MATEMÁTICA ( ) = PARTE 2. L de ecuación: y + 1 = 2 x + L : Ax+By+C=0. Pregunta N. o 21. Pregunta N. o 22. Resolución. En el BFE. a tana senq=b cosb

Transcripción

1 MTEMÁTI PTE Pregunt N. o En l figur mostrd, el vlor de E = tg α sen, es: b cos β En el FE cosβ tnα = b sen tn senq=b cosb tnα sen = bcosβ α b β E= ) ) ) D) E) Tem: de triángulos rectángulos sen cos Pregunt N. o Determine l distnci del punto, l rect L de ecución: y + = +. ) ) ) 6 D) E) Tem: Geometrí nlític Distnci de un punto un rect G sen α sen F bcosβ β E b β P( 0 ; y 0 ) L : +y+=0 D ( ) = d P; L + y

2 MTEMÁTI L : y + = + ; P ; onvertimos l rect su form generl. L : y + = 0; P ; Tem: ircunferenci trigonométric (.T.) Nos piden l vrición de M=cos cos+ Hllmos l distnci de un punto l rect. d ( P; L ) = ( ) = = d P; L ( ) ( ) 6 ompletmos cudrdos M = cos α 7 + Del dto π En l.t. α π (I) d ( P; L ) = π Y Pregunt N. o π π Pr α,, clculr l vrición de M=cos cos+. ) ) 7, ) 7, 7, De l.t. cosπ α cos π cos α cos cos α cosα π Formmos l epresión (I) cos α 0 cos π π X D) 9, E) 7 9, 9 cos α 0 7

3 MTEMÁTI 7 7 cos α + 7 M 7, Pregunt N. o Si sec=cscq ctgq, determine sec tg E = ctg + cos ) ) 0 ) D) E) Tem: Identiddes trigonométrics del rco doble tg ctg = csc sec =+tg De l condición sec=cscq ctgq sec=tgq cos=ctgq Nos piden sec tg E = ctg + cos (I) (II) E = + tg tg ctg + cos eemplzndo (I) y (II) en l epresión E = + sec tg cos + cos E = + \ E= Pregunt N. o Señle l lterntiv que present l secuenci correct, después de determinr si l proposición es verdder () o fls (F): I. π Si rc sen( ) =, entonces = II. Si rc cos( )=, entonces = p III. Si [, ], entonces π rc sen( ) + rc cos ( ) = ) FF ) ) F D) FF E) F Tem: Funciones trigonométrics inverss Función rco seno: f () =rc sen Domf=[ ; ] ; n f = π π ; 8

4 MTEMÁTI Función rco coseno: f () =rc cos Domf=[ ; ] ; n f=[0; p] Pregunt N. o 6 Pr < < resolver l siguiente inecución: sen(p) cos(p) < 0 Propiedd rc sen+rc cos= p ; [ ; ] I. erddero Si rcsen( ) π =, entonces =. emos π rc sen( ) = = π sen = = ), ) 9, ) D) 9, E) Tem: Inecuciones trigonométrics π sen cos = sen De l condición sen(p) cos(p) < 0; < <, 9, II. Flso Si rc cos( )=, entonces = p. emos rc cos( )= = cos III. erddero Si [ ; ], entonces =cos() rc sen( )+rc cos( )= p emos [ ; ] [ ; ] Por propiedd rc sen( ) + rc cos( ) π = F Medinte l identidd de rcos compuestos π sen π 0 < L función seno es negtiv en el tercer y curto cudrnte. π π < π < π π < π < 9 < < 9π Entonces 9 ; (I) demás, por dto ; Intersectndo (I) y (II) tenemos 9, (II) 9

5 MTEMÁTI 9 ; Por el teorem de cosenos 0 7 ( ) + cos = ( )( ) 0 Pregunt N. o 7 Los vértices de un triángulo son: =(, ), =(, ), =(, ) Entonces el coseno del ángulo vle: 9 cos = 0 cosq=0,789 ) 0,789 ) 0,798 ) 0,879 D) 0,897 E) 0,987 0,789 Tem: de triángulos oblicuángulos Teorem de cosenos b =b +c bccosq b + c cos = bc c Pregunt N. o 8 { }, y / t, y t ; t = ( ) = + = + Entonces l gráfic que represent es: ) ; ) Piden cosq. ; Y (; ) 7 0 (; ) X ) ; ( ; ) 6 0

6 MTEMÁTI D) ; Grfiquemos l rect. y+=0; y E) Y ; ( ; ) X Tem: Ecuciones prmétrics Un ecución prmétric permite representr un o vris curvs o superficies en el plno o en el espcio medinte vlores rbitrrios o medinte un constnte llmd prámetro. Piden l gráfic que represent. ={(; y) / = +t ; y=+t ; t } = +t (I) y=+t y (II) De (I) = +t Eliminmos el prámetro t pr relcionr ; y. = + t y = + t y = ( ) Pregunt N. o 9 Tres de ls digonles de un polígono regulr formn un triángulo equilátero. Determine l sum de los ángulos internos si se sbe que l medid de su ángulo interno es myor que 0º pero menor que 6º. ) 0º ) 60º ) 800º D) 980º E) 60º Tem: Polígonos Nos piden l sum de ángulos internos (SmSint). Dto: 0º < < 6º, donde es l medid del ángulo interior.

7 MTEMÁTI n n n Se n el número de ldos. En el gráfico, si n= o es equilátero demás,, y son ls digonles del polígono regulr.... (I) Pregunt N. o 0 es un circunferenci con diámetro y P es un punto eterior. Se trzn los segmentos P y P tl que l prolongción de P cort l circunferenci en. Si el ángulo P mide º, clcule l medid del ángulo P. ) º ) 6º ) º D) 7º E) º Tem: ircunferenci ecuerde que si es diámetro, se cumple que q=90 Luego, si es l medid del ángulo interior ( ) α = 80º n n Nos piden. Dto: m P=º P eemplzndo en el dto º 80º ( n ) 0º < < 6º n 9 < n < (II) En (I) y (II), n= Luego SmSint=80º(n ) SmSint=80º( ) SmSint=800º 800º prolongción de P omo es diámetro, entonces m =90º. Luego en el triángulo rectángulo P, se observ que +º=90º =6º 6º

8 MTEMÁTI Pregunt N. o En l figur mostrd, O es el centro de l semicircunferenci de rdio cm y O es el centro de l circunferenci de rdio cm. Si l circunferenci es tngente en y l semicircunferenci, clcule en cm. O O' Se =. Por posiciones reltivs entre circunferencis tngentes interiores, O, O y son colineles, entonces OO =8 cm y O = cm. Trzmos O, entonces m OO =90º; demás, OO es notble de 0º y 60º; por lo tnto, m OO =0º, m O O=60º y O= cm. En el O, O =O, entonces m O =m O =0º. ) 6 ) ) D) E) 6 Finlmente, el = cm O es isósceles. Tem: ircunferenci Nos piden en cm. Dtos L semicircunferenci de centro O tiene su rdio igul cm, y el rdio de l circunferenci de centro O es cm. Pregunt N. o En un cudrilátero D, m = m D, m =m D=90º. Si D={F}, F=0 m, D=9 m, clcule F (en metros). cm 60º cm 8 cm O' cm 0º O cm cm 0º 0º ) ) ) D) E)

9 MTEMÁTI Tem: elciones métrics en l circunferenci ecuerde que m =(m ) entonces se trz l cevin T, tl que T y T sen isósceles. Se F= El z D: inscriptible m D=m =q En DF: uso de l cevin Luego FTD y TD: isósceles En z D: inscriptible (teorem de cuerds) b b T ()(0)=( )(+) = = Nos piden F. Dtos F=0 y D=9 m =(m D)=q m =m D=90º Pregunt N. o En l figur mostrd, O es centro de l circunferenci cuyo rdio mide uniddes. Si O=FE y m E=º, entonces el áre del sector circulr O es l longitud de l circunferenci como: F + O º E T + + F D ) D) 6 ) ) E) 8

10 MTEMÁTI Tem: Áres de regiones circulres Nos piden sector O Longitud de Dtos: O=FE y mse=º Pregunt N. o Desde un punto eterior un plno se trzn tres oblicus congruentes de m de longitud, de modo que sus pies son los vértices de un triángulo equilátero cuy áre es 8 m. lcule l distnci del punto l plno. ) 9 ) 0 ) D) E) Tem: Pirámide regulr 0º 0º º º O F º E Nos piden l distnci del punto l plno igul. Dtos Ls oblicus miden m, y los pies son los vértices de un región equiláter cuy áre es 8 m. punto eterior P Se sbe que m m m sector O ( º) π π = = 60º 8 Longitud de =p m 9m O 60º m 9m 0º 9m Luego sector π O Longitud de = 8 π = 6 6 Se P el punto eterior, l región es equiláter (==). Por dto, = 8 Entonces ( ) =9m = 8 m m

11 MTEMÁTI omo PO es l distnci l plno y P - es un pirámide regulr, entonces O es circuncentro del. En el O, O=O y m O=0º, entonces Tem: Tronco del prism oblicuo Piden el volumen del sólido ( S ). 9m = O( ) y O = m S Finlmente, en el OP se plic el teorem de Pitágors ( ) = + ( ) m m 60º b c bse =m Pregunt N. o Se quiere formr l letr con dos troncos igules de prism oblicuo de bse tringulr, con un ángulo de bertur de 60º, tl como se muestr en l gráfic. El áre de l bse común es de 0 m y l sum de ls rists lterles de uno de los troncos es 6 m. lcule el volumen (en m ) del mteril necesrio pr su construcción. Se S : Áre de l sección rect Luego v S =(v tronco del prism oblicuo ) S = + b + c S Del dto, +b+c=6, entonces S =( S ) (I) Proyectmos l sólido en un vist de cnto S 0º S 60º bse 0º 60º ) 60 ) 0 ) 60 D) 60 E) 70 Luego S = bse cos60º Por dto, bse =0 S = De (I) y (II) 60 v S =60 (II) 6

12 MTEMÁTI Pregunt N. o 6 En un tetredro regulr, determine l medid del ángulo entre ls medins de dos crs, si ls medins no se intersecn. ) rc cos ) rc cos ) rc cos 6 D) rc cos 7 E) rc cos Tem: Poliedros regulres sumimos, =. entonces, M=M=. Luego trzmos ML // H, entonces m (M; H)=. En el En L L =. ML, por teorem de cosenos = + ( ) ( )( ) cos = rc cos 6 rc cos 6 Nos piden l medid del ángulo entre dos medins de dos crs de un tetredro regulr. Dto: ls medins considerds no se intersecn. M H L Según el gráfico, es el tetredro regulr, donde M y H son ls medins de dos crs que no se intersecn. Pregunt N. o 7 Se tiene un cono circulr recto de volumen y longitud de l ltur H. L superficie lterl de este cono se intersec por dos plnos prlelos l bse que trisecn l ltur H, obteniéndose conos prciles de volumen y, respectivmente ( > ). Si = +b, clcule el cociente b, sbiendo que b=. ) 8 ) 9 ) 0 D) E) 7

13 MTEMÁTI Tem: ono de revolución ecuerde que H Si // D, se cumple que cono menor cono myor r h b D r h = K = b = H = donde K es l rzón de semejnz. Nos piden b. Luego =8 y =7 Del dto = +b 7 = +b(8 ) 7=+8b pero = b. esolviendo el sistem de ecuciones se obtiene que \ b= y = b = 0 0 Pregunt N. o 8 En un tetredro regulr de rist, l distnci desde el centro de un de sus crs cd un de ls crs restntes es: Dtos: > = +b b= ) D) ) 6 ) E) 7 = 8 = E m m m D F Tem: Poliedros regulres Nos piden l distnci desde el centro de un de ls crs cd un de ls crs restntes de un tetredro regulr. omo // D // EF, se cumple que = = ( m) ( m ) ( m ) Dto: tetredro regulr de rist. omo el tetredro es regulr, el centro de un cr equidist de ls otrs tres. 8

14 MTEMÁTI Se es distnci. O P D Entonces D = P- + P-D + P-D (I) ) p ) p ) p Nótese P- = P-D = P-D = (II) D) p E) p demás D = (III) Tem: Pirámide regulr Tronco de cilindro de revolución Luego, (III) y (II) en (I) = centro h = Se cumple tronco de cilindro =p h de revolución Pregunt N. o 9 En l figur, O - es un pirámide regulr. lcule l relción que eiste entre el volumen de l pirámide regulr y el volumen del tronco de cilindro (O es centro). Nos piden pirámide regulr tronco de cilindro de revolución 9

15 MTEMÁTI Dtos El sólido O - es un pirámide regulr y O es centro de un bse del tronco de cilindro. O ) 0p ) 0p ) 0p D) 0p E) 60p Tem: ilindro h Se el rdio de l bse del tronco de cilindro. omo el triángulo equilátero está inscrito en l circunferenci === lculmos lo que nos piden. ( ) pirámide regulr = π h tronco de cilindro de revolución p pirámide regulr tronco de cilindro de revolución Pregunt N. o 0 = π ( h) Un stnd de un feri de libros tiene un piso rectngulr de 880 m y el techo tiene un form semicilíndric. uántos m de lon se necesitrín pr el techo, si el lrgo del stnd es el quíntuple del ncho? H SL π Áre de l superficie lterl del cilindro circulr recto SL =ph Nos piden SL. SL : áre de l superficie semicilíndric del stnd Dtos: D=(D)=0 D =880 D 0 Del gráfico (sup. semicilíndric) SL =(p)(0) SL =0p (I) Del dto D =880 ()(0)=880 = De ls ecuciones (I) y (II) SL =0p 0p (II) 0