Trabajo Práctico N 5

Transcripción

1 Trabajo Práctico N 5 Asíntota Continuidad Algunos ejemplos para tener en cuenta Asíntotas. Asíntota vertical (AV) Decimos que la recta = a es AV de f() f() = ± f() = ± a + Por ejemplo, para hallar la AV de la función f() = 5 a, encontramos primero el dominio de f(), es decir Df = R {5} y luego analizamos la eistencia de una AV en = 5. Como el = entonces = 5 es una asíntota vertical de f(). 5 5 Ahora veamos otro ejemplo, supongamos que quiero calcular la asíntota vertical de g() = + 4 que presenta el siguiente dominio: Dg = R {; }. Esta función es candidata a tener dos asíntotas verticales pero para ello debemos ver qué ocurre con ambos límites de la siguiente manera: - Analizamos el límite de la función en el punto =. + 4 = = es una asíntota vertical - Analizamos el límite de la función en el punto =. + 4 = + ( + ). ( ) = = 4 la función g() no presenta asíntota vertical en = Entonces, la función g() presenta una sola asíntota vertical y es la recta =. Pero Qué ocurre con las funciones que tienen como dominio todos los números reales? No tienen asíntotas verticales? No precisamente. Observemos la siguiente función: f() = { si < si El Df = R y sin embargo si calculamos los límites laterales de la función, nos sorprenderá saber: = + = Conclusión: la función tiene como dominio todos los reales y presenta asíntota vertical.

2 Asíntota Horizontal (AH) Decimos que la recta y = k es AH de f() f() = k ± A manera de ejemplo, calcularemos las AH de f() =, para ello debemos hallar los siguientes límites: + = 0 = 0 Por lo tanto, la función tiene una única AH en y = 0. Otro ejemplo, sea la función g() = e nos proponemos calcular sus AH: + e = e = 0 La función g() también tiene una única AH en y = 0. Veamos ahora un ejemplo donde la función presenta más de una AH. Analizando los límites: + si < h() = { ( 3 ) si ( + 3 ) = 0 + = Concluimos que esta función tiene dos asíntotas horizontales, y = 0 a derecha e y = a izquierda. Asíntota Oblicua (AO) Decimos que y = m + b es AO de f() [f() (m + b)] = 0 Para calcular la pendiente y la ordenada al origen de la AO, basta con calcular los siguientes límites: Veamos si la siguiente función tiene AO. f() = m = (f() ) b = (f() m)

3 m = ( f() ) = = 3 m = = : = = b = (f() m) = ( ) = 3 + 3( + 5) = = = 3 b = Luego, y = 3 3 es asíntota oblicua Hallar las asíntotas de la siguiente función. f() = Asíntotas Verticales Determinemos el dominio de f(), f() = Df = R { ; } = ( )( + ) Analizamos la eistencia de una AV en =, =, evaluando los límites = = 0 4 ( )( + ) 0 = f() = = = 46 4 ( )( + ) 0 = f() = Entonces hay dos asíntotas verticales en = y = - Asíntotas Horizontales Tenemos que evaluar el ite cuando tiende a infinito de f() = 4 indeterminado Salvamos la indeterminación., dividiendo todos los términos por f() = + = 0 Por lo tanto no hay asíntota horizontal = 0 =

4 - Asíntota Oblicua Tenemos que encontrar, si es que eiste, la pendiente y la ordenada al origen de dicha recta, para ello evaluamos los siguientes límites. f() m = = = 4 ( = 4) = m = b = (f() m) = ( ) = 4 ( ) ( 4) = b = = = 4 Entonces la asíntota oblicua es y = + En resumen nuestra función f() = , tiene: 4 AV: = y =. AH: no tiene. AO: y = + Continuidad. Decimos que una función es continua en 0 si y sólo si, se verifica: f( 0 ) 0 f() y es finito f( 0 ) = 0 f() Por ejemplo, las siguientes funciones son continuas en todo su dominio f() = + 3

5 g() = Sen () Observamos que podemos dibujar el gráfico de dichas funciones sin levantar el lapiz, trazando una linea continua. En caso que la función no cumpla con alguna de las condiciones de continuidad en 0 diremos que dicha funcion es discontinua en 0. Por ejemplo: h() =

6 En este último gráfico podemos apreciar que no se puede trazar la función sin tener que levantar el lápiz, por lo tanto f() es discontinua en. Hay dos tipos de discontinuidades:.- Discontinuidad Evitable: se presenta cuando eiste el límite finito L de la función en 0 pero, o bien, no está definida f en 0, o bien, f() no coincide con el límite. En estos casos se puede salvar la discontinuidad redefiniendo la función..- Discontinuidad Esencial: se presenta cuando la función no tiene límite finito en 0, o bien, no eiste el límite en 0. Veamos algunos ejemplos, analizando la continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados f() = +, en 0 = Veamos si cumple las condiciones de continuidad. f( 0 )? f( ) = ( ) + ( ) = = f( ) 0 f()? ( + ) = ( ) + ( ) = f() f( 0 ) = f()? f( ) = f() = 0 f( ) = f() Por lo tanto f() es continua en 0 =. g() = 9 3 en 0 = 3 Veamos si cumple las condiciones de continuidad. g( 0 )? Dg = R {3} g(3) Ya podemos afirmar que g() es discontinua en 0 = 3 por no cumplir la primera condición de continuidad pero para saber si es evitable o esencial calcularemos el límite. 9 g() = = ( 3)( + 3) = + 3 = g() Como eiste el límite, g() es discontinua evitable en 0 = 3, en este caso, la pregunta es cómo evitamos esta discontinuidad? Respuesta: Redefiniendo la función para que cumpla con las tres condiciones de continuidad. Como sabemos, esta función presentó problema con la primera condición.

7 9 g () = { si si = 3 Hemos definido la función de manera tal que la función tenga imagen en = 3 y que esa imagen sea el valor del límite en ese punto. Ahora si g () es continua en 0 = 3, ya que: g (3) = 6 g (3) = 3 g () 3 g () = 6 h() = en 0 = Veamos si cumple las condiciones de continuidad. h( 0 )? Dh = R {} h() Ya podemos afirmar que h() es discontinua en 0 = por no cumplir la primera condición de continuidad, ahora para saber si es evitable o esencial, calcularemos el límite. h() = 0 = 0 = h() finito Como no eiste el límite en 0 = 3, tenemos que h() resulta ser discontinua esencial en dicho punto, es decir que no podemos salvar la discontinuidad. Veamos otro ejemplo. Determinar los valores de a y b para que la función sea continua. Graficar la función. a + b + a f() = { b + b si < 3 si = 3 si > 3 Sabemos que f() es continua por lo tanto cumple con la condiciones de continuidad. La pregunta es para qué valores de debemos estudiar la discontinuidad? Observamos que la función f() está definida por tramos de funciones continuas lo cual me indica que si eiste discontinuidad será en = 3. -Primera condición de continuidad Buscando la eistencia de la función en el punto, resulta que f(3) =. -Segunda condición de continuidad Buscamos la eistencia del límite en ese punto: 3 a + b + a = a3 + b3 + a = 9a + 6b + a = 0a + 6b 3 a + b + a = 0a + 6b b + b = b3 + b = 5b 3 +

8 b + b = 5b 3 + Para que eista el límite en el punto se debe cumpir que: 0a + 6b = 5b -Tercera condición de continuidad Buscamos que el límite es ese puno sea igual a la función en el punto, por lo tanto los límites laterales tienen que valer igual a 5b = b = 5 0a + 6b = 0a = a = 5 Entonces: f() = { si < 3 si = 3 si > 3 y f() = { si < 3 si = 3 si > 3 Practica.- Hallar las ecuaciones de las asíntotas de la siguiente función. a. f() = b. f() = c. f() = d. f() = e. f() =

9 .- Analizar la continuidad de las siguientes funciones. Si son discontinuas clasifique la discontinuidad y si es posible redefínalas para que sean continuas. a. f() = 9 3 b. f() = c. f() = 9 3 d. f() = 3.- Sea y = ( ), una función discontinua para = y =, pues no está definida en esos valores. Cómo puedo hacer para redefinir la función de manera que sea continua en =? puedo hacer lo mismo para =? por qué? 4.- Determinar los valores de a y b para que la función sea continua. Graficar la función. a. f() = { a + b si < si < 5 si 5 + a + b c. f() = { 5 + 3a + 4b si < 3 si = 3 si > 3 a + b + a b. f() = { b + b si < 3 si = 3 si > De un ejemplo de una función discontinua en =, para la cual se cumpla: a. Eista f(), pero no eista f(). b. Eista g(), pero no eista g(). c. Eista h() y eista h().