Práctico 12: Pandeo de columnas(continuación)

Transcripción

1 Ejercicio 1: Práctico 1: Pandeo de columnas(continuación) C P B y L h x y x b Lacolumna-Bdelafiguraestáempotradaensubase.Enlapartesuperiorestáimpedida dedesplazarseenladirecciónxporlabarrac-b.lacolumnaestásometidaaunacargaaxialp de10tnyelcoeficientedeseguridadautilizaresγ=.lalongituddelacolumnaes4m.sepide dimensionar la columna con: a) UnperfilIdealasestrechas b) Unasecciónrectangularhuecadeanchobalturahyespesortyrelación h b =3 b-1 utilizarlaesbeltezlímiteλ mín b- utilizarunaesbeltezλ=1,5λ mín El material a utilizar es un acero con módulo de elasticidad E = 10 5 MPa y límite de proporcionalidadσ p =40MPa Solución: La carga máxima a considerar es P máx =γp = 10 9,81=196,kN=0,196MN Las longitudes de pandeo a considerar son(el subíndice indica el eje de flexión correspondiente): L ex =L= 4=8m L ey =0,7L=0,7 4=,8m empotrado-libre empotrado-articulado Los momentos de inercia mínimos requeridos en cada dirección son: I x = P máx Eπ ex= 0,196 [ ] MN m =6, m 4 =636,1cm 4 L 10 5 π 8 MPa I y = P máx Eπ L ey= 0, π,8 [ ] MN m =0, m 4 =77,9cm 4 MPa 1

2 La relación entre estos momentos de inercia mínimos en cada dirección es igual a la relación entre los cuadrados de las longitudes equivalentes de pandeo I x = 636,1 I y 77,9 =L ex L ey 8,15 La esbeltez límite es E 10 5 λ mín =π =π σ p 40 =90,7 a) dimensionado con un perfil I de alas estrechas. EntrandoenlatablasebuscaunperfilquesatisfagalosvalorespedidosparaI x ei y.elprimer perfilquesatisfaceeselde180mmdealturaquetiene I x =1450cm 4 >>636,1cm 4 I y =81,3cm 4 >77,9cm 4 Claramente la dirección más comprometida es la dirección de flexión alrededor de y (plano x z).notarqueestetipodeperfilestieneunamuyaltarelaciónentrelosmomentosdeinercia en una yotra dirección Ix I y = 17,83. pesar de que la longitud de pandeo en el plano y z es muchomayor,eltipodeperfilutilizadoconduceaundimensionadosegúnlaflexiónenelplano x z. Latensióncríticaylasesbeltecesencadadirecciónresultan(=7,9cm,r x =7,0cmy r y =1,71cm) σ C = P máx = 0,196 7, λ x = L ex r x = 800 7, =111,1 [ ] MN =70,3MPa m λ y = L ey = 80 =163,7 =π r y 1,71 E σ C b) dimensionado con una sección rectangular hueca: Eláreadelasecciónes: ( ) h =t(b+h)=t 3 +h = 8 3 th Losmomentosdeinerciason(despreciandotérminosent 3 ) 1 : ) ( ) I x =t ( h bh =th = th3 ) [( 1 ) 3 I y =t ( b b h =th ( ) ] 1 = th3 La relación entre los momentos de inercia es I x = 1 81 I y 3 5 =5,4 estarelaciónesmenorque8,15porlocualladireccióndeflexióncríticaeslax(planoy z). 1 veralfinal

3 Los radios de inercia en cada dirección son: rx= I x = 1 th 3 3 th r y = I y = 5 81 th 3 th 3 8 =h = 5 16 h = 5 4 b b-1:λ=λ mín Delaexpresiónλ = L ex r x despejamosr x ydeallíobtenemosh ( ) rx= L e x 800 λ = = L e σ p mín 90,7 π E = π 10 5 =77,81cm h =8rx=8 77,81cm =63cm h=5cm El espesor se obtiene usando que la tensión crítica es igual a la tensión de proporcionalidad σ p = P máx = P máx = 0,196 σ p 40 t= 3 8 h =3 8 8,175 5 [ ] MN =8,175cm = 8 MPa 3 th =0,15cm=1,5mm Elespesortresultanteesmuydelgadoypuededaralugaraproblemasdeinestabilidadlocal. Este diseño guíado por la condición de mínima cantidad de material requiere en este caso de verificaciones de otro tipo(fuera del alcance de esta asignatura). b-:λ=1,5λ mín =136 Si utilizamos una relación de esbeltez más elevada, equivalente a disminuir la tensión crítica a: ( ) λmín σ c =σ p = 40 λ (1,5) =106,7MPa se tiene ahora rx = L e x λ = =34,6cm h =8rx=8 34,6cm =77cm h=16,7cm Elareaseobtienedequelatensióncríticaesigual106,7 y el espesor resulta σ c = P máx = P máx = 0,196 σ c 106,7 = 8 3 th [ ] MN =18,39cm =( λ ) mín MPa λ mín t= 3 8h =3 18, ,7 =0,413cm=4,13mm 3

4 Ejercicio : e P y h x b b Una columna de 3,5 mde altura está empotrada en su base y libre en su extremo superior. La columna es de acero (E =, MPa y σ p = 30 MPa.) y su sección está formada por dos perfiles U del 18 enfrentados. a) Si la columna está sometida a una carga axial P = 30 tn, determinar las máximas excentricidades en ambas direcciones de tal forma que el material se mantengaenestadoelástico.b)silaexcentricidadese=5cmenlaflexiónalrededordelejex, determinar la máxima carga sin que el material entre en fluencia. Solución: Las propiedades básicas del perfil individual son: rea I x I y h b e y r x r y 8cm 1350cm 4 114cm 4 180mm 7,0cm 1,9cm 6,95cm,0cm La principal propiedad a determinar del perfil compuesto es el momento de inercia en la direcciónyyelradiodegiro Luego las propiedades de la sección son: Iy compuesto = [ I y + (b e y ) ] =1673cm 4 ry compuesto Iy compuesto 1673 = = compuesto 56 =5,46 rea I x I y h b r x r y 56cm 700cm cm 4 180mm 140mm 6,95cm 5,46cm Las cargas críticas en ambas direcciones son: Px C = π EI x (L) = π, (3,50) Py C = π EI y, (L) =π (3,50) [ Pam 4] =1,1MN m [ Pam 4] =0,694MN m 4

5 a) (P =30tn=0,94MN)Encadadirecciónlarelaciónentrelacargaactuanteylacarga crítica es Px = 0,94 1,1 =0,65 P y = 0,94 0,694 =0,436 Latensiónmáximadecompresiónsegúnlafórmuladelasecantees [ σ máx =σ 0 1+e ( π ) W sec P ] Despejamosdelafórmuladelasecantee ( ) σp W ( π e= 1 σ 0 cos P ) donde σ 0 = P = 0,94 0, 0056 W x = r x h/ = 6,95 9 [ ] MN =5,5MPa m =5,37cm ( ) ( ) σp 30 1 = σ 0 5,5 1 =3,38 W y =r y b = 5,46 7 =4,6cm Para las distintas direcciones se tiene: ( π ) e x =3,38 5,37cm cos 0,65 =1,58cm ( π ) e y =3,38 4,6cm cos 0,436 =7,51cm Notar que estas excentricidades máximas se han calculado en forma independiente, es decir suponiendo que no hay excentricidad en la otra dirección. Los máximos momentos de extremo asociados exclusivamente a las excentricidades son M 0 x=p e x =30 1,58tncm=377,4tncm=37,0kNm M 0 y =P e y =30 7,51tncm=5,3tncm=,1kNm Los máximos momentos que se producen en el empotramiento debido a las excentricidades más los desplazamientos se obtienen de la expresión M máx = ( cos M o π P ) y resultan respectivamente 37 M x máx = cos ( ) knm=53,4knm π 0,65,1 M y máx = cos ( π ) knm=4,39knm 0,436 Naturalmentedebierancoincidirlastensionesdebidasaflexiónσ f =σ p σ 0 =30 5,5= 177,5MPa M x máx M y máx σ f W x W y 53, , [ ] knm 177,5MPa cm 3 5

6 b)e=5cm.enlafórmuladelasecante [ σ máx =σ 0 1+e ( π ) W sec P ] buscamoselvalordep queconduzcaalvalor σ máx =σ p.damosvaloresatodoloconocido(p enmn): [ ( )] P 40MPa= ,0056m 5,37 sec π P 1,1MN NoesposibledespejarP,porlocualesnecesarioevaluarloenformaiterativa(porej.elMétodo de Newton-Raphson): 0,931 ecuaciónaresolver f(p)=p 1+ ( ) 1,344=0 π P cos 1,1 df 0,931 [ derivada de la función =1+ 1+ arg ] dp cos(arg) tan(arg) arg= π P 1,1 formuladerecurrencia P n+1 =P n f(p n) f (P n ) locualconducea(empezandoconp =0,4) P =0,400 f(p)= 0,3137 f (P)=3,07 P =0,50 f(p)=0,1005 f (P)=3,411 P =0,473 f(p)= 0,030 f (P)=3,304 P =0,48 f(p)=0,009 P máx 0,48MN 48,9tn P = P P C = 0,48 1,1 =0,48 Es decir que para una excentricidad e = 5 cm = 0,7 r x = 0,93 Wx propocionalidadsealcanzaconunacargadel43%delacargacrítica. la tensión límite de Simplificación en el cálculo de I para una sección rectangular hueca Sea unasección rectangular cuyas dimensiones son h y b medidas desde la línea mediayde espesor t. Los momentos de inercia son: I x = 1 [ (b+t)(h+t) 3 (b t)(h t) 3] 1 I y = 1 [ (b+t) 3 (h+t) (b t) 3 (h t) ] 1 6 Desarrollando resulta = 1 [ ( (b+t) h 3 +3h t+3ht +t 3) (b t) ( h 3 3h t+3ht t 3)] 1 = 1 [ ( b 3h t+t 3) +t ( h 3 +3ht )] 1 grupando en potencias de t

7 similarmente I x = 1 [ ( t 6bh +h 3) +t 3 (b+6h) ] 1 I y = 1 1 [ t ( 6b h+b 3) +t 3 (h+6b) ] Sidespreciamoslostérminosent 3 ( ) bh I x =t +h3 6 ( ) b h I y =t +b3 6 Porejemploparah=30cm,b=15cmyt=1cm,losvaloresexactosyaproximadosson: Exacto proximado relacion I máx ,998 I mín ,997 7

8 Mecánica de las Estructuras I Ejercicios a resolver sobre Pandeo: Ejercicio 1: Unacolumnade4mdealturadebe resistirunacargamáximap max = 60 tn. La columna(orientada en la dirección vertical z) está empotrada-libre enelplanox zyarticulada-articuladaenelplanoy z. Laspropiedades mecánicasdelmaterialautilizarsone= 10 6 MPayσ prop =00MPa. Se pide dimensionar la sección con: a-unperfilnormaldobletdealasanchas. b- una sección rectangular hueca de espesor t = 4 mm y una relación ancho-altura b h =0,35 Ejercicio : Unacolumna de longitudl=3,5 m está articulada-articuladaytiene una sección PNI16 con propiedades: = 54,3 cm, I x = 490 cm 4, I y = 889 cm 4, W x = 311 cm 3, W y = 111cm 3. Sepide a- bajo una carga P = 30 tn, determinar la máxima excentricidad a flexión alrededor del eje y. b- silaexcentricidadese x =10cm,determinarlacargaaxialnecesaria para que el material entre en fluencia. 1