Examen de Matemáticas II (Junio 2014) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos

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1 Examen de Matemáticas II (Junio 04) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Problema (3 puntos) Dadas las matrices α β γ x 0 A = γ 0 α ; X = y ; B = 0 O = 0 β γ z 0 se pide: (,5 puntos). Calcula α, β y γ para que sea solución del sistema 3 AX = B. b) ( punto). Si β = γ = Qué condición o condiciones debe cumplir α para que el sistema lineal homogéneo AX = O sea compatible determinado? c) (0,5 puntos). Si α =, β = y γ = 0, resuelve el sistema AX = B. α β γ α + β + 3γ = γ 0 α = 0 3α + γ = 0 β γ 3 β + 3γ = 0 α = β = 9/ γ = 3 b) β = γ = : α x 0 0 α y = 0 ; A = α(α ) = 0 α = 0, α = z 0 Se trata de un sistema homogéneo: Si α 0 y α A 0 Rango(A) = 3 = n o de incógnitas por lo que es un sistema compatible determinado y su única solución sería la trivial: x = y = z = 0. Si α = 0 o α = A = 0 Rango(A) < n o de incógnitas por lo que es un sistema compatible indeterminado.

2 c) Si α =, β = y γ = 0: x y z = 0 x + y = z = 0 x + y = x = 0 y = z = 0 Problema (3 puntos) Dados el punto P (, 0, ), el plano π x+5y 6z = x = 0 y la recta r :, se pide: y = 0 ( punto). Calcular el punto P simétrico a P respecto de π. b) ( punto). Hallar la distancia de P a r. c) ( punto). Calcular el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas O(0, 0, 0) y las intersecciones de π con los ejes coordenados OX, OY y OZ. Segimos el siguiente procedimiento: b) Calculamos una recta t π/p t: ut = t : u π = (, 5, 6) x = + λ t : y = 5λ P t = P (, 0, ) z = 6λ Calculamos el punto de corte P de t con π: ( + λ) + 5(5λ) 6( 6λ) = λ = 3 3 x = + 3/3 = 34/3 ( 34 y = 5/3 P 3, 5 3, 3 ) 3 z = 8/3 = 3/5 El punto P es el punto medio entre P y el punto que buscamos P : P + P = P P = P P = x = 0 r : y = 0 z = λ ( 68 3, 30 3, 6 3 ) ( 37 (, 0, ) = 3, 30 3, 5 ) 3 ur = (0, 0, ) P r (0, 0, 0), P r P = (, 0, )

3 P r P u r = i j k = (0,, 0) = d(p, r) = P r P u r = u r = c) Calculamos los puntos de corte de π x + 5y 6z = con los ejes coordenados: Con OX hacemos y = 0 y z = 0: A(, 0, 0) Con OY hacemos x = 0 y z = 0: B(0, /5, 0) Con OZ hacemos x = 0 y y = 0: C(0, 0, /6) Luego: Problema 3 ( puntos) OA = (, 0, 0); OB = (0, /5, 0); OC = (0, 0, /6) V = /5 0 = 0 0 /6 80 u3 ( punto). Sea f : R R una función dos veces derivable. Sabiendo que el punto de abscisa x = es un punto de inflexión de la gráfica de f(x) y que la recta de ecuación y = 6x+6 es tangente a la gráfica de f(x) en dicho punto, determinar: f( ), f ( ) y f ( ) b) ( punto). Determinar el área de la región acotada limitada por la gráfica de la función g(x) = x 4 + 4x 3 y el eje OX. Por ser x = la abcisa del punto de tangencia con la recta y = 6x + 6 f( ) = = 6. La pendiente de esta recta es m = f ( ) = 6 y, por último, al ser punto de inflexión f ( ) = 0. b) g(x) = x 4 + 4x 3 = 0 x = 0, x = ] 0 (x 4 + 4x 3 ) dx = x5 5 + x4 S = 44 5 = 56 5 u 4 =

4 Problema 4 ( puntos) Calcular justificadamente: x e x + sin(3x) lím x 0 x (5x + )(x 6) b) lím x (x )(x ) b) lím x 0 x e x [ + sin(3x) 0 x = = lím 0] lím x = lím x 0 x 0 e x 9 sin(3x) = (5x [ ] + )(x 6) (x )(x ) = = lím e x [ + 3 cos(3x) 0 = = x 0] x 5x 3 x 3 = 5 Examen de Matemáticas II (Junio 04) Selectividad-Opción B Tiempo: 90 minutos Problema (3 puntos) Dada la función a + ln( x) si x < 0 f(x) = x e x si x 0 (donde ln denota logaritmo neperiano) se pide: ( punto). Calcular lím x f(x) y lím f(x). x b) ( punto). Calcular el valor de a, para que f(x) sea continua en todo R. c) ( punto). Estudiar la derivabilidad de f y calcular f, donde sea posible. lím f(x) = x lím x [ ] [ ] x e x = x = lím x e x = = lím x lím (a + ln( x)) = x e x = 0 4

5 b) lím + ln( x)) = a, x 0 (a lím x x 0 + e x = 0 a = 0 c) f (x) = x si x < 0 xe x ( x) si x 0 f (0 ) = f (0 + ) = 0 Luego la función no es derivable en x = 0. Concluimos con que f es continua y derivable en R 0} y sería continua en x = 0 pero no derivable para a = 0. Problema (3 puntos) Dados el plano π x y =, y la recta r x = y z = ( punto). Estudiar la posición relativa de r y π. b) ( punto). Determinar el plano que contiene a r y es perpendicular a π. c) ( punto). Determinar la recta que pasa por A(,, 0), corta a r, y es paralela a π. ur = (0,, ) x = r : y = + λ P r (,, 0) z = λ ( + λ) = λ = π y r se cortan en el punto (, 0, ) b) π π, r π : u π = (,, 0) π : ur = (0,, ) P r (,, 0) π : c) Segimos el siguiente procedimiento: Calculamos el plano π π/a π : 0 x y = 0 x+y 4z 5 = 0 0 z π : x y+λ = 0 4 +λ = 0 λ = 5 π : x y+5 = 0 5

6 Calculamos P punto de corte de r con π : ( + λ) + 5 = 0 λ = 5 ( P, 7, 5 ) La recta buscada s pasa por los puntos A y P : us = x = + 3λ AP = (3, 6, 5/) s : t : y = + 6λ P s (,, 0) z = 5 λ Problema 3 ( puntos) Dada la matriz: a A = 3 a, se pide : 0 a ( punto). Hallar el valor o valores de a para que la matriz A tenga inversa. b) ( punto). Calcular la matriz inversa A de A, en el caso a =. 5 A = a + 5 = 0 a = ±. 5 Si a ± A 0 A. 5 Si a = ± A = 0 no existe A. b) Para a = : A = 3 A = /3 4/3 0 /3 5/3 Problema 4 ( puntos) Por la compra de cinco cuadernos, dos rotuladores y tres bolígrafos se han pagado veintidós euros. Si se compran dos cuadernos, un rotulador y seis bolígrafos, el coste es de catorce euros. Se pide: ( punto). Expresar, en función del precio de un bolígrafo, lo que costaría un cuaderno y lo que costaría un rotulador. b) ( punto). Calcular lo que deberíamos pagar si adquirimos ocho cuadernos y tres rotuladores. 6

7 Sean x el precio de un cuaderno, y el precio de un rotulador y z el de un bolígrafo. 5x + y + 3z = x + y + 6z = 4 x = 6 + 9z y = 6 4z b) 8x + 3y = 8( 6 + 9z) + 3(6 4z) = 30 euros. 7