SOLUCIONES ABRIL 2016

Transcripción

1 SOLUCIONES ABRIL 06 Autor: Ricard Peiró i Estruch Abril Sea el tetraedro regular ABCS Sean K, L, M de las aristas AS, BS, CS, respectivamente, tal que, AK BL SM a Δ Determinar el área del triángulo KLM Δ Δ Los triángulos equiláteros ABS, KLS son semejantes Aplicando el teorema de Tales: KL a Δ Aplicando el teorema del coseno al triangulo LMS : 9 LM a a a a cos 60º LM a 6 7 LM KM a Sea P el punto medio del segmento KL PL KL a 8 Aplicando el teorema de Pitágoras al triangulo rectángulo 9 PM a 8 El área del triángulo S KLM Δ KLM es: 9 9 KL PM a a a 8 6 Δ PLM :

2 Abril, 9: Sea el tetraedro ABCD Sean P i Q eso puntos medios de les aristas BD, CD, respectivamente La sección que pasa por los puntos A, P, Q divide el tetraedro en dos partes Determinar la proporción entre los volúmenes de las dos partes PQ es la paralela mediana del triángulo BCD El plano que pasa por los puntos A, P, Q divide el tetraedro ABCD en dos pirámides, PQDA y BCQPA de bases PQD, BCQP, respectivamente Las dos pirámides tienen la misma altura h sobre las bases anteriores Los triángulos BCD, PQD son semejantes y de razón : Aplicando el teorema de Tales: SPQD SBCD SBCD SBCQP SBCD SPQD SBCD El volumen de la pirámide PQDA es: PQDA SPQD h SBCD h El volumen de la pirámide BCQPA es: BCQPA SBCQD h SBCD h La proporción entre los dos volúmenes es: S h BCD PQDA BCQPA SBCD h

3 Abril Sea un cono inscrito en un tetraedro regular Calcular la proporción entre el volumen del cono y del tetraedro Sea el tetraedro regular ABCS de arista AB a Sea O el baricentro de la base O es el centro de la base del cono inscrito Sea M el punto medio del lado BC AM a Aplicando la propiedad del baricentro: OM AM a, radio de la base del cono 6 El área del triángulo equilátero ABC es: S ABC a El volumen del tetraedro es: T S ABC OS El volumen del cono es: C OM OS La proporción entre los volúmenes es: C T a OM OS S OS ABC a ABM :

4 Abril, 5: Sea el triángulo ABC, AB 6, BC 8, AC 0 Perpendicularmente al plano que determina el triángulo se levantan AE, BF 8, CH Determinar el área y el volumen del sólido ABCEFH El triángulo ABC es rectángulo en B ya que El sólido es un prisma triangular recto truncado El volumen es: AE BF CH 8 ABCEFH S ABC (6 8) Sea E la proyección de E sobre la arista CH E'H EH 6 Sea E la proyección de E sobre la arista BF E"F 6 EF 6 Sea H la proyección de H sobre la arista BF H'F FH 5 EE ' H : EE " F : HH ' F : Sea EFH Aplicando el teorema del coseno al triángulo EFH : cos cos sin 0 0 El área del triángulo EFH es: S EFH EF FH sin El área del sólido ABCEFH es: S ABCEFH S ABC SBCHF SCAEH SBAEF SEFH 8 8 S ABCEFH

5 Abril 6 Determinar la proporción entre los volúmenes de un cono inscrito en una pirámide regular hexagonal La proporción entre los volúmenes de un cono y una pirámide que tienen la misma altura son proporcionales a las bases Sea a la arista de la base de la pirámide La apotema del polígono es igual al radio del círculo inscrito La apotema del hexágono es a La proporción entre los volúmenes es: con piràmide a S cercle Shexàgon 6 a 5

6 Abril 7, 8: Una esfera es tangente a la base de un cono equilátero de radio r (el diámetro de la base es igual a la generatriz) Determinar el volumen de la parte del cono que está fuera de la esfera Sea AB r diámetro del cono SA SB r Sea M el punto medio del segmento AB centro de la base del cono Aplicando el teorema de Pitágoras al triangulo rectángulo AMS : ASM 0º MS r Sea O el centro de la esfera tangente a la generatriz en el punto A Sea OA R el radio Sea OM x MAO 0º x r R r El segmento OS corta la esfera en el punto P El volumen de la parte del cono que está fuera de la esfera es igual al volumen del cono menos el volumen del casquete esférico de radio R y altura h MP OP OM r El volumen del cono es: con r r r El volumen del casquete es: h MP h El volumen de la parte del cono que está fuera de la esfera es: casquet h R r r r r 5 con casquet r r r 7 7 6

7 Abril 0, : Un prisma hexagonal regular está inscrito en una esfera de radio R Calcular su área sabiendo que el prisma está circunscrito a una esfera Sea r el radio de la esfera inscrita en el prisma La altura del prisma es r La apotema del hexágono base es igual al radio de la circunferencia inscrita La arista de la base del prisma es: a r PQ R, KM AB r, LM r KLM : (R) (r) r r R 7 El área del prisma es: 6 S 6 r 6 r r r R 7 7

8 Abril La base de una pirámide es un cuadrado de lado a y una cara lateral es perpendicular a la base y es un triángulo equilátero Determinar el área y el volumen de la pirámide Sea la pirámide ABCDS de base el cuadrado ABCD de lado AB a Sea ABS la cara que es un triángulo equilátero y perpendicular a la base AS BS a SBC SAD 90º isósceles SBC : SC SD a Sea M el punto medio de la arista AB MS es la altura de la pirámide MS a El volumen de la pirámide es: SABCD MS a a a 6 El área del triángulo equilátero ABS es: SABS a El área del triángulo rectángulo isósceles BCS es: SBCS a Sea N el punto medio de la arista CD AMS : CNS 7 NS a El área del triángulo isósceles 7 7 SCDS a a a El área total de la pirámide es: S total S ABCD S BCS S 7 a CDS es: ABS S CDS a a a 7 a 8

9 Abril, 0: Sea el prisma regular hexagonal Determinar la proporción entre el volumen del poliedro dual del prisma (aquel que tiene por vértices los puntos medios de las caras) i el volumen del prisma Sea el prisma regular hexagonal ABCDEFA B C D E F de arista de la base a y altura h El poliedro SIJKLMNS dual es una dipirámide Sea J la proyección de J sobre la arista AB Sea K la proyección de K sobre la arista BC Sea P el punto medio del segmento AC JK J'K' AP CAB 0º AP a APB : La altura de cada una de les pirámides es h y la arista de la base JK a El volumen de la dipirámide es: h dipiramide 6 a a h 8 El volumen del prisma es: prisma 6 a h La proporción de los volúmenes es: dipiramide prisma a h 8 6 a h 9

10 Abril En un prisma triangular regular hay inscrito un cono de radio r y el ángulo de la generatriz y la base es Calcular el volumen del prisma Sea el prisma ABCA B C Sea M el punto medio de la arista AB Sea O el baricentro del triángulo equilátero El área del triángulo Sb a ABC es: ABC Sea O el baricentro del triángulo equilátero A 'B' C' OM r Sea el cono de radio r de generatriz MO ', O ' MO ángulo que forma la generatriz y la base del cono Sea AB a arista de la base, OO' h altura del cono Aplicando razones trigonométricas al triángulo rectángulo O 'MO : h r tg CM a, CM r a r El volumen del prisma es: prisma S b h a r tg r r tg tg r 0

11 Abril 5, 6: Sea el prisma regular cuadrangular Determinar la proporción entre el volumen del poliedro dual del prisma (aquel que tiene por vértices los puntos medios de les caras) y el volumen del prisma Sea el prisma regular cuadrangular ABCDA B C D de arista de la base a y altura h El poliedro SJKLMS dual es una dipirámide Sea J la proyección de J sobre la arista AB Sea K la proyección de K sobre la arista BC JK J'K' AC AC a ABC : La altura de cada una de les pirámides es h y la arista de la base JK a El volumen de la dipirámide es: h dipiramide a a h 6 El volumen del prisma es: prisma a h La proporción de los volúmenes es: a h dipiramide 6 a h 6 prisma

12 Abril 7 El volumen de un ortoedro es 8 cm y su superficie es cm Si las aristas están en progresión geométrica determinar la medida de la suma de todas las aristas del ortoedro Sean a, b, c las medidas de les aristas del cubo La suma de les aristas es L (a b c) Si las aristas están en progresión geométrica: ac b El volumen del ortoedro es: abc 8 b 8 Resolviendo la ecuación: b cm El área del ortoedro es: (ab bc ac) a c b 6 (a c) a c 6 a b c 6 8 La medida de la suma de todas les aristas es: L (a b c) 8 cm

13 Abril 8, 9: La base de una pirámide es un hexágono regular de lado a y una cara lateral es perpendicular a la base y es un triángulo equilátero Determinar el área y el volumen de la pirámide Sea la pirámide ABCDEFS de base el hexágono regular ABCDEF de lado AB a Sea ABS la cara que es un triángulo equilátero y perpendicular a la base AS BS a SBD SAE 90º Sea M el punto medio de la arista AB SMC SMF 90º MS es la altura de la pirámide AMS : MS a Sea O el centro del hexágono ABCDEF MO a BD MO a El volumen de la pirámide es: AMO : SABCDEF MS 6 SABO MS a a a El área del triángulo equilátero ABS es: SABS a isósceles SBD : SD SE a Sea N el punto medio de la arista CD DNS 5 NS a El área del triángulo isósceles S DES 5 5 a a a DES es: 7 MC a MOC : SMC :

14 0 SC a Sea P el punto medio del segmento SC 6 BP a El área del triángulo S Sea BCS (a) BCS es: CS BP a a a 8 SCD a 0 cos 0 90 sin 0 BPC : Aplicando el teorema del coseno al triángulo 0 a El área del triángulo S CDS CDS es: 0 cos CD CS sin a a a 0 8 CDS : El área total de la pirámide es: S S S S total ABCDEF BCS 5 8 ABS S 9 8 CDS S DES 7 a a

15 Abril, : Sean dados un cubo y una pirámide cuadrangular regular, con arista lateral b Los vértices de una de las bases del cubo son los puntos medios de las aristas de la base de la pirámide, mientras que cada una de la cara opuesta del cubo corta una de las aristas laterales de la pirámide Determinar el volumen de la parte del cubo situada fuera de la pirámide Sea PQRST la pirámide cuadrangular regular de base el cuadrado ABCD y de arista lateral PT b Sea el cubo ABCDA B C D de arista AB x Sea O el centro del cuadrado ABCD OA x, OQ x PQ x Sea M el punto medio de la arista A 'B' Sea N el punto medio de la arista AB MN x, NQ x Los triángulos rectángulos TOQ, MNQ son semejantes y de razón : Aplicando el teorema de Tales: OT MN x TOQ : b x (x) Resolviendo la ecuación: 5 x x 5 El volumen de la parte del cubo situada fuera de la pirámide es igual al volumen de cuatro pirámides triangulares de base el triángulo rectángulo de cateto A'M x y altura A' A x x x x b b 5

16 Abril, 0 Calcular el volumen de la esfera tangente a las aristas SA, SB, SC del tetraedro regular SABC en los vértices A, B, C respectivamente, siendo el área del tetraedro u Sea AB a arista del tetraedro La superficie del tetraedro es: a Resolviendo la ecuación: a Sea G el baricentro del triángulo ABC Aplicando la propiedad del baricentro: AG a GS Sea O el centro de la esfera O pertenece a la recta perpendicular a la base baricentro Sea OA OB OC r radio de la esfera AGS : ABC que pasa por el Per ser la esfera tangente a la arista SA en el vértice A, OA es perpendicular a SA Sea OG x OAS : r x OGA : r x r x Consideremos el sistema Resolviendo el sistema: r x x 6 r El volumen de la esfera es: 6 6 u 6

17 Abril, 5: Un cubo y un ortoedro tienen igual las áreas Las dimensiones del ortoedro tienen proporción :6:6, y volumen 56 5dm Calcular el volumen del cubo Sean x, 6x, 6x las dimensiones de las aristas del ortoedro El volumen del ortoedro es: o x 6x 6x 565 Resolviendo la ecuación: x 5 El área de ortoedro es: 6x 6x 8x 600 So 6x Sea a la arista del cubo El cubo tiene la misma área que el ortoedro: Sc 6a 600 Resolviendo la ecuación: a 0dm El volumen del cubo es: c a dm m 7

18 Abril 6, 7: En una pirámide regular cuadrangular el área de la sección paralela a la base es tres veces menor que el área de la base Determinar la razón entre los volúmenes de los dos cuerpos en que queda dividida la pirámide por la sección Sea la pirámide regular cuadrangular ABCDE de base el cuadrado ABCD Sea la sección PQRS paralela a la base Sea O el centro del cuadrado ABCD Sea O el centro del cuadrado PQRS S PQRS Entonces la proporción entre los lados del cuadrado es: S ABCD PQ AB Los triángulos rectángulos PO ' E, AOE son semejantes y la razón s, entonces: O'E OE Calculemos la proporción entre los volúmenes de las pirámides PQRSE y ABCDE: S O'E PQRS PQRSE () ABCDE 9 S ABCD OE Calculemos la proporción entre los volúmenes del tronco de pirámide ABCDPQRS y la pirámide ABCDE: ABCDPQRS ABCDE PQRSE PQRSE () ABCDE ABCDE ABCDE 9 Dividiendo las expresiones () () la proporción entre los volúmenes de la pirámide PQRSE y el tronco de pirámide ABCDPQRS es: PQRSE ABCDPQRS PQ AB 8

19 Abril 8, 9 Sea la pirámide regular ABCDS de base el cuadrado ABCD que tiene todas las aristas iguales a AB a Calcular la superficie de la esfera tangente a les aristas SA, SB, SC, SD en los vértices A, B, C, D respectivamente Aplicando el teorema de Pitágoras al triangulo rectángulo isósceles ABC : AC a Aplicando el teorema inverso de Pitágoras al triángulo rectángulo isósceles ASC : ASC 90º Sea M el centro del cuadrado ABCD SAM 5º Sea O el centro de la esfera O pertenece a la recta perpendicular a la base ABCD que pasa por el centro M Per ser la esfera tangente a la arista SA en el vértice A, OA es perpendicular a SA SAO 90º Entonces, MA 90 SAM 5º El triángulo AMO es rectángulo i isósceles Aplicando el teorema de Pitágoras: OA a radio de la esfera La superficie de la esfera es: S esfera a 9