BLOQUE 1: ARITMÉTICA. Números reales. Números complejos. Sucesiones

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1 BLOQUE : ARITMÉTICA Números reles Números complejos Sucesioes

2 . NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL: e l rect rel podemos distiguir los siguietes cojutos I N es el cojuto de los úmeros turles Z es el cojuto de los úmeros eteros Q es el cojuto de los úmeros rcioles es el ( positivos y egtivos) cojuto de los úmeros irrcioles ( o se puede poer como cociete de dos úmeros eteros) R es el cojuto de úmeros reles ( R = Q I ) ( eteros positivos) ( se puede poer como cociete de dos úmeros eteros). REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES. Los úmeros reles, l igul que los rcioles, tmbié se puede represetr e u rect, l rect rel. Vmos verlo co u ejemplo, represetemos Represetemos 5 Ejercicio: Represet: 4 ),56... b) APROXIMACIONES Y ERRORES E geerl, l utilizr u úmero rel sólo ecesitmos u prte de su desrrollo deciml redodedo el resto de ls cifrs por defecto o por exceso. Número de cifrs sigifictivs: es el úmero de cifrs excts que utilizmos pr describir u mgitud o u vlor umérico. Depede de l ecesidd de l situció que quermos describir y de l precisió de ls medids de que dispogmos. ERROR ABSOLUTO: difereci etre el vlor rel y el vlor proximdo: Error bsoluto = Vlor rel - Vlor proximdo ERROR RELATIVO: error por uidd. Se utiliz pr comprr errores e los vlores de mgitudes diferetes: Error reltivo = Error bsoluto Vlor rel

3 . INTERVALOS Y SEMIRECTAS: recordmos l omecltur que se us pr desigr lguos trmos de l rect rel NOMBRE SÍMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN INTERVALO ABIERTO INTERVALO CERRADO INTERVALO SEMIABIERTO SEMIRRECTA (,b) {x / <x<b} [,b] {x / x b} (,b] {x / <x b} [,b) {x / x<b} (-,) {x / x<} (-,] {x / x } (,+ ) {x / <x} [,+ ) {x / x} Números compredidos etre y b, mbos o icluidos. ( b )b Números compredidos b etre y b, mbos icluidos. [ ]b Números compredidos b etre y b, o icluido, b icluido. ( ]b Números compredidos b etre y b, icluido, b o icluido. [ )b Números meores que, este o icluido. Números meores que y el propio. Números myores que, este o icluido. Números myores que y el propio. ( [ ) ].4 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL: el vlor bsoluto de u úmero rel es su vlor umérico si teer e cuet su sigo. El vlor bsoluto de u úmero rel,, es el propio úmero, si es positivo, o su opuesto, -, si si 0 es egtivo. = si < 0.5 Se llm ENTORNO de cetro y rdio r (r>0) l cojuto de úmeros reles que está u distci de meor que r. E(,r) = {x R / x <r } E(,r) = ( - r, + r)..6 UNIÓN E INTERSECCIÓN DE INTERVALOS. L uió de dos cojutos A, B se deot A B y cotiee todos los elemetos que perteece A o perteece B o mbos. L itersecció de A, B se deot A B y cotiee todos los elemetos que perteece A y B l mismo tiempo. Ejemplo: Se los itervlos A= (, ] y B=[, 4)

4 Por lo tto: A B= (, 4) A B= [, ] b.7 NOTACIÓN CIENTÍFICA. U úmero e otció cietífic es de l form 0, dode es u úmero deciml excto del itervlo [, 0) y el expoete b es u úmero etero. El térmio se llm mtis del úmero y b es el orde de mgitud. Se utiliz pr brevir ctiddes muy grdes o muy pequeñs. Ejemplo: =,5 0 0, = Opercioes Sum y rest: Tiee que teer l mism poteci de 0 pr poder sumrlos o restrlos directmete. Se sum o rest los coeficietes y se mtiee l poteci = , 0 +, 0 = 8, = 4 0 =,4 0 5 Producto y divisió: Puede teer culquier poteci de 0. Se oper los coeficietes y se sum o rest los expoetes. 4 6,9 0, 0 =, , 0 :,8 0 =, RADICALES. PROPIEDADES U rdicl es u úmero de l form, e el que se verific: = b b = Si 0, existe siempre; si 0, solo existe pr os vlores impres de. Todo rdicl podemos escribirlo como poteci: m m = ; e prticulr = Propieddes de los rdicles:. p p = p. p ( ) = m m. =. b =. NOTA: Sólo podremos sumr rdicles semejtes b = b b NO OLVIDES: = = = = ( + b )( b ) = b ( b )( + b ) = b 4

5 .9 RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES: Rciolizr cosiste e trsformr frccioes que teg rdicles e el deomidor e otrs equivletes que o los teg. Metodologí: depederá del tipo de rdicl que hy e el deomidor Pr suprimir u ríz cudrd, bst multiplicr y dividir por l mism ríz = = = Pr suprimir u ríz -ésim, se multiplic y divide por otr ríz -ésim que complete el rdicdo = = = Pr suprimir u sum (rest) de ríces se multiplic y divide por el cojugdo del deomidor NOTA: (+b).(-b) = b + =. ( ) = ( + )( ) ( ) ( ) 6 6 = = = 6.0 LOGARITMOS. PROPIEDADES Si P>0, >0, y, se llm logritmo e bse de P ( y lo escribimos como expoete l que hy que elevr pr obteer P; es decir: log P ) l x log P = x = P PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS:. Dos úmeros distitos tiee logritmos distitos si P Q, etoces log P log Q Además si > y P < Q, etoces log P < log Q. El logritmo de l bse es : log =. El logritmo de es 0 (culquier que se l bse) log = 0 4. El logritmo de u producto es igul l sum de los logritmos de los fctores: ( P. Q) = log P log Q log + 5. El logritmo de u cociete es igul l logritmo del umerdor meos el logritmo del P deomidor: log = log P log Q Q 6. El logritmo de u poteci es igul l expoete por el logritmo de l bse de l poteci: log P =. log P 5

6 7. El logritmo de u ríz es igul l logritmo del rdicdo dividido por el ídice: log P log P = 8. Cmbio de bse. El logritmo e bse de u úmero se puede obteer prtir de logb P logritmos e otr bse: log P = log b Teemos dos tipos de logritmos que se us meudo: - Los logritmos decimles, que so los logritmos e bse 0: log 0 = log - Los logritmos eperios, cuy bse es el úmero e: log = l e 6

7 . Efectú y simplific: EJERCICIOS Y PROBLEMAS : : 0 9. Clcul : 0 +. = b b. : = c. + = d. ( 8) 7 + = 5. Represet los siguietes cojutos uméricos como itervlo y e l rect rel:. Números myores que 0 b. Números meores o igules que c. { x / x < } d. { x / x 4} e. Números meores que excluyedo el 0 f. (, 0) [, + ) g. { x / x 4} = { x / x } { x / x } h. { x / x } 4. Escribe e form de itervlo los siguietes etoros:. Cetro - y rdio b. Cetro y rdio. 7

8 5. Describe como etoros los siguietes itervlos:. (, ) b. (, ) c. (, 0 ) 6. Hll el vlor bsoluto de: -7, π,, -π, -, -, y Pr qué vlores de x se cumple cd u de ls siguietes expresioes? :. x = b. x + = c. x < d. x 8. Expres, medite itervlos, los vlores que puede tomr x e cd cso:. x b. x Clcul el vlor umérico de estos rdicles: 0. Extre los fctores que pueds de l ríz:. Itroduce fctores detro del rdicl:. Represet ls siguietes ríces e l rect rel:. Dds ls siguietes opercioes: y + ) Rcioliz cd frcció y después oper. b) Hz l operció idicd y después rcioliz Escribe como poteci y simplific: ( ): ( ) 5. Multiplic y simplific: 9.. b 8. b 6 8

9 6. Rcioliz: b.. 7. Reduce: Efectú ls siguietes opercioes: 9. Oper y simplific: 0. Aproxim 4,65 ;,57 ; ls cetésims.. Clcul los errores cometidos l redoder,87 ls cetésims.. Qué error cometemos l proximr el resultdo de 45,96 + 0,7 + 0,8 por el úmero 50,49?. U trucmieto de 8,5679 es 8,56. Clcul el error bsoluto y el error reltivo. 4. Escribe e otció cietífic los siguietes úmeros: 5. Reliz ests opercioes:. 9,76 0 +,4 0, 0 4 b. (, 0, 0 ): ( 8 0 ) 6. Co yud de l clculdor, escribe e form deciml y sus proximcioes por exceso y por defecto. A ls diezmilésims b. A ls ciemilésims c. A ls milloésims 9

10 7. Reliz ests opercioes: 8. Clcul los siguietes logritmos: ) log 64 b) log 7 c) d) log e) log f) 5 g) log 9 h) j) l k) l log 4 i) og l) log 65 m) log 4 ) log 7 ñ) Clcul x e ls siguietes igulddes: 5 log 8 log 5 5 log 8 log ) log x = b) log x 64 = c) log 8 = x 7 d) log 8 = x e) log x = f) log = x g) log x 5 = 4 h) log x = 5 i) log x 0 00 = 4 j) log = x k) log ( ) = x l) log ( log ) = x 8 0. Sbiedo que log x = 4, clcul: 8 ) log 0x b) log x log x c) ( 0 ) 00 log d) 5 log x e) x log 0 x. Sbiedo que log = 0 0 y log = 0 477, clcul: ) log 5 ; b) log 4 ; c) log 50 ; d) log 0 00 ; e) 5 5 log ; f) log Clcul : log log 00 4 log 0 b b. Justific que: log 5 = (-log) Prueb que: log + log + log + + log + log = b 0

11 AUTOEVALUACIÓN. Explic si ests frses so verdders o flss:. Todo úmero etero es rciol b. Hy úmeros irrcioles que so eteros c. Todo úmero irrciol es rel d. Todos los úmeros decimles so rcioles e. Etre dos úmeros rcioles hy ifiitos irrcioles f. Los úmeros rcioles lle l rect rel. Ddos los úmeros: 58 5 π 4,,,, 8, 5,.07ˆ Clsifíclos idicdo cules de los cojutos uméricos perteece b. Orde los reles de meor myor c. Cuáles de ellos perteece l itervlo,? 9. Si 0 es u úmero turl, determi pr que vlores de estos úmeros perteece Z:. b. 4. Represet los siguietes cojutos:. { x / x < } b. [ 4,+ ) c. 5 d. + e. c. [,4 ) ( 4,0 ] d. (, 5) (, + ) 5. Expres e form de itervlo e cd cso:. x 8 b. x 4 < 5

12 6. Multiplic y simplific: 8b b 7. Reduce: Escribe como poteci y simplific: : ( ) 9. Efectú trs rciolizr primero: Se cosider los úmeros A = y B = 0, Expresr e otció cietífic los resultdos de ls siguietes opercioes:. A B {, } b. A { 7 8,0.0 } B. Respode los siguietes prtdos correctmete: 4 4. Hllr el resultdo de { 4 } b. Rciolizr y simplificr: 4 + { }. Clculr ls solucioes de ls siguietes ecucioes: ( x ) = log( 5 + x ) + log( 5 x ) ) log {x=4} b ) x = c) x 45 + x + x = 896 log 45 x = + = 8, 49 log { x =0}. Obté x e ls siguietes expresioes (utilizdo l defiició de logritmo): x log x = l = log x 5 = 4 4. Aplic ls propieddes de los logritmos e idic el vlor de A: log A = log+ 0,5log4 log

13 AUTOEVALUACIÓN. Resolver de form exct ls siguietes opercioes: 9., 0. { } 0 b. 0,7 : 0,96 96 { }. L cpcidd de memori de u ordedor se mide e megbytes (Mb). U megbyte tiee 0 6 bytes de iformció, de form que cd byte cotiee u símbolo (dígito, letr, etc.). Si por térmio medio, u plbr está compuest por cutro símbolos, estimr cuts plbrs puede rchivr u ordedor co u memori de 500 Mb. 8 {,5 0, es decir, 5 milloes de plbrs}. Resuelve correctmete los dos prtdos siguietes:. Hllr el resultdo de { 9 5 } 5 b. Rcioliz y simplific: 5 { 6 5 } 4. Clculr ls solucioes de ls siguietes ecucioes:. log ( x ) = log( x + ) x+ b. = 40 {x=} log 40 x = =, 99 log c. 5 x 5 x = 600 {x=}

14 . NÚMEROS COMPLEJOS Los úmeros complejos preciero muy tempro e el pisje de ls mtemátics, pero fuero igordos sistemáticmete, por su crácter extrño, cretes de setido e imposibles de represetr. E el ño 977 Euler le dio el ombre de i (de imgirio), pero fue Guss e 8, cudo public u trbjo dode expoe ls propieddes de estos úmeros y su represetció geométric, el que cbó de drles l etidd ecesri pr que fuer plemete ceptdos. Los úmeros complejos se itroduce pr dr setido l ríz cudrd de úmeros egtivos. Así se bre l puert u curioso y sorpredete mudo e el que tods ls opercioes (slvo dividir etre 0) so posibles. E est uidd se preset este mudo: expresió de los úmeros complejos, su represetció gráfic, opercioes y su form polr. El efoque es muy geométrico pr fcilitr l compresió. L importci de los úmeros complejos está mrcd por sus múltiples pliccioes e diverss Áres (Mtemátics, Físic, Igeierí, Tecologí,...).. DEFINICIONES Al resolver ecucioes del tipo: x reles. + = 0 x = ± que o tiee solució e los úmeros Los úmeros complejos ce del deseo de dr vlidez ests expresioes. Pr ello es ecesrio dmitir como úmero válido y todos los que se obteg l operr co él como si se trtr de u úmero más. UNIDAD IMAGINARIA: Se llm sí l uevo úmero. Y se desig por l letr i. i = = i NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA: So ls expresioes: + bi, dode y b so úmeros reles. Se dice que es l prte rel y que b es l imgiri. El cojuto de todos los úmeros complejos se desig: C = { + bi /, b R } Si b = 0 qued l prte rel. (Los reles so complejos de l form + 0i ) por eso, R C. 4

15 Si = 0 qued bi, u úmero imgirio puro. Ejemplo: ± 6 ± 6 ± 4i + i x x + 5 = 0 x = = = = i Fíjte que ls solucioes imgiris de u ecució de º grdo siempre so cojugds. IGUALDAD: Dos úmeros complejos so igules sólo cudo tiee l mism compoete rel y l mism compoete imgiri. OPUESTO DE UN NÚMERO COMPLEJO: z = + bi z = bi CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO: z = + bi z = bi Ejercicios: Resuelve ls siguietes ecucioes, y expres sus solucioes como úmeros complejos: ) x x + = 0 b) x x + = 0 Determi x e y pr que estos úmeros complejos se igules. ) - x+ i y - yi b) - x + yi y 7 6i.. OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA SUMA Y DIFERENCIA: Se reliz sumdo (o restdo) por seprdo sus prtes reles e imgiris: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z + z ' = + bi + c + di = + c + b + d i z z ' = + bi c + di = c + b d i Ejemplo: z = + 5i z + z ' = 7 + i z - z ' = - + 7i z ' = 4 i PRODUCTO: Se reliz clculdo los cutro productos posibles y teiedo e cuet que i = : ( ) ( ) ( ) ( ) z z ' = + bi c + di = c + di + bci bd = c bd + d + bc i Not: Si multiplicmos u úmero complejo por su cojugdo obteemos u úmero rel: ( ) ( ) ( ) z z = + bi bi = bi = + b Este hecho será útil pr el cociete que vmos defiir cotiució: 5

16 z = + 5i z z ' = + 5i 4 i = 6i + 0i 0i = + 4i z ' = 4 i i = Ejemplo: ( )( ) COCIENTE: Se reliz multiplicdo umerdor y deomidor por el cojugdo del deomidor: z + bi ( + bi)( c di) ( c + bd )( bc d ) i = = = z ' c + di c + di c di c + d ( )( ) Ejemplo: ( + 5i)( 4 + i) ( )( ) i z + 5i + 6i + 0i + 0i + 6i = = = = = + i z ' 4 i 4 i 4 + i 6 4i = POTENCIAS DE i: 0 4 i = ; i = i; i = ; i = i; i =... L secueci de potecis de i se repite si cesr. i se divide etre cutro y os quedmos co el resto (0,,,) r i = i. Ejemplo: 5 i = i = i teiedo e cuet que.. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Ls sucesivs ctegorís de úmeros (turles, eteros, rcioles,...) se puede represetr sobre l rect. Los reles l lle por completo, de modo que cd úmero rel le correspode u puto e l rect y cd puto, u úmero rel. Por eso hblmos de rect rel. Pr represetr los úmeros complejos teemos que slir de l rect y ller el plo, psdo sí de l rect rel l plo complejo. Los úmeros complejos se represet e uos ejes crtesios. El eje X se llm eje rel y el Y, eje imgirio. El úmero complejo + bi se represet medite el puto (,b) que se llm fijo, o medite u vector de orige (0,0) y extremo (,b). Los fijos de los úmeros reles se sitú sobre el eje rel y los imgirios puros, sobre el eje imgirio. L logitud del vector se deomi módulo, y se suele desigr como r o z. El águlo que form el vector co l prte positiv del eje x se llm rgumeto, y se desig por α o rg( z). Ejercicio: Represet el siguiete úmero complejo, su opuesto y su cojugdo: z = + 4i 6

17 .4. NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR: Cosiste e represetr u complejo medite dos vlores: su módulo y su rgumeto, desigádolo como r α. Pr hllr el módulo podemos plicr el teorem de Pitágors e el triágulo sombredo: r = + b r = + b Pr obteer el rgumeto, plicmos l trigoometrí elemetl e el mismo triágulo: b b tg α = rctg ; 0º 60º α = α Ejercicio: Determi l expresió polr de los complejos represetdos: PASO DE FORMA BINÓMICA A FORMA POLAR r = + + b b rctg si 0 (Teiedo e cuet el cudrte) z = + bi α = 90º si = 0 y b > 0 70º si = 0 y b < 0 Ejemplo: Ps form polr: z = + i ( ) r = + = z = + i = 50º 50º α = rctg = 0º IGUALDAD: r r = r ' α α α = r ' α ' = ' + 60º k; k Ejemplos: = 5 = 5 = 0º = 750º 0º 90º 0º 0º π π PASO DE FORMA POLAR A FORMA BINÓMICA cosα = = r cosα r b seα = b = rseα r z = r = + bi = r cosα + rseαi = r cosα + iseα α sirve pr psr de polr biómic. 7 Z Est expresió r ( cosα iseα ) ( ) + se llm form trigoométric y

18 Ejemplo: Ps 50º form biómic. cos50º = cos ( 80º 0º ) = cos 0º = se50º = se( 80º 0º ) = se0º = 50º = + i = + i ESQUEMA: OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA POLAR: PRODUCTO: El producto de dos complejos e form polr es otro complejo de módulo el producto de los módulos y rgumeto l sum de éstos. Ejemplos: α ' ( α α ) ( α α ) r r ' = r cos + ise r ' cos ' + ise ' = α ( α α α α ) ( α α α α ) = r r ' cos cos ' se se ' + i se cos ' + cos se ' = ( ) ( ) ( ) = r r ' cos α + α ' + ise α + α ' = r r ' + = 6 ; = = 60º 45º 05º 5º 70º 405º 45º Se puede geerlizr tres o más complejos: = 6 = 6 0º 50º 90º 60º 0º COCIENTE: α α ' El cociete de dos complejos e form polr es otro complejo de módulo el cociete de los módulos y rgumeto l rest de éstos: rα r = r ' r ' α ' α α ' 8

19 Ejemplos: 6 85º 90º = 65º ; = = 0º 0º 0º 0º Not: Sums y rests de complejos sólo se puede hcer e biómic. POTENCIA: Pr elevr u complejo e form polr u expoete se elev su módulo l expoete y se multiplic su rgumeto por dicho expoete: ( ) r = r r = ( r r) = ( r ) α α α α + + α α Ejemplos: ( ) ( ) 4 5º = 8 ; = 9 = 9 0º 90º 540º 80º FÓRMULA DE MOIVRE: Se obtiee si psmos mbos miembros de l fórmul terior form trigoométric. RADICALES: Aplicdo l fórmul de l poteci: ( rα ) ( r ) = α ( cosα seα ) ( cos α se α ) r + i = r + i ( ) r = R R = r α β β α R = r R = r R = r β α + k β = α + 60º k β = ; co k = 0,,,..., ( ) α 60º si k =, volverímos l mismo águlo, u complejo tiee ríces co el mismo módulo, si ls dibujmos form u polígoo regulr de ldos. Ejemplo: R = 8 = 890º Rβ 90º 60º = + k β = = 0º + 0º k k = 0 β = 0º k = β = 50º Sol: 0º,50º,70º k = β = 70º Si dibujmos ls tres ríces comprobmos que sus fijos so los vértices de u triágulo equilátero. 9

20 EJERCICIOS Y PROBLEMAS y. Ddo el úmero complejo z = x + i, determi el vlor de x e y pr que se: ) U úmero rel. b) U úmero imgirio puro. c) U úmero complejo que o se i rel i imgirio puro.. Resolver ls siguietes ecucioes: ) x x + = 0 { ± i} b) x + = 0 { ± i} c) x x + 4 = 0 { ± i}. Complet: COMPLEJO PARTE REAL PARTE IMAGINARIA d) x + x + = 0 ± i e) x 6x + x 6 = 0 {, ± i} 4 f) x = 0 { ±, ± i} OPUESTO CONJUGADO z = + i z = i z = i z = i z = + i z = i z = z = i z = i 4. Ddos los complejos: z = + i, z = + 4 i, z = 5i, hllr: + { + } + { + } + { } + { } + { } z { 9 i} { } + { + } { } + { } ) z z 7 i e) z z i i) z z 0i b) z z 4 i f) z z 7 6 i j) z c) z z i g) z z 4 z 8 i d) z z 9 i h) z z i 5. Clculr: ( + i)( + i) { + i} ( + i)( i) { } ( + i)( + i) { + i} ( + i)( i) { } ) e) b) 4 f) ( + i)( i) { i} g) ( + 5 i) { i} ( i) i { + i} ( i)( + i) { } c) d) 5 5 h)

21 6. Ddos los complejos del ejercicio 4, hllr: { } ( ) { } ) z z i e) z 5 + i { } ( ) { } ( + ) { + } g) z z { } { } { } b) z z 9 4 i f) z z 64 c) z z z 5 i d) z z z 6 0 i h) z z z 75 8i 7. Ddos los complejos mi y i hllr m y pr que su producto se 8 + 4i. { m = ; = ; m = ; = } 8. Clculr: + i 9 4i + i ) { + i} e) + { 4 } + i 5i i + i ( 5 i )( + i) 4 b) { i} f) i i i i ( i)( + i) 8 c) { + 4 i} g) + i i + i i 5 5 5i + bi d) { 5 i} h) { i} i b + i 9. Cuáto debe vler m pr que el complejo z ( m i)( 4i) imgirio puro? De qué úmeros se trt? = + se u úmero rel? E { m = y m = 4; z = 0 y z = 0i} 0. Hllr dos complejos de los que sbemos que su difereci es u úmero rel, su sum tiee l prte rel igul y su producto es 7 + i. { + i y + i}. Clcul el iverso de los siguietes complejos e form biómic: ) i i c) + i i e) + i i 5 5 b) + i i d) - i + i f) i { i}. Clcul ls potecis de i: ) i b) i i c) i i d) e) i f) i i { } { } { } { } { } { }. Clcul ls siguietes opercioes combids e form biómic: i 4 i ) + i + i d) i 45 i + i 0 0i 5 ( + i) b) i { i} e) 5 i 5 i 8 + i 5 + i ( ) { } { } 7 i c) + i { } f) ( + i)( i) ( i) 7 ( i ) { } { i}

22 4. Hllr dos complejos de los que sbemos que su difereci es u úmero rel, su sum tiee l prte rel igul y su producto es -7+i. 5. Hllr u ecució poliómic cuys ríces se: { + i y + i} { } { } { } ) ± i x x + 0 = 0 b ) 5 ± i x 0x + 9 = 0 c) ± i x + = 0 6. Psr form polr los siguietes complejos (se recomied represetrlos previmete, pr sí elegir correctmete su rgumeto): { 60º } { 0º } i { 45º } ) i 8 d) 8 8 g) + { 00º } i { 90º } { 80º } { } i { } b) i 6 e) h) 8 8 c) i f) 8 8 0º 70º 7. Hllr u úmero complejo del º cudrte que tiee por módulo y tl que Re(z)=-. Expresrlo e form polr. Justificr gráficmete l solució. { + i = 0º } 8. Hllr u complejo de rgumeto 45 o tl que sumdo +i dé u complejo de módulo 5. { + i} 9. Ecotrr u complejo tl que sumádolo co / dé otro complejo de módulo y rgumeto 60 o. 0. Ps form biómic: i + { + i} { + i} { } ) 4 c) e) 0º 50º 80º i b) 60º { + i} d) 0º +. Hllr los úmeros complejos, e form polr y biómic, que correspode los vértices de estos hexágoos:

23 . Determir el vlor de pr que el complejo z=(-6i) (-i) se ) U úmero rel. De qué úmero se trt? b) U úmero imgirio puro. De qué úmero se trt? c) Tl que su fijo esté e l bisectriz del er y er cudrtes. De qué úmero se trt?. Ddo z = 45º, hllr z e polr. { ) = 4; 0 b) = ; 5 i c) = 6; 0 0i} 4. Hll u úmero complejo y su opuesto sbiedo que su cojugdo es z = 70º { 5º } 5. Ddos los úmeros complejos 0º y 5 60º, comprobr que el producto e form polr y e form biómic d el mismo complejo. 6. Lo mismo co i y i. 7. Efectú ls siguietes opercioes: { 5i } { i = 6 45º } ( i) ( i) + ) 4 { } d) 5 5 f) { } 5º 0º 60º 80º π π 0º 5º 6 6 π 4 b) π e) { 7 } g) 5π π 4 870º π 4 c) 4 8 π { } 70º 0º 5º 5º { } 8. El complejo de rgumeto 80 o y módulo es el producto de dos complejos; uo de ellos tiee de módulo y rgumeto 50 o. Escribir e form biómic el otro complejo. 9. Hllr el vlor de α pr que el producto se: ) U úmero rel positivo. b) U úmero rel egtivo. π α 40º { + i} π π ) α = ; b) α = 0. Si ecesidd de efectur el producto e biómic, hllr cuáto h de vler m pr que el complejo z ( m i)( 4i) = + teg módulo 0. { m = ± }. Si ecesidd de efectur el cociete, determir el vlor de pr que el módulo del + i complejo z = se. i { = ± }

24 . Hllr dos úmeros complejos sbiedo que su producto es -8 y el cociete de uo etre el cudrdo del otro es l uidd. (Ayud: utilizr l form polr).. Clcul se α y cos α utilizdo l fórmul de Moivre. {( ) ( ) } 4 ; 0º 0º 4. Clcul ls siguietes ríces: { 05º 5º 45º } { i} ) i ; ; d) 8 ; ± { 45º 65º 85º } { 0º 08º 80º 5 4º } b) ; ; e) 4 ; ; ; ; c) 8 + i i i { i ; ± + i} f) { } i + i ; + i ; i ; i 5. Ddos los complejos z = i, z =i y z =+i, clculr ls siguietes expresioes, ddo el resultdo e biómic: z + z + + i z + i z b) z z + + i d) z i 4 ( ) { } ) c) 8 8 {( ) ( ) } { } 4

25 . SUCESIONES. SUCESIONES NUMÉRICAS U sucesió uméric es u cojuto ordedo de úmeros, que se llm térmios de l sucesió. Cd térmio se represet por u letr y u subídice que idic el lugr que ocup detro de ell. es el primer térmio de l sucesió... es el segudo térmio de l sucesió es el térmio eésimo Así u sucesió puede represetrse como:,,,...,... o simplemete EJEMPLOS: - Sucesió formd por los cudrdos perfectos:, 4, 9, 6, 5, 6, 49, 64, 8, 00,, 44, 69, 96, 5, - Los úmeros pres :, 4, 6, 8, 0,, 4, 6, 8, - L sum de cd turl y su cudrdo:, 6,, 0, 0, 4, 56, 7, 90, TÉRMINO GENERAL El térmio geerl o térmio -ésimo,, de u sucesió es u expresió mtemátic que os permite clculr culquier térmio de l sucesió e fució del lugr que ocup. Por ejemplo, e l sucesió de los cudrdos perfectos, cd térmio se obtiee elevdo l cudrdo el lugr que ocup e ell: = = 4, = 9,... E est sucesió, el térmio geerl será: = CÁLCULO DEL TÉRMINO GENERAL Ddos los térmios de u sucesió, pr clculr su térmio geerl teemos que buscr u regl que relcioe el vlor de cd térmio co el lugr que ocup e l sucesió. Pr hllr est relció debemos descompoer los térmios e expresioes umérics que teg l mism estructur depediedo del lugr que ocup. EJEMPLO: Cosideremos l siguiete sucesió:, 5, 0, 7, 6, 7... Pr clculr el térmio geerl os yudmos de l siguiete tbl: LUGAR 4 5 TÉRMINO = + 5 = + 0 = + 7 = = 5 + = + U vez que teemos el térmio geerl, podemos clculr culquier térmio de l sucesió, por ejemplo: 0 = 0 + = 0 A veces o es posible obteer u fórmul pr el térmio geerl, y otrs veces o se cosigue de form imedit. 5

26 SUCESIONES RECURRENTES U sucesió es recurrete cudo todos sus térmios se puede clculr prtir de uo ddo. L fórmul medite l cul se puede clculr los térmios se llm ley de recurreci. EJEMPLO: = + E este tipo de sucesioes, ecesitmos sber cuál es el primer térmio, = 4. A prtir de él podemos clculr el resto: 4 = 4 + = 6 = 6 + = 9 = =... SUCESIONES MONÓTONAS Si comprmos los térmios de u sucesió, podemos clsificrl: - U sucesió es moóto creciete si cd térmio es meor o igul que el siguiete: - U sucesió es estrictmete creciete si cd térmio es meor que el siguiete: < - U sucesió es moóto decreciete si cd térmio es myor o igul que el siguiete: - U sucesió es estrictmete decreciete si cd térmio es myor que el siguiete: EJEMPLO: Pr comprobr l mootoí de l sucesió cosecutivos: <? > =, comprmos dos térmios + = = + < ( + )( + ) < ( ) < < 0 Lo que es cierto, por lo tto l sucesió es estrictmete creciete. SUCESIONES ACOTADAS U sucesió está cotd superiormete por u úmero rel K si todos los térmios so meores o igules que K. Decimos que K es u cot superior de l sucesió. =,,, 4,..., está cotd superiormete por - U sucesió está cotd iferiormete por u úmero rel k si todos los térmios so myores o igules que k. Decimos que k es u cot iferior de l sucesió. =,,, 4,..., está cotd iferiormete por 6

27 U sucesió se dice cotd si lo está superior e iferiormete. 4 + =,,,..., está cotd iferiormete por y superiormete por OPERACIONES CON SUCESIONES Como los térmios de ls sucesioes so úmeros reles, podemos efectur co ells opercioes bsds e ls que defiimos pr los úmeros reles: - L sum de dos sucesioes y b es otr sucesió s que se obtiee sumdo térmio térmio los correspodietes de ls dos sucesioes. Aálogmete se defie l difereci de sucesioes. - El producto de dos sucesioes y b es otr sucesió p que se obtiee l multiplicr térmio térmio los correspodietes de ls dos sucesioes. - Pr que exist el cociete de dos sucesioes y b, los térmios de b h de ser diferetes de 0. L sucesió cociete c se obtiee dividiedo los térmios correspodietes de ls dos sucesioes. EJEMPLO: Dds ls sucesioes: y b = = + b = b ( )( ) ( + )( ) b = + = + = = = b = +. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN Vmos estudir el comportmieto de u sucesió pr térmios muy vzdos pr comprobr su tedeci. Este comportmieto que preset u sucesió l estudirl pr vlores muy grdes de, se llm límite de u sucesió. = + N A medid que se v hciedo más grde, los térmios de l sucesió se v proximdo. Diremos que lim =. b ( ) = N b

28 A medid que se v hciedo más grde, los térmios de l sucesió, pesr de ir lterdo el sigo, se v proximdo 0. Diremos que lim b = 0. c = + N c A medid que se v hciedo más grde, los térmios de l sucesió v creciedo. Diremos que lim c = +. Se dice que u sucesió tiee por límite L si y sólo si pr culquier úmero positivo ε que tomemos, existe u térmio k, prtir del cul todos los térmios de, siguietes k cumple que L <ε. Se dice que u sucesió tiee por límite + cudo pr todo M>0 existe u térmio k, prtir del cul todos los térmios de, siguietes k cumple que > M. Se dice que u sucesió tiee por límite cudo pr todo N >0 existe u térmio k, prtir del cul todos los térmios de, siguietes k cumple que < N U sucesió que tiee por límite u úmero rel se llm sucesió covergete. U sucesió que tiee como límite ± se dice divergete. Ls sucesioes co límite 0 recibe el ombre de ifiitésimos. Sucesioes osciltes: No so covergetes i divergetes. Sus térmios lter de myor meor o vicevers., 0,, 0, 5, 0, 7,... Sucesioes lterds: So quells que lter los sigos de sus térmios. Puede ser covergetes, divergetes u osciltes. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES - El límite, si existe, es úico. - Tods ls sucesioes covergetes está cotds. - Hy sucesioes cotds que o so covergetes. - Tods ls sucesioes moótos y cotds so covergetes. - Hy sucesioes covergetes que o so moótos. Los límites de ls sucesioes se puede clculr usdo procedimietos que se verá e el tem 5 pr el cálculo de límites de fucioes. OPERACIONES CON LÍMITES lim ( + b ) = lim ( ) + lim (b ) lim ( b ) = lim ( ) lim (b ) lim ( b ) = lim ( ) lim (b ) lim ( : b ) = lim ( ) : lim (b ) lim k =k lim lim k = (lim ) k lim log = log lim 8

29 EL NÚMERO e El úmero e es uo de los úmeros irrcioles más importtes e mtemátics. Se le cooce tmbié como úmero de Euler. e =, Es el límite de l sucesió = + = = = =.5... = 00 = = 0000 =

30 .. PROGRESIONES PROGRESIONES ARITMÉTICAS U progresió ritmétic es u sucesió recurrete e l que cd térmio, excepció del primero, se obtiee sumdo l terior u mismo úmero, d, que se llm difereci de l progresió. EJEMPLO:, 6, 0, 4, 8,... d = 4 TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARTIMÉTICA EJEMPLO: = d = = + ( ) = = + d = + d = + d = + d... 4 = = + d ( ) = + d SUMA DE LOS N PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA Sumdo térmio térmio: S = S = ( ) ( ) ( ) ( ) S = E u progresió ritmétic l sum de dos térmios equidisttes de los extremos y es igul l sum de esos extremos, por lo tto: ( + ) S = ( + ) S = EJEMPLO: Sum de los 50 primeros úmeros pres: = 50 ( + ) d = S = = 550 = + 49 = 00 0

31 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS U progresió geométric es u sucesió recurrete e l que cd térmio, excepció del primero, se obtiee multiplicdo el terior por u mismo úmero, r, que se llm rzó de l progresió. EJEMPLO:, 6, 8, 54, 6,.. r = TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA = EJEMPLO: = r = 5 = 5... = r = r = r = r = r 4 = r SUMA DE LOS N PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA S = r S = r + r + r r + r = r Clculmos: r S S = r ( r ) S = r r r r ( r ) S = = = r r r SUMA ILIMITADA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DECRECIENTE E u progresió geométric decreciete, pr vlores muy grdes de, los térmios de ést so prácticmete ulos. Por lo tto e ese cso, l sum de todos los térmios de u progresió geométric puede escribirse: ( r ) S = = = r r r Utilizremos est fórmul cudo r < PRODUCTO DE LOS N PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA E u progresió geométric el producto de dos térmios equidisttes de los extremos es igul l producto de esos extremos. y P =... P =... ( )( )( )...( )( ) P P = ( ) ( ) = = P P

32 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. E ls sucesioes de térmio geerl = 5 y b = hllr los térmios primero, quito y décimo.. Complet los térmios itermedios que flt e ls siguietes sucesioes:. 8,, 4,,, -,... b., 4,, 6,, 6, 49,.... Es 4 u térmio de l sucesió que tiee de térmio geerl = +? 4. Hll el térmio geerl de ls sucesioes: ,,,, b. -, -4, -6, -8, c.,,,, d. 5, 7, 9,,, 5, e. 5, 0, 7, 6, 7, 50,.. f. -4, 9, -6, 5, -6, 49, g.,,,,, Estudi l mootoí, covergeci o divergeci y cots de ls sucesioes:. =, /, 4/, 5/4,..., + / b. =, -4, 8, -6,,..., (-) - c. d. e. + =,,,,,,... = + 6. Escribe los cico primeros térmios de l sucesió de l que sbemos = 7 = 5 = 7. Escribe los seis primeros térmios de l sucesió: = 5 = 8 8. E u progresió ritmétic sbemos que = y 5 = 7. Hll el térmio geerl y clcul l sum de los 5 primeros térmios. 9. E u progresió ritmétic, el sexto térmio vle 0,5; y l difereci es,5. Clcul el primer térmio y l sum de los 9 primeros térmios.

33 0. E u urbizció relizro l istlció del gs turl e el ño 999. Cosidermos que e ese mometo se hizo l primer revisió. Sbiedo que ls revisioes sucesivs se reliz cd ños, respode: A) E qué ño se relizrá l décim revisió? B) Cuál es el úmero de revisió que se relizrá e el ño 05?. Hll l sum de los seis primeros térmios de u progresió geométric de rzó positiv e l que = 0 y 4 = 50.. E u progresió geométric = 6 y r=0,5. Clcul l sum de todos sus térmios.. L poblció de u cierto pís umet por térmio medio u % ul. Sbiedo que e l ctulidd tiee milloes de hbittes: A) Cuátos tedrá detro de 0 ños? B) Y detro de 0 ños? 4. E u progresió ritmétic sbemos que d =, = 4 y S =. Clcul y. 5. E u cie, l segud fil de butcs está 0 m de l ptll y l séptim fil está 6m. E qué fil debe setrse u perso que le guste ver l ptll u distci de 8 m? 6. Estudi el comportmieto de ls siguietes sucesioes pr térmios muy vzdos e idic cuál es el límite de cd u de ells:. b. = 0 b = c c. ( ) = + d. e. d e 5 = + = 5 7. Se cosider 0 térmios cosecutivos de u progresió ritmétic. Los dos extremos sum y el producto del tercero y el curto es 48.Hll los térmios de l progresió. 8. Iterclr 4 térmios etre 4 y 97 de modo que forme u progresió geométric. 9. E u progresió geométric = y l rzó r =, hllr el térmio 5 y el producto de los cico primeros térmios. 0. Hllr tres úmeros e progresió geométric sbiedo que su sum es y su producto 5.

34 AUTOEVALUACIÓN. Hll l sum de los térmios de u progresió ritmétic e los siguietes csos: ) De los 0 primeros térmios de:, 6,... b) de los 0 primeros térmios de:,, 4... c) De los 0 primeros térmios de: /, /4,... {) 0 =46, S=5; b) 0 =4, S=60; c) 0 =/4, S=495/4}. Hllr el producto de los 7 primeros térmios de u progresió geométric sbiedo que el cetrl vle 5. {785}. Determir cutro úmeros e progresió geométric tl que los dos primeros sume 95 y los dos últimos 6. {, 6,, 4} 4. Hll l sum de los seis primeros térmios de l progresió geométric: /4, /8,/6... {6/8} 5. Dds ls sucesioes covergetes = y b = +, clcul:. lim y lim b b. lim( + b ) c. lim ( b ) d. lim ( / ) b {)0 y ; b); c) 0; d)0} 6. Ecuetr l sum de los múltiplos de 5 myores que 4 y meores que Hll ls siguietes sums: b , + 000, , c {)5; b)77,48; c)60} 8. E u progresió ritmétic coocemos 5 = 4 y 86 = 85, 6. Clcul: b Los ldos de u hexágoo está e progresió ritmétic. Clcúllos sbiedo que el myor mide cm y que el perímetro vle 48 cm. {, 5, 7, 9,, } 0. L sum de los ifiitos térmios de u progresió geométric es igul 4 y =. Clcul y l rzó. { = r = } 4