MÉTODOS DE CONVERSIÓN TIEMPO-FRECUENCIA PARA LA APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA EN MATERIALES VISCOELÁSTICO-LINEALES

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1 MÉTODOS DE CONVERSIÓN TIEMPO-FRECUENCIA PARA LA APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA EN MATERIALES VISCOELÁSTICO-LINEALES F. Pelayo 1, M.J. Lamela-Rey 1, A. Fernández-Canteli 1, J. García-Barruetabeña 2, F. Cortés 2 y J.M. Abete 2 1 Departamento de Construcción e Ingeniería de Fabricación. Universidad de Oviedo. Campus de Viesques Gijón. 2 Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de Mondragón, Loramendi 4, 20500, Mondragón. RESUMEN La característica más destacada de los materiales viscoelásticos es la dependencia de sus propiedades mecánicas con el tiempo. Esta dependencia implica que las relaciones o conversiones entre los distintos módulos o propiedades del material deben deducirse a través de integrales de convolución cuya resolución, en general, resulta compleja de abordar. En materiales viscoelástico-lineales, se puede aplicar el principio de correspondencia, que permite facilitar la conversión a través de expresiones ya conocidas para materiales elástico-lineales. Los módulos o propiedades del material se sustituyen por su correspondiente función viscoelástica convertida al dominio de la frecuencia, de manera que las integrales de convolución en el dominio del tiempo se convierten en productos simples en el dominio de la frecuencia. En este trabajo se analizan distintos métodos para establecer relaciones entre funciones viscoelásticas mediante su transformación del dominio del tiempo a dominio de la frecuencia y se aplican a un material viscoelástico lineal, como es el PVB, como paso hacia una predicción de rotura, previa propuesta de un criterio de fallo. ABSTRACT The main characteristic in the behaviour of viscoelastic materials is the time dependency of its mechanical properties. This dependency implies that the relations or conversions among the different moduli of the material must be carried out using convolution integrals, the solution of which is, generally, difficult to derive. In the case of viscoelastic materials, an easy way of operating with time-dependent moduli functions consists of resorting to the correspondence principle. This principle establishes that the simple well-known relations among material constants for linear-elastic materials can be applied to linear-viscoelastic materials using, on its turn, the corresponding viscoelastic modulus function transformed to the frequency domain. In this way, convolution integrals in time-domain become simple products in frequency domain. In this work, different procedures for conversion among viscoelastic functions are analyzed, implying their transformation from the time domain to frequency domain, and applied to a linear-viscoelastic material, such as PVB. This is understood as a contribution towards fracture prediction provided a failure criterion is formulated. PALABRAS CLAVE: Técnicas experimentales, Polímeros, Viscoelasticidad. 1. INTRODUCCIÓN Los materiales viscoelásticos se caracterizan por la dependencia de sus propiedades mecánicas con el tiempo [1]. Este hecho conlleva que la completa caracterización de todas sus propiedades resulta un proceso complejo y, en consecuencia, difícil de afrontar [2, 3]. En general, el proceso de caracterización de estos materiales se suele abordar en un proceso que implica la obtención de alguno de sus módulos experimentalmente, por ejemplo el módulo de relajación (dirección axial y deformación constante), y a partir de aquél, la deducción del resto de módulos del material a través de conversiones bajo distintas suposiciones o simplificaciones [4]. Las conversiones que permiten obtener todos los módulos de un material viscoelástico se pueden dividir en tres categorías según [5]: 1) Si se aplica una deformación o una tensión constante al material, ensayo de relajación o fluencia, respectivamente. 499

2 2) Si la carga aplicada es de carácter estático (dominio del tiempo) o de carácter oscilatorio (dominio de la frecuencia). 3) Si el ensayo es de tipo uniaxial, de cortadura o volumétrico. Uno de los casos de conversiones más interesantes son las formadas por el grupo tres (según el tipo de solicitación), donde, generalmente, en los casos de solicitación bajo cortadura o volumétrica se requiere la aplicación de un equipamiento de ensayos especial. Desde el punto de vista de los materiales elásticolineales estas conversiones están bien definidas [6] y se reducen a relaciones sencillas entre las propiedades del material, constantes en el tiempo. Sin embargo, para los materiales viscoelásticos estas relaciones se complican, dado que las propiedades de los mismos son función del tiempo apareciendo en su deducción integrales de convolución, cuya resolución es más costosa. Dentro del grupo de los materiales viscoelásticos, aquellos definidos como viscoelástico-lineales permiten tratar las distintas conversiones a través de métodos relativamente sencillos [7, 8]. Así, el principio de correspondencia resulta de gran utilidad, ya que establece que para un material viscoelástico-lineal se pueden aplicar aquellas relaciones conocidas para un material elástico-lineal sustituyendo los valores constantes del material por su correspondiente función viscoelástica compleja (dependiente de la frecuencia) [9, 10]. De este modo, las integrales de convolución que aparecen en las relaciones, se convierten en productos simples al trabajar en el dominio de la frecuencia. La potencialidad del principio de correspondencia se ve reflejada cuando se tiene en cuenta que no sólo se puede aplicar para relacionar y obtener los módulos del material, sino que también se puede aplicar a cualquier ecuación utilizada en materiales elástico-lineales donde las propiedades del material aparezcan como variables. Aunque la aplicación del principio de correspondencia es sencilla, ésta requiere de la correspondiente propiedad viscoelástica compleja del material. De este modo, si el material viscoelástico no puede ser ensayado directamente bajo solicitaciones cíclicas, habrá que aplicar una conversión del grupo dos (tiempo-frecuencia) previamente. En este trabajo se analizan distintos métodos para convertir los módulos de comportamiento de un material viscoelástico en función del tiempo en su correspondiente módulo complejo (dependiente de la frecuencia) con el fin de disponer de los mismos para una posterior aplicación del principio de correspondencia. Para realizar el estudio se utilizó un material viscoelástico-lineal como es el PVB. 2. PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA El principio de correspondencia establece que, si la solución para un problema elástico-lineal es conocida, entonces la solución para el problema viscoelásticolineal se puede obtener sustituyendo la magnitud correspondiente viscoelástica por su transformada de Fourier [11, 12]. Aunque el principio de correspondencia también se puede obtener de manera más general mediante la transformada z de Laplace [13], resulta más práctico recurrir a la transformada de Fourier, dado que las funciones dinámicas del material, en función de la frecuencia,, se puede medir directamente a través de ensayos experimentales. En ambos casos, el principio de correspondencia no es aplicable a aquellas situaciones en las que las condiciones de contorno del problema en estudio, ya sea bajo cargas o desplazamientos impuestos, sean dependientes del tiempo (aunque las cargas y desplazamientos pueden ser función del tiempo) [14]. Si, por ejemplo, se aplica el principio de correspondencia a la ecuación tensión-deformación en el caso elástico-lineal, es decir:, (1) resulta la siguiente transformada de Fourier:. (2) Introduciendo, a continuación, la ecuación constitutiva para un material viscoelástico lineal [1] en la ec. (2) se obtiene la expresión: (3) de la que si se aplican las propiedades de las transformada de Fourier de desplazamiento, convolución y derivación se obtiene la ecuación constitutiva, en frecuencia, para un material viscoelástico-lineal: siendo el módulo complejo axial del material viscoelástico-lineal. De la misma manera, se puede aplicar el principio de correspondencia a otras ecuaciones conocidas de la elasticidad lineal y obtener así su correspondiente solución para el caso viscoelástico-lineal. Aunque el principio de correspondencia permite de una manera sencilla obtener las relaciones entre los módulos de un material viscoelástico-lineal u otras ecuaciones de interés, obtenidas de la correspondiente ecuación de la elasticidad lineal, resulta necesario determinar las propiedades mecánicas complejas del material viscoelástico, ya sea a través de ensayos experimentales o bien a través de una conversión tiempo-frecuencia. En el siguiente apartado se detallan algunos de los métodos (4) 500

3 que se pueden utilizar para llevar a cabo este tipo de conversiones. 3. CONVERSIONES TIEMPO-FRECUENCIA 3.1. Método de los coeficientes de Prony Este método se basa en el hecho de que los coeficientes de la seria de Prony [15], obtenidos a través del ajuste experimental de un modelo de Maxwell o Kelvin generalizado (curvas del tipo relajación o fluencia, respectivamente) del módulo o propiedad viscoelástica del material, se pueden utilizar para generar el correspondiente módulo o propiedad compleja del material [4]. Así para el caso del módulo de relajación,, el modelo generalizado de Maxwell viene dado por: donde, y son los coeficientes de la serie de Prony y m el número de términos. A partir de estos coeficientes se pueden determinar ambas componentes del módulo complejo, es decir, módulo de almacenamiento, y módulo de pérdidas, : (5) (6) (7) Una vez conocidas las dos componentes: (parte real) y (parte imaginaria) se puede deducir el módulo complejo del material,, de manera directa. El método de los coeficientes de Prony puede aplicarse a cualquier módulo o propiedad viscoelástica cuya función se pueda ajustar mediante un modelo de Maxwell o un módelo de Kelvin generalizados Método de Schwartz El método de Schwartz [16, 17] es un método aproximado de conversión tiempo-frecuencia de aplicación e implementación sencillas. Así, a partir por ejemplo, del módulo de relajación del material viscoelástico,, el módulo complejo,, puede obtenerse a través de sus componentes real e imaginaria, y, obtenidas directamente a partir de las siguientes relaciones: (8) (9) En el caso de la aplicación del método para casos de curvas del tipo fluencia, se pueden definir relaciones similares a las del tipo relajación [8] Método directo de conversión mediante la transformada rápida de Fourier (FFT) La conversión de una función viscoelástica en su función compleja correspondiente en el dominio de la frecuencia, también se puede abordar directamente mediante la transformada rápida de Fourier (FFT) [18]. Así para el caso, por ejemplo, de relajación, la ecuación constitutiva de comportamiento se puede expresar como (10) donde es la magnitud de la deformación, es la función de Heaviside y es la función delta de Dyrac. Expresando la ec. (10) en términos del módulo de relajación, se obtiene que, (11) en la que representa la componente elástica y la función de relajación,, la componente disipativa. Si, por una lado, se aplica la transformada de Fourier a la ec. (11): (12) donde representa la transformada de Fourier e y, por otro lado, se aplica la transformada de Fourier a la ec. (10):, (13) se puede deducir finalmente el módulo complejo como:. (14) Por lo tanto, sustituyendo la transformada de Fourier de la función de relajación, en la ec. (12), se obtiene una relación entre el módulo complejo,, y la transformada de Fourier de la función de relajación, : (15) 501

4 Mediante esta metodología se puede, por lo tanto, calcular la función viscoelástica compleja de un material a partir de la transformada de Fourier de su función temporal correspondiente. Hay que destacar que esta metodología trabaja directamente sobre los datos experimentales, prescindiendo así de un ajuste previo de la curva a un modelo de comportamiento viscoelástico. Siguiendo un procedimiento análogo al del módulo de relajación, se deducen expresiones similares a la ec. (15) para el resto de funciones viscoelásticas del material. 4. PROGRAMA EXPERIMENTAL En la comprobación de los métodos de conversión se utilizó el PVB como ejemplo de material viscoelásticolineal. Mediante experimentación se obtuvo, por una parte, el módulo de relajación (función del tiempo) y, por otra, su correspondiente módulo complejo (función de la frecuencia) Descripción del equipo y ensayos realizados En la determinación de los módulos del material se utilizó un viscoelasticímetro (DMA RSA3) de TA Instruments (ver figura 1). El equipo dispone de una cámara de temperatura controlada que permite ensayar el material en condiciones isotérmicas. Los ensayos se realizaron con ayuda de un útil específico para ensayos axiales. Las probetas empleadas tenían unas dimensiones aproximadas de 20 x 6 mm y un espesor de 0,38 mm. Para obtener el módulo o curva maestra de relajación se llevaron a cabo ocho ensayos isotérmicos de unos 10 minutos cada uno en un rango de temperaturas desde -25 a 40 C. En el caso del módulo complejo se realizaron 10 ensayos isotérmicos de barrido en frecuencia (0-80 Hz) en un rango de temperaturas de 8 a 40 C. permite establecer una relación entre las dos variables, de forma que a partir de una temperatura de referencia, su curva queda fija en la escala de tiempos mientras el resto de curvas se desplazan respecto a ésta. Uno de los modelos más utilizados para relacionar tiempo y temperatura es el modelo TTS de William-Landel-Ferry (WLF) [19]: (16) donde es el factor temporal de desplazamiento horizontal, es la temperatura de referencia y y son constantes características del material a determinar en el ajuste del modelo TTS-WLF. Tras ajustar el modelo a las curvas experimentales, utilizando como temperatura de referencia 20 C, se obtuvieron y para el caso del módulo de relajación y y para el caso del módulo complejo. En las figuras 2 y 3 se muestran el módulo de relajación,, y el módulo complejo,, respectivamente. E [Pa] Tiempo [s] Figura 2. Curva de relajación del PVB para una temperatura de 20 C. 5. RESULTADOS EXPERIMENTALES Una vez obtenidos los módulos experimentales del material se realizaron las conversiones del módulo de relajación (función del tiempo) al correspondiente módulo complejo (función de la frecuencia) con los tres métodos descritos. Figura 1. Equipo DMA RSA (TA Instruments) utilizado en la caracterización del material Construcción de las curvas maestras Una vez obtenidas las curvas del material a diferentes temperaturas se procedió a la construcción de la curva maestra del material para cada uno de los módulos. El principio de superposición tiempo-temperatura (TTS) 5.1. Método de los coeficientes de Prony. El ajuste del módulo de relajación del PVB se realizó con una serie de Prony de 13 términos siguiendo la ecuación (5). Los tiempos de retardo,, de la serie se elegiron en este caso equi-espaciados en una escala de tiempos logarítmica. Una vez ajustado el modelo ( ) se obtuvieron las componentes real e imaginaria del módulo complejo mediante las ecs. (6) y 502

5 (7), respectivamente, y se construyó el módulo complejo del material,. Experimental Conversión Schwartz Figura 3. Curva del módulo complejo del PVB para una temperatura de 20 C. En la figura 4 se presenta la comparación entre el módulo experimental y el obtenido mediante la conversión mediante coeficientes de Prony. Conversión Prony Experimental Figura 5. Comparación entre el módulo complejo del PVB obtenido experimentalmente y por conversión mediante el método Schwartz Método de conversión mediante la aplicación de la transformada rápida de Fourier. La conversión mediante la transformada rápida de Fourier, requiere la descomposición del módulo de relajación,, según la ec. (11). Así, se obtiene la transformada de Fourier de,, y mediante la ec. (14) se obtiene el módulo complejo del material. En la figura 6 se puede observar la comparación entre el módulo experimental complejo y el obtenido a través de la conversión mediante la transformación por Fourier. En la conversión se empleó un s con un rango de tiempos de origen de segundos. En consecuencia los resultados obtenidos están en el rango de frecuencia de Hz con un Hz. En la figura 6 se puede apreciar cómo la curva transformada presenta menos precisión en la zona de baja frecuencia. Para una mejora de la misma sería necesario ampliar o cambiar el rango temporal de datos de origen en esa zona. Figura 4. Comparación entre el módulo complejo del PVB obtenido experimentalmente y por conversión mediante el método de los coeficientes de Prony. Experimental Conversion Fourier 5.2. Método de Schwartz. A partir del módulo experimental de relajación del material, las componentes real e imaginaria del módulo complejo se pueden obtener a través de las ecuaciones (8) y (9), respectivamente. Debido a la definición discreta del módulo de relajación, se utilizó una interpolación cúbica para obtener los puntos necesarios para aplicar el método de Schwartz. En la figura 5 se muestran el módulo complejo experimental y el obtenido mediante conversión aplicando las ecuaciones de Schwartz Figura 5. Comparación entre el módulo complejo del PVB obtenido experimentalmente y por conversión mediante el método FFT. 503

6 6. CONCLUSIONES Las conversiones representan una herramienta indispensable para una completa caracterización de un material viscoelástico cuando la deducción directa de los módulos complejos sea difícil de abordar mediante experimentación. Las funciones complejas viscoelásticas permiten aplicar las relaciones conocidas de la elasticidad lineal en materiales con comportamiento viscoelástico-lineal de manera sencilla a través del principio de correspondencia. El método de Schwartz resulta recomendable dada la sencillez de implementación, así como la buena correlación de los resultados obtenidos en una primera aproximación del correspondiente módulo complejo. El método de los coeficientes de Prony proporciona buenos resultados cuando el ajuste de la serie a la función viscoelástica función del tiempo resulta adecuado. El método FFT presenta muy buena correlación cuando los rangos de origen temporales cubren adecuadamente la zona temporal de conversión. Para cubrir adecuadamente todas las zonas se pueden utilizar conversiones por trozos de la curva de origen. AGRADECIMIENTOS Los autores agradecen el apoyo económico del Plan Regional de Investigación del Principado de Asturias a través de los proyectos de investigación EQPT04-21 e IB09-136, y del Ayuntamiento de Gijón, a través de una beca de investigación concedida por el IUTA. REFERENCIAS [1] Ferry, J.D., (1980), Viscoelastic Properties of Polymers. John Wiley & Sons. 3ª Edición, New York. [2] Lakes, R., (2009), Viscoelastic Solids. CRC Press, New York. [3] Christenses, R.M., (2003), Theory of Viscoelasticity (2 nd edition). Dover Publications, INC. Mineola, New York. [4] Park, S.W. and Schapery, R.A., Methods of interconversion between linear viscoelastic material functions. Part I - A numerical method based on Prony series. Int. Journal of Solids and Structures. 1999, Vol. 36 (11). pp [5] Fernández, P., Rodríguez, D., Lamela, M.J. and Fernández-Canteli, A., Study of the interconversión between viscoelastic behaviour functions of PMMA. Mechanics of Time-Dependent Materials, d.o.i /s , [6] París, F. Teoría de Elasticidad. Grupo de Elasticidad y Resistencia de Materiales, Universidad de Sevilla, ISBN: [7] Tschoegl, N.W. The Phenomenological Theory of Linear Viscoelastic Behavior. Springer-Verlag, Berlin, [8] Emri I., B.S. Von Bernstorff, R. Cvelbar, A. Nikonov. Re-examination of the approximate methods for interconversion between frequency- and time-dependent material functions. Journal of Non. Newtonian Fluid Mechanics, vol.129 (2), [9] Lakes, R. S. and Wineman, A. On Poisson s Ratio Linearly Viscoelastics Solids. Journal of Elasticity (2006). 85: DOI /s [10] Tschoegl N.W.; Knauss W.G.; Emri I. Poisson s Ratio in Linear Viscoelasticity A critical review. Mechanics of Time-Dependent Materials, Volume 6, Number 1, 2002, pp. 3-51(49). [11] Read, W.T., Stress Analysis for Compresible Viscoelastic Materials, Journal of Applied Physic, 21, , [12] Lee, E.H., Stress Analysis in Viscoelastic Bodies, Quart Appl Math, 13, pp , [13] Alfrey, T., Non-Homogeneus Stresses in Viscoelastic Media, Quart Appl Math, II(2), pp , [14] Lakes, R., Viscoelastic Materials, (2009), Cambridge University Press, New York. [15] Tzikang Chen. Determining a Prony Series for a Viscoelastic Material from Time Varyng Strain Data. NASA /TM , ARL-TR [16] Schwarzt, F.R., The numerical calculation of storage and loss compliance from creep for linear viscoelastic materials, Rheol. Acta 8 (1969) 6. [17] Schwartz, F.R., On the interconversion between viscoelastic material functions, Pure Appl. Chem. 23, 1970, [18] Garcia-Barruetabeña, J., Cortés, F., Abete, J.M., Fernández, P., Lamela, M.J. and Fernández-Canteli, A. Relaxation modulus complex modulus interconversión for linear viscoelastic materials. Mechanics of Time-Dependent Materials, Artículo en revisión. [19] Williams, M.L., Landel, R.F. and Ferry, J., The Temperature Dependence of Relaxation Mechanisms in Amorphous Polymers and Other Glass-Forming Liquids. J. Am. Chem. Soc., 77, 8701,

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