El Teorema de Green. Una curva dada por r(t) = x(t) i + y(t) j, a t b, se dice simple si no se corta consigo misma, es decir, r(c) Curva no simple

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1 El Teorema de Green Una curva dada por r(t) x(t) i + y(t) j, a t b, se dice simple si no se corta consigo misma, es decir, r(c) r(d) si c d. urva simple urva no simple urva orientada positivamente La curva está orientada positivamente cuando al recorrerla, la región que conforma se ve siempre a la izquierda (sentido antireloj). Teorema de Green: ea una región del plano cuyo contorno es una curva cerrada, simple, suave a trozos y orientada positivamente. i M y N tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a, entonces Mdx + Ndy N M da La notación Mdx + Ndy se utiliza, a veces, para indicar que la integral de línea se calcula usando la orientación positiva de la curva cerrada. Observaciones: (1) El Teorema de Green hace más fácil el cálculo de ciertas integrales de línea. Por ejemplo, calcule la integral (x 8y )dx + (4y 6xy)dy, donde es el contorno del camino de (, ) a (1, 1) por y x seguido por y x desde (1, 1) a (, ). álculo Vectorial Prof. Isabel Arratia Z. 11

2 () El Teorema de Green no es aplicable a todas las integrales de línea, recuerde que la curva debe ser cerrada, simple, suave a pedazos y orientada positivamente. () i el campo vectorial F M i + N j es conservativo, Mdx + Ndy Por ejemplo, y dx + xy dy N M da N M (4) i usamos el Teorema de Green de derecha a izquierda podemos obtener un modo de calcular el área de la región : N M Area () da. e debería tener 1 hay varias posibilidades, a saber, Area () xdy ydx y dx + x dy 1 y y para esto xdy ydx x y Por ejemplo, calcule el área de la elipse + 1 mediante a b una integral de línea. (5) El Teorema de Green se extiende a regiones no simplemente conexas pero que son uniones finitas de regiones simplemente y conexas. Por ejemplo, calcule ( arctg x + y )dx + (e x )dy, donde es el camino que se muestra en la siguiente figura álculo Vectorial Prof. Isabel Arratia Z. 1

3 (6) Finalmente, el Teorema de Green se extiende a regiones con agujeros como la siguiente: Ejercicios: 1. Use el Teorema de Green para evaluar xydx + x dy, donde es el segmento de recta que va de P(-, ) a Q(, ) seguido por la parte superior del círculo x + y 4.. Una partícula da una vuelta completa a un círculo de radio estando sometida a un campo de fuerza F(x, y) y i + (x + xy )j alcule el trabajo realizado por el campo de fuerza F. otacional y ivergencia ea F Mi + Nj + Pk un campo vectorial. El rotacional de F es el campo vectorial definido por: rot F F P N i z P M z j + N M k Por ejemplo, si F(x, y, z) (yz, xz, xy), entonces rot F. uál es rot F si F(x, y, z) xy j + xyz k? La divergencia de F es el campo escalar definido por: M div F F N P + + z álculo Vectorial Prof. Isabel Arratia Z. 1

4 Observaciones: (1) i f es una función de tres variables con derivadas parciales de segundo orden continuas, entonces rot ( f ). En efecto, rot ( f ) f (fzy fyz )i (fzx fxz ) j + (fyx fxy )k () En consecuencia, si F es un campo de vectores conservativo, F f y rot F rot ( f). Este resultado lo podemos enunciar también así: rot F F no es conservativo () El recíproco de ( F conservativo rot F ) también es válido pero su demostración requiere del Teorema de tokes que veremos más adelante. No obstante esto, lo enunciaremos: Teorema: ea F un campo de vectores definido sobre cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas. Entonces ( rot F F conservativo ) (4) Existe una relación entre la divergencia y el rotacional: i F Mi + Nj + Pk es un campo vectorial sobre y las funciones componentes M, N, P tienen derivadas parciales de segundo orden continuas, entonces div (rot F) Forma vectorial del Teorema de Green para regiones en el plano upongamos que la región, su curva frontera y las funciones M y N componentes escalares del campo vectorial F Mi + Nj satisfacen las hipótesis del Teorema de Green. Entonces tenemos que, F dr Mdx + Ndy N M da álculo Vectorial Prof. Isabel Arratia Z. 14

5 Pero en este caso, que nos conduce a N M N M rot F i j + k k, lo N M rot F k y a expresar el Teorema así: F dr (rot F k) da Una segunda forma vectorial del Teorema de Green es F n ds álculo Vectorial Prof. Isabel Arratia Z. div F(x, y) da que involucra la componente normal de F a lo largo de. uperficies paramétricas e manera similar a la que r(t) describe una curva en el espacio, podemos describir una superficie mediante una función vectorial r(u, v) de dos parámetros u y v. ean x, y, z funciones de u y v continuas en un dominio del plano uv. Al conjunto de puntos (x, y, z) dados por: r(u, v) x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k se le llama superficie paramétrica y las ecuaciones x x(u, v), y y(u, v), z z(u, v) son las ecuaciones paramétricas de. Ejemplos 1) La superficie dada por r(u, v) cos(u) i + sen(u) j + v k, con u π y v 6, es un cilindro circular recto, con eje el eje Z, de radio y altura igual a 6. ) eterminemos ecuaciones paramétricas para el cono z x + y. Podemos usar a x e y como parámetros y representar al cono por r(x, y) x i + y j + x + y k. 15

6 Área de una superficie paramétrica i una superficie paramétrica suave está dada por r(u, v) x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k, con (u, v) en, y si se cubre sólo una vez conforme (u, v) recorre el dominio paramétrico, entonces el área de la superficie es A() ru rv da, donde ru xu i + yu j + zu k y rv xv i + yv j + zv k. Para el caso de una superficie con ecuación z f(x, y), con (x, y) en y f con derivadas parciales continuas, podemos tomar a x e y como parámetros y la expresión para el área de se transforma en A() 1 + fx + ya que quedaría rx i + fx, ry j + fy k y rx x ry - fx i fy j + k. fy da Ejercicios: 1) alcule el área de la parte del cilindro dada por r(u, v) a cos(u) i + a sen(u) j + v k, con u π, v b. ta. π ab ) alcule el área de la parte del plano x + y + z 4 que está dentro del cilindro x + y 4. ta. 4 6 π ) alcule el área de la parte del paraboloide hiperbólico z y x que está entre los cilindros x + y 1 y x + y 4. ta. π ( ) 6 álculo Vectorial Prof. Isabel Arratia Z. 16

7 Integrales de superficie aso 1: La superficie está dada por z g(x, y). i es la proyección de sobre el plano XY y g, gx, gy son continuas en y f es continua en, la integral de superficie de f(x, y, z) sobre está dada por: g(x, f(x, y, z) d f(x, y, y)) 1 + (gx (x, y)) + (gy (x,y)) da uando resulta más conveniente proyectar sobre el plano YZ o sobre el plano XZ, se hacen los siguientes ajustes. f(x, y, z) d f(g(y, z), y, z)) 1 + (gy (y, z)) + f(x, g(x, y, z) d f(x, z), z)) 1 + (gx (x, z)) + Ejemplo: alculemos + primer octante del plano x + y + z 6. (gz (y,z)) da (gz (x,z)) da (y yz) d donde es la porción, en el La superficie está dada por z g(x, y) 1 + g x + gy. Por lo tanto, (y + yz) d (y 4 + y( - x x (y - xy) dy dx x y)) 1 da y. Además, álculo Vectorial Prof. Isabel Arratia Z. 17

8 aso : La superficie está dada por r(u, v) x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k, con (u, v) en, región del plano uv. La integral de superficie de f(x, y, z) sobre está dada por: f(x, y, z) d f( g(u, v) ) ru Ejemplo: alculemos (x + z) d donde es la porción del primer rv octante del cilindro y + z 9 entre x y x 4. Una parametrización de la superficie es, r(x, ϑ) x i + cos( ϑ) j + sen( ϑ) k, En este caso, (x + z) r x d con x 4 da y ϑ π. r ϑ cos( ϑ) j - sen( ϑ) k, y la integral queda: (x + sen( ϑ)) 9cos ϑ + 9sen ϑ π 4 (x sen( )) dx d + ϑ ϑ 1π + 6 da Ejercicios: 1. alcule (x y + z ) d, donde es la parte del cilindro x + y 9 entre los planos z y z. ta. 16 π. alcule ( y z) d, donde es la superficie con ecuaciones paramétricas x u v, y u + v, z u v, u + v 1. ta. álculo Vectorial Prof. Isabel Arratia Z. 18

9 aso : Integrales de superficie de campos vectoriales. Existen superficies orientadas, es decir, que tienen dos caras; también hay superficies no orientadas, por ejemplo la inta de Möbius. Una superficie se dice orientable si se puede definir en cada uno de sus puntos un vector normal unitario N, de manera tal que estos vectores normales varíen continuamente sobre la superficie. i es una superficie orientable dada por z g(x, y), considerando G(x, y, z) z g(x, y), se puede orientar mediante cualquiera de los vectores normales unitarios: G N G N G G i la superficie orientable está dada en forma paramétrica r(u, v) x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k, los vectores normales son ru r N v y ru rv N rv ru rv ru Una de las principales aplicaciones de la forma vectorial de una integral de superficie se refiere al flujo de un fluido a través de una superficie. efinición: ea F M i + N j + P k un campo de vectores con funciones componentes M, N, P con derivadas parciales continuas sobre la superficie orientada por un vector normal unitario N. La integral de flujo de F a través de se define como F N d álculo Vectorial Prof. Isabel Arratia Z. 19

10 ómo calcular una integral de flujo? 1) i la superficie está dada por z g(x, y), es la proyección de sobre el plano XY y está orientada hacia arriba, [- gxi - gy j + k] da F N d F ( M gx - N gy + P) da Y si está orientada hacia abajo, F N d F [ gxi + gy j - k] da (M gx + N gy P) da ) i la superficie está dada por r(u, v) x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k, con (u, v) en, r u r F N d F v ru rv da F (ru r ru rv v ) da Ejemplo: etermine el flujo del campo vectorial F(x, y, z) z i + y j + x k por la esfera unitaria x + y + z 1. Parametrizamos la esfera con r ( φ, ϑ) senφcosϑ i + senφsenϑ j + cosφ k, φ π, ϑ π F(r( φ, ϑ)) cosφ i + senφsenϑ j + senφcosϑ k r φ r ϑ sen φcosϑ i + sen φsenϑ j + senφcosφ k F N d (sen φcosφcosϑ + sen φsen ϑ da 4π álculo Vectorial Prof. Isabel Arratia Z.

11 El Teorema de la divergencia El Teorema de la divergencia amplia el Teorema de Green a campos vectoriales en : ea Q una región sólida acotada por una superficie cerrada orientada por vectores unitarios dirigidos hacia el exterior de Q. i F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q, entonces F N d Q div F dv i F M i + N j + P k, F N d Q M ( + N + P ) dv z Ejemplo: ea Q la región acotada por la esfera de ecuación x + y + z 4. alcule el flujo del campo vectorial F(x, y, z) x i + y j + z k que atraviesa la esfera hacia afuera. El flujo η F N d div F dv (6x + 6y + Q π π 4 6 ρ senφdϑdφdρ π 1π ρ dρ 5 Q 6z )dv π 4 πρ senφdφdρ álculo Vectorial Prof. Isabel Arratia Z. 1

12 El Teorema de tokes ea una superficie orientada con vector unitario N, acotada por una curva cerrada simple suave a trozos. i F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a y, entonces F dr (rot F) N d Ejemplo: ea el triángulo orientado de vértices de (,, ) a (,, ), de (,, ) a (,, 6) y de (,, 6) a (,, ) contenido en el plano x + y + z 6. alcule la integral F dr si F es el campo vectorial F(x, y, z) -y i + z j + x k. En este caso rot F -1 i - 1 j + y k. ea z g(x, y) 6 x y; entonces, F dr - 9 (-i - j + y k) N d (-i - j + y k) [ gxi - gy j + k]da (-i - j + y k) (i + j + k) da -y (y - 4) dx dy álculo Vectorial Prof. Isabel Arratia Z.