Universidad Nacional Autónoma de México Licenciatura en Economía Cálculo Diferencial e Integral Preliminares

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1 1 Universidad Nacional Autónoma de México Licenciatura en Economía Cálculo Diferencial e Integral Preliminares Prof. Adán Salas Gutiérrez Álgebra 1. El factorial de un número n N es el producto de todos los números naturales consecutivos desde 1 hasta n, el cual se denota como: n! = n. Utilizaremos algunas variaciones de esta notación para escribir lo siguiente: y (n + 1)!! = (n + 1) (n)!! = 4 6 (n).. Sean n, k N con 0 k n, definimos el coeficiente binomial como: ( ) n = k n! k!(n k)!. 3. Representaremos a la suma de n términos a 1, a, a 3,..., a n como Propiedades a k = a 1 + a + a a n. i) ii) k = k = n(n + 1) n(n + 1)(n + 1) 6

2 iii) iv) v) vi) a k = i a k + a = na αa k = α k=0 a k a k = an+1 1 a 1 k=i+1 a k con a 1 4. Sean a, b R y n N, entonces podemos expresar el binomio (a + b) n en la forma siguiente: (a + b) n = k=0 ( ) n a n k b k. k 5. Denotaremos el máximo de dos números por máx{x, y} y el mínimo por mín{x, y}. 6. Dado un número real a, definimos su valor absoluto por a y lo denotamos por podemos también escribirlo como a = a = máx{a, a}, { a si a 0 a si a < 0 7. Elevar un número a un cierto exponente n, (con n N) simplemente significa multiplicar el número por sí mismo el número de veces que marca el exponente: a n = a a... a }{{} n veces Propiedades:

3 3 i) a 1 = a, a 0 = 1 si a 0 ii) a m a n = a m+n iii) (a 1 a ) m = a m 1 a m, en general (a 1 a... a n ) m = a m 1 a m... a m n iv) Sea a > 0, entonces ( a) n > 0 si n = k y ( a) n < 0 si n = k + 1 con k N v) a n = 1 a n, para a 0 vi) (a m ) n = a m n ( a ) m a m vii) = b b, con b 0 m 8. De la misma manera que definimos el índice del exponente podemos definir el índice del radical de la siguiente manera a 1/n = n a que significa que existe un número que elevado a la potencia n reproduce a. Propiedades: i) n a m = a m/n si a > 0 o m es par. En particular, si m = n entonces, n an = a n/n = a ii) n a 1 a... a n = n a 1 n a... n a n iii) n a b = n a n b iv) m n a = a 1/(mn) 9. Se llama logaritmo de un número b en una base dada a, al exponente c al que debe elevarse la base a para obtener b y lo denotamos por: log a b = c. Observe que si c = log a b, entonces b = a c = a log a b, luego b = a log a b. Propiedades: i) log a a = 1

4 4 ii) log a 1 = 0 iii) log a (x y) = log a x + log a y ( ) x iv) log a = log y a x log a y v) log a x n = n log a x vi) log a n x = log a x n vii) log a b = log a n b n = log n a n b = c viii) log a x b y = y x 10. Toda ecuación algebraica con coeficientes complejos arbitrarios tiene siempre por lo menos una raíz real o compleja. De la afirmación anterior podemos garantizar que la ecuación ax + bx + c = 0 tiene por lo menos una raíz, en realidad existen x 1 y x con Consideremos tres casos x 1 = b + b 4ac, a x = b b 4ac. a b 4ac > 0, las raíces son reales y distintas b 4ac < 0 las raíces son imaginarias y distintas b 4ac = 0 las raíces son reales e iguales Trigonometría 11. (Teorema de Tales) En todo triángulo ABC se cumple que A + B + C = (Teorema de Pitágoras) Sea ABC un triángulo rectángulo, sean a y b los catetos y c la hipotenusa, entonces a + b = c

5 13. Sean 0 < θ < 90 y P = (x, y) un punto distinto del origen que se encuentra en el primer cuadrante, designemos el radio vector de P por r. Definimos las razones trigonométricas de θ como sigue: 5 sin θ = x r, cos θ = y r, tan θ = x y, csc θ = r x, sec θ = r y, cot θ = y x. 14. El perímetro P de un círculo viene dado por P = πr o P = 360, es decir, πr = 360. La medida del ángulo θ en radianes se define por πr = Las funciones trigonométricas de 30, 45 y 60 pueden ser expresadas por números exactos. Para 45 comenzaremos considerando el triángulo isósceles y supongamos que la longitud de los catetos iguales es de una unidad cada uno. Los ángulos agudos son cada uno de Según el Teorema de Pitágoras, la hipotenusa es. i) Para θ = 45 se tiene que sin 45 = sin π 4 =, cos 45 = cos π 4 =, tan 45 = tan π 4 = 1. ii) Ahora construyamos un triángulo equilátero cuyo lado sea de unidades, entonces, para θ = 30 1 Por el Teorema de Tales sin 30 = sin π 6 = 1, cos 30 = cos π 6 = 3,

6 6 tan 30 = tan π 6 = 3 3. iii) Si θ = 60 se tiene sin 60 = sin π 3 = 3, cos 60 = cos π 3 = 1, tan 60 = tan π 3 = 3 iv) Por último, para θ = 0 y θ = 90 = π sin 0 = 0, cos 0 = 1, tan 0 = 0 sin 90 = 1, cos 90 = 0, tan 90 = 16. (Identidades fundamentales) i) csc θ = 1 sen θ, sec θ = 1 cos θ, cot θ = 1 tan θ, sin θ tan θ = cos θ sin θ + cos θ = 1 tan θ + 1 = sec θ 1 + cot θ = csc θ 17. (Fórmulas de adición) sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y cos(x + y) = cos x cos y sen x sen y tan(x + y) = tan x + tan y 1 tan x tan y

7 7 18. (Fórmulas de ángulo mitad) sen x = 1 cos x Geometría Analítica cos x = 1 + cos x 19. Si (x 1, y 1 ) y (x, y ) son puntos del plano, definimos la distancia entre (x 1, y 1 ) y (x, y ) como d = (x x 1 ) + (y y 1 ). 0. Se llama ángulo de inclinación de una recta al formado por la parte positiva del eje X y la recta, cuando ésta se considera dirigida hacia arriba, y se denota por θ, con 0 θ Llamaremos pendiente de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación, y escribiremos: m = tan θ.. Si P 1 = (x 1, y 1 ) y P = (x, y ) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de la recta es m = y y 1 x x Una línea recta es el lugar geométrico de los puntos en el plano tal que tomados dos puntos cualesquiera el valor de m encontrado es constante. 4. Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia de una recta fija, es igual a su distancia de un punto fijo que no pertenece a la recta. Llamaremos foco al punto fijo y directriz a la recta fija.

8 8 5. Sea b 4ac 0, entonces la función cuadrática ax +bx+c se interseca con el eje de las abscisas en los puntos x 1 = b + b 4ac, a x = b b 4ac. a 6. Si a > 0, la función cuadrática tendrá un mínimo en b a mínimo es c b 4a. Precálculo y el valor 7. Sea A R. Se dice que α R es una cota superior de A si a α para todo a A. Si α A, decimos que α es el máximo de A. 8. Un número α es el supremo o cota superior mínima de A si: i) α es una cota superior de A ii) Si β es también cota superior de A, entonces α β. 9. (Axioma del supremo) Sea A un subconjunto acotado superiormente, entonces A tiene un supremo. 30. Si a, b R y a < b, entonces el intervalo abierto determinado por a y b es (a, b) = {x R a < x < b}. Los puntos a y b se denominan puntos terminales del intervalo abierto (a, b) pero no están en él. Si los dos puntos terminales están unidos al intervalo abierto, se tiene el intervalo cerrado [a, b] = {x R a x b}. 31. Sea a R, entonces los conjuntos definidos por (a, ) = {x R a < x},

9 9 (, a) = {x R x < a}, se denomian intervalos abiertos. Con frecuencia conviene pensar en la totalidad del conjunto R como un intervalo infinito. En este caso se escribe (, ) = R. 3. Denotaremos por C n, A n, G n y H n a la medía cuadrática, aritmética, geométrica y armónica de n números positivos a 1, a,..., a n ; es decir, a C n = 1 + a a n, n A n = a 1 + a a n, n G n = n a 1 a... a n, Se tiene entonces que: n H n = 1 a a a n H n G n A n C n. Una variante de G A nos la proporciona el siguiente hecho. Sean a 1,..., a n, λ 1,..., λ n > 0 con λ λ n = 1. Entonces a λ 1 1,..., a λ n n λ 1 a λ n a n. 33. (Desigualdad de Young) Sean a, b, α, β > 0 con 1 α + 1 β = 1. Entonces ab 1 α aα + 1 β aβ.

10 (Desigualdad entre medias potenciales) Sean x 1, x,..., x n, t 1, t,..., t n, r, s números positivos tales que t 1 + t + + t n = 1 y r > s, entonces ( 1/s ( t k xk) s t k x r k ) 1/r 35. (Desigualdad de Bernoulli) Sea x > 0, podemos usar el resultado anterior (G n A n ) para establecer que (1 + x) n 1 + nx. 36. (Desigualdad del triángulo) Sean a, b R, se cumple siempre que a + b a + b, la igualdad ocurre solamente cuando ab 0. En el caso general, si x i, x,..., x n R entonces x 1 + x x n x 1 + x x n, si todos los x i tienen el mismo signo se tiene x 1 + x x n = x 1 + x x n. 37. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sean a 1,..., a n, b 1,..., b n R entonces ( ) a k b k a k b k 38. (Desigualdad de Chebyshev) Si a 1 a... a n y b 1 b... b n entonces a k b k n a k b k el mismo resultado se obtiene si a 1 a... a n y b 1 b... b n.

11 39. (Desigualdad de Hölder). Sean x 1, x,..., x n, y 1, y,..., y n, a, b números positivos con = 1, entonces a b ( x k y k x a k ) 1/a ( 1/b yk) b. Observe que si a = b = obtenemos la desigualdad de Cauchy-Schwarz. 40. (Desigualdad de Hölder [Extensión 1]) Sean x 1, x,..., x n, y 1, y,..., y n, a, b, c números positivos con 1 a + 1 b = 1 c, entonces ( ) 1/c ( (x k y k ) c x a k ) 1/a ( 1/b yk) b. 41. (Desigualdad de Hölder [Extensión ]) Sean x 1, x,..., x n, y 1, y,..., y n, z 1, z,..., z n, a, b, c números positivos con = 1, entonces a b c ( x k y k z k x a k ) 1/a ( y b k ) 1/b ( 1/c zk) c. Como consecuencia de la desigualdad de Hölder se tiene la generalización de la desigualdad del triángulo conocida como 4. (Desigualdad de Minkowski) Sean x 1, x,..., x n, y 1, y,..., y n números positivos y sea p > 1, entonces ( ) 1/p ( 1/p ( 1/p (x k + y k ) p xk) p + yk) p. 11