5- MTRIZ INVERS 7 6-

Más detalles

TEMA 9: LA TASA NATURAL DE DESEMPLEO Y LA CURVA DE PHILLIPS

TEMA 9: LA TASA NATURAL DE DESEMPLEO Y LA CURVA DE PHILLIPS TEMA 9: LA TASA NATURAL DE DESEMPLEO Y LA CURVA DE PHILLIPS 9.2 La asa naural de desempleo y la curva de Phillips La relación enre el desempleo y la inflación La curva de Phillips, basada en los daos aneriores

Más detalles

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE matemáticas - grado 9

DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE matemáticas - grado 9 4 Reconoce el significado de los eponenes racionales posiivos negaivos uiliza las lees de los eponenes. Por ejemplo: 7 7 7 + 7 4 7 7 7 7 40 ( 7 / ) / 7 / / 7 /0 0 7,... Uiliza la noación cienífica para

Más detalles

Dispositivos semiconductores

Dispositivos semiconductores Deparameno de Telecomunicaciones Disposiivos semiconducores 3 Inroduccion Veremos los disposiivos semiconducores más básicos: los diodos. Veremos las variables más comunes de esos semiconducores; El diodo

Más detalles

4. INDICADORES DE RENTABILIDAD EN CERTIDUMBRE

4. INDICADORES DE RENTABILIDAD EN CERTIDUMBRE Evaluación de Proyecos de Inversión 4. INDICADORES DE RENTABILIDAD EN CERTIDUMBRE La generación de indicadores de renabilidad de los proyecos de inversión, surge como respuesa a la necesidad de disponer

Más detalles

Tema 4: Fuentes y generadores

Tema 4: Fuentes y generadores Tema 4: Fuenes y generadores Fuenes de alimenación: : convieren ensión ac en ensión dc E. Mandado, e al. 995 Generadores de funciones: Fuene de señal calibrada y esable Aplicaciones: obención de respuesa

Más detalles

Diagnóstico y reparaciones automotrices con osciloscopio

Diagnóstico y reparaciones automotrices con osciloscopio Tu Manual combo Fascículo + DD Diagnósico y reparaciones auomorices con osciloscopio Los conroles del osciloscopio Cómo inerprear los oscilogramas Pruebas a sensores y acuadores Mediciones en el bus CAN

Más detalles

domótico Extras 2.1 Unidad de control 2.2 Dispositivos de entrada 2.4 Electrodomésticos domóticos 2.5 Medios de comunicación en redes domésticas

domótico Extras 2.1 Unidad de control 2.2 Dispositivos de entrada 2.4 Electrodomésticos domóticos 2.5 Medios de comunicación en redes domésticas 2 Elemenos de un sisema domóico Conenidos 2.1 Unidad de conrol 2.2 Disposiivos de enrada 2.3 Acuadores 2.4 Elecrodomésicos domóicos 2.5 Medios de comunicación en redes domésicas 2.6 Tecnologías aplicadas

Más detalles

Matemática financiera

Matemática financiera UNDAD 2 Maemáica financiera L a necesidad de efecuar numerosos y complicados cálculos dio origen a los logarimos. Los más usados son los logarimos neperianos, llamados así en honor de John Neper (156 1617),

Más detalles

Cuadernillo de Apuntes de Matemáticas III. M. en C.Luis Ignacio Sandoval Paéz

Cuadernillo de Apuntes de Matemáticas III. M. en C.Luis Ignacio Sandoval Paéz Cuadernillo de Apunes de Maemáicas III M. en C.Luis Ignacio Sandoval Paéz Índice Unidad I vecores. Definición de un vecor en R, R (Inerpreación geomérica), y su n generalización en R.. Operaciones con

Más detalles

TEMA: FUNCIONES: Cuadrantes 3 er cuadrante, x 0, 4º cuadrante, x 0,

TEMA: FUNCIONES: Cuadrantes 3 er cuadrante, x 0, 4º cuadrante, x 0, TEMA: FUNCIONES: ÍNDICE:. Inroducción.. Dominio y recorrido.. Gráficas de funciones elemenales. Funciones definidas a rozos. 4. Coninuidad.. Crecimieno y decrecimieno, máimos y mínimos. 6. Concavidad y

Más detalles

Sistemade indicadores compuestos coincidentey adelantado julio,2010

Sistemade indicadores compuestos coincidentey adelantado julio,2010 Sisemade indicadores compuesos coincideney adelanado julio,2010 Sisema de Indicadores Compuesos: Coincidene y Adelanado SI REQUIERE INFORMACIÓN MÁS DETALLADA DE ESTA OBRA, FAVOR DE COMUNICARSE A: Insiuo

Más detalles

Keywords: seguro de vida, provisión matemática, probabilidad, función de distribución, solvencia, value at risk, VAT, valor actual neto, VAN.

Keywords: seguro de vida, provisión matemática, probabilidad, función de distribución, solvencia, value at risk, VAT, valor actual neto, VAN. El seguro de vida como variable aleaoria. Cómo calcular su función de disribución. Nieo Ranero, Armando Universiy of Valencia, Spain Do. Maemáicas Económico Empresarial, Edificio Deparamenal Orienal, Av.

Más detalles

TEMA 2 LOS MODELOS ECONOMETRICOS Y SU PROBLEMATICA

TEMA 2 LOS MODELOS ECONOMETRICOS Y SU PROBLEMATICA TEMA 2 LOS MODELOS ECONOMETRICOS Y SU PROBLEMATICA 1. CONCEPTO DE MODELO El ermino modelo debe de idenificarse con un esquema menal ya que es una represenación de la realidad. En ese senido, Pulido (1983)

Más detalles

Tema 3. El modelo neoclásico de crecimiento: el modelo de Solow-Swan

Tema 3. El modelo neoclásico de crecimiento: el modelo de Solow-Swan Tema 3. El modelo neoclásico de crecimieno: el modelo de Solow-Swan Inroducción Esquema El modelo neoclásico SIN progreso ecnológico a ecuación fundamenal del modelo neoclásico El esado esacionario Transición

Más detalles

UNIDAD IX. Técnicas de Suavización

UNIDAD IX. Técnicas de Suavización UNIDAD IX Técnicas de Suavización UNIDAD IX La esadísica demuesra que suele ser más fácil hacer algo bien que explicar por qué se hizo mal. Allen L. Webser, 1998 Cuál es el objeivo de la Técnica de suavización?

Más detalles

CINEMÁTICA: MOVIMIENTO RECTILÍNEO, CONCEPTOS BÁSICOS Y GRÁFICAS

CINEMÁTICA: MOVIMIENTO RECTILÍNEO, CONCEPTOS BÁSICOS Y GRÁFICAS CINEMÁTICA: MOVIMIENTO RECTILÍNEO, CONCEPTOS BÁSICOS Y GRÁFICAS Dada la dependencia de la velocidad con la posición en un movimieno recilíneo mosrada por la siguiene gráfica, deerminar la dependencia con

Más detalles

1.- ALGORITMOS RÁPIDOS PARA LA EJECUCIÓN DE FILTROS DE PILA

1.- ALGORITMOS RÁPIDOS PARA LA EJECUCIÓN DE FILTROS DE PILA hp://www.vinuesa.com 1.- ALGORITMOS RÁPIDOS PARA LA EJECUCIÓN DE FILTROS DE PILA 1.1.- INTRODUCCIÓN Los filros de pila consiuyen una clase de filros digiales no lineales. Un filro de pila que es usado

Más detalles

LECCIÓN N 3 SEÑALES. Introducción

LECCIÓN N 3 SEÑALES. Introducción LECCIÓN N 3 SEÑALES Inroducción Señales coninuas y discreas Señales ípicas Señales periódicas y aperiódicas Parámeros ípicos. Especro de frecuencias Ruido y disorsión Elecrónica General Inroducción En

Más detalles

= Δx 2. Escogiendo un sistema de referencia común para ambos móviles x A

= Δx 2. Escogiendo un sistema de referencia común para ambos móviles x A Ejemplos de solución a problemas de Cinemáica de la parícula Diseño en PDF MSc. Carlos Álvarez Marínez de Sanelices, Dpo. Física, Universidad de Camagüey. Carlos.alvarez@reduc.edu.cu Acividad # C1. Un

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de varias variables. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C.

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de varias variables. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Maemáicas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Funciones de varias variables Elena Álvarez Sáiz Dpo. Maemáica Aplicada C. Compuación Universidad de Canabria Ingeniería de Telecomunicación Ejercicios: Func. varias

Más detalles

Las derivadas de los instrumentos de renta fija

Las derivadas de los instrumentos de renta fija Las derivadas de los insrumenos de rena fija Esrella Peroi, MBA Ejecuivo a cargo Capaciación & Desarrollo Bolsa de Comercio de Rosario eperoi@bcr.com.ar Como viéramos en el arículo el dilema enre la asa

Más detalles

3.1. FUNCIÓN SINUSOIDAL

3.1. FUNCIÓN SINUSOIDAL 11 ÍNDICE INTRODUCCIÓN 13 CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 19 Corriente eléctrica. Ecuación de continuidad. Primera ley de Kirchhoff. Ley de Ohm. Ley de Joule. Fuerza electromotriz. Segunda ley de Kirchhoff.

Más detalles

MECANISMOS DE TRANSMISIÓN

MECANISMOS DE TRANSMISIÓN MECANISMOS DE TRANSMISIÓN DE LA POLÍTICA MONETARIA EN MÉXICO MIGUEL MESSMACHER LINARTAS* * Las opiniones expresadas en ese documeno son exclusivamene del auor y no necesariamene reflejan las del Banco

Más detalles

Introducción a la Estadística Empresarial. Capítulo 4.- Series temporales Jesús Sánchez Fernández

Introducción a la Estadística Empresarial. Capítulo 4.- Series temporales Jesús Sánchez Fernández Inroducción a la Esadísica Empresarial. Capíulo 4.- Series emporales CAPITULO 4.- SERIES TEMPORALES 4. Inroducción. Hasa ahora odas las variables que se han esudiado enían en común que, por lo general,

Más detalles

6.- Señales digitales

6.- Señales digitales EAL - #3-6.- Señales digiales Dado un mensaje digial (p.ej. ) exisen diversos méodos para ransmiirlo como una señal elécrica (señal digial), algunos de los mas comunes, suponiendo ransmisión sincrónica,

Más detalles

Resolución Prueba Oficial

Resolución Prueba Oficial JUEVES 6 DE sepiembre DE 01 en n 1 on el maerial de esa edición podrás revisar ocho pregunas del Área emáica de Funciones siee de Geomería. El jueves 1 de sepiembre publicaremos la ercera pare de la resolución

Más detalles

Máquinas Eléctricas (4º Curso)

Máquinas Eléctricas (4º Curso) Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Minas Máquinas Elécricas (4º Curso) Apunes de la asignaura. Curso 200/2002 Juan José Sánchez Inarejos Tema. FUNDAMENTOS DE MÁQUINA ELÉCTRICAS... Inroducción a

Más detalles

Condiciones Generales de Contratación de los Contratos de Futuro sobre Acciones (Liquidación en Especie)

Condiciones Generales de Contratación de los Contratos de Futuro sobre Acciones (Liquidación en Especie) Condiciones Generales de Conraación de los Conraos de Fuuro sobre Acciones (Liquidación en Especie) I. OBJETO. 1. Acivo Subyacene. Las Acciones, Cerificados de Paricipación Ordinarios emiidos sobre Acciones

Más detalles

MODELO PARA EL CÁLCULO DE TARIFAS DE EMPRESAS ELÉCTRICAS DE DISTRIBUCIÓN CONSIDERANDO ASPECTOS ECONÓMICO-FINANCIEROS

MODELO PARA EL CÁLCULO DE TARIFAS DE EMPRESAS ELÉCTRICAS DE DISTRIBUCIÓN CONSIDERANDO ASPECTOS ECONÓMICO-FINANCIEROS MODELO PARA EL CÁLCULO DE TARIFAS DE EMPRESAS ELÉCTRICAS DE DISTRIBUCIÓN CONSIDERANDO ASPECTOS ECONÓMICO-FINANCIEROS Marcos Facchini (*), Albero Andreoni (*), Andrés Koleda (**), Ángel Garay (**), María

Más detalles

Aplicaciones del Ampli cador Operacional

Aplicaciones del Ampli cador Operacional Aplicaciones del Ampli cador Operacional J.I.Huircan Universidad de La Fronera January 6, 202 Absrac Exisen muchas aplicaciones con el Ampli cador Operacional (AO). El análisis en aplicaciones lineales

Más detalles

Construcción de señales usando escalones y rampas

Construcción de señales usando escalones y rampas Consrucción de señales usando escalones y rampas J. I. Huircán Universidad de La Fronera March 3, 24 bsrac Se planean méodos para componer y descomponer señales basadas en escalones y rampas. Se de ne

Más detalles

MÉTODO DE DEFLACIÓN DE VARIABLES ECONÓMICAS: CUENTAS ECONÓMICAS Y TABLAS INPUT-OUTPUT CRISTINA PRADO

MÉTODO DE DEFLACIÓN DE VARIABLES ECONÓMICAS: CUENTAS ECONÓMICAS Y TABLAS INPUT-OUTPUT CRISTINA PRADO MÉTODO DE DEFLACIÓN DE VARIABLES ECONÓMICAS: CUENTAS ECONÓMICAS Y TABLAS INPUT-OUTPUT CRISTINA PRADO EUSKAL ESTATISTIKA ERAKUNDEA INSTITUTO VASCO DE ESTADISTICA Donosia-San Sebasián, 1 01010 VITORIA-GASTEIZ

Más detalles

AMPLIFICADORES OPERACIONALES CON DIODOS. Al terminar la lectura de este capítulo sobre amplificadores operacionales con diodos, será capaz de:

AMPLIFICADORES OPERACIONALES CON DIODOS. Al terminar la lectura de este capítulo sobre amplificadores operacionales con diodos, será capaz de: 1 MPLIFICDOES OPECIONLES CON DIODOS OJEIVOS DE PENDIZJE l erminar la lecura de ese capíulo sobre amplificadores operacionales con diodos, será capaz de: Dibujar el circuio de un recificador de media onda

Más detalles

Examen Parcial de Econometría II. Nombre: RESOLUCION DEL EXAMEN PARCIAL Paralelo:

Examen Parcial de Econometría II. Nombre: RESOLUCION DEL EXAMEN PARCIAL Paralelo: Escuela Superior Poliécnica del Lioral Faculad de Economía y Negocios 30-11-2011 Examen Parcial de Economería II Nombre: RESOLUCION DEL EXAMEN PARCIAL Paralelo: REGLAMENTO DE EVALUACIONES Y CALIFICACIONES

Más detalles

Un algoritmo para la Planificación de Producción en un Sistema en Red de Fabricación basada en Sistemas Multiagente 1

Un algoritmo para la Planificación de Producción en un Sistema en Red de Fabricación basada en Sistemas Multiagente 1 X Congreso de Ingeniería de Organización Valencia, 7 y 8 de sepiembre de 2006 Un algorimo para la Planificación de Producción en un Sisema en Red de Fabricación basada en Sisemas Muliagene 1 Julio J. García-Sabaer

Más detalles

Modelos de Ajuste Nominal Incompleto. Por Agustín Casas, UdeSa. Diego Hofman, Princeton. Analía Olgiati, BID. Javier DiFiori, Morgan Stanley

Modelos de Ajuste Nominal Incompleto. Por Agustín Casas, UdeSa. Diego Hofman, Princeton. Analía Olgiati, BID. Javier DiFiori, Morgan Stanley Modelos de Ajuse Nominal Incompleo Por Agusín Casas, UdeSa. Diego Hofman, Princeon. Analía Olgiai, BID. Javier DiFiori, Morgan Sanley JEL CLASS: E12 - Keynes; Keynesian; Pos-Keynesian E13 - Neoclassical

Más detalles

FUNCIONES VECTORIALES CON DERIVE.

FUNCIONES VECTORIALES CON DERIVE. FUNCIONES VECTORIALES CON DERIVE. Las operaciones de cálculo de Dominio, adición susracción, muliplicación escalar y vecorial de funciones vecoriales, se realizan de manera similar a las operaciones con

Más detalles

Master en Economía Macroeconomía II. 1 Problema de Ahorro-Consumo en Horizonte Finito

Master en Economía Macroeconomía II. 1 Problema de Ahorro-Consumo en Horizonte Finito Maser en Economía Macroeconomía II Profesor: Danilo Trupkin Se de Problemas 1 - Soluciones 1 Problema de Ahorro-Consumo en Horizone Finio Considere un problema de ahorro-consumo sobre un horizone finio

Más detalles

METODOLOGÍA PARA EL AJUSTE DE LAS TASAS DE ESCOLARIZACIÓN A PARTIR DE LA INFORMACIÓN DEL CENSO NACIONAL DE POBLACIÓN, HOGARES Y VIVIENDA DE 2001

METODOLOGÍA PARA EL AJUSTE DE LAS TASAS DE ESCOLARIZACIÓN A PARTIR DE LA INFORMACIÓN DEL CENSO NACIONAL DE POBLACIÓN, HOGARES Y VIVIENDA DE 2001 METODOLOGÍA PARA EL AJUSTE DE LAS TASAS DE ESCOLARIZACIÓN A PARTIR DE LA INFORMACIÓN DEL CENSO NACIONAL DE POBLACIÓN, HOGARES Y VIVIENDA DE 2001 Insiuo Nacional de Esadísica y Censos (INDEC) Dirección

Más detalles

ELECTRONICA DE POTENCIA

ELECTRONICA DE POTENCIA LTRONIA D POTNIA TIRISTORS Anonio Nachez A4322 LTRONIA IV A4.32.2 lecrónica IV 2 3 INDI 1. onmuación naural 2. onmuación forzada 3. Méodos de apagado: lasificación 4. lase A: Auoconmuado por carga resonane

Más detalles

Análisis espectral Tareas

Análisis espectral Tareas Análisis especral Tareas T3.1: Implemenación y represenación del periodograma El objeivo de esa area es que los alumnos se familiaricen con la función más sencilla de análisis especral no paramérico. Programe

Más detalles

TEMA 3 DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES: CONVERSIÓN ANALÓGICA/DIGITAL.

TEMA 3 DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES: CONVERSIÓN ANALÓGICA/DIGITAL. TEMA 3 DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES: CONVERSIÓN ANALÓGICA/DIGITAL. 1 Eapas principales: Muesreo, cuanificación y codificación 1.1 Selección de la frecuencia de muesreo. Teorema del muesreo 1.2 Aliasing y

Más detalles

En esta sección inicial el estudiante se va a familiarizar con el uso de algunos instrumentos de laboratorio.

En esta sección inicial el estudiante se va a familiarizar con el uso de algunos instrumentos de laboratorio. Prácica de Laboraorio Nº 1. INSTRUMENTOS DE LORTORIO EL INVERSOR LÓGIO. Objeivos : - Familiarizarse con el uso de algunos insrumenos de laboraorio. - Funcionamieno del inversor lógico. Medición de algunos

Más detalles

Sistemas Físicos. Sistemas Físicos. Sistemas Eléctricos. Sistemas Eléctricos. Dependiendo de los elementos del sistema, los podemos clasificar en:

Sistemas Físicos. Sistemas Físicos. Sistemas Eléctricos. Sistemas Eléctricos. Dependiendo de los elementos del sistema, los podemos clasificar en: Sisemas Físicos Dependiendo de los elemenos del sisema, los podemos clasificar en: Sisemas elécricos Sisemas mecánicos Sisemas elecromecánicos Sisemas de fluídos Sisemas ermodinámicos Sisemas Físicos En

Más detalles

EQUIVALENCIA Y SIGNIFICADO DE LAS FORMULAS PARA VALORAR EMPRESAS POR DESCUENTO DE FLUJOS Pablo Fernández 1 INDICE

EQUIVALENCIA Y SIGNIFICADO DE LAS FORMULAS PARA VALORAR EMPRESAS POR DESCUENTO DE FLUJOS Pablo Fernández 1 INDICE EQUIVALENCIA Y SIGNIFICADO DE LAS FORMULAS PARA VALORAR EMPRESAS POR DESCUENTO DE FLUJOS Pablo Fernández INDICE. Fórmulas de valoración. Definiciones de cash flow disponible para las acciones y de free

Más detalles

ESTIMACION DE LA TASA DE DESEMPLEO NO ACELERADORA DE LA INFLACION PARA LA ECONOMIA ECUATORIANA RESUMEN

ESTIMACION DE LA TASA DE DESEMPLEO NO ACELERADORA DE LA INFLACION PARA LA ECONOMIA ECUATORIANA RESUMEN ESTIMACION DE LA TASA DE DESEMPLEO NO ACELERADORA DE LA INFLACION PARA LA ECONOMIA ECUATORIANA Segundo Fabián Vilema Escudero 1, Francisco Xavier Marrio García. 2 RESUMEN Esa esis esablece la uilización

Más detalles

Definición. Elementos de un Sistema de Control

Definición. Elementos de un Sistema de Control TEORÍA DE CONTROL. Tema 1. Inroducción a los Sisemas de Conrol Sisema de Conrol Los conroles auomáicos o sisemas de conrol consiuyen una pare muy imporane en los procesos indusriales modernos, donde se

Más detalles

FÍSICA. Centro Educativo de Nivel Secundario Nº 451 Anexo Universidad Tecnológica Nacional. Dirección de Capacitación No Docente.

FÍSICA. Centro Educativo de Nivel Secundario Nº 451 Anexo Universidad Tecnológica Nacional. Dirección de Capacitación No Docente. Cenro Educaivo de Nivel Secundario Nº 45 Anexo Universidad Tecnológica Nacional Dirección de Capaciación No Docene Dirección General de Culura y Educación Provincia de Buenos Aires FÍSICA Segundo Año Unidad

Más detalles

En el campo del control industrial se diferencian dos tipos de sistemas: MONITORIZACIÓN. Display S A L I D A. Alarmas S A L I D A

En el campo del control industrial se diferencian dos tipos de sistemas: MONITORIZACIÓN. Display S A L I D A. Alarmas S A L I D A MUESTREO DE SEÑALES Tipos de Señales de los Procesos Indusriales El ipo de señales usadas en conrol de procesos dependen del nivel en el que nos siuemos. Así, a nivel alo se uilizan señales de comunicación

Más detalles

Criterios de evaluación y selección de los proyectos de inversión en Cuba

Criterios de evaluación y selección de los proyectos de inversión en Cuba Crierios de evaluación y selección de los proyecos de inversión en Cuba Auor: Msc. Eliover Leiva Padrón E-Mail: eleyva@ucfinfo.ucf.edu.cu Insiución: Universidad de Cienfuegos Carlos Rafael Rodríguez Carreera

Más detalles

6. ALGEBRAS DE BOOLE

6. ALGEBRAS DE BOOLE 6.1. Relaciones de orden Relación de orden Se llama relación de orden sobre un conjuno A a cualquier relación R enre sus elemenos que verifica las siguienes res propiedades: 1. Refleiva: ara, para cualquier

Más detalles

CAPÍTULO 3: INFILTRACIÓN

CAPÍTULO 3: INFILTRACIÓN 27 CAPÍTULO 3: INFILTRACIÓN 3.1 DEFINICIÓN El agua precipiada sobre la supericie de la ierra, queda deenida, se evapora, discurre por ella o penera hacia el inerior. Se deine como inilración al paso del

Más detalles

Estadística de Valor Tasado de Vivienda

Estadística de Valor Tasado de Vivienda Esadísica de Valor Tasado de Vivienda Meodología Subdirección General de Esudios y Esadísicas Madrid, enero de 2016 Índice 1 Inroducción 2 Objeivos 3 Ámbios de la esadísica 3.1 Ámbio poblacional 3.2 Ámbio

Más detalles

Conceptos teóricos. Revisión de la literatura sobre pobreza, desigualdad y crecimiento. Contexto económico.

Conceptos teóricos. Revisión de la literatura sobre pobreza, desigualdad y crecimiento. Contexto económico. Relación enre crecimieno, desigualdad y pobreza: Un análisis aplicado a las regiones españolas. CAPÍTULO Concepos eóricos. Revisión de la lieraura sobre pobreza, desigualdad y crecimieno. Conexo económico..

Más detalles

La Conducción de la Política Monetaria del Banco de México a través del Régimen de Saldos Diarios

La Conducción de la Política Monetaria del Banco de México a través del Régimen de Saldos Diarios La Conducción de la Políica Monearia del Banco de México a ravés del Régimen de Saldos Diarios INDICE I. INTRODUCCIÓN...2 II. LA OPERACIÓN DEL BANCO DE MÉXICO EN EL MERCADO DE DINERO...3 III. IV. II.1.

Más detalles

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL ESCUELA POLIÉCNICA NACIONAL ESCUELA DE CIENCIAS DAOS AÍPICOS Y FALANES, ANÁLISIS DE INERVENCIÓN Y DESESACIONALIZACIÓN DE SERIES CRONOLÓGICAS. APLICACIONES A DAOS DE UNA EMPRESA DE VENA DIRECA PROYECO PREVIO

Más detalles

Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores S.A.B. de C.V. (en adelante IPC y BMV respectivamente).

Índice de Precios y Cotizaciones de la Bolsa Mexicana de Valores S.A.B. de C.V. (en adelante IPC y BMV respectivamente). Auorización SHCP: 09/11/2010 Fecha de publicación úlima modificación: 29/08/2014 Fecha de enrada en vigor: 05/09/2014 Condiciones Generales de Conraación del Conrao de Fuuro sobre el Índice de Precios

Más detalles

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 24, No. 1, 2003

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 24, No. 1, 2003 REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 24, No. 1, 2003 ADAPTACION DE LOS TIPOS DE INTERES DE INTERVENCION A LA REGLA DE TAYLOR. UN ANALISIS ECONOMETRICO Carlos Paeiro Rodríguez 1, Deparameno de Análisis

Más detalles