TEORÍA DE CONJUNTOS: Conceptos básicos

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1 TEORÍA DE CONJUNTOS: Conceptos básicos Qué es un conjunto? Es una colección de objetos bien definidos por medio de alguna o algunas propiedades en común. Por objeto entenderemos no sólo cosas físicas, como pelotas, computadores, etc., sino también abstractos, como son números, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. Ejemplo 1. Los números 1, 3, 7 y 10. Ejemplo 2. Las personas que habitan la Tierra. Ejemplos 3. Los estudiantes del Colegio San Francisco Javier de la Verapaz. NOTACIÓN Es usual denotar los conjuntos por letras mayúsculas A, B, X, Y,. Los elementos de los conjuntos se representan por letras minúsculas a, b, x, y,. REPRESENTACIÓN DE LOS CONJUNTOS Un conjunto se puede escribir en cualquiera de las formas siguientes: 1) Forma tabular, enumerativa o extensiva: Escribimos dentro de llaves un listado de los elementos que lo forman, separándose por medio de comas. 2) Forma descriptiva o comprensiva: Escribimos una variable para representar a los elementos del conjunto, luego, la proposición abierta que describe la propiedad común que los identifica. 3) Forma gráfica: Dibujamos una figura cerrada como un círculo, un cuadrado, un triángulo u otra y colocamos adentro de ella los elementos del conjunto. (Estas figuras se llaman diagramas de Venn). Ejemplo. Representar en conjunto las letras que forman las vocales. Forma tabular: A = {a, e, i, o, u} Forma descriptiva: A = {x x es una vocal} Forma gráfica: a, e, i, o, u CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL Se llama conjunto universo o referencial a aquel que contiene a todos los elementos que estamos estudiando. Se nombra con la letra U. El conjunto universal lo representamos gráficamente con la figura de un rectángulo. Adentro de este rectángulo dibujamos las figuras que representan a los conjuntos que tienen a aquel como su referencia. Ejemplo 1. En geometría plana el conjunto universal es el de todos los puntos del plano. Ejemplo 2. En los estudios sobre población humana el conjunto universal es el de todas las personas del mundo. Página 1 de 10

2 DIAGRMAS DE VENN-EULER Para lógica y teoría de conjuntos son muy usados los Diagramas de Venn - Euler, estos sirven para representar diferentes conjuntos y su relación entre sí, se manejan círculos para representar cada conjunto, y un rectángulo para representar el universo (Conjunto más grande que contiene a los pequeños). Pero también, usamos figuras geométricas como rectángulos, triángulos y elipses) para representar conjuntos, los cuales llamaremos diagramas de Venn. Su funcionamiento se puede reducir en lo siguiente: Ejemplo 1. Si un circulo está dentro de otro significa que el pequeño es parte del grande, es decir, todos los elementos del pequeño pertenecen al conjunto grande pero no a la inversa. Del grande al chico se utiliza la palabra ALGUNO y del chico al grande la palabra TODOS. Por ejemplo: El conjunto anterior denota leído del chico al grande: "Todos los gatos son felinos" Y del grande al chico: "Algunos felinos son Gatos" Hay que saber leer un diagrama, aunque nos lo presenten incoherente, por ejemplo, si la instrucción es: " Qué representa el siguiente diagrama? La respuesta correcta sería "Todos los Perros son Dálmatas" o "Algunos Dálmatas son Perros" que, aunque sabemos que eso no es cierto, es lo que representa el diagrama. Ejemplo 2. Dos conjuntos interceptados representan que existen elementos que son parte de aquellos conjuntos que se cruzan. Ejemplo: Página 2 de 10

3 Y representa que la parte marcada son la gente que estudia y trabaja al mismo tiempo. Ejemplo 3. Cuando algún elemento del universo no pertenece a ningún conjunto se anota en el espacio que queda entre los conjuntos y el universo, y si un conjunto no tiene elementos se dice que es un conjunto vacío. Ejemplo 4: Sea el siguiente diagrama de Venn - Euler una representación de las materias que reprobaron los alumnos A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K. Podemos concluir: - A, B, C, F reprobaron Matemáticas. - A y B sólo reprobaron Matemáticas. - C, D, E, F, G reprobaron Física. - D y E sólo reprobaron Física. - F, G, H, I reprobaron Química. - H e I sólo reprobaron Química - C reprobó Matemáticas y Física. - G reprobó Química y Física. - Nadie reprobó Matemáticas y Química, por lo que se dice que este es vacío. - F reprobó las tres materias. - K y J no reprobaron ninguna de las tres materias. Diagramas de Venn Veremos tres formas de representar diagramas de Venn. Página 3 de 10

4 Tenemos 2 regiones en el conjunto Universal. Ejemplo 5. Supóngase A B y A B. Entonces A y B se describen con uno de los diagramas. Ejemplo 6. Sean los conjuntos C = {x x divide a 24} D = {x x divide a 30} D = {x x divide a 40} CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Intuitivamente, un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos del conjunto es proceso de contar puede acabar. Si no, el conjunto es infinito. Ejemplo 1. Si M es el conjunto de los días de la semana, entonces M es finito. Ejemplo 2. Si N = {2, 4, 6, 8, }, N es infinito. Ejemplo 3. Si P = {x x es un río de la Tierra}, P es también finito, aunque sea difícil contar los ríos del mundo. Página 4 de 10

5 IGUALDAD DE CONJUNTOS El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. Se denota la igualdad de los conjuntos A y B por A = B Ejemplo 1. Sean A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 1, 4, 2}. Entonces A = B, es decir {1, 2, 3, 4} = {3, 1, 4, 2} pues cada uno de los elementos 1, 2, 3 y 4 de A pertenece a B y cada uno de los elementos 3, 1, 4 y 2 de B pertenece a A. Obsérvese, por tanto, que un conjunto no cambia al reordenar sus elementos. CONJUNTO VACIO Conviene introducir el concepto de conjunto vacío, es decir, de un conjunto que carece de elementos. Este conjunto se suele llamar conjunto nulo. Aquí diremos de un conjunto semejante que es vacío y se le denotará por el símbolo Ø. Ejemplo 1. Si A es el conjunto de personas vivientes mayores de 200 años, A es vacío según las estadísticas conocidas. Ejemplo 2. Sea B = {x x 2 = 4, x es impar}. B es entonces un conjunto vacío. SUBCONJUNTOS Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Más claro: A es un subconjunto de B si x ε A implica x ε B. Se denota esta relación escribiendo. A B Que también se puede leer A está contenido en B. Ejemplo 1. El conjunto C = {1, 3, 5} es un subconjunto del D = {5, 4, 3, 2, 1}, ya que todo número 1, 3 y 5 de C pertenece también a D. Ejemplo 2. El conjunto E = {2, 4, 6} es un subconjunto del F = {6, 2, 4}, pues cada número 2, 4 y 6 que pertenece a E pertenece también a F. obsérvese en particular que E = F. De la misma manera se puede mostrar que todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Ejemplo 3. Sean G = {x x es par}, es decir, G = {2, 4, 6, 8, } y F = {x x es potencia entera positiva de 2}, es decir, F = {2, 4, 6, 16, }. Entonces F G, o sea que F está contenido en G. Con la anterior definición de subconjunto se puede dar de otra manera la definición de la igualdad de dos conjuntos: Definición: Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si, y solo si A B y B A. Si A es un subconjunto de B, se puede escribir también B A Que se lee B es un superconjunto de A o B contiene a A. Y también se escribe, además, Si A no es subconjunto de B. Para concluir, se tiene: Observación 1. El conjunto vacío Ø se considera subconjunto de todo conjunto. Observación 2. Si A no es subconjunto de B, es decir, Si no es elemento de B., entonces hay por lo menos un elemento de A que Página 5 de 10

6 CONJUNTO POTENCIA O FAMILIA DE CONJUNTOS A todos los subconjuntos de un conjunto dado los llamamos conjunto potencia o familia de conjuntos. Para averiguar el número de subconjuntos que tiene un conjunto, nos auxiliamos del Triángulo de Pascal. Abajo tenemos las primeras seis filas de Pascal. Descubra como se forma y escriba otra fila. Interpretación del triángulo de Pascal. La fila correspondiente al número de elementos del conjunto nos auxilia con la información siguiente: a) La suma de todos los números nos da la cantidad de subconjuntos del conjunto. b) Cada número nos da la cantidad de subconjuntos de la misma cardinalidad. Página 6 de 10

7 CONJUNTOS DISYUNTOS Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si ningún elemento de A está en B y si ningún elemento de B está en A, se dice que A y B son disyuntos. Ejemplo 1. Sean A = {1, 3, 7, 8} y B = {2, 4, 7, 9}; A y B no son disyuntos entonces, pues 7 está en ambos conjuntos, o sea que 7 A y 7 B. Ejemplo 2. Sean A el conjunto de los números positivos y B el de los números negativos. Entonces A y B son disyuntos, pues ningún número es positivo y negativo. Página 7 de 10

8 Problema 1. Juego de entretenimiento Observe el diagrama de Venn Problemas selectos Cuál es la suma de los números que aparecen a) En el cuadrado, más no en el círculo o en el rectángulo? b) En el cuadrado, más no en el triángulo? c) En el triángulo o en el círculo, más no en el rectángulo? d) Comunes al cuadrado, más no en el cuadrado? e) En el rectángulo, más no en el cuadrado? f) Comunes al cuadrado, al rectángulo y al círculo? g) En el círculo, más no en el triángulo o en el rectángulo? h) Comunes al rectángulo, al triángulo y al cuadrado? Problema 2. Escribir las afirmaciones siguientes en notación de conjuntos: (1) x no pertenece a A. (2) R es subconjunto de S. (3) d es elemento de E. (4) F no es subconjunto de G. (5) H no incluye a D. Problema 3. Enunciar con palabras y luego escribir en forma tabular. (1) A = {x x 2 = 4} (2) B = {x x 2 = 5} (3) C = {x x es positivo, x es negativo} (4) D = {x x es una letra de la palabra "correcto"} Problema 4. Cuáles conjuntos son finitos? (1) Los meses del año. (2) {1, 2, 3,, 99, 100} (3) Las personas que viven en la Tierra. (4) {x x es par} (5) {1, 2, 3, } Página 8 de 10

9 Problema 5. Cuáles de estos conjuntos son iguales: {r, t, s}, {s, t, r, s}, {t, s, t, r}, {s, r, s, t}? Problema 6. Cuáles de estos conjuntos son iguales? (1) {x x es una letra en la palabra tocata} (2) Las letras de la palabra tacto. (3) {x x es una letra de la palabra "cota"} (4) Las letras a, c, o, t. Problema 7. Cuál de estas palabras es distinta de las otras y por qué?: (1) Vacío (2) Cero (3) Nulo Problema 8. Entre los conjuntos que siguen, Cuáles son diferentes? (1) Ø (2) {0} (3) { } Problema 9. Cuál de estos conjuntos son vacíos? (1) A = {x x es una letra anterior a a en el alfabeto} (2) B = {x x 2 = 9 y 2x = 4} (3) C = {x x x} (4) D = {x x + 8 = 8} Problema 10. Dado A = {x, y, z}, Cuántos subconjuntos hay en A y cuáles son? Problema 11. Definir los siguientes conjuntos de las figuras del plano. Q = {x x es un cuadrilatero} R = {x x es un rectángulo} H = {x x es un rombo} S = {x x es un cuadrado} Problema 12. Observe los diagramas de Venn para calificar como verdadera o falsa cada oración. (1) Todos los elementos de A también pertenecen a B. (2) Es falso que ningún elemento de B pertenece a A. (3) Los conjuntos E y F tienen algunos elementos comunes. (4) Si un elemento no pertenece a E tampoco pertenece a F. (5) Los conjuntos G y H tienen elementos comunes. Problema 13. Una familia integrada por 4 miembros: padre, madre, hija e hijo, proyecta para este año 2016 realizar varios viajes, pero, cada viaje con distintos miembros de la familia. a) Cuántos viajes deberá planificar? b) Escriba en forma de conjunto las distintas formas en que deberán viajar. Página 9 de 10

10 PROFESOR RONALD CHÉN: Teoría de conjuntos parte 1 (Primero Básico 2016) Problema 14: Cuáles son los subconjuntos de {1, 2, 3}? Problema 15. Si el conjunto A es el conjunto que contiene los 10 primeros números primos, Cuántos subconjuntos tiene el conjunto A? Problema 16. Realiza un diagrama de Venn que represente el siguiente argumento: a. Algunos criminales son millonarios. b. Todos los empresarios son millonarios. Es correcto concluir: Algunos empresarios son criminales Problema 18. Realiza un diagrama de Venn que represente las siguientes premisas: a. Todos los desarrolladores son ingenieros. b. Todos los ingenieros son listos. Es correcto concluir: Todos los desarrolladores son listos? Problema 19. Interpreta el siguiente diagrama de lo general a lo particular y de lo particular a lo general. Problema 20. Interpreta los siguientes diagramas: Problema 21. Interpreta el siguiente diagrama de lo general a lo particular y de lo particular a lo general. Página 10 de 10