REPASO DE ESTADÍSTICA

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1 Aputes IN 56B; Profesor: Viviaa Ferádez I. Coceptos de Probabilidad A. Variables Discretas REPASO DE ESADÍSICA. E el mudo existe estados posibles (evetos), e algua fecha futura. Ejemplo: u eveto es el estado de la tecología de IBM de aquí a u año.. La probabilidad de que el estado i se materializará es p i,,...,. Ejemplo: p i = probabilidad que IBM tega la tecología i : la misma tecología, p = : mejoramietos de la tecología actual, p = 4 3: u gra salto tecológico, p 3 = 4 3. Las probabilidades satisface las codicioes: a. p i para todo i p i b. = U eveto que es cierto correspode a p i = ; u eveto imposible, a p i =. 4. Ua variable aleatoria X es aquella que toma u valor dado x i e cada eveto i. Ejemplo: X = retoro proveiete de poseer ua acció de IBM por u año, a partir de hoy. 5. X tomará el valor x i cuado ocurre el eveto i, co probabilidad: P X = x = p i ( ) i Ejemplo: si IBM o realiza u descubrimieto tecológico (eveto ), su retoro durate el próximo año será x = -%; e el eveto, IBM realiza modestos mejoramietos a su tecología actual y el retoro es x = +5%; e el eveto 3, IBM descubre ua ueva tecología y el retoro es x 3 = +5%.

2 Aputes IN 56B, Profesor: Viviaa Ferádez 6. Los siguietes mometos se utiliza para describir la distribució de la variable aleatoria X: a. Valor esperado o esperaza: M = E X [ ] = p i x i b. Variaza: Caracteriza el valor promedio de X M = V X [ ] [ ] p = x i i E X [ ] = E ( X E[ X] ) Caracteriza la dispersió de X alrededor de su valor promedio c. Desviació estádar: σ ( X) = V[ X] Lo mismo que la variaza, excepto que se mide e las mismas uidades que X d. Asimetría (skewess): ercer mometo e toro a la media: M 3 = E 3 [( X E[ X] ) ] = p ( x i E[ X] ) i 3 Asimetría: [ X] ( ) 3 A = M 3 M Mide si la dispersió proviee de muchas desviacioes de la media positivas y pequeñas, y de uas pocas desviacioes egativas y grades, o viceversa.

3 Aputes IN 56B, Profesor: Viviaa Ferádez 3 Por ejemplo, caracteriza si las caídas e los precios del mercado accioario so más probables que sus recuperacioes (cola izquierda versus cola derecha) = asimetría egativa observada e los retoros accioarios. e. Curtosis (kurtosis) Cuarto mometo e toro a la media: M 4 = E 4 [( X E[ X] ) ] = p ( x E[ X] ) i i 4 Curtosis: [ X] ( ) C = M 4 M Mide si la distribució es más aputada, verticalmete, alrededor de la media, y si sus colas so más gruesas. Exceso de curtosis: C[ X] 3 ua distribució ormal). (porque 3 es la curtosis de 7. Si Y es otra variable aleatoria, que toma el valor y i e el eveto i, co probabilidad, P ( Y = y i ) = p, etoces la relació etre las distribucioes i de X e Y puede caracterizarse por: a. Covariaza: cov ( X, Y) = E[ ( X E[ X] )( Y E[ Y] )] = E[ XY] E[ X] E[ Y] = p x y i i i p x i i p y i i Caracteriza cuá cerca está las distribucioes de X e Y la ua de la otra. b. X e Y o está correlacioadas cuado ( X,Y) cotrario, se dice que está correlacioadas: cov =. De lo positivamete correlacioadas cuado cov ( X,Y) > egativamete correlacioadas cuado cov ( X,Y) <

4 Aputes IN 56B, Profesor: Viviaa Ferádez 4 c. Coeficiete de correlació: ( X,Y) = cor( X,Y) ρ = cov( X,Y) V[ X] V[ Y] (satisface que ρ( X,Y) + ) El coeficiete de correlació mide el grado de asociació lieal etre dos variables aleatorias. B. Variables cotiuas. Existe u cotiuo de estados posibles de la aturaleza (evetos), e ua cierta fecha futura Ejemplo: El retoro accioario de IBM, durate el próximo año, puede tomar cualquier valor etre y +.. La fució desidad f(x) de ua variable aleatoria X es la probabilidad de que X tome u valor cercao a x. a. f(x) para todo x, co + f(x)dx = b. Valor esperado o media: E [ X] = + xf ( x) dx c. Variaza: [ ] [( [ ]) ] + ( [ ] ) V X E X E X = x E X f ( x ) = dx d. Covariaza de dos variables aleatorias X e Y: cov C. Propiedades de los Mometos ( X, Y) = E[ ( X E[ X] )( Y E[ Y] )] + + = ( x E[ X] )( y E[ Y] ) (f(x,y) es la desidad cojuta de X e Y) f(x, y)dxdy a, b, c, d deota costates, X, Y, Z variables aleatorias. Se tiee: E [ ax + b] = ae[ X] + b E [ X + Y] = E[ X] + E[ Y] E [ ax + by] = ae[ X] + be[ Y] V[ ax + b] = a V[ X]

5 Aputes IN 56B, Profesor: Viviaa Ferádez 5 V [ X + Y] = V[ X] + V[ Y] + cov( X,Y) V[ ax + by] = a V[ X] + b V[ Y] + abcov( X, Y) cov ( X,X) = V[ X] cov ( ax + b, cy + d) = ac cov( X, Y) cov ( X,Y + Z) = cov( X,Y) + cov( X, Z) D. Ejemplo: La Distribució Normal o Gaussiaa. La fució desidad ormal es: ( x). Propiedades: ( x µ ) = exp, < x < + πσ σ f a. La desidad es completamete caracterizada por sus dos primeros X ~ N µ,σ. mometos. Se deota por ( ) b. E [ X] = µ y [ X] σ V =, Asimetría =, Curtosis = 3 c. Si X ~ N ( µ,σ ) etoces ax b ~ N( aµ + b,a σ ) X µ σ d. E particular, ~ N(,) e. Si X ~ N ( µ,σ ) y ~ N( m,s ) ax + by ~ N aµ +. (ormal estádar). Y, co ( X,Y) ρ cor =, etoces: ( + bm, a σ + b s + ab( ρσs) ) 3. Fució distribució acumulada de ua ormal estádar N (,) : Φ z ( x) = exp dz, < x < + π x - (ver las tablas de la distribució ormal estádar) a. Si Z ~ N(,), etoces Φ( x) x, esto es: Φ( x) = P( Z x). es la probabilidad de que Z sea meor que

6 Aputes IN 56B, Profesor: Viviaa Ferádez 6 b. Φ( x) P( Z x) x. = está dado por el área bajo la fució desidad etre y c. Es útil para costruir itervalos de cofiaza. Se tiee que Φ( x)= Φ(x): P = ( x Z + x) Φ( + x) Φ( x) Φ ( x) = P( Z x) P ( Z + x) = P( Z + x) = Φ( + x) -x +x Z d. Ejemplo: Supoga que el retoro mesual de la acció IBM, R ~ N ( µ,σ ) co µ =.5% y σ =.7%. U itervalo al 95% de cofiaza para R es u itervalo cetrado e µ que cotedrá el valor efectivo del retoro mesual de IBM el 95% de las veces: Costruya Z ~ N(,) R µ =. Sea α =.5 = 5%, -α =.95 = σ z tal que: 95%. Deseamos ecotrar u úmero α/ ( z α/ Z z ) = α P α/ Segú las tablas de la distribució ormal estádar, z α/ = z.975 =.96

7 Aputes IN 56B, Profesor: Viviaa Ferádez 7 Etoces: 95% = α = P (.96 Z.96) R µ = P σ = P ( µ.96σ R µ +.96σ) De esta maera, la probabilidad de que R esté etre µ -.96σ = -3.79% y µ +.96σ = 6.79%, es 95%. Por lo tato, el itervalo de cofiaza es: [-3.79%, 6.79%]. II. Estadística de ua Muestra A. Media y Variaza de ua Muestra. Ejemplo: a. Supoga que deseamos estimar el valor esperado µ y la variaza σ del retoro mesual de IBM. b. eemos datos de los retoros accioarios de IBM para los últimos 4 meses: R,...,R, dode =4. Supoemos que los retoros so idéticamete distribuidos (pero o ecesariamete ormales), co valor esperado µ y variaza σ comues. Esto sigifica que el retoro e el periodo t, co t=,...,, R t, tiee la misma distribució, co media µ y variaza σ.. Para estimar el valor esperado y la variaza de los retoros de IBM, utilizamos: a. µˆ = R = R t : media de la muestra t= b. ( ) σˆ R R t = : variaza de la muestra. t= c. Para estimar la desviació estádar σ, utilizamos la desviació estádar de la muestra. σˆ = σˆ, d. Estos estimadores so isesgados: [ µˆ ] µ E σˆ = σ E = y [ ]

8 Aputes IN 56B, Profesor: Viviaa Ferádez 8 e. Para que este método fucioe, tato el valor esperado como la variaza de los retoros accioarios debe ser estables e u cierto periodo de tiempo. B. Correlació de la Muestra. Supogamos que tambié teemos datos de los retoros accioarios de Apple, S,...,S, y deseamos estimar la correlació etre los movimietos de los precios accioarios de IBM y Apple.. Calcule primero la covariaza de la muestra: ĉ = t= ( Rt R)( St S) 3. Luego el coeficiete de correlació de la muestra es: ρˆ = ĉ σˆ IBM σˆ APL III. Aálisis de Regresió A. Especificació del Modelo. Ejemplo: El retoro R de la acció de IBM puede modelarse como Rt = α + βrmt + εt e cada periodo t =,...,. R M es el retoro del mercado, como u todo. (Este es el modelo CAPM).. Este modelo os dice que, e cada periodo t, el retoro R t de IBM puede explicarse (o predecirse) por el térmio lieal α + βr M. a. El ruido ε t es aleatorio (y o observable), y represeta perturbacioes aleatorias a la relació etre el retoro del activo y el retoro del mercado. b. α (el itercepto) y β (la pediete) so descoocidos, pero so costates o parámetros que puede estimarse a partir de los datos históricos R,..., R t y R,..., R. M M t c. El retoro R de IBM es la variable depediete, el retoro del mercado R M es la variable explicativa o regresor. t

9 Aputes IN 56B, Profesor: Viviaa Ferádez 9 B. Estimació de los Parámetros. Para que el modelo esté bie especificado, el error o debe estar correlacioado co el regresor, y debe teer esperaza igual a cero.. E particular, la relació lieal postulada por el modelo se cumple, e forma exacta, sólo e promedio: 3. ambié: [ εt] = E[ Rt] = α βe[ RMt] E + cov ( R t, RMt) cov( α + βrmt + εt, RMt) = βcov( RMt, RMt) [ Mt] ( RMt, εt) = + cov = V R = ( R t, RMt) [ Mt] cov Por lo tato: β = puede estimarse utilizado la variaza y V R covariaza muestrales, descritas ateriormete. 4. El valor estimado de α puede obteerse de la siguiete relació: α ˆ = R βˆ R M 5. βˆ y αˆ obteidos de esta maera se deomia estimadores de míimos cuadrados ordiarios (OLS) de β y α. IV. est de Hipótesis A. Hipótesis ula y estadígrafos. Ejemplo: Supoga que deseamos testear la hipótesis de que la media µ del retoro mesual de la acció IBM, R ~ N ( µ,σ ), es igual a µ =.5% (ula H : µ = µ versus alterativa H : µ µ ). a. Como ates, teemos datos de los retoros accioarios de IBM para los meses pasados: R,...,R. b. ato µ como σ so descoocidos. c. Por lo tato, primero debe estimarse.. Recordemos que:

10 Aputes IN 56B, Profesor: Viviaa Ferádez µˆ = R = R t y σˆ = ( R t R) t= 3. Bajo la hipótesis ula, el estadígrafo ( ) σˆ t-studet co - grados de libertad: ( µˆ µ ) B. est de Hipótesis. Ituició: σˆ ~ t [ ] t= µˆ µ sigue ua distribució a. Preguta: por qué multiplicamos por? b. Porque el error estádar del estimador µˆ es σˆ, y el estadígrafo t se defie como la razó etre estimador y su error estádar: ( µˆ µ ) µˆ µ = σˆ σˆ c. La mayoría de los paquetes estadísticos imprimirá directamete el error estádar del estimador. a. Si la ula es verdadera, µˆ (el cual se aproxima a µ) debería estar e ua vecidad cercaa a µ. b. Si realmete es así, etoces la ula será aceptada (= o rechazada ). Si, e cambio, µˆ se aleja de µ, la hipótesis ula será rechazada.. Sigificado estadístico de cercao/lejao : a. Si ( µ ) > c [ α, ] ( µ ) < c [ α, ] µˆ σˆ µˆ σˆ etoces µˆ y µ está lejos el uo del otro, y la hipótesis ula es rechazada. b. El valor crítico c[ α, ] se obtiee a partir de la tabla de la distribució t. α es el ivel de sigificacia del test, por ejemplo α =.5 para testear la hipótesis a u ivel de cofiaza (-α) = 95%. c. Para α =.5 y u grade, [ ].96 c α, =.

11 Aputes IN 56B, Profesor: Viviaa Ferádez V Aplicacioes El siguiete gráfico muestra los retoros mesuales de la acció de IBM y del portafolio de mercado para Estados Uidos, e el período eero 978- diciembre 987:.. Retoromesual Mercado IBM La serie de retoros de IBM puede describirse como sigue: Serie: IBM Muestra 978: 987: Observacioes Media.96 Mediaa. Máximo.5 Míimo -.87 Dev. Std.59 Asimetría -.37 Curtosis 3.53 Jarque-Bera.44 Probabilidad.93

12 Aputes IN 56B, Profesor: Viviaa Ferádez El gráfico aterior muestra u histograma de los retoros y alguos estadígrafos descriptivos. Por ejemplo, el máximo retoro observado e la muestra fue de 5% aual, mietras que el míimo alcazó a 8.7% aual (crash fiaciero de octubre de 987). La asimetría y curtosis de los retoros se asemeja a los de ua distribució ormal, por lo cual o se rechaza la hipótesis de ormalidad, segú el test de Jarque-Bera. Este se basa e el siguiete estadígrafo: A JB = 6 + ( C 3) 4 dode A = asimetría, C = curtosis y = úmero de observacioes. La hipótesis ula es que los retoros se distribuye ormal. (Recordemos que para ua distribució ormal, A= y C=3). Cuado es grade, el estadígrafo JB se distribuye χ co grados de libertad. Por otra parte, se aprecia que la correlació etre el mercado e IBM es relativamete alta (.5). Si estimamos ua regresió lieal del retoro de IBM e ua costate y el retoro del mercado, obteemos lo siguiete: Variable depediete: IBM Muestra: 978: 987: Variable Coeficiete Error Std. t-statistic Prob. Costate Mercado R.75 R ajustado.69 Segú lo aterior, el beta estimado de IBM es.45. Qué hay de las empresas chileas? omemos, por ejemplo, los retoros semaales de la acció CC-A, para el período eero 994-septiembre 999: El valor p (probabilidad), o ivel exacto de sigificacia, se defie como el ivel más bajo de sigificacia al cual puede rechazarse la hipótesis ula. Como regla, se tiee que si el ivel de sigificacia escogido, α, es superior (iferior) al valor p, se rechaza (acepta) la hipótesis ula.

13 Aputes IN 56B, Profesor: Viviaa Ferádez 3.3. Retoro semaal CC-A IPSA El gráfico aterior muestra los retoros para CC-A y el IPSA (portafolio de mercado). La correlació etre ambas series es muy alta:.76. Ello idica que sólo el 4% de variació e el retoro de CC-A correspode a riesgo diversificable o específico a la empresa. La ecuació de CAPM para CC-A viee dada por: Variable depediete: CC-A Muestra: /4/994-9/7/999 Variable Coeficiete Error Std. t-statistic Prob. Costate IPSA R.58 R ajustado.579 E este caso, la distribució de los retoros de CC-A se aleja de la hipótesis de ormalidad: Serie: CC-A Muestra: /4/994 9/7/999 Observacioes: 97 Media.4 Mediaa -. Máximo.8 Míimo -.77 Std. Dev..5 Asimetría.46 Curtosis 5.45 Jarque-Bera 8.78 Probabilidad.