Geometria / GE 2. Perpendicularitat S. Xambó

Transcripción

1 Geometria / GE 2. Perpendicularitat S. Xambó Vectors perpendiculars Ortogonal d un subespai Varietats lineals ortogonals Projecció ortogonal Càlcul efectiu de la projecció ortogonal Aplicació: ortonormalització de Gram Schmidt Projecció ortogonal sobre una varietat lineal L equació cartesiana d un hiperplà en termes del producte escalar Distància d un punt a una varietat lineal Distància d un punt a un hiperplà Distància d un punt a una recta Distància entre dues rectes de l espai de dimensió 3

2 2 Vectors perpendiculars Dos vectors i són perpendiculars o ortogonals si 0. El vector 0 és perpendicular a qualsevol vector. Si, 0, 0 equival a, /2. La relació de perpendicularitat és simètrica, ja que el producte escalar és simètric. Dos vectors i són ortogonals si i només si 0, on, i són, respectivament, la matriu de la mètrica i els vectors de coordenades de i respecte d una base donada de. Remarca. Si,, són vectors no nuls tals que 0 quan, llavors,, són linealment independents. En efecte, si 0 (,, ), per a tot 1,, tenim: 0, d on 0. Conjunts ortogonals. Si i són dos subconjunts de, direm que són ortogonals si 0 qualssevol que siguin i, és a dir, si i només si tot vector de és perpendicular a tot vector de.

3 3 Exemple. Si,,,,,, els subespais vectorial,, i,, i són ortogonals si i només si 0 per 1, 1. Aquesta propietat és una conseqüència immediata del caràcter bilineal del producte escalar. Ortogonal d un subespai Donat, posarem per denotar el conjunt de vectors ortogonals a, és a dir, 0 per a tot. és un subespai vectorial de, qualsevol que sigui.. (usualment posarem en lloc de ). Teorema (dimensió de ). Per a tot subespai vectorial de, 0 i dim dim, relacions que equivalen a dir que.

4 4 Prova. Sigui,, una base de ( dim) i definim tal que,,. L aplicació és lineal i ker. Per tant, dim dimker dimdimim, atès que dimim dim. Per altra banda tenim 0 (una conseqüència immediata del fet que el producte escalar és definit positiu) i així dim dim dim dim d on dim. Corol laris per a tot subespai de. Si i són subespais de, llavors si i només si.

5 5 Varietats lineals ortogonals Varietat perpendicular a una varietat per un punt. Si és una varietat lineal i un punt, posarem i diem que és la varietat perpendicular a per.. dim dim. Si és fixa i variable, les varietats perpendiculars són paral leles entre elles. és la varietat perpendicular a per un punt qualsevol de. Varietats lineals perpendiculars. Siguin i dues varietats lineals de l espai euclidià i posem i. Direm que és perpendicular o ortogonal a L si o. Si, la condició equival a i la condició equival a

6 6. Així, doncs, una varietat és perpendicular a si conté, o està continguda en, la varietat per a un cert punt. Projecció ortogonal Si és un subespai vectorial de, sabem que. Per tant, existeix una única aplicació lineal :, si 0 si Direm que és la projecció ortogonal de sobre. Si, amb i, llavors. és l únic vector tal que. Com que,, amb igualtat si i només si.

7 7 Càlcul efectiu de la projecció ortogonal A. Usant una base ortonormal de Proposició. Si,, és una base ortonormal de, llavors per a tot vector. En particular,. Prova. El vector és de. Com que 0 ( 1,, ), i per tant.

8 8 Exemple (cas ). Si,. Per tant, si,, és una base ortonormal de, i per a tot. Exemple (dim 1). Si és un vector no nul de i posem / (de manera que és una base ortonormal de ), aleshores on hem posat. B. Usant una base qualsevol de W i Sigui,, una base qualsevol de. Tindrem,,,, i es tracta d obtenir una expressió per als coeficients,,. Com que, tenim 0 per a 1,,, o, en notació compacta, 0, és a dir,,

9 9. Aquesta relació és un sistema de equacions lineals en,, i sabem que té solució única. Per tant és una matriu invertible i com a conseqüència. Remarca. Si és ortonormal, llavors i el resultat coincideix amb el que ja hem obtingut en aquest cas. El mateix passa en el cas dim 1 (segon exemple de la pàgina anterior), en què es redueix a un vector :, es redueix a / i és igual a.

10 10 Aplicació: ortonormalització de Gram Schmidt Si,, són vectors linealment independents de, el procediment ; per 2,,, subministra una base ortonormal,, de,, tal que,,,, i 0 per 1,,. Remarca. L expressió dóna la projecció ortogonal de sobre,,,, (aquesta igualtat és vàlida per recurrència). Per tant és un vector perpendicular a, i és no nul per la independència lineal de,,, la qual cosa mostra que /,, compleix les condicions enunciades.

11 11 Projecció ortogonal sobre una varietat lineal. Sigui una varietat lineal i un punt. Posem i fixem un punt arbitrari. Els punts d intersecció de amb són els que compleixen, amb,. Com que l única solució és i, resulta que existeix un únic punt d intersecció i que aquest punt és. Fixem nos que, en particular, és independent del punt. Direm que és la projecció ortogonal de sobre i posarem per denotar lo. Per definició, doncs, tenim per a qualsevol punt de. Com que és lineal, : és una aplicació afí. equival a.

12 12 L equació cartesiana d un hiperplà en termes del producte escalar Sigui un hiperplà. Com que és un espai vectorial de dimensió 1,, on és qualsevol vector no nul de. Si, 0. En una referència ;, aquesta condició adopta la forma, on són les components de a respecte de, les coordenades de i les coordenades de. Si ara posem,,, on, i, la darrera equació adopta la forma. Hem obtingut així, a partir del vector perpendicular a i mitjançant el producte escalar, una equació cartesiana de en la referència.

13 13 Notem que si és rectangular, és a dir, si és ortonormal, llavors i, amb la qual cosa l equació de l hiperplà s escriu, on. Com trobar un vector perpendicular a un hiperplà. Suposem que és l equació d un hiperplà en una referència ; de. Sigui i definim,,,,, on és la matriu de la mètrica en la referència. Llavors el vector és un vector perpendicular a. Notem que en el cas que sigui rectangular, els mateixos coeficients,, són les components d un vector perpendicular a.

14 14 Exemple (hiperplà bisector d un segment). Donats dos punts diferents i, el conjunt de punts tals que,, és l hiperplà perpendicular a que passa pel punt mitjà del segment,. D aquest hiperplà en diem hiperplà bisector del segment, (recta mediatriu en el cas de dimensió 2 i pla bisector en el cas de dimensió 3). En efecte, si escollim un origen arbitrari i posem,, i, llavors /2 i,, , i aquesta expressió és l equació de l hiperplà perpendicular a que passa pel punt.

15 15 Distància d un punt a una varietat lineal. Per definició, la distància d un punt a una varietat lineal,,, és la distància de a la seva projecció ortogonal sobre, és a dir,, llavors,,. Si és un punt qualsevol de, i. Com que, veiem que, de manera que,. [] A més, (teorema de Pitàgores), d on per a tot PL, amb igualtat si i només si.

16 16 Distància d un punt a un hiperplà Segons la fórmula [] de la pàgina anterior, la distància, d un punt a un hiperplà ve donada per, on és un punt qualsevol de i és un vector no nul perpendicular a (en aquest cas ). Vegem com s expressa aquesta distància en una referència ;. Sigui (o 0) una equació de,,, les coordenades de i,, les coordenades de. Aleshores sabem, si,, són els coeficients de l equació de, que són les components d un vector a no nul perpendicular a i la fórmula anterior dóna si és ortonormal

17 17 Alguns detalls. (en el darrer pas hem usat que ). Exemple (hiperplans bisectors de dos hiperplans). Siguin i dos hiperplans no paral lels. Siguin i vectors unitaris perpendiculars a i, respectivament. El lloc geomètric dels punts que equidisten dels dos hiperplans ve donat per la relació, on és qualsevol punt de. Com que la darrera relació equival a 0, veiem que el lloc geomètric en qüestió està format per dos hiperplans. D aquests hiperplans en diem que són bisectors dels hiperplans i (en dimensió 2 són les bisectrius de dues rectes). Notem que són perpendiculars (ja que i ho són) i que contenen a H H.

18 18 Distància d un punt a una recta. Donat un punt Q i una recta d equació paramètrica ( ),, on. Pel teorema de Pitàgores,,.

19 19 Distància entre dues rectes de l espai de dimensió 3 Siguin i dues rectes no paral leles de l espai de l espai euclidià de dimensió 3 (d aquest espai és costum dir ne espai ordinari), i sengles vectors directors, i,. Com que i són linealment independents, l espai, té dimensió 1. Si és qualsevol vector no nul perpendicular a i, llavors només depèn de i, i no dels punts i. En efecte, si i, llavors, ; ; i. Ara diem que és la distància entre les rectes i,,. Si posem, finalment tenim, /.

20 Notem que,,, amb igualtat si i només si és perpendicular a i. Hi ha una única recta perpendicular a i a que talla i a. De fet, si existeix, serà, i, d on,,. Com que aquesta intersecció és una recta amb vector director, queda també provada l existència. Finalment, talla a (respectivament ) perquè i (respectivament i ) són coplanàries i no paral leles. Si i, llavors,. 20