1 Estadística. Profesora María Durbán

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1 Tema 5: Estmacó de Parámetros Tema 5: Estmacó de Parámetros 5. Itroduccó y coceptos báscos 5. Propedades de los estmadores 5.4 Dstrbucó de u estmador e el muestreo Objetvos del tema: Al fal del tema el alumo será capaz de: Explcar el cocepto de estmacó de parámetros de ua poblacó o de ua dstrbucó de probabldad Explcar las propedades de los estmadores. Costrur estmadores putuales medate máxma verosmltud Coocer y explcar la precsó co la que so estmados los parámetros Explcar la mportaca de la dstrbucó Normal como dstrbucó e el muestreo Tema 5: Estmacó de Parámetros 5. Itroduccó y coceptos báscos 5. Itroduccó y coceptos báscos 5. Propedades de los estmadores Hasta ahora hemos vsto como dado u modelo de probabldad, podíamos calcular la probabldad de que ua varable tomara u certo valor. Ahora os teresa el proceso verso: ua vez observada la frecueca co la que la varable toma los valores, buscamos u modelo probablístco que descrba los datos. A esto se llama fereca estadístca. 5.4 Dstrbucó de u estmador e el muestreo E temas aterores vmos que los modelos de dstrbucó de probabldad depedía de uo o más parámetros, para poder ver s u modelo se ajusta a los datos hemos de estmar dchos parámetros. 3 4

2 5. Itroduccó y coceptos báscos 5. Itroduccó y coceptos báscos Poblacó muestra Ifereca Estadístca: Proceso medate el cual se utlza la formacó de ua muestra para extraer coclusoes de la poblacó Defcoes Las varables,, so ua muestra aleatora s: So depedetes Todas tee la msma dstrbucó U estadístco es cualquer fucó de las observacoes e ua muestra aleatora: f (,, ) ESTIMACIÓN DE PARAMETROS PRUEBAS DE HIPOTESIS 5 U estmador es u estadístco que se utlza para estmar u parámetro descoocdo de la poblacó ˆ μ μ Ua estmacó es u valor cocreto del estmador para ua muestra e partcular x, x, x (,,4) x Itroduccó y coceptos báscos 5. Itroduccó y coceptos báscos El objetvo de la estmacó de parámetros es proveer de métodos que permta determar co certa precsó, el valor de los parámetros de u modelo a partr de ua muestra extraída de la poblacó. E la poblacó Meda poblacoal: μ Varaza poblacoal: Otros: θ Su equvalete ESTIMACIÓN PUNTUAL ESTIMACIÓN POR INTERVALOS E la muestra Meda muestral: Varaza muestral: S Otros: θˆ U geero de estructuras está aalzado la ressteca a la tesó de u compoete utlzado e el chass de u coche. Debdo a que la varabldad e la ressteca a la tesó está presete e cada compoete (debdo a los dsttos lotes de materas prmas, el proceso de maufactura, etc.), el geero está teresado e estmar la ressteca meda de los compoetes. E la práctca, el geero tomará ua muestra para calcular u úmero que sea, de algú modo, ua buea aproxmacó del verdadero valor de la meda. Más adelate veremos que es posble establecer la precsó de esta estmacó. 7 8

3 Tema 5: Estmacó de Parámetros 5. Propedades de los estmadores 5. Itroduccó y coceptos báscos Isesgado o Cetrado 5. Propedades de los estmadores U estmador debería estar cerca, e algú setdo, del verdadero valor del parámetro. 5.4 Dstrbucó de u estmador e el muestreo U estmador θˆ es u estmador sesgado o cetrado del parámetro θ s E ˆ θ θ S u estmador o es sesgado, a la dfereca 9 E ˆ θ θ se le llama sesgo del estmador θˆ 0 5. Propedades de los estmadores 5. Propedades de los estmadores Para estmar el área de uas pezas cuadradas de lado L, de utlza u calbre que comete u error ε dstrbudo como ua N(0, ). Se utlza dos estmadores del área: A A L L L dode L L+ε so meddas depedetes Buscamos el estmador cuya esperaza esté más próxma a [ ] ( + ε ) + ε + [ ε ] E A E L E L E L E E L L Var [ ε ] L L E ε 0 [ ] [ ] + EA L L L sesgo A [ ]

4 5. Propedades de los estmadores Buscamos el estmador cuya esperaza esté más próxma a L 5. Propedades de los estmadores Varaza de u estmador S dos estmadores so cetrados, cuál podríamos cosderar mejor?. [ ] [ ] ( + ε )( + ε ) + [ ε ε ] + [ ε ] + [ ε ] EA ELL E L L E L E EL EL [ ] L EA E ε E ε 0 L [ ] [ ] depedetes 0 Aquel que tega meor varaza es más probable que de lugar a estmacoes que esté más próxmas al verdadero valor del parámetro. Llamamos efceca o precsó de u estmador: Efceca ˆ θ / Var ˆ θ Meor varaza mayor efceca L sesgo[ A ] 0 sesgado Propedades de los estmadores Varaza de u estmador S dos estmadores so cetrados, cuál podríamos cosderar mejor?. Aquel que tega meor varaza es más probable que de lugar a estmacoes que esté más próxmas al verdadero valor del parámetro. Llamamos efceca relatva de ˆθ respecto de ˆθ : 5. Propedades de los estmadores Varaza de u estmador Cuado damos u valor estmado de u parámetro, sería lógco dar ua medda de la precsó de esa estmacó Error estádar del estmador Efceca ˆ θ Var ˆ θ ˆ θ ˆ θ Efceca ˆ θ ˆ Var θ ER / 5 El error estádar de u estmador θˆ es la desvacó típca de dcho estmador: ˆ Var ˆ θ θ S la desvacó típca depede del parámetro, la susttucó del parámetro por su estmacó da lugar al error estádar estmado: ˆθˆ 6

5 5. Propedades de los estmadores 5. Propedades de los estmadores Dos grabadores de plasma de ua fábrca de semcoductores tee la msma tasa meda de grabado μ. S embargo, ua máqua es más ueva que la otra y por lo tato la tasa de grabado tee meor varabldad. De modo que 4. Se toma ua m.a.s. de cada máqua y. Es ˆ μ α + ( α) u estmador sesgado para μ?. Qué valor de α hará que la varaza del estmador putual sea míma? Qué ocurrría s hubéramos tomado α 0.5?. Es ˆ μ α + ( α) u estmador sesgado para μ? [ ] E[ ] E E[ ˆ μ] α + ( α) μ μ + ( ) α α μ Propedades de los estmadores 5. Propedades de los estmadores. Es ˆ μ α + ( α) u estmador sesgado para μ?. Qué valor de α hará que la varaza del estmador putual sea mímo? Qué ocurrría s hubéramos tomado α 0.5? [ ] E[ ] E E[ ˆ μ] α + ( α) μ μ + ( ) α α μ Isesgado 9 [ ] Poco peso a las observacoes co más varabldad [ ] Var [ ] Var Var ˆ μ α + ( α) ( /)4 8 ( /) α + α α + α [ μ] Var ˆ α Var [ ˆ μ] α α 0.5 Var [ ˆ μ] 4 4 0

6 5. Propedades de los estmadores 5. Propedades de los estmadores Error Cuadrátco Medo Precso y cetrado Error Cuadrátco Medo Error Cuadrátco Medo Precso, pero o cetrado Cetrado, pero o precso E.C.M. ˆ θ E ˆ θ θ Var ˆ θ + sesgo ˆ θ El E.C.M. tee e cueta lo precso que es u estmador y lo próxmo que está al verdadero valor del parámetro Isesgado Más varaza Dst. de θ Dst. de θ θ E [ θ ] Sesgado Meos varaza 5. Propedades de los estmadores Error Cuadrátco Medo 5. Propedades de los estmadores Error Cuadrátco Medo Dst. de θ Dst. de θ Dst. de θ Dst. de θ Isesgado Más varaza θ E [ θ ] Sesgado Meos varaza 3 Isesgado Más varaza θ E [ θ ] Sesgado Meos varaza 4

7 5. Propedades de los estmadores Error Cuadrátco Medo 5. Propedades de los estmadores Cossteca Dremos que u estmador es cosstete cuado se aproxma al valor del parámetro al crecer el tamaño muestral Descrbe el comportameto del estmador cuado el tamaño de la muestra crece. Se puede cosderar como el requsto mímo que se exge a u estmador Dst. de θ Dst. de θ Isesgado Más varaza θ E [ θ ] Sesgado Meos varaza 5 6 Tema 5: Estmacó de Parámetros 5. Itroduccó y coceptos báscos 5. Propedades de los estmadores 5.3 Métodos de de máxma verosmltud Método de los mometos Más fácles de calcular Máxma verosmltud Mejores desde al puto de vsta de la efceca 5.4 Dstrbucó de u estmador e el muestreo 7 8

8 Método de máxma verosmltud Método de máxma verosmltud La dea es la sguete: Dada ua muestra de datos, supoemos que provee de ua dstrbucó coocda (que depede de ó más parámetros). El objetvo es buscar el valor del parámetro que hace más probable que dchos datos provega de esa dstrbucó co ese valor del parámetro. Lazamos ua moeda 000 veces y aparece 00 caras y 900 cruces. El valor más verosíml del parámetro o es 0.5, ya que s lo fuera, el úmero de caras y cruces estaría próxmo 9 Dstrbucó cojuta de la muestra Puto de partda:,,, ua muestra aleatora smple Idepedetes Co la msma dstrbucó La dstrbucó de cuado tomamos dsttas muestras se llama dstrbucó cojuta de la muestra. Varables dscretas Pr x, x,, x Pr x Pr x Pr x ( ) ( ) ( ) ( ) Pr( x) Probabldad cojuta de la muestras 30 Método de máxma verosmltud Método de máxma verosmltud Dstrbucó cojuta de la muestra Fucó de verosmltud Puto de partda:,,, ua muestra aleatora smple Idepedetes Co la msma dstrbucó Varables cotuas Para calcular probabldades hemos de coocer los parámetros de los que depede la dstrbucó f ( x, x,, x) f ( x) 3 Dada ua v.a. (cotua) co fucó de desdad f x θ y ua m.a.s. (, la fucó de desdad cojuta:,,, ) θ (,,, θ ) ( θ ) f x x x f x Cuado es coocdo probabldad de aparcó de cada muestra θ Cuado es descoocdo, pero coocemos el valor de ua muestra: Fucó Fucó de soporte verosmltud l( θ x) f ( θ x ) l l ( θ x ) L ( θ x ) 3

9 Método de máxma verosmltud Método de máxma verosmltud P(x) Dada ua muestra, buscamos el valor del parámetro/s que maxmza la probabldad de aparcó de los valores observados. θ x l Poblacó ( θ x ) f ( x θ ) 0 Dervamos la fucó soporte co respecto a, e gualamos a 0 ˆ L θ 0 θ θ θ Calculamos la seguda dervada para comprobar que es u máxmo Muestra x0 ( x0, x0,, x0) 33 L θ θ < 0 θ θˆ 34 Propedades de los E.M.V. Método de máxma verosmltud Para dstrbucoes cuyo rago de valores es coocdo a pror y o depede de gú parámetro y el tamaño de la muestra es grade, el método de máxma verosmltud da lugar a estmadores que so: Astótcamete cetrados ˆ Astótcamete ormales θ N θ, Var ˆ θ ˆ Astótcamete de varaza míma ˆ L( θ ) Var θ θ So varates frete a trasformacoes buívocas: E ˆ θ θ ( ˆ) S ˆ θ es E.M.V. de θ g θ es E.M.V. de g θ 35 Supogamos que el tempo de fallo de u módulo electróco se prueba a elevadas temperaturas para acelerar el fallo del mecasmo. El tempo de fallo se dstrbuye como ua expoecal co parámetro descoocdo. Se toma al azar 8 udades y se prueba, dado lugar a los sguetes tempo de fallo: x.96 x 5.03 x x x 3.5 x 7.73 x. x λx 8 λ l( λ x) λe λ e 8 L( θ) 8l( λ) λ x L( λ) 8 < 0 λ λ 8 x L 8 ( λ) ˆ x λ 8 λ λ x ˆ λ

10 Método de máxma verosmltud Supogamos que el tempo de fallo de u módulo electróco se prueba a elevadas temperaturas para acelerar el fallo del mecasmo. El tempo de fallo se dstrbuye como ua expoecal co parámetro descoocdo. Se toma al azar 8 udades y se prueba, dado lugar a los sguetes tempo de fallo: F. soporte l bd 37 Método de máxma verosmltud Supogamos que el tempo de fallo de u módulo electróco se prueba a elevadas temperaturas para acelerar el fallo del mecasmo. El tempo de fallo se dstrbuye como ua expoecal co parámetro descoocdo. Se toma al azar 8 udades y se prueba, dado lugar a los sguetes tempo de fallo: x.96 x 5.03 x x x 3.5 x 7.73 x. x ˆ λ [ ] L( λ) λ Var λ λ Cuato mayor es el tamaño de la muestra Más precso es el estmador 38 Calcular el E.M.V. de θ ( μ, ) para ua muestra de N( μ, ) ( x μ) x μ l( μ, x) exp exp / π ( π ) Calcular el E.M.V. de θ ( μ, ) para ua muestra de N( μ, ) ( x μ) x μ l( μ, x) exp exp / π ( π ) ( x ) μ L( μ, ) l( π ) L μ ( μ, ) x ( x ) 0 ˆ μ μ ( ) ( x μ) x x + 0 ˆ S 4 L( μ, ) 39 40

11 L( θ ) L( θ ) μ sgma mu μ 4 Tema 5: Estmacó de Parámetros 5. Itroduccó y coceptos báscos 5. Propedades de los estmadores 5.4 Dstrbucó de u estmador e el muestreo 5.4 Dstrbucó de u estmador e el muestreo Supogamos que estamos teresados e el volume medo de líqudo cotedo e ua lata de refresco. El volume medo requerdo e la poblacó es 300cc. U geero toma ua muestra de 5 latas y calcula x 98cc. El geero probablemete decdrá que la meda poblacoal es 300cc auque x sea meor, ya que x es u estmador razoable de μ y que s tomáramos repetdas muestras de 5 latas producría valores de x por ecma y por debajo de 300cc La meda muestral es u estadístco, es decr, es ua v.a. que depede de los resultados obtedos e cada muestra 43 44

12 5.4 Dstrbucó de u estmador e el muestreo Supogamos que estamos teresados e el volume medo de líqudo Cotedo e ua lata de refresco. El volume medo requerdo e la poblacó es 300cc. U geero toma ua muestra de 5 latas y calcula x 98cc. El geero probablemete decdrá que la meda poblacoal es 300cc auque x sea meor, ya que x es u estmador razoable de μ y que s tomáramos repetdas muestras de 5 latas producría valores de x por ecma y por debajo de 300cc La meda muestral es u estadístco, es decr, es ua v.a. que depede De los resultados obtedos e cada muestra 5.4 Dstrbucó de u estmador e el muestreo Dstrbucó e el muestreo de la meda Vamos a calcular la esperaza y varaza de, dode las meda y varaza. μ [ ] E μ E E μ [ ] Var Var Var tee Dstrbucó de u estmador e el muestreo Ilustramos cómo la varaza de la meda muestral es meor que la de la poblacó. Meda.5 Meda. Meda.5 Poblacó Compara la.5 varabldad de.5.5 la poblacó co la varabldad.5.5 de la meda.5.5 muestral Tomamos muestras de dos observacoes 5.4 Dstrbucó de u estmador e el muestreo Dstrbucó e el muestreo de la meda La dstrbucó de depederá de la dstrbucó de las ~ N( μ, ) ~ N μ, S tee otra dstrbucó, pero es sufcetemete grade, por el Teorema Cetral del Límte: μ N(0,) / 47 48

13 5.4 Dstrbucó de u estmador e el muestreo 5.4 Dstrbucó de u estmador e el muestreo Ua empresa fabrca resstores que tee ua ressteca meda de 00ohms y ua varaza de 00ohms. La dstrbucó de la ressteca es ormal. Calcular la probabldad de que ua muestra de resstores de tamaño 5 tega ua ressteca meda meor de 95ohms ~ N μ, Pr 95 Pr Pr.5 Pr >.5 Pr <.5 ( < ) Z < ( Z < ) ( Z ) ( Z ) 49 Ua empresa fabrca resstores que tee ua ressteca meda de 00ohms y ua varaza de 00ohms. La dstrbucó de la ressteca es ormal. Calcular la probabldad de que ua muestra de resstores de tamaño 5 tega ua ressteca meda meor de 95ohms ~ N μ, 00 ( Z ) ( Z ) Pr ( < 95) Pr Z < Pr ( Z <.5) Pr >.5 Pr < Dstrbucó de u estmador e el muestreo Beroull Caso partcular: Dstrbucó e el muestreo de ua proporcó Defectuoso 0 Aceptable E[ ] [ ] μ p Var p( p) S teemos ua muestra de tamaño, la proporcó de defectuosos e la muestra sería: pˆ. defectuosos. total 5.4 Dstrbucó de u estmador e el muestreo Dstrbucó e el muestreo de la varaza U estmador atural de la varaza poblacoal es la varaza muestral S ( ) Vamos a calcular su esperaza y varaza, para ello prmero demostramos: ( ) ( μ ) ( μ ) [ ˆ ] E p p [ ˆ ] Var p p( p) 5 5