Tema 1 Estadística descriptiva: Medidas de centralización y dispersión

Transcripción

1 Tema 1 Estadística descriptiva: Medidas de cetralizació y dispersió Curso 2017/18 Grados e biología saitaria Departameto de Física y Matemáticas Marcos Marvá Ruiz

2 A partir de los valores de ua variable estadística, vamos a cosiderar tres tipos de medidas ( parámetros ): 1. Medidas de cetralizació valor resume que describa qué podemos esperar 2. Medidas de dispersió mide la represetatividad del valor cetral aterior 3. Medidas de posició idica si u valor es alto o bajo comparado co el resto Permite ituir la distribució de los datos (forma del diagrama de barras o histograma)

3 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Media aritmética: variables cuatitativas Datos o agrupados: x 1, x 2,...,x x= x 1 +x x = Ejemplo: dados los valores: X = 1, 4, 16, 11, 3, 6, su media es x i Secció 2.1 del libro

4 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Media aritmética: variables cuatitativas Datos o agrupados: x 1, x 2,...,x x= x 1 +x x = Ejemplo: dados los valores: X = 1, 4, 16, 11, 3, 6, su media es x i x= = 35 5 =7 Secció 2.1 del libro Cada barra represeta u valor de X, la liea gris es la media

5 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Media aritmética: variables cuatitativas Ejemplo: si tus calificacioes so 8, 9, 9, 9, 10, 10, la ota media es x= = = = Aprederemos a maejar lo decimales Datos o agrupados x 1, x 2,...,x co frecuecias absolutas f 1, f 2,...,f y relativas f 1,...,f x= f 1 x 1 +f 2 x f x = f 1 +f f Secció 2.1 del libro f i x i f i = f ' i x i

6 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Media aritmética: variables cuatitativas Datos ya agrupados e clases [a 0, a 1 ] (a 1, a 2 ] (a 2, a 3 ] (a -1, a ] f 1 f 2 f 3 f La marca de clase (pto medio) x i := (a i +a i+1 )/2 represeta a los elemetos de la clase. Así, teemos x 1, x 2, x 3,, x co frecuecias f 1, f 2, f 3,, f y podemos aplicar x= f i x i f i Secció 2.1 del libro

7 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Media aritmética: variables cuatitativas Datos agrupados e clases [a 0, a 1 ] (a 1, a 2 ] (a 2, a 3 ] (a -1, a ] f 1 f 2 f 3 f La marca de clase (pto medio) x i := (a i +a i+1 )/2 represeta a los elemetos de la clase. Así, teemos x 1, x 2, x 3,, x co frecuecias f 1, f 2, f 3,, f y podemos aplicar x= f i x i f i Ejemplo: creatiia e sagre (mg/dl) [1.52,1.58] (1.58,1.64] (1.64,1.7] (1.7,1.76] (1.76,1.82] (1.82,1.88] Marcas de clase: x 1 = 1.55, x 2 = 1.61, x 3 = 1.67, x 4 = 1.73, x 5 = 1.79, x 6 = 1.85 Frecuecia: f 1 = 12, f 2 = 16, f 3 = 30, f 4 = 28, f 5 = 11, f 6 = 2

8 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Media aritmética: variables cuatitativas: alguas cosideracioes Ejemplo: supó que tus calificacioes so 8, 9, 9, 9, 10,10 x= = = 55 6 = * Y si hubiera pichado e u exame? x= = 48 6 =8 La media es sesible a valores extremos Secció 2.1 del libro

9 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Media aritmética: variables cuatitativas: alguas cosideracioes Ejemplo: supó que tus calificacioes so 8, 9, 9, 9, 10,10 x= = = 55 6 = * Y si hubiera pichado e u exame? x= = 48 6 =8 La media es sesible a valores extremos Ejemplo: La media o siempre es represetativa

10 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Mediaa: valor de la variable que, ua vez ordeados de meor a mayor, deja la mitad de los datos por debajo de sí: * Si hay ua catidad impar de datos, se toma el valor del cetro * Si hay ua catidad par de datos, se toma la media etre los dos cetrales. Es robusta frete a (uos pocos) valores extremos. Ejemplos: 1 Cuál es la mediaa e los casos {8, 9, 9, 9, 10, 10} y {1, 9, 9, 9, 10, 10}? 2 Liea a putos (izquierda) la mediaa Liea a guioes (derecha) la media

11 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Moda Valor de la variable estadística (o de la clase) co frecuecia más alta. Hay muestras uimodales y multimodales (bimodal, trimodal,...) Ejemplo: dos muestras de 29 idividuos. Se preguta por el º aalgésicos que Igiere al mes. Por cierto: Los dos cojutos de datos tiee la misma media y mediaa: 5! Qué diferecia ambas situacioes? Secció del libro

12 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Moda Distribucioes multimodales: posible(s) variable(s) oculta(s) Mouse Allerge ad Asthma Cohort Study. Publicacio: Se represeta el log(eno) frete a la tproporció de episodios octuros de asma ENO: oxido ítrico exhalado. El oxido ítrico (NO) es ua molécula gaseosa producido por cierto tipo de células como respuesta a u proceso iflamatorio. Mopo: idividuos sesibilizados a los alérgeos del rató

13 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Mide la cercaía de los datos a la media, de forma global. E particular, permite evaluar la represetatividad de la media. Dispersió alta datos alejados de la media datos heterogéeos media poco represetativa. Dispersió baja datos próximos a la media datos homogéeos media muy represetativa. Secció del libro

14 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Para variables cuatitativas. Mide lo agrupados que está los datos e toro a ua mediad de cetralizació o su grado de desagregació Recorrido (o rago) de ua variable: Resta etre los valores máximo y míimo de la variable Ejemplo: valores 6, 13, 5, 8, 2, 4 recorrido : 13 2 = 11 Variaza poblacioal: Datos o agrupados: x 1, x 2,...,x co media Var ( X )= ( x x) 2 1 +(x 2 x) (x x) 2 = (x i x ) 2 x Secció del libro

15 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Para variables cuatitativas. Mide lo agrupados que está los datos e toro a ua mediad de cetralizació o su grado de desagregació Recorrido (o rago) de ua variable: Resta etre los valores máximo y míimo de la variable Ejemplo: valores 6, 13, 5, 8, 2, 4 recorrido : 13 2 = 11 Variaza poblacioal: Ejemplo: Datos o agrupados: x 1, x 2,...,x co media Var ( X )= ( x x) 2 1 +(x 2 x) (x x) 2 = (x i x ) 2 x Secció del libro

16 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Variaza poblacioal datos agrupados Ejemplo: cálculo de la variaza a partir de la tabla de frecuecias absolutas (la media es 43) x_i f_i Var ( X )= (40 43 )2 + ( 40 43) 2 + (42 43 ) 2 + (45 43 ) 2 + (45 43 ) 2 + (45 43) 2 6 Var ( X )= (40 43 )2 2+ (42 43) 2 1+(45 43 ) =7.4 Desviació típica poblacioal Var (X )= ( x i x ) 2 f i f i DT ( X)= Var (X )

17 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Variaza muestral o cuasivariaza Datos si agrupar: s 2 = (x 1 x) 2 +(x 2 x) ( x x) 2 1 = (x i x ) 2 1 Datos agrupados: s 2 = ( x i x ) 2 f i f i 1 Desviació típica muestral o cuasidesviació típica: s= s 2 Muchos libros habla de la cuasivariaza icluso si defiir la variaza. La cuasivariaza aparecerá e el bloque de iferecia. Si usas software o ua fució de la calculadora, es importate que sepas si el úmero que se obtiees es la variaza o la cuasivariaza muestra

18 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Variaza muestral o cuasivariaza Ejemplo: Cálculo de variaza y cuasivariaza

19 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Variaza muestral o cuasivariaza Propiedades de la (cuasi)variaza y la (cuasi)desviació típica: 1.- La variaza o puede ser egativa. 2.- A igualdad de medias, mayor dispersió implica mayor variaza. 3.- De dos muestras co medias similares, es más dispersa la que tega mayor variaza. Ambas muestras tiee media 10 Muestra morada (arriba) tiee desviació típica = 4 Muestra verde (abajo) tiee desviació típica = 1

20 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Variaza muestral o cuasivariaza Propiedades de la (cuasi)variaza y la (cuasi)desviació típica: 4.- PERO, si dos muestras tiee medias diferetes, mayor variaza NO implica mayor dispersió la variaza depede del tamaño (uidades) de los datos. Adimesioalizar Coeficiete de variació (CV) CV = s X x A mayor CV, mayor dispersió, y viceversa. Tambié útil para comparar variables diferetes Preseta problemas cuado la media es próxima a cero

21 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Coeficiete de variació Ejemplo: E el experimeto de Framiham quiere saber si e la primera medició las variables sysbp, diabp y bmi preseta dispersioes similares sysbp Media = s = CV = diabp Media = S = CV = bmi Media = S = 4.10 CV =