Introducción al Análisis de Circuitos Eléctricos

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1 Universidad Auónoma de Madrid Escuela Poliécnica Superior Inroducción al Análisis de Circuios Elécricos TEMA ESTUDIO DE CIRCUITOS EN RÉGIMEN PERMANENTE SINUSOIDAL Jesús Bescós Cano Fabriio Tiburi Paramio Madrid, 7

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3 . INTRODUCCIÓN.... CONCEPTOS BÁSICOS..... TRIGONOMETRÍA..... NÚMEROS COMPLEJOS....3 SEÑALES SINUSOIDALES DEFINICIONES... 3 Señal periódica... 3 Señal sinusoidal... 3 Desfase enre señales sinusoidales... 4 Valor medio y valor efica RELACIÓN CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS. CONCEPTO DE FASOR OPERACIONES. DIAGRAMAS FASORIALES Suma... 8 Derivación e inegración... 9 Conclusiones....4 CIRCUITOS RLC EXCITADOS POR SEÑALES SINUSOIDALES OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN EN RÉGIMEN PERMANENTE IMPEDANCIA EN RPS... 4 Asociación de impedancias ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC EN RPS POTENCIA EN RPS POTENCIA INSTANTÁNEA... 8 Poencia aciva y poencia reaciva. Facor de poencia POTENCIA MEDIA PUESTA EN JUEGO POR LOS DISPOSITIVOS CIRCUITALES... 9 Poencia en una impedancia genérica... Poencia en resisencias, bobinas y condensadores... Poencia insanánea en disposiivos pasivos... APÉNDICE A: NÚMEROS COMPLEJOS... 3 A. HISTORIA Y DEFINICIONES... 3 A. OPERACIONES... 5 Suma... 5 Produco... 6 División:... 6 Sisemas de ecuaciones... 7 A.3 EJERCICIOS... 8 Ejercicio... 8 Ejercicio... 9 Ejercicio Ejercicio Ejercicio APÉNDICE B: POTENCIA COMPLEJA Y POTENCIA APARENTE... 3

4 . Inroducción Por Régimen Permanene Sinusoidal (en adelane RPS) se eniende el esado en que se encuenra un circuio exciado por señales sinusoidales una ve que el régimen libre es despreciable. Si además se verifica que odas las exciaciones son de igual frecuencia, la resolución del circuio se puede abordar sin grandes complicaciones operaivas. En esa siuación, gracias a las especiales propiedades de las señales sinusoidales y a la linealidad de los modelos presenados para resolver un circuio, odas las corrienes y ensiones presenes en el circuio van a ser ambién señales sinusoidales, y de igual frecuencia que la de los generadores o exciaciones. Las especiales propiedades a que nos referimos son esencialmene que la suma de dos sinusoides de igual frecuencia es ora sinusoide de la misma frecuencia y que las sucesivas inegrales o derivadas de señales sinusoidales son ambién señales sinusoidales de la misma frecuencia. Si enemos en cuena que ano las caracerísicas i-v de los disposiivos presenados como las Leyes de Kirchhoff sólo involucran ese ipo de operaciones, se enenderá que las respuesas de circuios exciados por sinusoides sean ambién sinusoides de igual frecuencia. Apare de esas propiedades, relevanes a efecos eóricos, las señales sinusoidales son fáciles de generar (de ahí su uso en la generación de energía elécrica alernador, urbina y en su ranspore), y desempeñan un papel fundamenal en el campo del proceso de señal y comunicaciones (análisis de Fourier, modulaciones, ec.,).

5 . Concepos básicos.. Trigonomería Es la rama de la ciencia que esudia las relaciones que exisen enre los lados y los ángulos de un riángulo. De cara al análisis de circuios, los concepos que conviene dominar son: Unidades. Aunque en ocasiones se rabaja con ángulos expresados en grados, lo habiual es operar con ángulos expresados en radianes. En cualquier caso ha de presarse especial aención para no meclar ambas unidades (error habiual al sumar ángulos que provienen de velocidades angulares, ípicamene dadas en radianes por segundo, con fases iniciales, frecuenemene dadas en grados). Funciones rigonoméricas. Expresiones del seno, coseno y angene de los ángulos agudos de un riángulo recángulo en función de sus caeos e hipoenusa. Circunferencia goniomérica o de radio unidad. Localiación inmediaa de ángulos expresados en radianes e idenificación ágil de sus senos y cosenos... Números complejos Tano en la Ingeniería Elécrica como en emas más direcamene relacionados con la Teoría de la Señal, exisen muliud de fenómenos cuyo esudio es posible formaliar y abordar con relaiva sencille a parir de la eoría de variables complejas. Por ello resula fundamenal saber manejar con solura las operaciones con números complejos, sus diversas represenaciones y sus relaciones con la geomería. El Apéndice A de ese capíulo ofrece un resumen de lo que, a efecos de esa asignaura, se considera necesario dominar.

6 .3 Señales sinusoidales.3. Definiciones SEÑAL PERIÓDICA Es aquella que se repie cada ciero inervalo de iempo fijo, T, al que se denomina periodo de la señal (ver Fig..). T Fig..: Señal periódica de periodo T. Analíicamene, una señal f() es periódica si se verifica: + T / f( ) = f( + nt), n Ζ (. ) Al mínimo valor de T que verifica esa relación (obsérvese que si la verifica un valor T, ambién lo hará T, 3T, ec.) se le denomina periodo fundamenal de la señal. Habiualmene, al periodo fundamenal se le denomina direcamene periodo de la señal. SEÑAL SINUSOIDAL Es una señal periódica cuya expresión habiual viene dada por: y () = Asen( ω + ϕ ) (. ),donde: A es la ampliud máxima que alcana la señal. Viene dada en las mismas unidades que la señal. También se denomina ampliud de pico, y al doble de su valor ampliud pico-pico (ver Fig..). ω es la velocidad de variación de fase, o pulsación. Viene dada en radianes/s. La pulsación esá direcamene relacionada con el periodo de la señal que normalmene vendrá dado en segundos: y () = y ( + T) Asen ( ω+ ϕ) = Asen ( ω( + T) + ϕ) π ω+ ϕ + kπ = ω( + T) + ϕ T = k ω (. 3), que oma valor mínimo para k =, de donde: π T = ω (. 4) A parir del periodo se define la frecuencia de la señal, que se corresponde con el número de ciclos o periodos por segundo, y se mide en herios (H): 3

7 ω f = = T π (. 5) ω ϕ + es la fase de la señal en cada insane,. Puede venir dada en radianes o en grados, aunque es conveniene expresarla en radianes para eviar meclar unidades, ya que la pulsación suele darse en rad/s. Varía linealmene enre y π (ver Fig..). Al valorϕ se le denomina fase inicial de la señal, ya que es el valor que oma la fase en el insane =. Puede venir dada en radianes o en grados, aunque nuevamene es conveniene expresarla en radianes para eviar complicaciones. Ampliud A Ampliud máxima = A Fase π Fase Señal y() ϕ A y() = A sen(ω +ϕ ) Fig..: Evolución de la ampliud y fase de una señal sinusoidal. DESFASE ENTRE SEÑALES SINUSOIDALES El desfase (o, dicho de oro modo, la diferencia insanánea enre fases) enre dos señales sinusoidales de la misma frecuencia puede inerprearse como un reardo en el iempo de una señal respeco de la ora. Dadas dos señales sinusoidales y ( ) e y ( ), podemos inerprear su fase inicial como un iempo inicial: ϕ y = Asen + y = Asen + (. 6) () ( ω ϕ) () ( ω( )) ω ϕ y = A sen + y = A sen + (. 7) () ( ω ϕ) () ( ω( )) ω, lo que indica que la fase de la primera señal es nula para = ϕ ω y la de la segunda para = ϕ ω. Si > (es decir, si ϕ > ϕ ), la señal y ( ) presena fase nula después que y ( ). Dicho de oro modo, y () decimos que esá rerasada con respeco a y ( ) un iempo =, o bien que y () esá adelanada respeco de y ( ) esa misma magniud. También suele decirse que y () presena un reardo de con respeco a y ( ). La Fig..3 ilusra gráficamene ese concepo suponiendo ϕ = y ϕ > ϕ. 4

8 y() y () y () Fig..3: Desfase o reardo emporal enre dos señales sinusoidales. A parir del concepo de desfase es inmediao relacionar las funciones seno y coseno. Efecivamene, si represenamos gráficamene la función seno omando una fase inicial de π / radianes (ver Fig..4), podemos comprobar que el resulado es precisamene la función coseno. De aquí la idenidad habiualmene esudiada en los cursos de rigonomería: π sen ω + = cos( ω) y() sen(ω ) cos(ω ) (. 8) π/(ω ) Fig..4: Represenación gráfica de las funciones seno y coseno. Como veremos a lo largo de ese ema, en la resolución de cieros problemas no se asigna a las señales un deerminado origen de iempos ya que no ineresa conocer la fase absolua de las señales involucradas sino sus fases relaivas (es decir, los desfases enre ellas). En esas siuaciones se habla sin embargo de la fase de una señal, indicando en realidad su desfase con respeco a una señal que se considera o acuerda origen de fases o de fase nula. VALOR MEDIO Y VALOR EFICAZ El valor medio de una señal genérica y() en un inervalo < < se define como la media de los valores insanáneos que y() oma en dicho inervalo: A (, ) m = yd () (. 9) En el caso de señales periódicas se habla simplemene de valor medio y se asume que el inervalo de cálculo es = T, su periodo. Dado que odos los periodos son iguales, la inegral se podrá calcular sobre cualquier periodo de la señal. Así, para una señal y () periódica de periodo T: A m = y( ) d T T (. ) 5

9 Si y() es además una función sinusoidal de pulsación ω (y por ano T = π ω ) el valor medio será siempre nulo: π π ω ω ω A ω ϕ ω ϕ ω Am = A sen( ) d cos( ) π + = + = π ω (. ) Noa: En el erreno de la elecricidad el valor medio de una señal de corriene o ensión puede inerprearse como el valor de señal coninua que ransporara la misma canidad nea de carga. El valor efica al cuadrado de una señal genérica y() en un inervalo < < se define como la media de los valores insanáneos al cuadrado que la señal oma en dicho inervalo: (, ) ef = A y () d (. ) Análogamene a lo viso para el valor medio, si y () es una señal periódica se asumirá direcamene que = T : A = y ( ) d ef T T (. 3) Si y() es además una función sinusoidal de pulsación ω el valor efica será: π π ω ω π ω ωa cos( ω ϕ) ωa ω ef ( ω ϕ) sin( ω ϕ) π π + π A = A sen + d = d = + = = ω A π = A = A (. 4) Aef π ω Noa: En el erreno de la elecricidad el valor efica de una señal de corriene (o ensión) alerna se corresponde con aquél que endría una corriene (o ensión) coninua que produjera la misma poencia media al aplicarse sobre una misma resisencia. Noa: Cuando medimos con un mulímero básico valores de ensiones o corrienes alernas, las medidas obenidas se refieren exclusivamene a sus valores eficaces..3. Relación con los números complejos. Concepo de fasor. Es posible esablecer una relación direca enre los números complejos y las funciones sinusoidales que nos va a permiir represenar cualquier función sinusoidal con un número complejo que gira enorno al origen a una velocidad consane. jϕ Sea un número complejo = Ae. Si lo represenamos en el plano complejo (ver Fig..5) sus pares real e imaginaria se corresponderán con las proyecciones sobre los ejes coordenados: En lengua inglesa el valor efica recibe el nombre de Roo Mean Square, cuyas siglas (RMS) han pasado a ser un anglicismo de uso habiual. 6

10 Re[ ] = Acosϕ (. 5) Im[ ] = Asenϕ (. 6) Im[] A sen(ϕ ) A e jϕ O ϕ A cos(ϕ ) Re[] Fig..5: Represenación geomérica de un número complejo. jφ Si muliplicamos ese número complejo por oro e lo esaremos roando φ radianes respeco al origen. Si además φ varía con el iempo de la forma φ() = ω, el produco j j () Ae ϕ ω = e represena un número complejo de módulo A que gira a raón de ω radianes por unidad de iempo en orno al origen del plano complejo (ver Fig..6). A ese número complejo que gira se le denomina fasor, y sus pares real e imaginaria son respecivamene: j j Re[ Ae ϕ ω e ] Acos( ω ϕ) = + (. 7) j j Im[ Ae ϕ ω e ] Asen( ω ϕ) = + (. 8) Im[] Im[] A ω jϕ A e e jω A sen(ω +ϕ ) O ϕ Re[] ϕ ω Re[] A A cos(ω +ϕ ) ϕ Fig..6: Equivalencia enre funciones sinusoidales y números complejos 7

11 En conclusión, podemos expresar cualquier señal sinusoidal como la pare real o imaginaria de un fasor de módulo igual a la ampliud máxima de la señal, de argumeno igual a su fase inicial, y que gira a una velocidad angular igual a la pulsación de la señal..3.3 Operaciones. Diagramas fasoriales. Según se ha viso en el capíulo anerior, la resolución de circuios se obiene de la aplicación conjuna de las Leyes de Kirchhoff y de las caracerísicas i-v de los disposiivos involucrados. En nuesro caso, ello supone sumas, escalados, derivaciones e inegraciones de señales de ensión o corriene. En esa sección se preende demosrar que si las señales involucradas son sinusoides de igual pulsación o frecuencia, es posible efecuar odas las operaciones con fasores en ve de con sinusoides, lo que simplifica enormemene la operaiva. SUMA San dos sinusoides y ( ) e y ( ) de la forma: y () = A cos( ω + ϕ ) (. 9) y () = A cos( ω + ϕ ) (. ) Si definimos y S () como la función suma de y( ) e y ( ) y expresamos ambas señales en función de sus fasores, podemos escribir:. y () = y () + y () = Re[ Ae e ] + Re[ Ae e ] = Re[ Ae e + Ae e ] (. ) S jϕ jω jϕ jω jϕ jω jϕ jω Si imponemos que las pulsaciones de las dos señales sinusoidales sean iguales ( ω = ω = ω) y jϕs jϕ jϕ definimos el número complejo suma AS e = Ae + Ae, la úlima expresión puede simplificarse: y ( ) = Re[( Ae + A e ) e ] = Re[ A e e ] = A cos( ω + ϕ )) (. ) jϕ jϕ jω jϕs jωs S S S S De ese desarrollo puede concluirse, en primer lugar, que la suma de dos sinusoides de la misma frecuencia es igual a ora sinusoide de la misma frecuencia. En segundo lugar, que la ampliud máxima y la fase inicial de la señal suma ( AS, ϕ S ) pueden obenerse respecivamene como el j S módulo y argumeno del número complejo ( AS e ϕ ) resulane de sumar las pares fijas jϕ j A e, A e ϕ ) de los fasores que represenan a las señales que se suman. ( Obsérvese que ese desarrollo es igualmene válido si las señales que se suman son ambas sinusoides en forma seno. Tomando la pare imaginaria de sus fasores en ve de la pare real llegaríamos exacamene a las mismas conclusiones. Por lo ano, una ercera conclusión es que la obención de ampliud máxima y fase inicial por ese procedimieno asume que las señales que se suman ienen igual forma (ambas seno o ambas coseno ) y que ésa misma es la forma que iene el resulado. Si las señales a sumar uvieran disina forma habría que cambiar la de una de ellas (sumando o resando π a su fase inicial, según la relación (.8)). Por lo ano, para sumar señales sinusoidales de igual pulsación basa con expresar ambas en la misma forma y a coninuación sumar los números complejos que represenan sus respecivas ampliudes máximas y fases iniciales. Dado que la pare giraoria de los fasores (es decir, el j érmino e ω ) no se uilia para llevar a cabo la suma (ya que se asumen señales de igual pulsación), el érmino fasor suele aplicarse sólo a la pare fija de ése. De ese modo, asumiremos de ahora en adelane que los fasores de las señales involucradas (represenados siempre en leras mayúsculas) son: 8

12 y A Y Ae ϕ j () = cos( ω + ϕ) = (. 3) y A Y A e ϕ j () = cos( ω + ϕ) = (. 4) S y () = A cos( ω + ϕ ) Y = A e = Y + Y (. 5) j ϕ S S S S S En conclusión, la suma de señales sinusoidales de igual pulsación se puede llevar a cabo sumando sus fasores. Dicho de oro modo, la operación puede realiarse en el dominio fasorial con mayor facilidad que en el dominio emporal. La Fig..7 muesra gráficamene el proceso de obención de la señal suma. En ella es inmediao comprobar que para sumar dos señales sinusoidales es imprescindible ener en cuena ano sus ampliudes como sus fases. Eso explica por qué cuando se miden corrienes o ensiones sinusoidales con un mulímero (que lo que mide es sólo sus valores eficaces, es decir, un valor proporcional a sus ampliudes) no es posible aplicar direcamene las Leyes de Kirchhoff sobre esos valores: ambién es necesario conocer las fases relaivas de dichas ensiones o corrienes. Im[] Ae jϕ A e jϕ Re[] Fig..7: Diagrama fasorial: represenación gráfica de la suma de dos fasores. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN Sea una señal sinusoidal y () = Acos( ω+ ϕ). La derivada de esa señal con respeco al iempo puede expresarse como: dy() π = Aω sen( ω+ ϕ) = Aω sen( ω+ ϕ + π) = Aω cos( ω+ ϕ + ) (. 6) d, es decir ora señal sinusoidal con la misma frecuencia que y (), escalada por ω y adelanada π / radianes. Aunque las operaciones involucradas para llegar a ese resulado no son demasiado complicadas, esa misma operación, efecuada en el dominio fasorial, resula basane más sencilla. En efeco, represenando y () en función de su fasor giraorio: jϕ jw dy() d jϕ jw da e e jϕ jw π = Re[ Ae e ] = Re = Re[ Ae jwe ] = Aω cos( ω+ ϕ + ) (. 7) d d d j Si observamos el úlimo paso de ese desarrollo (para el que se ha uiliado la relación j = e π ) se puede concluir que el fasor de la señal derivada se puede obener direcamene escalando o muliplicando por jω el fasor de la señal original. En conclusión: Dado que a parir de ahora rabajaremos con señales de igual pulsación, por raones de claridad se omiirán los subíndices y se hará referencia a ella como ω. 9

13 y() A cos( ) A e ϕ j = ω + ϕ (. 8) dy() d π jϕ = Aω cos( ω + ϕ+ ) jωae (. 9) Respeco a la inegración, la inegral de la misma señal sinusoidal y() puede expresarse como sigue: A yd ( ) = Acos( ω+ ϕ) d= sen( ω+ ϕ) = cos ω+ ϕ (. 3) ω, que se corresponde con ora señal sinusoidal de la misma frecuencia que y (), escalada por /ω y rerasada π / radianes. Si efecuamos esa operación uiliando el fasor giraorio de la señal: A ω π jϕ jω jϕ jω jϕ jω A π ω ϕ y ( ) d= Re[ Ae e ] = Re[ Ae e ] = Re[ Ae e ] = cos + jω ω (. 3) j, desarrollo en el que se ha uiliado la relación j = e π. Análogamene al caso de la derivación, se puede concluir que el fasor de la señal inegral se puede obener direcamene escalando o muliplicando por jω el fasor de la señal original. En conclusión: y () Acos( ) Ae ϕ j = ω + ϕ (. 3) A π () cos( ) jϕ = ω + ϕ A y d e (. 33) ω jω A modo de ejemplo y con el fin de conrasar las represenaciones emporal y fasorial aplicadas a magniudes circuiales, supongamos la rama de la Fig..8, recorrida por una corriene sinusoidal i (). Según las caracerísicas i-v de los disposiivos involucrados, las ensiones en la resisencia, la bobina y el condensador en régimen permanene sinusoidal son respecivamene: v () = Ri() (. 34) R () di() vl = L (. 35) d vc () = i() d C (. 36) v R () v L () v C () i() Fig..8: Caídas de ensión en una rama RLC serie. En la Fig..9 se represena esa corriene y esas ensiones en el dominio del iempo y la Fig.. ofrece una represenación de sus respecivos fasores (lo que se denomina un diagrama fasorial).

14 v,i I ωl I R I I /(ωc) i() v R () v C () v L () Fig..9: Represenación en el dominio del iempo de la corriene y de las caídas de ensión en una resisencia, un condensador y una bobina, en régimen permanene sinusoidal. I ω Le π j ϕ + Im[] v L () I Re ϕ j v R () O ϕ Ie ϕ j i() Re[] I e ωc π j ϕ v C () Fig..: Represenación en el dominio fasorial de la corriene y de las caídas de ensión en una resisencia, un condensador y una bobina. Obsérvese que la ensión que cae en bornes de una bobina esá siempre adelanada π / respeco de la corriene que la araviesa (en el diagrama fasorial se aprecia observando que su fasor iene un argumeno π / mayor), la ensión que cae en bornes de un condensador esa rerasada π / respeco de la corriene que la araviesa (en el diagrama fasorial se aprecia observando que su fasor iene un argumeno π / menor), y la ensión en una resisencia se encuenra en fase con la corriene que la araviesa (en el diagrama fasorial se aprecia observando que su fasor iene igual argumeno). CONCLUSIONES Dado que las señales sinusoidales resulanes de las operaciones aneriores conservan la pulsación de las señales originales, se suele aplicar el concepo de fasor de una señal al número complejo invariane o fijo en el iempo que sólo apora información del módulo y la fase de la señal que represena. No debe olvidarse, sin embargo, que aunque no apareca explíciamene en su expresión, un fasor siempre llevará asociada una frecuencia angular, que en úlima insancia deberá de enerse en cuena para expresar la señal en el dominio del iempo. En la siguiene abla se resumen las operaciones que se han explicado en los aparados aneriores y se muesra su resulado ano en el dominio del iempo como en el dominio fasorial. Debe de quedar claro que el único objeivo de cambiar de dominio es, como veremos en secciones

15 poseriores, simplificar la operaiva de resolución de un circuio en régimen permanene sinusoidal. Por ello, aunque para realiar las operaciones inermedias rabajemos en el dominio complejo, los resulados finales deberán expresarse siempre en el dominio del iempo. Operación Dominio del iempo Dominio fasorial OPERANDOS RESULTADO OPERANDOS RESULTADO y() = Acos( ω+ ϕ) Suma y () = A cos( ω+ ϕ ) y () = A cos( ω+ ϕ ) s s s A e ϕ j jϕs jϕ jϕ A j A e ϕ Se = Ae + Ae Derivación π j y () = Acos( ω+ ϕ) Aωcos( ω+ ϕ + ) A e ϕ j jω A e ϕ Inegración A π y () = Acos( ω+ ϕ) cos ω + ϕ ω j A e ϕ jϕ A e jω

16 .4 Circuios RLC exciados por señales sinusoidales.4. Obención de la solución en régimen permanene Sea el circuio de la Fig.. exciado por una fuene sinusoidal de valor e (): + i() e() v R () R C v C () L v L () Fig..: Circuio RLC de una malla con una exciación sinusoidal. Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff sobre la única malla del circuio obenemos: di() e () = Ri () + L () + i( τ ) dτ d C (. 37) Como se vio en el Tema, se raa de una ecuación diferencial lineal con coeficienes reales consanes y posiivos cuya solución, una ve que el régimen libre resula despreciable, es una corriene en régimen permanene o forado. Dado que ese régimen corresponde a la solución paricular de la ecuación diferencial sabemos (por la eoría de ecuaciones diferenciales) que la corriene presena la misma forma que la exciación. Por lo ano si e () es una sinusoide de una frecuencia dada, i () lo será ambién. Sea, por ano, e () = E cos( ω+ ϕ) la ensión conocida del generador. La corriene i () deberá de ser de la forma i () = I cos( ω+ β), expresión en la que I y β son incógnias. Reemplaando esos valores e incógnias en la ecuación.37: d E cos( ω + ϕ ) = L I cos( ω + β ) + RI cos( ω + β ) + I cos( ωτ + β ) d τ (. 38) d C Si derivamos los érminos correspondienes e igualamos por un lado las pares dependienes del iempo y por el oro las independienes podemos llegar a una solución para I y β. Sin embargo, el procedimieno de resolución puede simplificarse susancialmene si observamos que la ecuación únicamene involucra sumas de señales sinusoidales con la misma pulsación, derivaciones e inegraciones, operaciones odas que se ha viso cómo llevar a cabo en el dominio fasorial o complejo. Por lo ano, si susiuimos en la ecuación.37 cada érmino por su fasor podemos escribir una nueva ecuación en ese nuevo dominio: jϕ jβ jβ jβ Ee = RIe + LjωIe + Ie (. 39) C jω jϕ Denoando los fasores corriene y ensión respecivamene como E (= E e ) e I (= ecuación puede rescribirse como: I jβ e ) la 3

17 E = RI + jωli + I (. 4) jωc, ecuación que relaciona fasores de ensión, de acuerdo con la ª Ley de Kirchhoff y en la que podemos despejar el fasor de corriene buscado: E I = R+ jωl+ jωc (. 4) Una ve obenido el fasor resulane (como resulado de una operación con números complejos), y eniendo en cuena que las señales esaban expresadas en forma coseno, la expresión emporal de la corriene buscada queda: jω i () = Re[ Ie ] = I cos( ω+ β) (. 4) Si esa corriene esá adelanada respeco a la ensión ( β > α ) se dice que el circuio presena carácer capaciivo (dado que en un condensador la corriene que lo araviesa esá adelanada respeco a a ensión que en él cae), mienras que si esá resrasada se dice que presena carácer inducivo (por similar moivo). En la Fig.. se muesran los diagramas de los fasores de corriene y ensión para ambas siuaciones. Ese ipo de diagramas, además de ofrecer una visión clara y concisa de las relaciones enre odas las ensiones y corrienes, permien en ocasiones resolver problemas geoméricamene. V R V L V L -V C Im[] O ϕ E V C β I V R Re[] V L Im[] O I ϕ β V C -V L E Re[] V C (a) (b) Fig..: Represenación fasorial de un circuio RLC inducivo (a) y capaciivo (b).4. Impedancia en RPS En la ecuación. 4 puede observarse que el fasor de ensión asociado a cada uno de los disposiivos de la malla es siempre proporcional al fasor de corriene: V = RI = Z I Z = R R R R V = jωli = Z I Z = ωle L L L VC = I = ZCI ZC = e jωc ωc π j π j (. 43) 4

18 Al facor de proporcionalidad Z R, Z L o Z C que en cada caso relaciona el fasor de corriene con el fasor de ensión se le denomina impedancia y se denoa con la lera Z. Su inverso se denomina admiancia y se denoa con la lera Y. La impedancia relaciona, por ano, los fasores de corriene y ensión de acuerdo a una ley similar a la Ley de Ohm en el dominio del iempo, generaliando así la caracerísica I-V de cualquier disposiivo en el dominio fasorial. Dado que la impedancia es un número complejo afeca ano al módulo como a la fase de la magniud sobre la que opere. Obsérvese que la impedancia asociada a una resisencia es siempre real (ya que es precisamene el valor de la resisencia), mienras que la asociada a bobinas y condensadores es siempre imaginaria. Como veremos a coninuación, es posible definir impedancias con pare real e imaginaria. A la pare real la denominamos resisencia, mienras que a la pare imaginara se le denomina reacancia (análogamene, a la pare real de la admiancia se le denomina conducancia y a su pare imaginaria suscepancia). La reacancia se denoa con la lera χ y es posiiva para las bobinas y negaiva en los condensadores. En el caso de los disposiivos aneriores: χ = (. 44) R χ = ωl (. 45) L χ = C ωc (. 46) Un aspeco fundamenal a ener en cuena es que la impedancia de un disposiivo reacivo depende de la pulsación ω a la que rabaje el circuio, según se desprende de las relaciones visas. Por ejemplo, si se duplica la pulsación de rabajo la impedancia de odas las bobinas se duplica y la de los condensadores se reduce a la miad. Si una impedancia iene sólo pare real posiiva se dice que es puramene resisiva (en el conexo de esa asignaura no iene senido hablar de impedancias con pare real negaiva); cuando iene pare imaginaria posiiva, se dice que iene carácer inducivo; y cuando iene pare imaginaria negaiva, que iene carácer capaciivo. Esa apreciación guarda relación direca con el hecho de que la impedancia de un disposiivo indica la relación de ampliud y fase enre la corriene que lo araviesa y la ensión que cae en sus bornes. Efecivamene, dado un disposiivo con impedancia Z : V Z jϕ V = Z = Ze Z, V= Z I Z= I I ϕ Z = ϕv ϕi Así, para los disposiivos visos (ver eq. (. 43)): (. 47) La ensión y corriene en bornes de una resisencia esán en fase (es decir, su diferencia de fases es nula). La ensión en una bobina iene una fase π / mayor que la corriene que la araviesa, es decir, la ensión esá adelanada respeco de la corriene. La ensión en un condensador iene una fase π / menor que la corriene que lo araviesa, es decir, la ensión esá rerasada respeco de la corriene. En el caso de una impedancia genérica, con pare real e imaginaria, el argumeno de la impedancia indicaría el desfase enre ensión y corriene. Observe que al no considerar la posibilidad de pares reales negaivas, ese desfase ha de manenerse siempre en el inervalo π /, π /. [ ] 5

19 ASOCIACIÓN DE IMPEDANCIAS Aplicando los mismos procedimienos visos en el Tema sobre Equivalencia y Asociación, a las Leyes de Kirchhoff expresadas con fasores y al concepo de impedancia como expresión generaliada de la caracerísica I-V de un disposiivo en ese dominio, es posible definir el concepo de impedancia equivalene. Así, para el caso de N impedancias (es decir, disposiivos analiados en RPS) conecadas en serie: N Z = Z = Z (. 48) eq s i i= Y para el de N impedancias conecadas en paralelo: N = = (. 49) Z Z Z eq p i= i o bien, en función de las admiancias Y i = : Z i N Y = Y = Y (. 5) eq p i i= Obsérvese, en primer lugar, que el concepo de impedancia permie asociar disposiivos de disina nauralea (resisencias, bobinas o condensadores); de ahí la posibilidad de obener impedancias que no son reales (resisencias) ni imaginarias (bobinas o condensadores). En segundo lugar, el cálculo de impedancias equivalenes involucra operaciones con números complejos, operaciones que en muchos casos resula venajoso represenar e incluso llevar a cabo gráficamene en un plano complejo (diagrama de impedancias), según muesra la Fig..3. Im[] Z L Z L -Z C O Z C Z EQ β Z R Re[] Fig..3: Impedancia equivalene de un circuio serie RLC con carácer inducivo. 6

20 .5 Análisis de circuios RLC en RPS Según lo expueso hasa ahora, la represenación de señales sinusoidales a ravés de fasores permie rasladar el problema del análisis de un circuio al dominio fasorial: se planea el problema en ese dominio aplicando las Leyes de Kirchhoff sobre fasores, uiliando el concepo de impedancia como caracerísica I-V; se resuelve el sisema de ecuaciones de números complejos; y se inerprean los fasores resulanes como las sinusoides a que represenan. El análisis fasorial es una herramiena que permie abordar de un modo sencillo el problema de análisis de circuios en RPS, rasladándolo del dominio emporal al de los fasores. Es fundamenal, por lo ano, no meclar en ningún caso elemenos de ambos dominios. En ese senido, se ha hecho especial hincapié en adopar una noación (ampliamene exendida) que en RPS ayude a disinguirlos: represenaremos con leras minúsculas odos los daos dependienes del iempo y con leras mayúsculas los fasores. A modo de resumen y compendio de los procedimienos explicados, así como de su relación con las écnicas generales de análisis de circuios visas en el Tema, los siguienes punos indican el procedimieno a seguir para analiar un circuio en RPS: a) Expresar odos los generadores sinusoidales con la misma forma ( seno o coseno ), para lo cual deberá hacerse uso de la equivalencia (. 8). Eso garania que las operaciones con sinusoides puedan efecuarse operando sólo con sus fasores. b) Represenar odas las señales sinusoidales de ensión y corriene (ano los daos como las incógnias) mediane sus respecivos fasores, y represenar odos los disposiivos pasivos (resisencias, bobinas y condensadores) mediane sus correspondienes impedancias. Con ello endremos el circuio expresado en el dominio fasorial o complejo. c) Aplicar las Leyes de Kirchhoff sobre los fasores de ensión y corriene y las caracerísicas I-V de los disposiivos para planear las ecuaciones que permian obener las incógnias buscadas (fasores de corriene, fasores de ensión o impedancias). Resolver las ecuaciones complejas. d) Una ve obenidos los resulados, si son fasores de ensión o de corriene obener la señal de corriene o ensión que represenan, es decir, una sinusoide de igual forma ( seno o coseno ) que la adopada en el aparado primero y cuya ampliud máxima y fase inicial se corresponde con el módulo y argumeno del fasor que la represena. Si los resulados son impedancias, obener los valores de los disposiivos a que corresponden (la pare real corresponderá direcamene a resisencias y la imaginaria a bobinas o condensadores cuyos parámeros L y C dependerán de la pulsación de rabajo). 7

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