Esp. Leidy Astrid Núñez Esteban

Transcripción

1 Esp. Leidy Astrid Núñez Esteban

2 Definición: Sea A=[aij] una matriz de n x n. Sea Mij la submatriz de (n-1)x(n-1) de A obtenida al eliminar el i-ésimo renglón y la j-ésima columna de A. El determinante de Mij es el menor de [aij]. El cofactor Cij de [aij] es

3 Ejercicio: Determine los siguientes cofactores si

4 Definición: Sea A=[aij] una matriz de n x n. La matriz de n x n llamada Adjunta de A es la matriz cuyo ij-ésimo elemento es el cofactor Cij de [aij], así: Nota: Se encuentra primero la matriz de cofactores y luego se halla su transpuesta

5 Ejercicio: Determine la matriz adjunta de A si

6 Teorema 1 A*Adj A =Adj A *A= A *I Ejercicio: a) Comprobar que Adj A = A n-1 b) Si A y B son no singulares del mismo tamaño, entonces: Adj (AB)=Adj B *Adj A Adj (Adj A)= A n-2 A

7 F79 Teorema 2 Ejercicio: Encuentre la inversa de A si existe

8 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

9 Definición: Sea A=[aij] una matriz de n x n, entonces: para cada 1 i n, (Desarrollo del determinante por el i-ésimo renglón) y para cada 1 j n, (Desarrollo del determinante por la j-ésima columna)

10 Ejercicio: Halle los siguientes determinantes si

11 Teorema 1 Los determinantes de una matriz y su transpuesta son iguales Ejercicio: Halle los siguientes determinantes si

12 Teorema 2 Si la matriz B se obtiene de la matriz A al intercambiar dos renglones (columnas) de A, entonces Ejercicio: Halle el siguiente determinante si

13 Teorema 3 Si dos renglones (columnas) de A son iguales, entonces Ejercicio: Halle el siguiente determinante si

14 Teorema 4 Si un renglón (columna) de A consta solo de ceros, entonces Ejercicio: Halle los siguientes determinantes si

15 Teorema 5 Si B se obtiene de A al multiplicar un renglón (columna) de A por un número real c entonces Ejercicio: Halle los siguientes determinantes si R1 R1+2R2 =4

16 Teorema 6 Si B se obtiene de A sumando a cada elemento del r-ésimo renglón (columna) de A una constante c por el elemento correspondiente del s-ésimo renglón (columna) r s de A, entonces Ejercicio: Halle los siguientes determinantes si

17 Teorema 7 Si una matriz A es triangular superior (inferior), entonces Ejercicio: Halle los siguientes determinantes si

18 Teorema 8 El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes: Ejercicio: Halle los siguientes determinantes si

19 Teorema 9 Si A es no singular, entonces y

20 Regla de Cramer La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer ( ), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729). La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa computacionalmente: es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD (siglas en inglés Single Instruction, Multiple Data, en español: Una Instrucción, Múltiples Datos) de

21 Si es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, es el vector columna de las incógnitas, b es el vector columna de los términos independientes, Entonces la solución al sistema se presenta así: donde A j es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz A ha de ser no nulo.

22 Sistema de 2x2 (2 ecuaciones con 2 incógnitas) Dado el sistema de ecuaciones: Lo representamos en forma de matrices:: Entonces, x e y pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes de la siguiente manera:

23 Sistema de 3x3 ( 3 ecuaciones con 3 incógnitas) La regla para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es similar: Dado el sistema Que representadas en forma de matriz es x, y, z pueden ser encontradas como sigue:

24 En general:

25 Si A 0, se tiene: X i =

26 Ejercicio: Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando la Regla de Cramer F74 245